黎曼（Riemann）是对现代数学影响最大的数学家之一（之一甚至可以去掉），其中就包括对代数几何的深刻影响，Dieudonne甚至称Riemann这个时期的函数论研究是整个代数几何历史中最重要的一步，Riemann是通过研究Abel（阿贝尔）函数论涉足代数几何的。他在研究复变函数时，提出了 Riemann Surface （黎曼曲面）的概念 ，把Abel函数论和Riemann Surface的工作综合起来，Riemann把代数曲线作为Riemann Surface上的函数论来研究，并且引进第一个birational maps（双有理） 的不变量——Genus(亏格)，只有在代数几何里才有 birational equivalence（双有理等价）概念，这就使得代数几何比微分几何或者拓扑更加的rigid（刚性） 从而开辟了代数几何的新篇章。通过genus，Riemann 又提出了Moduli（模空间）的概念，现今这个东西可是大热门，并且和他的学生Roch（罗赫）得出了代数几何学中的一条中心定理——Riemann-Roch定理 （黎曼-赫定理），此定理是说：设X为亏格g的曲线，D为X上的除子则有：L（D）—L（K—D）=degD+1—g，K是一典范除子，以后对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步，非常深刻的Atiyah-Singer指标定理 （阿蒂亚-辛格指标定理）是Riemann-Roch定理的颠峰，Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何，拓扑，分析学，偏微分方程，多复变函数论等好几个核心数学领域，并且在物理学中Yang-Mills场论（杨-米尔斯场论）中得到了重要的应用，但是，指标定理的根基还是在代数几何里面。1866年，Riemann 因病去世，此时他才40岁，以Riemann的成绩来观之，足可见Riemann是何等的伟大！斯人已逝，数学上一个辉煌的时代也随之结束了。Riemann的成就被后来各种流派所继承，而作出比较重要的工作的是克勒布什（Clebsch），而他的学生 M.Noether（就是那个伟大的E.Noether-诺特-的父亲）则用代数几何的观点来看待Riemann Surface，几何化的思想和强烈，而几乎同时，Dedkind（戴德金）和Weber开辟了以理想为基础代数方向，Kronecker（克罗内克）则开辟了以除子为基础的算术方向。这三个方向最后在Grothendieck（格罗滕迪克）那里汇聚在一起，构成一个大一统的气势恢弘的抽象代数几何体系。
