黎曼

黎曼对欧拉恒等式的创新在于将实数推广为什么（） A.小数 B.复数 C.指数 D.对数 正确答案：B

内容介绍 黎曼猜想是关于黎曼ζ函式ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。 与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题。目前有讯息指奈及利亚教授奥派耶米伊诺克(OpeyemiEnoch)成功解决黎曼猜想，然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。 在arxiv网站上有一篇文章指出 ，1932年德国数学家C.L.Siegel整理的黎曼遗稿中给出了黎曼猜想的证明。文章的作者根据手稿中的一个结论性公式，直接推导出来ζ(s)函式在矩形区域的零点全部落在临界线上。 猜想来源 黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺瓦王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为"论小于给定数值的素数个数"的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的"诞生地"。 黎曼猜想研究者 黎曼 黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至国小课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。 黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函式之中，尤其是使那个函式取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函式如今被称为黎曼ζ函式，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函式的非平凡零点。 有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多"证明从略"的地方。而要命的是，"证明从略"原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些"证明从略"的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的"证明从略"之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年"诞生"以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。 当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理;反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。 等价定理 1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理等价。 具体内容 黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函式ζ()的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。 黎曼ζ 函式 ζ(s) 是级数表达式 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓(当然黎曼没有使用 "解析延拓" 这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函式可以表示为: 这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分(即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成: 其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示: 式中的 Γ 函式 Γ(s) 是阶乘函式在复平面上的推广， 对于正整数 s>1:Γ(s)=(s-1)!。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函式的完整定义。 运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函式满足以下代数关系式: 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函式在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函式取值为零的点被称为黎曼ζ 函式的零点。因此 s=-2n (n 为正整数)是黎曼ζ 函式的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函式的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函式还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。 黎曼猜想提出: 黎曼ζ 函式的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。 在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line(临界线)。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为:黎曼ζ 函式的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 研究过程 猜想验证 黎曼猜想由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出，其中涉及了素数的分布，被认为是世界上最困难的数学题之一。荷兰三位数学家J.van de Lune，H.J.Riele te及D.T.Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函式的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。 世纪之谜 1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kiberika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。 1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No(T)>0.3474N(T)。 1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No(T)>0.35N(T)。 1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式: 文章 的作者根据这个公式的几何意义以及cos函式的零点性质，直接推导出来No(T)=N(T)，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。 C.L.Siegel从黎曼的遗稿 *** 整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的"黎曼猜想"。这也许是数学史上最大的冤案。 2016年11月17日，奈及利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。 2000年，美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。　 2018年9月，麦可·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲，麦可·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。 研究成果 2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已证明了黎曼猜想。 在演讲过程中，阿蒂亚公布了上面这张图片 利用todd函式反证法，证明了所有零点都在临界线上。他公开了这篇研究论文，总共5页。在论文中，借助量子力学中的无量纲常数α（fine structure constant），阿蒂亚声称解决了复数域上的黎曼猜想。 阿蒂亚说他希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数。因为精细结构常数大约等于1/137，刻画的是电磁相互作用的强度。比如在氢原子中，我们大致可以说电子绕原子核的速度是1/137再乘上光速。 阿蒂亚指出，理解精细结构常数只是最初的动机。在这个过程中发展出来的数学方法却可以理解黎曼猜想。 最后，在论文的最后，阿蒂亚说，精细结构常数与黎曼猜想，用他的方法，已经被解决了。当然他只解决了复数域上的黎曼猜想，有理数域上的黎曼猜想，他还需要研究。另外，随着黎曼猜想被解决，阿蒂亚认为，bsd猜想也有希望被解决。当然，现在阿蒂亚认为，引力常数G是一个更难理解的常数。 在黎曼猜想中，我们看到非平凡零点的实部都等于1/2，这是一个让人很意外的常数。虽然我们可以从一个简单的对称关系中看出为什么会出现1/2。 1-s=s，所以 s=1/2 人物简介 黎曼(Riemann，Gee Friedrich Bernhard，1826-1866，德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函式。他把通常的函式概念推广到多值函式，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了高斯的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括:复变函数在Abel积分和 theta函式中的套用，函式的三角级数表示，微分几何基础等。 黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断:Zeta函式的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函式论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

1、黎曼猜想是数学中的一个未解决问题，它涉及到素数分布的规律性问题。具体来说，黎曼猜想认为素数的分布性质可以用一个称为黎曼函数的复数函数来描述，而该函数的零点位置具有一定的规律性。2、该猜想由德国数学家Bernhard Riemann于1859年提出，至今没有得到严格证明。然而，黎曼猜想在数论、微积分、物理学等领域中都具有重要的应用价值，尤其是在现代密码学中。此外，黎曼猜想也被认为是数学中最困难、最重要的问题之一，其解决对于数学领域的发展具有重大意义。

　如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和　　σ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi　　叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1)　　存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。

黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 黎曼猜想是纯数学中最重要的未解决的证明，已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，下面我们来说说黎曼猜想。 详细内容 01 黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。 02 关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 03 黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数又称质数。质数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。质数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。

黎曼zeta函数是上面这个欧拉形式的解析延拓。而上面这个欧拉形式只是当s为s>1的实数时的形式。因此对于x=-2,-4等平凡零点，是不能套用上述公式的，而是套用解析延拓后的公式。

