欧拉定理

分类: 教育/科学 >> 科学技术 问题描述: 关于三角形重心垂心外心的 解析: 模p运算 给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。 对于正整数p和整数a,b，定义如下运算： 取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。 模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则 (a+b) mod p = r。 模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 模p乘法：(a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。 可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如： 规律 公式 结合率 ((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p ((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p 交换率 (a + b) mod p = (b+a) mod p (a × b) mod p = (b × a) mod p 分配率 ((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p 简单的证明其中第一个公式： ((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p 假设 a = k1 p + r1 b = k2 p + r2 c = k3 p + r3 a+b = (k1 + k2) p + (r1 + r2) 如果(r1 + r2) >= p ，则 (a+b) mod p = (r1 + r2) -p 否则 (a+b) mod p = (r1 + r2) 再和c进行模p和运算，得到 结果为 r1 ＋ r2 + r3的算术和除以p的余数。 对右侧进行计算可以得到同样的结果，得证。 模p相等 如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做 a ≡ b mod p 可以证明，此时a、b满足 a = kp + b，其中k是某个整数。 对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。在四则运算中，如果c是一个非0整数，则 ac = bc 可以得出 a =b 但是在模p运算中，这种关系不存在，例如： (3 x 3) mod 9 = 0 (6 x 3) mod 9 = 0 但是 3 mod 9 = 3 6 mod 9 =6 定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝ 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p 证明： 因为ac ≡ bc mod p 所以ac = bc + kp，也就是c(a-b) = kp 因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个 1) c能整除k 2) a = b 如果2不成立，则c|kp 因为c和p没有公因子，因此显然c|k，所以k = ck" 因此c(a-b)kp可以表示为c(a-b) =ck"p 因此a-b = k"p，得出a ≡ b mod p 如果a = b，则a ≡ b mod p 显然成立 得证 欧拉函数 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。 定义小于n且和n互质的数构成的 *** 为Zn，称呼这个 *** 为n的完全余数 *** 。 显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1) 证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1) 考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1} 而不和n互质的 *** 由下面三个 *** 的并构成： 1) 能够被p整除的 *** {p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个 2) 能够被q整除的 *** {q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个 3) {0} 很显然，1、2 *** 中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1) 欧拉定理 对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n 证明： 首先证明下面这个命题： 对于 *** Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑 *** S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此 任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n = （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n 考虑上面等式左边和右边 左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n 而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： aφ(n) ≡ 1 mod n 推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n 费马定理 a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

不是什么平均值，就是边际值。你的例子举得完全不对，我没法帮你把你的例子修改成一个合理的例子。而且按照最一般的假定，K指的是资本，不是什么技术。最原始的生产模型F(L,K)中，只有劳动力和资本这两个生产要素。但如果你精通多元微积分，你会知道增加更多的要素，本质上没有区别（所以你当然可以加入一个新的技术要素）这个公式用微积分很容易推导，你在任何一本中级以上的经济学原理上都找得到推到，在此不赘。关键是你要注意定理的假设和内在含义。这个定理有这样两个个关键性假设：1、规模报酬不变，或者说，Q=F(L,K)这个函数满足其次性，这样那个数学推导才能成立；2、市场价格唯一，完全竞争性市场。因为是完全竞争性市场，且满足一价律，所以市场价格等于边际产出，也就是说资本报酬（利率）为MPK，劳动力报酬（工资）MPL才能成立。最后，这个定理又叫做产品分配净尽定理，为什么这么叫呢？因为经济总产出全部分给了劳动和资本这两个要素。Q是总产出，MPK是资本价格（利率），MPK*K就是资本在生产中的所得；类似的MPL*L是劳动力在生产中所得。Q=MPL*L+MPK*K，产出（在充分竞争的市场条件下）完全的分配给了劳动力和资本两个要素，没有剩余。

大于 3 的质数被 3 除余 1 或 2 ，因此 3|(p+q)(p-q) ，也即 p^2≡q^2(mod 3) 。又因为 (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1 ，因此奇数的平方被 8 除余 1 ，所以，p^2≡q^2≡1(mod 8) ，而（3，8）=1 ，所以，p^2≡q^2(mod 24) 。

费马小定理，欧拉定理，中国剩余定理等相关数论定理是小学生学的。在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

定义： , ,若 ,则称a与b模m同余,记作 ,否则称a与b模m不同余,记作 利用同余,可在整数集合Z上诱导出一个关系 ,称为模m同余关系 定理： ,则模m同余关系是等价关系,即 (1) ,有 (2) (3) 注： 1.模m同余关系的商集记作 2.任一整数a所在的同余类记作 ,也称为同余类或剩余类 3.任一整数a用m除所得的余数只能为 中的一个, 为模m的完全剩余类,其中 为那些除m所得的余数为i的所有整数构成的集合 定理： , ,则 1.若 ,则2. 3. 4.若 ,d为a,b,m的任一公因数,则5.若 ,则6. 7. 证明： 3. 定义： , ,若其中任意两个数均不在模m的同一个剩余类中,则称 为模m的一个完全剩余系 若 中有某个数与m互素,则 中所有的数与m均互素,此时称 为与模m互素的一个剩余类,因而有 个与模m互素的剩余类,在与模m互素的每个剩余类中取一个数,得到 个与模m互素的数,它们组成的集合称为模m的一个缩系 定理：若 ,则 为模m的一个缩系 且 ,有 定理：若 ,且 ,则当x与y分别跑遍模m的一个完全剩余系时, 恰好跑遍模mn的一个完全剩余系 证明：定理：若 且 ,则当 分别跑遍模m,n的一个缩系时, 恰好跑遍模mn的一个缩系, 证明：推论：设 ,则定理：设 , ,则 证明：在实际应用中经常要计算 模m的值,利用欧拉定理,先计算 ,其中 ,即 ,即 ,从而简化运算 推论：若p为素数, ,则 证明：