积分(数学术语)详细资料大全

具体回答如图：扩展资料：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

达布和与黎曼和之间的关系在于它们都是黎曼和的极限。然而，它们在定义上有所不同。达布和与黎曼和的差别在于区间划分的顺序。在达布和中，区间划分P比区间划分Q更细，如果P是通过从Q加更多划分点而得到，这意味着P中的任何一个区间都包含在Q的某个区间中。黎曼和对这种区间划分的顺序没有单调性，因此，收敛的判别法则是，对于任何给定的 ，存在某个划分满足柯西条件。黎曼积分中，区间划分P比区间划分Q更细，如果P的最大区间长度小于Q的最大区间长度。黎曼和对这种区间划分没有单调性，因此，收敛的判别法则是对于任何给定的 ，所有的最大区间长度足够小的划分都要满足柯西条件。总结来说，达布和和黎曼和都是黎曼和的极限，但在达布和中，存在一个划分满足柯西条件即可，而在黎曼和中，所有的划分都需要满足柯西条件。另外，达布和与黎曼和在定义上等价，且达布可积能推出黎曼可积，但反过来则不一定成立。

　　对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割的黎曼和定义如下：和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说是以标记点到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 不太严格地说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 　　严格定义如下：是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割，只要它的子区间长度最大值，就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。

性质：1、正定性；如果函数在区间上处处大于等于0，则它在上的积分也大于等于零；2、可加性；如果函数在区间和上都可积，那么在区间上也可积，并且有无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立；3、上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的；4、如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的；5、如果是上的一个一致收敛序列，其极限为，那么，如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。 黎曼和：德国数学家，虽然牛顿时代就给出了定积分的定义，但是定积分的现代数学定义却是用黎曼和的极限给出。

我喜欢你是一部备受瞩目的电视剧，讲述了一个充满爱情、友谊和亲情的故事。其中最引人注目的便是黎曼的感情线。在剧中，黎曼一直与女友小妍相恋。然而，随着剧情的发展，我们发现黎曼其实一直对女主角韩娜念念不忘。最终，在经历了一番波折后，黎曼和韩娜终于在一起了。这个结局让很多观众感到欣慰，因为他们一直认为黎曼和韩娜才是最合适的一对。但是，也有一些观众对此表示不满，认为黎曼应该和小妍在一起，毕竟他们已经相处了那么久。无论如何，这个结局都让人感到非常感动。它向我们展示了爱情的坎坷和曲折，同时也告诉我们，只要我们坚持自己的心意，最终一定会走向幸福。

格罗滕迪克。您好，黎曼和格罗滕迪克中格罗滕迪克厉害。正解，望采纳！谢谢您的支持！也感谢审核员大大！

结论推出。定积分是求是函数在区间a，b上积分和的极限，矩形数越多，定积分的极限求和越来越接近矩形的准确面积。可以推出定积分就是黎曼和的极限。

右黎曼和公式：sin[p+(q-p)ib/n]。需要使用中点黎曼和并且让黎曼和的子区间分成三份等长的区间，所以区间划分为10到30，30到50，50到70，然后每一段长方形的面积通过底乘高的方法求解。底就是区间长度20，高就是中点的函数值，分别为22，35，44，所以最后求和等于2020。黎曼积分不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细"”有效，需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义,而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割,则和 σ(f；p,ζ):=∑ f(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和,其中ΔXi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ),只要分化P的参数λ(P)

因为孩子流产,孩子流产是导火索,所以黎曼和姜逸城分手了。《程序员那么可爱》由吴强执导，邢昭林、祝绪丹领衔主演，易大千、田依桐、关芯、盛朗熙、骏声等主演的都市爱情剧。该剧根据超人气漫画《程序媛哪有这么可爱》改编，讲述了异承科技CEO姜逸城和女程序员陆漓因程序代码结缘，又在机缘巧合下开启了一次次“修复Bug”的心动挑战，展开了一场温馨甜蜜的爱情罗曼史。剧情简介故事讲述了女程序员陆漓（祝绪丹饰）追求职业理想，努力投身编程领域，凭借过硬简历和惊人智慧搞定学长姜逸城（邢昭林饰），成功进入姜逸城建立的创业公司，还帮姜逸城摆平无数难缠相亲。陆漓和姜逸城因程序代码结缘，又在机缘巧合下成为同居室友。可爱女程序员和傲娇自恋总裁在相处中斗智斗勇触发心动代码，上演了一场温馨甜蜜的爱情罗曼史。

