出投笔记 -
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为poisson(λ)分布，需求的大小的分布函数为D（.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。
高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：
for(i=0; i<N; i++)
{
for(j=0; j<N; j++)
{
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum += g[i*N+j];
}
}
再除以 sum 得到归一化算子
N是滤波器的大小，delta自选
首先，在提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。
信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。
C++语言代码： void convolution(float *input1, float *input2, float *output, int mm, int nn){ float *xx = new float[mm+nn-1]; // do convolution for (int i = 0; i < mm+nn-1; i++) { xx[i] = 0.0; for (int j = 0; j < mm; j++) { if (i-j > 0 && i-j < nn) xx[i] += input1[j] * input2[i-j]; } } // set value to the output array for (int i = 0; i < mm; i++) output[i] = xx[i + (nn-1) / 2]; delete[] xx;}
芝华塔尼欧的少年
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每一幅图像都包含某种程度的噪声，噪声可以理解为由一种或者多种原因造成的灰 度值的随机变化，如由光子通量的随机性造成的噪声等，在大多数情况下，通过平滑技术（也常称为滤波技术）进行抑制或者去除， 其中具备保持边缘（Edge Preserving）作用的平滑技术得到了更多的关注。常用的平滑处理算法包括基于二维离散卷积的高斯平滑、均值平滑，基于统计学方法的中值平滑，具备保持边缘作用的平滑算法的双边滤波、导向滤波等。 I与K的二维离散卷积的计算步骤如下。 显然，高为H1、宽为W1的矩阵I与高为H2、宽为W2的卷积核K 的full卷积结果是一 个高为 H1+H2-1 、宽为 W1+W2-1 的矩阵，一般H2 ≤H1，W2 ≤W1。 从full卷积的计算过程可知， 如果Kflip靠近I 的边界， 那么就会有部分延伸到I之外而导致访问到未定义的值， 忽略边界，只是考虑I能完全覆盖Kflip内的值的情况， 该过程称为valid卷积。
当然， 只有当H2≤H1且W2≤W1时才会存在 valid卷积 。 为了使得到的卷积结果和原图像的高、宽相等，所以通常在计算过程中给Kflip指定 一个“锚点”， 然后将“锚点”循环移至图像矩阵的（r， c） 处， 其中0≤r< H1， 0≤c<W1，接下来对应位置的元素逐个相乘，最后对所有的积进行求和作为输出图像矩阵在 （r， c） 处的输出值。这个卷积过程称为same卷积， 大部分时候，为了更方便地指定卷积核的锚点，通常卷积核的宽、高为奇数，那么可以简单地令中心点为锚点的位置。same卷积是full卷积的一部分，而如果valid卷积存在，那么valid卷积是same卷积的一部分。 对于full卷积和same卷积，矩阵I 边界处的值由于缺乏完整的邻接值，因此卷积运算 在这些区域需要特殊处理，方法是进行边界扩充，有如下几种常用方式。 利用上述不同的边界扩充方式得到的same卷积只是在距离矩阵上、下、左、右四个边界小于卷积核半径的区域内值会不同，所以只要在用卷积运算进行图像处理时，图像的重要信息不要落在距离边界小于卷积核半径的区域内就行。 如果一个卷积核至少由两个尺寸比它小的卷积核full卷积而成，并且在计算过程中在所有边界处均进行扩充零的操作，且满足 其中kerneli的尺寸均比Kernel小，1≤i≤n，则称该卷积核是可分离的。 在图像处理中经常使用这样的卷积核，它可以分离为一维水平方向和一维垂直方向上的卷积核。 （1）full卷积性质 如果卷积核Kernel是可分离的， 且Kernel=kernel1★kernel2， 则有： （2）same卷积性质 其中 其中，根据可分离卷积的性质，有 理解了上述高斯平滑的过程， 就可以明白OpenCV实现的高斯平滑函数： 从参数的设置可以看出， GaussianBlur 也是通过分离的高斯卷积核实现的，也可以令水平方向和垂直方向上的标准差不相同，但是一般会取相同的标准差。 