欧拉线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉线　　三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。　　欧拉线的证明： 　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四边形ADCH是平行四边形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG" ∽△HAG"　　∴AG/GM=2/1　　∴ G"是△ABC的重心　　∴ G与G"重合　　∴ O、G、H三点在同一条直线上 　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.　　欧拉线的另证：　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。　　连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。　　连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF　　连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。　　

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。 欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG" ∽△HAG"。 ∴ 。 ∴ G"是△ABC的重心。 ∴ G与G"重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。　　欧拉线的证明： 　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四边形ADCH是平行四边形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG" ∽△HAG"　　∴AG/GM=2/1　　∴ G"是△ABC的重心　　∴ G与G"重合　　∴ O、G、H三点在同一条直线上 　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。　　欧拉线的证明： 　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四边形ADCH是平行四边形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG" ∽△HAG"　　∴AG/GM=2/1　　∴ G"是△ABC的重心　　∴ G与G"重合　　∴ O、G、H三点在同一条直线上 　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点Gu2019。∵BD是直径，u2234u2220BAD、u2220BCD是直角。u2234ADu22a5AB，DCu22a5BC。∵CHu22a5AB，AHu22a5BC，u2234DA‖CH，DC‖AH。u2234四边形ADCH是平行四边形，u2234AH=DC。∵M是BC的中点，O是BD的中点。u2234OM=DC。u2234OM=AH。∵OM‖AH，u2234△OMGu2019∽△HAGu2019。u2234。u2234Gu2019是△ABC的重心。u2234G与Gu2019重合。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。 欧拉线的证明： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG" ∽△HAG"。 ∴ 。 ∴ G"是△ABC的重心。 ∴ G与G"重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 [编辑]证明如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，再连DB、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…② ∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③，CH⊥AB…④ 由①、③可知DC‖AH，由②、④可知DA‖CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM，即AH=2OM。作BC边上的中线AM,连OM、OH；设OH交AM与点G" ∵OM⊥BC，△AHG"∽△MOG"，∴AG"=2G"M，因此G"即△ABC重心G。 故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。 [

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。内容：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。

首先求出AB的中垂线方程，它与欧拉线的交点即为外心（－1，1）。由此可写出外接圆方程。c必在外接圆上，设C点坐标(Xo,Yo)，然后可得AC与AB中点m、n坐标，求出BM、CN方程，建立可得重心坐标X=(Xo+2)/3;Y=(Yo+4)/3代入欧拉线方程得方程1，与圆之方程2联立，可得C(-4,0).即得。

这道题比较复杂，工具所限我就不画图了~~D是做CD垂直于BC在圆O上的交点，容易知道∠BOD=2∠BCD=180°，即BOD共线；因为A、B、C、D都在圆O上，所以∠ACD=∠ABD=∠ABO=∠BAO，∠CAD=∠CBD=∠CBO=∠OCB，∠OCA=∠OAC。于是∠BCD=∠ACD+∠OCB+∠OCA=∠BAO+∠CAD+∠OAC=∠BAD=90°。则DA垂直于AB，于是DA和CH平行。又DC垂直于BC，所以DC与AH平行。所以AHCD为平行四边形~~向量AH=DC。第二问则是早就知道了的，DO=OB。基本就是这样，不知是否满意~~

有莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

这个是三角形的一个性质,垂心到某一顶点的距离等於外心到该顶点对边距离的二倍.而且其实你的证明有点本末倒置,因为本身这个性质的向量证明恰好是通过OH→=OA→+OB→+OC→得到的,你现在用结果推出原因简直就是胡说八道证明这个很简单作△ABC的外接圆和直径AE,连接BE,CE那麼BE⊥AB,CE⊥AC∵H是垂心,∴HB⊥AC,HC⊥AB∴有HB∥CE,HC∥BE,那麼四边形BECH是平行四边形∴BE→=HC→BE→=BO→+OE→=-OB→-OA→HC→=HO→+OC→=-OH→+OC→∴OH→=OA→+OB→+OC→

设这两点为A（m1,n1),B(m2,n2) 求这两点所对应的一次函数y1=ax+b 求这条对角线的中点M(（m1+m2)/2,(n1+n2)/2) 求点A到点M的距离为l 过点M作A的垂线,求出这条直线的一次函数关系式y2=x/a+b" 设线上一点C（x,x/a+b") MC=l 求出x 可以算出两个x,代入y2,可得两个点,即是所求点

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

有 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

第一个：直接用解析几何证。省去辅助线一类烦人的东西。把各个点的坐标都设出来，比如(a,0),(0,b),(0,c)，然后代公式进去算，可以把垂心重心外心的坐标都算出来，算一下距离和斜率，就ok了。第二个：用第一问的结论，R和r都可以用a、b、c的式子来表示，算一下就是了。

太简单了,就是欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半

旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点. 一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外,三角形三个旁心构成的三角形称旁心三角形.在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。　　在平面三角形中:　　(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. 　　　　(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.　　(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合　　（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。　　（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

先证△AOB的欧拉线过△ABC重心G：向外作等边△ABD,其中心为M,AB中点为E,则ME=DE/3,GE=CE/3,连接MG交OE于F,由O是费马点知O在CD上，故EF=OE/3,即OF/EF=2,故F为△AOB重心，而又由∠AOB=120°，∠AMB=120°，AM=MB,得M是△AOB外心，由于MFG共线得到△AOB欧拉线MF过原三角形重心G.因此三条欧拉线交于一点——原三角形重心G.(PS:其实原三角形△ABC欧拉线也经过G.)