黎曼猜测是找到质数的一种方法。广义的黎曼猜测是德国数学家黎曼1859年提出的众多猜测之一。这是一个简单而特殊的功能，在数学中非常重要，因此，黎曼猜测一直被认为是猜测的任务。如果这一假设有任何突破，将产生许多重要结果。在代数数理论、代数工程、差分工程、动态系统理论等学科中，我们提供了所有类型的函数和扩展函数，每个都对应于“黎曼猜想”，其中一些已经被证明是黎曼。猜测，这使得这个分支获得突破性进展。我们可以想象，黎曼猜测及其概括是21世纪的主要问题之一。黎曼猜想是尚未解决的纯数学中最重要的证据，以及数学家数百年来目睹的瞬时波动，例如黎曼猜想。关于黎曼ζ主要功能ζ（s）零分布猜想，质数的频率和良好的RIMANA-Z属性和方程ζS密切相关。所有可能的解决方案=直线0。黎曼ζ复杂飞机中的所有非直觉零都位于重（s）-1/2的直线上。在研究黎曼的猜测时，运动员将重（s）-1/2的直线称为复杂飞机的临界线。使用该术语，黎曼ζ的猜测所有零都是一个不自然的函数，位于临界线上。这是黎曼在1859年提出的猜测。在他看来，黎曼的猜测似乎纯粹是一个复杂的减法函数，但我们很快就会看到，这实际上是一个关于减法的模糊运动。质数分布。黎曼的论文涉及一个长期以来对数学感兴趣的问题，即质数分布。总理也是总理。质数是2、5、19和137，只能被1和1整除。数字很重要非常重视数论的研究，因为大于1的正整数的所有分数都可以在产品中表示。在某种意义上，将它们放在数论中，就像用来构建世界上一切事物的原子一样。定义质数简单，可以在高中甚至小学教授，但分布很好，数学付出了很大努力，但到目前为止，还没有完全理解。

【黎曼假设】又名【黎曼猜想】，是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。

“千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 我想此时此刻谁的回答都是武断的，我只能说在不远的未来一定有人能告诉你。现在我只能说这是一个伟大的猜想。还需要真正的天才去证实。

黎曼猜想，即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。黎曼在１８５９年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。黎曼猜想是说： 　　素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都是很重要的问题。素数在自然数域中分布并没有一定规则。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与所谓黎曼ζ函数紧密相关。黎曼ζ函数的非平凡零点都在线 <math>operatorname z = frac</math> 上。　　1901年 Koch 指出，黎曼猜想与叙述 <math>pi left( x ight) = operatorname x + Oleft( {sqrt x ln x} ight)</math> 等价。　　现在已经验证了最初的1,500,000,000个解，猜想都是正确的。但是否对所有解是正确的，却没有证明，随着费马最后定理的获证，黎曼猜想作为最困难的数学问题的地位更加突出。　　黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、杨―米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为21世纪七大数学难题。2000年，美国克雷数学研究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏100万美元征求证明。 　　专家指出，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

黎曼猜想，即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。黎曼在１８５９年在论文《在给定大小之下的素数个数》中做出这样的猜想：ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。黎曼猜想是说： 　　素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都是很重要的问题。素数在自然数域中分布并没有一定规则。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与所谓黎曼ζ函数紧密相关。黎曼ζ函数的非平凡零点都在线 <math>operatorname z = frac</math> 上。　　1901年 Koch 指出，黎曼猜想与叙述 <math>pi left( x ight) = operatorname x + Oleft( {sqrt x ln x} ight)</math> 等价。　　现在已经验证了最初的1,500,000,000个解，猜想都是正确的。但是否对所有解是正确的，却没有证明，随着费马最后定理的获证，黎曼猜想作为最困难的数学问题的地位更加突出。　　黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、杨―米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为21世纪七大数学难题。2000年，美国克雷数学研究所将它们设为“千年大奖问题”，每个难题悬赏100万美元征求证明。 　　专家指出，黎曼假设一旦被攻克，将对加密学有帮助。其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

关于黎曼ζ(s)函数的全定义积分式有两大类共四种：1、第一类：ζ(s)的围道积分定义式.是全定义的，只有一种，这在卢昌海的《黎曼猜想漫谈》中说明得很清楚.2、第二类：ζ(s)的区间积分定义式.有三种：（1）ζ(s)的椭圆级数全定义积分式.由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得.（2）ζ(s)的黎曼变换对称积分式.是全定义的，有对称性，由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)进行黎曼变换而得.（3）ζ(s)的几何级数全定义积分式.由ζ(s)的几何级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得.黎曼ζ(s)函数的半定义积分式和对称积分式，在《数学百科词典》中有详细的介绍.其ζ(s)的椭圆级数全定义积分式和几何级数全定义积分式是本人在化简黎曼猜想的高等方程时发现的.

黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部份&gt; 1而且：在区域{s : Re(s) &gt; 1}上， 此无穷级数收敛并为一全纯函数。（上式中Re表示复数的实部。）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s&gt;1。[1] 波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s, s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学中（参看齐夫定律（Zipf&#39;s Law）和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law）），还有物理，以及调音的数学理论中。

黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ()的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为： 这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成： 其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示： 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1：Γ（s)=(s-1）！。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式： 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。黎曼猜想提出：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）>0.3474N（T）。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式： 文章 的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来No（T）=N（T），即证明了区域内的零点全部落在临界线上。C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的“黎曼猜想”。这也许是数学史上最大的冤案。

黎曼zeta函数的所有非平凡零点在一条直线上。如果只用文本写给你是什么意思，你自己都知道这是不可能的。黎曼假设和一般的数论猜想有一个不一样的地方。一般的数论的猜想没什么数学知识也可以理解，理解黎曼假设是需要一点复变函数的知识的，虽然其实也不多。黎曼zeta函数勉强可以写一下：ζ(s)=∑1/n^ss=σ+it很明显，σ>1时这个函数收敛到一个值。σ=1时发散。研究σ<1情况需要解析拓延整个复平面上，否则没什么趣味了。这里什么是“解析拓延”你可能就不清楚，实际上是使用一中函数变换使得ζ在全平面上有意义。那么什么是黎曼假设呢？我们知道（对你可能不明显，否则你不会到这里来让人用文字文本来解释了）所有负偶数时这个ζ(s)的零点，就是说ζ(s)在s取负偶数是为零（这是拓延后的事情，你先找本教科书弄清楚怎么拓延的）。但是黎曼通过一些计算发现，在σ=1/2的地方有一些分布相当不规则的零点，于是（黎曼的计算法建议去看专著，比如Edwards的一本——名字不记得了，好像叫Riemann"s Zeta Function）提出这样的零点在而且只在这条σ=1/2的线上，这条线被称为critical line这个函数，经过适当的变换，可以和数论中的几乎所有重要的数论函数（算术函数）有联系（比如它的倒数的展开式包含了莫比乌斯函数——你可以参考哈代的《数论导引》），所以Hadamard和de la Vallee Poussin使用ζ(s)在σ=1上没有零点证明了素数定理（可以看Apostol的《解析数论导论》）。并且，好像是von Koch吧，证明了在黎曼假设成立的情况下，素数定理将有最好的余项估计。我想跟你再说点别的。我在这里写的再多，也只是让你继续迷糊，你还是不知道这个问题的有多美和多深奥。你应该去读一本复分析的教科书，比如Alfors的，至少先入门。如果说哥德巴赫猜想已经成为平民化的问题——一打民间数学家说自己证明了哥德巴赫猜想，那么这个黎曼假设就是数学精英们才能研究的殿堂级问题，自从这个假设诞生以来，没有一个大数学家不为之倾心。你可以看这方面的科普书，但估计没什么帮助。在这个问题面前，没有捷径。