当平滑窗口比较小时， 对标准差的变化不是很敏感， 得到的高斯平滑效果差别不大； 相反，当平滑窗口 较大时，对标准差的变化很敏感， 得到的高斯平滑效果差别较大 。 利用卷积核 的分离性和卷积的结合律，虽然减少了运算量，但是随着卷积核窗口的增加，计算量仍会继续增大，可以利用图像的积分，实现时间复杂度为O（1）的快速均值平滑。 即任意一个位置的积分等于该位置左上角所有值的和。 利用矩阵的积分，可以计算出矩阵中任意矩形区域的和。 中值滤波最重要的能力是去除椒盐噪声。椒盐噪声是指在图像传输系统中由于解码误差等原因，导致图像中出现孤立的白点或者黑点。 一般来说，如果图像中出现较亮或者较暗的物体，若其大小小于中值平滑的窗口半径，那么它们基本上会被滤掉，而较大的目标则几乎会原封不动地保存下来。 中值平滑需要对邻域中的所有像素点按灰度值排序， 一般比卷积运算要慢。 在OpenCV中同样通过定义函数： 此外， 中值平滑只是排序统计平滑中的一种， 如果将取邻域的中值变为取邻域中的 最小值或者最大值， 显然会使图像变暗或者变亮。 这类方法就是后面要介绍的形态学 处理的基础。 高斯平滑、均值平滑在去除图像噪声时，会使图像的边缘信息变得模糊，接下来就 介绍在图像平滑处理过程中可以保持边缘的平滑算法： 双边滤波和导向滤波。 双边滤波是根据每个位置的邻域， 对该位置构建不同的权重模板。 详细过程如下： 其中0≤h<winH， 0≤w<winW， 且每个位置的空间距离权重模板是相同的。 其中0≤h<winH， 0≤w<winW， 显然每个位置的相似性权重模板是不一样的。 整个过程只在第二步计算相似性权重模板时和双边滤波不同， 但是对图像平滑的效果， 特别是对纹理图像来说， 却有很大的不同。 扩展
循环引导滤波 是一种 迭代 的方法， 本质上是一种多次迭代的联合双边滤波， 只是每次计算相似性权重 模板的依据不一样——利用本次计算的联合双边滤波结果作为下一次联合双边滤波计算 相似性权重模板的依据。 导向滤波在平滑图像的基础上，有良好的保边作用， 而且在细节增强等方面都有良好的表现，在执行时间上也比双边滤波快很多。
CarieVinne -
二维离散的傅里叶变换可以分解为一维离散的傅里叶变换： 图像傅里叶（逆）变换的步骤： 从傅里叶变换的步骤可以看出， 傅里叶变换理论上需要O（（MN） 2） 次运算， 这 是非常耗时的， 并极大地降低了傅里叶变换在图像处理中的应用。 幸运的是， 当M=2 m和N=2 n时， 或者对于任意的M 和N， 傅里叶变换通过O（MN log （MN） ） 次运算就 可以完成， 这通常称为傅里叶变换的快速算法， 简称“快速傅里叶变换”。 在OpenCV中实现的傅里叶变换的快速算法是针对行数和列数均满足可以分解为2p ×3q ×5r的情况的， 所以在计算二维矩阵的快速傅里叶变换时需要先对原矩阵进行扩充， 在矩阵的右侧和下侧补0， 以满足该规则， 对于补多少行多少列的0， 可以使用函数： 幅度谱（Amplitude Spectrum） ， 又称傅里叶谱， 通过以下公式计算： 相位谱（Phase SpectruM） 显然， 复数矩阵F 可以由幅度谱和相位谱表示： 其中.*代表矩阵的点乘， 即对应位置相乘. 注：因为幅度谱的最大值在（0， 0） 处， 即左上角， 通常为了便于观察， 需要将其移动 到幅度谱的中心， 那么需要在进行傅里叶变换前， 将图像矩阵乘以（-1） r+c。 OpenCV提供的计算相位谱的函数： 视觉显著性检测可以看作抽取信息中最具差异的部分或者最感兴趣或首先关注的部分， 赋予对图像分析的选择性能力， 对提高图像的处理效率是极为重要的。 算法步骤： 利用傅里叶变换计算卷积， 主要步骤概括为， 首先计算两个傅里叶变换的点乘， 然后进行傅里叶逆变换， 并只取逆变换的实部。 卷积定理是针对full卷积的， 而same卷积是full 卷积的一部分。 利用快速傅里叶变换， 根据卷积定理， 计算same卷积，步骤如下。 注：只有当卷积核较大时， 利用傅里叶变换的快速算法计算卷积才会表现出明显的优势。
豆豆staR -
f(t)*f(2t)中间的符号是卷积？
令f(t)的傅里叶变换为F(f)，再令f(2t) = x(t)，相当于对f(t)在时域上压缩一半, 则有 X(f) = 1/2*F(f/2)，即在频域上扩展一倍，X(f)的带宽为2W。
由傅里叶变换的性质可以知道时域卷积，在频域就是乘积，所以频域上信号的乘积应该取决于带宽小的信号（即F(f))，所以最终f(t)*f(2t)的带宽为W
床单格子 -
{题如}：
array1 = [1 2 3 4 5] (长度为:n1 = 5)
array2 = [1 1 1 1] (长度为:n2 = 4)
令： array = array1*array2 (注：此处*为卷积符号)
则： array = [1 3 6 10 14 12 9 5] (长度为:n = 8)