求积分:算由y=x,y=0,x=a,x=b,围成的面积. 面积微元为:ydx,对其求a到了的积分并将y=x带入,得1/2*b*b-1/2*a*a

黎曼，是德国十分优秀的数学家，物理学家。它的几何方面比较的好，十分擅长。所以说他后来还开创了黎曼几何定律，但是他在打三次去意大利的时候因为感染了肺结核不行的去世了，这也是全球数学物理领域的损失。

对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割 、的黎曼和定义为以下和式：}-和式中的每一项是子区间长度xi + 1 u2212 xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和 σ(f；p,ζ):=∑ f(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。

解：分析：黎曼个P，说起这个就火大！明明就是牛顿先提出来的，记住：以后叫牛莱公式！（呵呵）根据定积分定义：1）上式中显然有n等份，而且每个区间Δx=1/n，设该函数的区间是：[p,q](q>p)，那么显然：q-p=12）考查的函数是：sinbx，函数在n个等份的区间中对应的取值是：sin(ib/n)，其中i=1,2,3....n而：如果在[p,q]区间中，显然，每个等份区间中的取值是：sin[p+(q-p)ib/n]3）由上述可知：p=0，q=1因此：原极限=∫(0,1) sinbxdx=cosbx/b|(1,0)=(1-cosb)/b

你画错了，，Δx=-2uΔu带进去化成了∑2(3u^2-u^4)Δu然后令u=3k/n , Δu=3/n化成了lim(n趋于无穷）∑2(3(3k/n)^2-(3k/n)^4)*(3/n) 对k在1到n叠加如果求这个定积分原式=2 ∫（0到3）(3u^2-u^4)du =-216/5

定积分最初是一个记号,也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些）,当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量,但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后,理解和应用来了个180度转弯,一般不再用积分和（定义）去求积分,而是用N-L公式,而且积分表达式用的远远多于极限式. 定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分,而在于N-L公式

定积分最初是一个记号,也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些）,当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量,但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后,理解和应用来了个180度转弯,一般不再用积分和（定义）去求积分,而是用N-L公式,而且积分表达式用的远远多于极限式.定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分,而在于N-L公式

　　有原函数不一定可积的，有些函数它虽然有原函数但是对其积分后，但不能用初等函数来表示。我们在现阶段就说它不可积。f(x)在[a,b]上有原函数是指：F（x）的导数是f(x).f(x)在[a,b]上可积是指：黎曼和（积分和）S总有一个确定的极限。若f(x)在[a,b]上有原函数，并且连续，那么f(x)一定可积。现在。我们只知道在连续函数的基础上，通过变上限积分来构造原函数。知道这点就可以了这里可积就是指的黎曼可积。 现阶段说不可积是指，不满足定积分定义，本质上说就是黎曼和（或者称为积分和）S极限与区间【a,b】的分割方式以及小区间中，克赛点集，的取法有关系。

假设f（x）的反导函数为F（x），实际上就是f（x）d（x）=△F（x）。假设在区间上分别有x1x2x3.。。。。。xn，则从x1到x2的定积分=F（x2）-F（x1）+F（3）-F（2）+F（4）-F（3）+。。。+F（n）-F（n-1）=F（n）-F（1）

求曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积cosθ=ρ/2a>=0所以θ范围是（-π/2,π/2)S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ积分范围是（-π/2,π/2）故S=a^2(π/2+π/2)=πa^2可化为直角座标形式：x^2+y^2=2ax即:(x-a)^2+y^2=a^2它是圆心在(a,0)点，半径为a的圆，所以面积等于πa^2扩展资料：积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L"的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（弧长，在积分函数是向量函数时，是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。参考资料来源：百度百科——曲线积分