在数学中，我们可能会遇到许多任务，其中最常见的是边界和三角函数。多项式零是代数方程的根=0。根据基本代数理论，n-degree是代数方程n根，可以它们是真实的或根深蒂固的。因此，有两种类型的表现，即：当s是大于1的实数时，是一个收敛的无穷级数，产品处于边界状态，那么它是无限产品，而不是零形式：然而，知道黎曼延伸到整个复杂飞机并成为包含大量信息的复杂变量s并没有帮助。与许多边界一样，信息中包含的大多数信息都是从零到零的。它成为了头等大事。有两种类型的零，当s=-2-4-2时，一种是真零。一种是零复合物。黎曼的假设是，这些复杂零的真实部分，即这条线中所有复杂的零（后来被称为临界线）。这个看似简单的问题并不容易。从历史上看，从边界上找到零并不容易，尤其是代数方程的乘积。从特殊函数中找到零并不容易。85年前，哈代是第一个证明这条关键线上有许多零。十年前，我们知道五分之二的复杂零都在这条线上，到目前为止，还没有在这条线之外发现任何复杂的零。这是一个简单而特殊的函数，在数学中非常重要，这就是为什么黎曼假说总是被认为是从1到2的重要假说。如果这个假设有任何突破，就会有许多重要的结果。数论高斯在200年前提出的基本原理，通过100年前黎曼假说的重大突破得到了证明。如果黎曼假说得到充分证明，那么所有的解析数理论都将取得全面的进展。此外，许多任务和扩展被引入代数数理论、代数几何、差分几何、动态系统理论等。他们都有相应的“黎曼假说”，其中一些已经得到证明。这一分支使进步取得突破。可以想象，黎曼假说及其概括是21世纪的主要问题之一。

黎曼zeta函数公式：ζ(s)=∑n=1∞1nszeta(s)=sum。黎曼ζ函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。在区域{s:Re(s)>1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部分> 1而且：它亦可以用积分定义：在区域{s: Re(s) > 1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要的数学难题。目前有消息指尼日利亚教授奥派耶米伊诺克(OpeyemiEnoch)成功解决黎曼猜想，然而克雷数学研究所既不证实也不否认伊诺克博士正式解决了这一问题。历史上关于黎曼猜想被证实的闹剧时常传出，近日所谓黎曼猜想被尼日利亚籍教授证明的网文中并没有说明克雷数学研究所已经承认并授予奖金，克雷数学研究所官网目前并无任何表态，而学界专业评价趋于消极。

现在介绍这个猜想的文章都涉及到复变函数，解析延拓和非平凡零点一下子就把没学过的挡在外面了，这里我要做的是争取让具有一点点高数知识的人就能明白。 首先出个智力题 ∑(1/n^2)[n:1->∞]=1+1/4+1/9+……+1/n^2+……=? 不要试图用初等方法计算，学过高数的都知道了，这个结果是π^2/6。 结果很奇怪（其实很早以前数学家也感到奇怪）怎么和π搞到一起去啦？ 不理它，现在继续 ∑(1/n^4)[n:1->∞]=1+1/16+1/81+……+1/n^4+……=? 嗯，结果是π^4/90， 那么∑(1/n^6)[n:1->∞]是多少呢？π^6/945，好像有那么点规律，呵呵，实际上这个规律18世纪就得到了（有兴趣的可以回家做作练习，估计要练个一年半载的），就是 ∑(1/n^k)[n:1->∞，k:2，4，6，……]=-(2πi)^k B(k)/(2k!) 这是欧拉得到的最漂亮的结果之一（当然，他猜了好几年，证明了十几年）。但是又多出个i（就是i^2=-1那个），还有个B(k)。B(k)就是伯努利数，伯努利数没有一个通项公式，算起来也比较复杂，不过除了B(1)=-1/2,B(2k+1)都是0。前几位伯努利数是 B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 =1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66, B12 =-691/2730, B14 = 7/6,B16 = -3617/510, B18 = 43867/798, B20 = -174611/330…… 现在，我们把∑(1/n^k)[n:1->∞]表示为一个函数ζ(s)， 我们有ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945，ζ(k)=-(2πi)^k B(k)/(2k!)(k是偶数) 很自然的问题出来了，ζ(3)=？，ζ(5)=？，ζ(2k+1)=? 非常不幸，这个问题欧拉没搞清楚，现在也没人能够搞清楚。现在唯一知道的是ζ(3)是个无理数，而ζ(5)是有理数还是无理数都不清楚。有志者可以继续搞，呵呵。 但是这不是黎曼猜想。黎曼猜想却是由这个函数来的。现在我们把ζ(s)自变量变为复数。 定义 ζ(s)=∑1/n^s，n:正整数,1->∞，s是复数。 这就是著名的Zeta函数（前面那个希腊字母就读作Zeta）。这是一个级数，s要在整个复平面上跑，也就是说要取遍所有的复数。（当然，不知道当初为什么要研究这么个级数，反正越研究越复杂，越有乐趣，许多数论基本问题/代数基本问题/函数基本问题等等等等都和这个有关系） 现在解方程 ζ(s)=0。 首先我们知道，当这个s的实部大于一的时候，也就是Re(s)>1，ζ(s)绝对收敛，没有零点。 其次现在我们知道，s是负偶数的时候，ζ(s)=0 那么还有什么时候ζ(s)=0呢？黎曼说， 如果ζ(s)=0，并且0<=Re(s)<=1，那么Re(s)一定等于1/2。 这就是著名的黎曼猜想。