设△ABC的垂心、重心、外心分别为H,G,O,则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OH=3向量OG所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半。

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 利用向量证明，简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.∴向量OG=1/3向量OH，∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 还是向量做法，设△ABC的外心，重心，垂心分别为O，G，H。作△ABC的中点三角形DEF∵OD⊥AC∴OD⊥EF同理OE⊥DF，OF⊥DE∴O是△DEF的垂心。又EF∥AC，DF∥AB，DE∥BC且△ABC∽△DEF∴向量HB=-2向量OD，向量HA=-2向量OF，向量HC=-2向量OE∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC又向量BG=2/3向量BD=1/3（向量BA+向量BC）同理向量CG=1/3（向量CA+向量CB），向量AG=1/3（向量AB+向量AC）∴向量BG+向量AG+向量CG=向量0向量HG=向量HA+向量AG=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG向量OG=向量OA+向量AG=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC，3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC∴向量HG=-2向量OG 如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC∴AH∥OM连接OB、OC，易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径）又连接BH并延长交AC於D，则BD⊥AC∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC∴AH=2OM设OH和AM交於G，则△AHG∽△MOG∴AG:GM=AH:OM=2:1∴G是△ABC的重心，即O、M、G三点共线，且GH:GO=AG:GM=2:1

一般三角形 的 Euler(欧拉)线是指： 三角形的 垂心H、重心G、外心O 三点共线 —— 称为Euler线 且 HG : GO = 2 : 1 用几何画板演示发现，正三角形的欧拉线是过三心（合一）且与某条边平行（有3条？）

方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。 所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =（V-2）·360度（2） 由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 所以 V+F-E=2.方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 F-E+V=2。 证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： （1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。 （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 （6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。 （8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 即F′-E′+V′=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。

欧拉线：任意三角形的外心，垂心，重心必在同一直线，这条直线叫欧拉线。垂心到重心距离等于重心到外心距离的2倍。重心：三边中线的交点。定点到重心距离等于重心到中点距离的2倍。外心：三边中垂线交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。内心：三内角平分线交点。内心到三边的距离相等。垂心：三边高线的交点。垂心分每条高线的两部分乘积相等。旁心：同一条边上的外角平分线交点。旁心到三边距离相等。

如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC∴AH∥OM连接OB、OC，易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径）又连接BH并延长交AC于D，则BD⊥AC∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC∴AH=2OM设OH和AM交于G，则△AHG∽△MOG∴AG:GM=AH:OM=2:1∴G是△ABC的重心，即O、H、G三点共线，且GH:GO=AG:GM=2:1然后证明九点圆心也在线上，如下图，DEF为△ABC中点，OGH为△DEF外心、重心、垂心，则用线束可证G也是△ABC重心，DH,EH,FH分别垂直于△ABC三边且DEF为三角形ABC三边中点，∴H为△ABC外心，DO=EO=FO,∴O为△ABC九点圆心，∴九点圆心也在欧拉线上

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉线是高二所学的数学知识。如果一个三角形，它的外心、重心、九点圆圆心和垂心，都能依次位于同一直线上，那么我们说这条直线就叫三角形的欧拉线。(且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点)。莱昂哈德·欧拉曾经于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出这个定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

对。任何三角形都存在一条神奇的欧拉线,跟三角形的一些特殊点紧密相关。任意三角形的垂心、重心和外心在一条直线上,这条直线被称为欧拉线。

等腰三角形的欧拉线是底边的高。任意三角形的外心，重心，垂心三点共线，这就是三角形的欧拉线，等腰三角形的欧拉线垂直平分底边，此时欧拉线就是底边的高。

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：如图，三角形ABC，HGO分别是其垂心，重心和外心，连接BO并延长，和外接圆O相交于D，连接AH，AD，CD和CH。因为BD为外接圆O的直径，所以CD垂直BC，AD垂直AB；又H为垂心，所以AH垂直BC，CH垂直AB；因此CD//AH，HC//AD，ADCH为平行四边形，AH = DC；又O，M分别为BD和BC中点，OM为三角形DBC的中位线，OM = DC / 2 = AH / 2；连接AM，OM，OH，OH交AM于G"；显然，三角形AHG"相似于三角形MOG"，且对应边的比为AH / OM = 2，因此AG" = 2G"M，由于重心是中线靠近边的三等分点，因此重心G和G"重合，因此OGH三点共线。

欧拉线定理如下：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点。这是由莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的定理。三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。应用1、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其重心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。2、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其垂心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。3、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。证明：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。4、在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，连接DE，EF，FD，则△ABC与△DEF的欧拉线重合。

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。内容：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。