微积分是微分与积分的统称,微分与积分是一对逆运算.微分能求出函数的导数,而积分是求出一个函数的原函数,也就是根据导数求原先的函数. 能求不规则图形面积的是积分,准确来说应该是定积分.但是,这里所说的不规则图形,不是知道了形状和边长就可以求出来,而是处于直角坐标系中的不规则但连续的曲线与x轴围成的图形的面积可以用定积分求出来. 什么叫定积分呢?定积分就是,对一个函数积分后求出原函数,定积分的积分符号上多了上下限,就把上限和下限各代入原函数中计算,再把两者相减,定积分其实就是积分,只不过积分后要把上下限代入再相减. 如果我们要积分的函数是直角坐标系上一条连续的曲线的函数,上下限是这条曲线的区间,那么,这个函数定积分就是这条曲线在区间内与x轴围成的不规则图形的面积. 其实,深入探究后,定积分可以定义为一个黎曼和.什么叫黎曼和呢?要计算一个由直线围成的图形的面积很容易,但是由边长入手计算一个由曲线围成的图形的面积就很难.我们不难想到一个办法,就是用切割方式去逼近曲线图形的面积.对于一个曲线围成的图形,我们可以在里面画许多的直线围成的图形,假设是矩形.它们的和就是这个曲线图形的近似值.我们只画一两个,由于直线曲线难相容,所以我们所画的矩形与曲线图形之间有很多空隙.但是如果我们画更多矩形,不介意画小一点,那么,每个矩形的面积就会更小,但是数量更多,空隙更小,也就更接近曲线图形的面积.假设每个矩形的面积相等,当每个矩形的面积变成无限小的时候,理所当然地曲线图形中的矩形数量是无穷个,它们的乘积的极限就是曲线图形的面积.也就是说,黎曼和就是把一个曲线图形分割成无限份规则图形,可以是其它图形,每份规则图形的面积无限小,它们的和就是这个曲线图形的面积. 因为定积分可以定义为一个黎曼和,那么,定积分就可以计算曲线图形的面积了.

分子的首项2^(b/n)=x，那么分子Sn=x+x^2+……+x^(n-1)+x^n=2^(b/n)[2^(nb/n)-1]/[2^(b/n)-1](打字不便，将lim下面的n→+∞或y→0省略)∴ 原极限式=lim2^(b/n)*(2^b-1)*(1/n)/[2^(b/n)-1]=lim[2^(b/n)*(2^b-1)]*lim(1/n)/[2^(b/n)-1]=(2^b-1) lim(1/n)/[2^(b/n)-1]=(2^b-1)limA而limB=limy/[2^(by)-1] 0/0型可用罗比达法则=lim1/[2^(by)*ln(2^b)]=1/(bln2)显然，A（n→+∞）是从函数B（y→0）中抽出的一个子列，所以A的极限等于B的极限原极限式=(2^b-1)/（bln2)

定积分最初是一个记号，也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些），当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量，但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后，理解和应用来了个180度转弯，一般不再用积分和（定义）去求积分，而是用N-L公式，而且积分表达式用的远远多于极限式。定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分，而在于N-L公式

定积分就是黎曼积分

问题出在XX(c)--- c必须为正整数 (因为其意义是XX数组里的第c个数)诸如XX(-5), XX(0.1) 等都是没有意义的而由于你的XX数组是由t=-10:0.01:10得来因此不用再分step(例如XX(11) 就是f(-9.9)了)因此只要将for k=1: step c=-10+k*dx;value=value + ((abs(XX(c))).^2);end改成for k=1: stepvalue=value + ((abs(XX(k))).^2);end就行了

黎曼积分可推广到值属于维空间的函数。积分是线性定义的，即如果，则。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令若，，若。则对所有 . 但如果我们将向右平移一个单位得到，则对所有，我们得到 . 由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：此时，如果尝试对上面的积分，我们得到，因为我们先使用了极限。如果使用相反的极限顺序，我们得到。这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令在上，其它域上等于0。对所有，。但一致收敛于0，因此的积分是0。因此。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