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。猜想简介　　黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ（s）的非平凡零点的实部都是0.5。 　　在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7，等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ（s）的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

差不多了

http://zh.freeglossary.com/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8http://cache.baidu.com/c?word=%C0%E8%3B%C2%FC%3B%BA%AF%CA%FD&url=http%3A//zh%2Efreeglossary%2Ecom/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8&b=0&a=14&user=baidu宇宙能量密度与黎曼ζ函数林文隆国立台湾师范大学物理系e-mail: wenlin2phy03.phy.ntnu.edu.tw摘要宇宙之演化由宇宙能量密度来决定,当我们在计算相对论性粒子之能量密度时,总会伴随著出现黎曼ζ函数,其数值通常由查表得知.如此一来,对黎曼ζ函数并无深入了解且对所得结果较缺乏感觉.事实上宇宙能量密度之推导过程非常适合作为物理系高年级学生及研究生课外自学题材,其中串联著许多数学的方法及概念,包括无穷级数,黎曼ζ函数,傅立叶级数,复变函数,柏努利数,解析数论及混沌理论等.本文浅述其推导过程以供参考.一,前言 今日宇宙之辐射(即相对论性粒子)由 2.728 K 之宇宙背景光子及三代 1.946 K 之微中子所构成.而处於热平衡状态之早期宇宙除了光子和微中子外尚有大量其他相对论性粒子,由於它们系处於热平衡状态,其能量密度 ρ 可表示成相空间分布函数 之积分(我们采用自然单位,即 )(1)上式中 表粒子自旋之自由度, 为粒子之能量,即 . 分布函数则与粒子之自旋有关,自旋为整数之玻子(例如光子)(2)自旋为半整数之费米子(例如微中子)则(3)对相对论性粒子而言, , 故能量密度 ρ 可简化成(4)上式中玻子用减号,费米子用加号.底下我们首先讨论玻子能量密度如何计算.令(自然单位), , 则 ρ 可改写为(5)查表得方程式(5)中之积分式(6) 故(相对论性玻子) (7) 二,宇宙能量密度与黎曼ζ函数通常我们直接由查表得知 之数值,当我们深入探讨何以方程式(6)之定积分等於 时,将会发现这是一个非常有趣的数学问题.事实上它可表示成一个特殊的无穷级数称之为黎曼函数.首先将方程式(6)之分母展开(8)连续利用部份积分得(9) 故 (10)上式中ζ(4) 系 s = 4 之黎曼ζ函数ζ(s),其定义如下, s >1 (11)上式定义中之无穷级数只有当 s > 1 时方为收敛.其近似值可由无穷级数前几项之和得到,例如由前十项之和即可得到ζ(4)之有效数值至第四位 ζ(4) =1.082….当s为偶数时, ζ(s) 之精确值可利用傅立叶级数求得.以ζ(4)为例,我们首先在 之范围求出 及 之傅立叶级数(12)(13)令 代入 之傅立叶级数即得(14)再用 代入 之傅立叶级数得(15)将ζ(2)值代入得 (16)故 (17)之值亦可由下法快速求得.设函数之傅立叶级数为(18)则 (19)上式在数学中称为帕斯维尔等式 (Parseval"s identity), 在物理学则叫做能量定理 (energy theorem),因为其物理意义可解释为一个波之总能量等於其各傅立叶分量能量之和.令 并将其傅立叶级数展开之系数代入帕斯维尔等式得(20)故 (21)三,黎曼ζ函数与白努利函数黎曼ζ函数与白努利函数有密切关联,当 为偶数时, 之值亦可由白努利数求得.白努利函数 及白努利数 之定义如下(22)(23)换言之,白努利数 系 s 等於零时之白努利函数值(24)例如(25)(26)将方程式(23)连续微分得(27)又经由一些简单的运算可导出下列递推关系式 (recursion relations)(28)(29)上式中 (30)由方程式(27)即可求得 . 将此二值代入方程式(27),即可看出. 当 为已知时,利用递推关系式很容易求得 之值.例如用 代入方程式(29)得, 故 (31)再令 代入得, 故 (32)经由复变函数理论之解析延续 (analytic continuation), 由方程式(23)吾人得到下列泰勒级数(33)故 (34)上式中之系依反时针方向绕著原点之封闭路径,且 .将积分路径变形并利用馀数定理 (theorem of residues) 即可得到当 时(s odd) (35)(s even) (36)因此当为偶数时,我们得到柏努立数与黎曼ζ函数之关系如下(37)此关系式系由数学家欧拉 (Euler) 所发现.由此式很明显可看出当 ,.白努利数经常出现在数论 (number theory) 当中.且有一个数论方面的定理说(38)其中 为整数, 为质数.例如 (39)在许多超越函数的无穷级数展开都会用到白努利数.我们的目的则在利用方程式(37)求出黎曼ζ函数之值,例如将 代入即得 .四,费米子能量密度之计算一旦玻子能量密度之公式已知,费米子之能量密度可用下述之技巧快速导出.根据方程式(4)相对论性费米子之能量密度 ρ 可写为(40)其中 (41)将 及 之积分式相减得(42)令得 (43) 故 (44)即 (相对论性费米子) (45)方程式(44)很容易推广为(46)由此式可知当自旋自由度相同时,费米子数目密度等於玻子数目密度乘以.我们都知道早期宇宙之演化情形主要由各种相对论性粒子之能量密度及数目密度来决定,故将其公式整理如下:(47)(48)其中能量密度公式之ζ(4)已用精确值 代入,而数目密度中之ζ(3)之近似值为.五,黎曼ζ函数与解析数论黎曼函数ζ(s)在解析数论方面也扮演著一个很重要的角色,这是因为经由解析延续,成为复变数 s 之复函数,而数论中质数的渐进分布则与黎曼ζ函数等於零的复数根有直接的关系.黎曼曾提出一个有名的猜想 (Riemann"s conjecture): 除了-2,-4,…等实数根之外,所有黎曼ζ函数有意义的根(指复数根)均落在 之临界线上 (critical line).黎曼猜想的证明十分困难, 1900 年在巴黎举行的第二届国际数学家会议,著名德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 提出23个重要而尚未解决的数学问题,他预测这些问题的研究将构成二十世纪数学的主流,希尔伯特所列的第八个问题就是黎曼猜想.可惜事隔一百年,黎曼猜想迄今仍未获得证明.不过研究显示至少最前面十五亿个根都满足黎曼的猜想,也就是说它们均落在临界线上.黎曼ζ函数不仅在解析数论方面扮演著重要的角色,最近的研究更显示出此函数在临界线上根的分布情形和混沌理论 (chaos) 有密切的关联.提到黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866),这位十九世纪出生在德国汉诺瓦之数学家,人们总会联想到他在数学上另外两大贡献: 他在 1851 年的博士论文 "Foundations for a general theory of a complex variable" 中建立了复函数黎曼面 (Riemann surfaces) 之理论基础；及在 1854 年在哥廷根大学题为 "On the Hypothesis That Form the Foundations of Geometry" 的就职演讲,他建立了一门新数学即黎曼几何(Riemannian geometry),此为后来爱因斯坦研究广义相对论时之数学基础.可惜黎曼因得了肺病,英年早逝,否则其在数学上之贡献当不止於此.

这个要运用黎曼函数在复平面上的解析拖延来解释. 黎曼假设： 黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2.即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上. ”Riemann 猜想漫谈“

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学中（参看齐夫定律（Zipf"s Law）和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law）），还有物理，以及调音的数学理论中。

解答：（1）证明：因为|cost|≥0所以：当nπ≤x＜（n+1）π时，有∫nπ0|cost|dt≤∫x0|cost|dt＜∫(n+1)π0|cost|dt又因为：cost为周期2π的周期函数；易知：|cost|是周期为π的周期函数．因为周期函数在任意一个周期内的积分相等，即：∫π0|cost|dt=∫x+πx|cost|dt根据积分的可加性有：∫nπ0|cost|dt=n∫π0|cost|dt=n∫π2?π2|cost|dt=n∫π2?π2costdt=nsint|π2?π2=2n．所以有：∫(n+1)π0|cost|dt=2（n+1）所以有：2n≤∫x0|cost|dt＜2（n+1）即：2n≤s（x）＜2（n+1）命题得证．（2）解：根据（1）有：2n≤s（x）＜2（n+1）n为正整数，且nπ≤x＜（n+1）π时，有：2nx＜s(x)x＜2(n+1)x显然有：2n(n+1)π＜2nx＜s(x)x＜2(n+1)x＜2(n+1)nπ当x→∞，即n→∞时：limn→∞2n(n+1)π=2πlimn→∞2(n+1)nπ=2π根据夹逼定理有：limx→∞s(x)x=2π．故所求函数值为：2π．

关于黎曼ζ(s)函数的全定义积分式有两大类共四种：1、第一类：ζ(s)的围道积分定义式.是全定义的，只有一种，这在卢昌海的《黎曼猜想漫谈》中说明得很清楚.2、第二类：ζ(s)的区间积分定义式.有三种：（1）ζ(s)的椭圆级数全定义积分式.由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得.（2）ζ(s)的黎曼变换对称积分式.是全定义的，有对称性，由ζ(s)的椭圆级数半定义积分式(ReS＞1)进行黎曼变换而得.（3）ζ(s)的几何级数全定义积分式.由ζ(s)的几何级数半定义积分式(ReS＞1)通过解析开拓而得. 黎曼ζ(s)函数的半定义积分式和对称积分式，在《数学百科词典》中有详细的介绍.其ζ(s)的椭圆级数全定义积分式和几何级数全定义积分式是本人在化简黎曼猜想的高等方程时发现的.

黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)　从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。

对于正整数k，以下等式恒成立：ζ(2k)=|B(2k)|·(2π)^(2k)/(2*(2k)!)这就是黎曼ζ函数与伯努利数的关系。其中，π是圆周率，^是次方，!是阶乘，|x|是x的绝对值，B(i)是第i个伯努利数。

不一定,比如 ζ(0)=-1/2,ζ(-1)=-1/12,ζ(-2)=0,ζ(-3)=1/120,ζ(-4)=0,…

你说的级数定义在s=1时就发散了，更不用说s=-2，这个函数在其他复数值的定义是用一种叫做解析开拓的方法。用个简单的例子说明：1-x+x^2-x^3+...，这个级数在(-1,1)是收敛的而且等于1/(1+x)，那么我们就可以用后面这个函数表示前面级数在除了x=-1以外整个复平面的解析开拓。Zeta函数也是这种情况，不过更复杂而已。

对任意的d>1，考虑在【d，正无穷）上有0<1/n^x<=1/n^d，因为d>1，故级数(n=1到无穷)1/n^d收敛，于是由Weierstrass判别法知道函数项级数(n=1到无穷)1/n^x在【d，正无穷）上一致收敛，显然1/n^x在【d，正无穷）上连续，于是和函数Zeta(x)在【d，正无穷）上连续。由d的任意性知道Zeta(x)在（1，正无穷）上连续。证毕。

出品：科学大院作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）监制：中国科学院计算机网络信息中心 中国科普博览德国著名数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）1900年，大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，它为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁，值千禧年之际，美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。当我们回顾这次跨越时空的呼应时，却发现有一个共同的问题，并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。黎曼猜想究竟有何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕？在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密？破译这样一个难题，真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗？质数探索在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数，在自然数的汪洋大海里不时抛头露面后，给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去。1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。横空出世虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。黎曼Zeta函数黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）。为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面。研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。

这是一个误传，严格的数学表达是黎曼Zeta函数在-1处的解析延拓值等于-1/12，黎曼Zeta函数对一个复数z的定义为所有正整数的-z次方之和，这个级数在-1处（所有正整数的和）是不收敛的，事实上该级数对所有实部小于1的复数都发散，但利用复变函数中的解析延拓方法可以将这个函数唯一的延拓到整个复数平面上，所得的函数在-1处的值为-1/12，于是就有些书不区分延拓部分和原来的定义，直接写所有正整数的和等于-1/12。3B1B做过一期科普这个，也解释了解析延拓的基本逻辑