黎曼1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。 l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。 1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。解析数论跨世纪的成果 19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。 黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。代数几何的开源贡献 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。 黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。 黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，…… 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

1.首先，反证的思路是假设无界则必定不可积。根据黎曼可积定义，证明不可积就是说明存在正数ε0，对任意正数δ和任意实数J，都存在分割T满足模长小于等于δ，以及上面选取的点集，使得图1的式子成立。他的证明意思是如果函数无界，那么对任何分割T(固定了)，都有分割中的一个区间上函数无界(否则分割中每个区间上函数有界就会导致函数有界)，无界就会有一个点满足对任何正数(就是图二的第一个数，他应该命G等于我画圈的第二个)，函数都会大于这个数。然后他推出来了黎曼和无界，也就是绝对值大于M(M是任意的)，这其实已经证明了结果(黎曼和不会属于任何一个ε邻域)，或者你可以再写一步，如图3，这说明黎曼和不以任何实数为极限。图1图2图3

用级数求和以及极限的思想，求黎曼和

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细"”有效，需要把λ趋于0。如此[xi,xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值足够小 ，就有：}-也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。另一个定义: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有：}-这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足}-其次，如果有一个S满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 。令r等于，其中Mi和mi是f在[xi,xi + 1]上的上确界和下确界。再令δ是和}-中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ时， f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和S至多相差ε。 黎曼积分是线性变换；也就是说，如果f和g在区间[a,b]上黎曼可积，α和β是常数，则：[a,b]上的实函数f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。如果fn是[a,b]上的一个一致收敛序列，其极限为f，那么：如果一个实函数在区间[a,b],上是单调的，则它是黎曼可积的。 黎曼积分可推广到值属于n维空间的函数。积分是线性定义的，即如果，则。特别地，由于复数是实数vector space，故值为复数的函数也可定义积分。黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分(improper integral)一样。我们可以令不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果向左或向右平移一个函数，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令f(x) = 1 若x > 0，f(0) = 0，f(x) = u2212 1若x < 0。则对所有x.但如果我们将f(x)向右平移一个单位得到f(x u2212 1)，则对所有x > 1，我们得到. 此时，如果尝试对上面的f积分，我们得到，因为我们先使用了极限。如果使用相反的极限顺序，我们得到。这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令fn(x) = 1 / n在[0,n]上，其它域上等于0。对所有n，。但fn一致收敛于0，因此的积分是0。因此。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对瑕积分(improper integral)不适用。这限制了黎曼积分的应用。一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock-Kurzweil integral。扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子xi u2212 xi + 1，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是Riemann-Stieltjes integral所采用的方法。

绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y"^2)^0.5dx，其中y"^2是y对x的导数的平方。不定积分：不定积分是一组导数相同的原函数，定积分则是一个数值。求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。即已知导数求原函数。若F′（x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R)。也就是说，不定积分把f(x)积分，不一定能得到F(x），因为F(x)+C的导数也是f(x）（C是任意常数）。所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

如下：对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样回分割，只要它的子区间长度最大值答足够小。函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。扩展资料：求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑，利用f"(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）

（x-1/2）e^（x^2）+c∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。积分：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

需要使用中点黎曼和并且让黎曼和的子区间分成三份等长的区间，所以区间划分为10到30，30到50，50到70，然后每一段长方形的面积通过底乘高的方法求解。底就是区间长度20，高就是中点的函数值，分别为22，35，44，所以最后求和等于2020.左黎曼和就是在上面的各个区间中，取每个区间的左端点函数值作为高，右黎曼和就是取右边的函数值。还有梯形的黎曼和，取得是左右两边的平均值，或者可以理解为梯形面积公式。

对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割、的黎曼和定义为以下和式：和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细"”有效，需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值，就有： 也就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。另一个定义: 是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有：这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于，于是满足其次证明满足第二个定义的也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分（达布积分那一文章里并没有说明这个原因，来源请求）。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超过。令等于，其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于时，关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和至多相差。由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