黎曼zeta函数是上面这个欧拉形式的解析延拓。而上面这个欧拉形式只是当s为s>1的实数时的形式。因此对于x=-2,-4等平凡零点，是不能套用上述公式的，而是套用解析延拓后的公式。

黎曼猜想是纯数学中最重要的未解决的证明，已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，下面我们来说说黎曼猜想。 简要答案 关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 详细内容 黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。 关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数又称质数。质数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。质数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。

方法很多，我只说两个Riemann原始的方法吧。方法一：他证明Γ(s)ζ(s)是x^(s-1)/(e^x-1)dx从0到无穷大的积分，然后他把后者解析开拓，因为Γ(s)是熟知的，所以将ζ(s)解析开拓至复平面（除了s=1）。方法二：他借助一个Jacobi为研究椭圆函数和模函数而引入的θ函数（Riemann记为ψ(x)），由Jacobi的一个等式（此等式是Poisson求和法的一个直接结果）推出函数方程，然后得到解析开拓。 附带一说，Zeta函数和模函数的联系是深刻而微妙的，除了上面所说的，还可以举出Deligne证明Weil猜想中的Riemann猜想类比的一个副产物就是证明了一个模函数的Ramanujan猜想。

所谓黎曼函数R(x)，是定义在区间0~1上的一个构造函数:当x是有理数p/q(p、q为互质整数)时,R(x)=1/q;当x是无理数时，R(x)=0.黎曼函数是由黎曼进行定义，用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的。如:黎曼函数在(0，1)内所有无理数点处连续，在所有有理数点处间断。每一点处都存在着极限，且极限都是0(可见间断点都属第一类中的可去间断点)。这个函数在[0，1]上可积，它在[0，1]上的定积分为0，等等。下面将对黎曼函数的间断点是第一类间断点中的可去间断点进行证明。先证明对于(0，1)中的任意一点a，当x→a时，limR(x)=0,这是因为，对任意正数ε，要使|R(x)-0|>ε成立，x显然不能取为无理数，因为x为无理数时，R(x)=0,不可能让0大于正数ε。而当x为有理数p/q时，R(x)=1/q.而要|R(x)-0|>ε成立,即1/q>ε,q<1/ε.但明显地，使这一式子成立的正整数q不会超过[1/ε],只有有限个。那么，形如p/q的这种最简真分数的个数也最多只有有限个。设这些有理数分别记为x1,x2,……，xk.然后，我们在|x1-a|、|x2-a|、……、|xk-a|中通过比较，一定能选择出最小的正数|Xi-a|，并令δ=|xi-a|/2.即存在着正数δ，当0<|x-a|<δ时，|R(x)-0|<ε.所以，x→a时，R(x)→0.利用这一结论知，当a为无理数时，R(x)在x=a处因极限值等于函数值，故而连续;当a为有理数点时，虽然R(x)在x=a处有极限0，但函数值R(a)不为0，从而x=a成为R(x)的第一类间断点中的可去间断点。证毕。望采纳

即为素数只能被1和本身整除的数有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：zeta函数的零点都在直线res(s)=1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

黎曼zeta函数公式：ζ(s)=∑n=1∞1nszeta(s)=sum。黎曼ζ函数主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。在区域{s:Re(s)>1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部分> 1而且：它亦可以用积分定义：在区域{s: Re(s) > 1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示复数的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s,s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。

猜想内容黎曼观察到，素数的 频率 紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。 黎曼ζ 函数 ζ(s) 是 级数 表达式[8] 在 复平面 上的 解析延拓 。之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于 复平面 上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则 级数 不 收敛 ）。黎曼找到了这一表达式的 解析延拓 （当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代 复变函数论 术语）。运用 路径积分 ，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：[8] 揭示黎曼手稿中zeta函数的真相 ．百度文库．2015-08-16[引用日期2015-12-19]黎曼几何(riemannian geometry)是 非欧几何 的一种，亦称“ 椭圆几何 ”。德国数学家 黎曼 ，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。1. Millennium Problems ．克雷数学研究所[引用日期2015-08-21]2. 尼日利亚教授成功解决世界著名难题黎曼猜想 ．网易新闻[引用日期2015-11-21] 3. 数学领域的头号难题——黎曼假设是否已被解决 ．光明网[引用日期2016-03-16] 4. Dr Enoch Did Not Prove The Riemann Hypothesis. ．u20a6airaland Forum[引用日期2016-03-16] 5. 论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）——谢国芳译注 ．语数之光[引用日期2015-08-21]

具体回答如图：扩展资料：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

（x-1/2）e^（x^2）+c∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。积分：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

黎曼可积的必要条件是有界。若f无界，任意划分至少有一个区间上f无界，若我们在该区间内取使得f无界的点，就不满足不等式，即不满足极限的有界性，从而黎曼和的极限不是有限值，从未黎曼和不收敛，从而不能黎曼可积。故：f一定有界。考虑无界函数的广义黎曼积分，它是黎曼积分的极限，是黎曼和的极限的极限，所以广义黎曼积分不是黎曼积分，所以广义黎曼函数其中就包含了无界函数。黎曼可积的性质：如果函数在区间[a,b] 上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a,b] 上的积分也大于等于零。如果在区间[a,b]上几乎处处大于等于0，并且它的积分等于0，那么几乎处处为0。[a,b]上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

（x-1/2）e^（x^2）+c∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。积分：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

具体回答如下：如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。扩展资料：对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。