U0001f603

∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。扩展资料：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果和在区间上黎曼可积，和是常数，则： 由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。 正定性：如果函数在区间上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在上的积分也大于等于零。如果在区间上几乎处处大于等于0，并且它在上的积分等于0，那么几乎处处为0。 可加性：如果函数在区间和上都可积，那么在区间上也可积，并且有 无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。 上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。 如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。 如果是上的一个一致收敛序列，其极限为，那么： 如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。

　　有原函数不一定可积的，有些函数它虽然有原函数但是对其积分后，但不能用初等函数来表示。我们在现阶段就说它不可积。f(x)在[a,b]上有原函数是指：F（x）的导数是f(x).f(x)在[a,b]上可积是指：黎曼和（积分和）S总有一个确定的极限。若f(x)在[a,b]上有原函数，并且连续，那么f(x)一定可积。现在。我们只知道在连续函数的基础上，通过变上限积分来构造原函数。知道这点就可以了这里可积就是指的黎曼可积。 现阶段说不可积是指，不满足定积分定义，本质上说就是黎曼和（或者称为积分和）S极限与区间【a,b】的分割方式以及小区间中，克赛点集，的取法有关系。

解：分析：黎曼个P，说起这个就火大！明明就是牛顿先提出来的，记住：以后叫牛莱公式！（呵呵）根据定积分定义：1）上式中显然有n等份，而且每个区间Δx=1/n，设该函数的区间是：[p,q](q>p)，那么显然：q-p=12）考查的函数是：sinbx，函数在n个等份的区间中对应的取值是：sin(ib/n)，其中i=1,2,3....n而：如果在[p,q]区间中，显然，每个等份区间中的取值是：sin[p+(q-p)ib/n]3）由上述可知：p=0，q=1因此：原极限=∫(0,1)sinbxdx=cosbx/b|(1,0)=(1-cosb)/b

　　有原函数不一定可积的，有些函数它虽然有原函数但是对其积分后，但不能用初等函数来表示。我们在现阶段就说它不可积。f(x)在[a,b]上有原函数是指：F（x）的导数是f(x).f(x)在[a,b]上可积是指：黎曼和（积分和）S总有一个确定的极限。若f(x)在[a,b]上有原函数，并且连续，那么f(x)一定可积。现在。我们只知道在连续函数的基础上，通过变上限积分来构造原函数。知道这点就可以了这里可积就是指的黎曼可积。 现阶段说不可积是指，不满足定积分定义，本质上说就是黎曼和（或者称为积分和）S极限与区间【a,b】的分割方式以及小区间中，克赛点集，的取法有关系。

简单计算一下即可，答案如图所示

∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。扩展资料：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

　　有原函数不一定可积的，有些函数它虽然有原函数但是对其积分后，但不能用初等函数来表示。我们在现阶段就说它不可积。f(x)在[a,b]上有原函数是指：F（x）的导数是f(x).f(x)在[a,b]上可积是指：黎曼和（积分和）S总有一个确定的极限。若f(x)在[a,b]上有原函数，并且连续，那么f(x)一定可积。现在。我们只知道在连续函数的基础上，通过变上限积分来构造原函数。知道这点就可以了这里可积就是指的黎曼可积。 现阶段说不可积是指，不满足定积分定义，本质上说就是黎曼和（或者称为积分和）S极限与区间【a,b】的分割方式以及小区间中，克赛点集，的取法有关系。

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。 要使得“越来越‘精细"”有效，需要把λ趋于0。如此[xi,xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值 ，就有： }- 也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。 这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。 另一个定义: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有： }- 这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足 }- 其次，如果有一个S满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 。令r等于，其中Mi和mi是f在[xi,xi + 1]上的上确界和下确界。再令δ是和}-中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ时， f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和S至多相差ε。

∫e^(-t2)dt=-（1/2）∫e^(-t2)d(-2t)=-(1/2)e^(-t2)+C积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。扩展资料：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。参考资料来源：百度百科--积分