《素数之恋》（(美)约翰·德比希尔）电子书网盘下载免费在线阅读链接：https://pan.baidu.com/s/1xvgJmIWiXQnTkFYTbYgQ2w 密码：uvjl书名：素数之恋作者：(美)约翰·德比希尔译者：陈为蓬豆瓣评分：9.1出版社：上海科技教育出版社出版年份：2008-12-01页数：398内容简介：1859年8月，没什么名气的32岁数学家黎曼向柏林科学院提交了一篇论文，题为“论小于一个给定值的素数的个数”。在这篇论文的中间部分，黎曼作了一个附带的备注——一个猜测，一个假设。他向那天被召集来审查论文的数学家们抛出的这个问题，结果在随后的年代里给无数的学者产生了近乎残酷的压力。时至今日，在经历了150年的认真研究和极力探索后，这个问题仍然悬而未决。这个假设成立还是不成立？已经越来越清楚，黎曼假设掌握着打开各种科学和数学研究之大门的钥匙，但它的解答仍诱人地悬在那里，正好让我们伸手够不着。依赖于素数特性的现代密码编制术和破译术，其根基就在于这个假设。在1970年代的一系列非凡性进展中，显示出甚至原子物理学也以尚未被完全了解的方式与这个奇怪难题扯上了关系。在《素数之恋》中，极其明晰的数学阐释文字与行文优雅的传记和历史篇章交替出现，它对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，而这个谜还将继续挑战和刺激着世人。作者简介：根据所受的教育，约翰·德比希尔（John Derbyshire）是一位数学家和语言学家；根据所从事的职业，他是一位系统分析师；而在业余时间，他是一位著名的作家。他的成名作是《梦见柯立芝》（Seeing Calvin Coolidge in a Dream），这部l996年出版的小说大受人们欢迎，亚德利（Jonathan Yardley）在《华盛顿邮报·图书世界》（Washington Post Book World）上对它赞赏有加，《纽约时报·书评》（The New York Times Book Review）、《纽约客》（The New Yorker）、《波士顿环球报》（The Bosun Globe）等报刊也一致给予好评。他的作品还频繁出现在《国家评论》（National Review）和《新标准》（The New Criterion）杂志上。德比希尔在英国出生并成长．约20年前来到美国安家。他目前和妻子及两个孩子住在纽约的亨廷顿。

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。 要使得“越来越‘精细"”有效，需要把λ趋于0。如此[xi,xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值 ，就有： }- 也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。 这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。 另一个定义: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有： }- 这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足 }- 其次，如果有一个S满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 。令r等于，其中Mi和mi是f在[xi,xi + 1]上的上确界和下确界。再令δ是和}-中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ时， f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和S至多相差ε。

∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。扩展资料：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

解：分析：黎曼个P，说起这个就火大！明明就是牛顿先提出来的，记住：以后叫牛莱公式！（呵呵）根据定积分定义：1）上式中显然有n等份，而且每个区间Δx=1/n，设该函数的区间是：[p,q](q>p)，那么显然：q-p=12）考查的函数是：sinbx，函数在n个等份的区间中对应的取值是：sin(ib/n)，其中i=1,2,3....n而：如果在[p,q]区间中，显然，每个等份区间中的取值是：sin[p+(q-p)ib/n]3）由上述可知：p=0，q=1因此：原极限=∫(0,1)sinbxdx=cosbx/b|(1,0)=(1-cosb)/b

线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果和在区间上黎曼可积，和是常数，则： 由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。 正定性：如果函数在区间上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在上的积分也大于等于零。如果在区间上几乎处处大于等于0，并且它在上的积分等于0，那么几乎处处为0。 可加性：如果函数在区间和上都可积，那么在区间上也可积，并且有 无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。 上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。 如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。 如果是上的一个一致收敛序列，其极限为，那么： 如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。

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∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。扩展资料：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

需要使用中点黎曼和并且让黎曼和的子区间分成三份等长的区间，所以区间划分为10到30，30到50，50到70，然后每一段长方形的面积通过底乘高的方法求解。底就是区间长度20，高就是中点的函数值，分别为22，35，44，所以最后求和等于2020.左黎曼和就是在上面的各个区间中，取每个区间的左端点函数值作为高，右黎曼和就是取右边的函数值。还有梯形的黎曼和，取得是左右两边的平均值，或者可以理解为梯形面积公式。

对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割、的黎曼和定义为以下和式：和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细"”有效，需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值，就有： 也就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。另一个定义: 是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有：这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于，于是满足其次证明满足第二个定义的也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分（达布积分那一文章里并没有说明这个原因，来源请求）。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超过。令等于，其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于时，关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和至多相差。由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

（x-1/2）e^（x^2）+c∫e^（x^2）dx=xe^（x^2）-∫xe^（x^2）dx=xe^（x^2）-1/2∫e^（x^2）dx^2=xe^（x^2）-1/2e^（x^2）+c=（x-1/2）e^（x^2）+c对于一个函数f，如果在闭区间[a，b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a，b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。积分：积分是线性的，如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细"”有效，需要把λ趋于0。如此[xi,xi + 1]中的函数值才会与f(ti)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在δ > 0，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值足够小 ，就有：}-也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。另一个定义: S是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε > 0，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有：}-这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足}-其次，如果有一个S满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 。令r等于，其中Mi和mi是f在[xi,xi + 1]上的上确界和下确界。再令δ是和}-中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ时， f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和S至多相差ε。 黎曼积分是线性变换；也就是说，如果f和g在区间[a,b]上黎曼可积，α和β是常数，则：[a,b]上的实函数f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。如果[a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。如果fn是[a,b]上的一个一致收敛序列，其极限为f，那么：如果一个实函数在区间[a,b],上是单调的，则它是黎曼可积的。 黎曼积分可推广到值属于n维空间的函数。积分是线性定义的，即如果，则。特别地，由于复数是实数vector space，故值为复数的函数也可定义积分。黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分(improper integral)一样。我们可以令不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果向左或向右平移一个函数，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令f(x) = 1 若x > 0，f(0) = 0，f(x) = u2212 1若x < 0。则对所有x.但如果我们将f(x)向右平移一个单位得到f(x u2212 1)，则对所有x > 1，我们得到. 此时，如果尝试对上面的f积分，我们得到，因为我们先使用了极限。如果使用相反的极限顺序，我们得到。这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令fn(x) = 1 / n在[0,n]上，其它域上等于0。对所有n，。但fn一致收敛于0，因此的积分是0。因此。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对瑕积分(improper integral)不适用。这限制了黎曼积分的应用。一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock-Kurzweil integral。扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子xi u2212 xi + 1，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是Riemann-Stieltjes integral所采用的方法。

用级数求和以及极限的思想，求黎曼和

黎曼1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。 l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。 1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。解析数论跨世纪的成果 19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。 黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。代数几何的开源贡献 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。 黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。 黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，…… 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

问题出在XX(c)--- c必须为正整数 (因为其意义是XX数组里的第c个数)诸如XX(-5), XX(0.1) 等都是没有意义的而由于你的XX数组是由t=-10:0.01:10得来因此不用再分step(例如XX(11) 就是f(-9.9)了)因此只要将for k=1: step c=-10+k*dx;value=value + ((abs(XX(c))).^2);end改成for k=1: stepvalue=value + ((abs(XX(k))).^2);end就行了

黎曼积分可推广到值属于维空间的函数。积分是线性定义的，即如果，则。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令若，，若。则对所有 . 但如果我们将向右平移一个单位得到，则对所有，我们得到 . 由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：此时，如果尝试对上面的积分，我们得到，因为我们先使用了极限。如果使用相反的极限顺序，我们得到。这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令在上，其它域上等于0。对所有，。但一致收敛于0，因此的积分是0。因此。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

定积分就是黎曼积分

定积分最初是一个记号，也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些），当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量，但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后，理解和应用来了个180度转弯，一般不再用积分和（定义）去求积分，而是用N-L公式，而且积分表达式用的远远多于极限式。定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分，而在于N-L公式

分子的首项2^(b/n)=x，那么分子Sn=x+x^2+……+x^(n-1)+x^n=2^(b/n)[2^(nb/n)-1]/[2^(b/n)-1](打字不便，将lim下面的n→+∞或y→0省略)∴ 原极限式=lim2^(b/n)*(2^b-1)*(1/n)/[2^(b/n)-1]=lim[2^(b/n)*(2^b-1)]*lim(1/n)/[2^(b/n)-1]=(2^b-1) lim(1/n)/[2^(b/n)-1]=(2^b-1)limA而limB=limy/[2^(by)-1] 0/0型可用罗比达法则=lim1/[2^(by)*ln(2^b)]=1/(bln2)显然，A（n→+∞）是从函数B（y→0）中抽出的一个子列，所以A的极限等于B的极限原极限式=(2^b-1)/（bln2)

假设f（x）的反导函数为F（x），实际上就是f（x）d（x）=△F（x）。假设在区间上分别有x1x2x3.。。。。。xn，则从x1到x2的定积分=F（x2）-F（x1）+F（3）-F（2）+F（4）-F（3）+。。。+F（n）-F（n-1）=F（n）-F（1）

定积分最初是一个记号,也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些）,当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量,但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后,理解和应用来了个180度转弯,一般不再用积分和（定义）去求积分,而是用N-L公式,而且积分表达式用的远远多于极限式.定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分,而在于N-L公式

定积分最初是一个记号,也就是用来表示黎曼和的极限（那时积分的唯一作用就是表达式简单些）,当时人们常用取极限的方式计算面积、路程等一些量,但自从Newton等利用积分上限函数作为工具发现微积分基本公式后,理解和应用来了个180度转弯,一般不再用积分和（定义）去求积分,而是用N-L公式,而且积分表达式用的远远多于极限式. 定积分的关键不在于为什么黎曼和的极限=定积分,而在于N-L公式

解：分析：黎曼个P，说起这个就火大！明明就是牛顿先提出来的，记住：以后叫牛莱公式！（呵呵）根据定积分定义：1）上式中显然有n等份，而且每个区间Δx=1/n，设该函数的区间是：[p,q](q>p)，那么显然：q-p=12）考查的函数是：sinbx，函数在n个等份的区间中对应的取值是：sin(ib/n)，其中i=1,2,3....n而：如果在[p,q]区间中，显然，每个等份区间中的取值是：sin[p+(q-p)ib/n]3）由上述可知：p=0，q=1因此：原极限=∫(0,1) sinbxdx=cosbx/b|(1,0)=(1-cosb)/b

你画错了，，Δx=-2uΔu带进去化成了∑2(3u^2-u^4)Δu然后令u=3k/n , Δu=3/n化成了lim(n趋于无穷）∑2(3(3k/n)^2-(3k/n)^4)*(3/n) 对k在1到n叠加如果求这个定积分原式=2 ∫（0到3）(3u^2-u^4)du =-216/5

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和 σ(f；p,ζ):=∑ f(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。

黎曼，是德国十分优秀的数学家，物理学家。它的几何方面比较的好，十分擅长。所以说他后来还开创了黎曼几何定律，但是他在打三次去意大利的时候因为感染了肺结核不行的去世了，这也是全球数学物理领域的损失。

对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割 、的黎曼和定义为以下和式：}-和式中的每一项是子区间长度xi + 1 u2212 xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

求积分:算由y=x,y=0,x=a,x=b,围成的面积. 面积微元为:ydx,对其求a到了的积分并将y=x带入,得1/2*b*b-1/2*a*a

黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义,而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割,则和 σ(f；p,ζ):=∑ f(ζi)ΔXi 叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和,其中ΔXi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ),只要分化P的参数λ(P)

因为孩子流产,孩子流产是导火索,所以黎曼和姜逸城分手了。《程序员那么可爱》由吴强执导，邢昭林、祝绪丹领衔主演，易大千、田依桐、关芯、盛朗熙、骏声等主演的都市爱情剧。该剧根据超人气漫画《程序媛哪有这么可爱》改编，讲述了异承科技CEO姜逸城和女程序员陆漓因程序代码结缘，又在机缘巧合下开启了一次次“修复Bug”的心动挑战，展开了一场温馨甜蜜的爱情罗曼史。剧情简介故事讲述了女程序员陆漓（祝绪丹饰）追求职业理想，努力投身编程领域，凭借过硬简历和惊人智慧搞定学长姜逸城（邢昭林饰），成功进入姜逸城建立的创业公司，还帮姜逸城摆平无数难缠相亲。陆漓和姜逸城因程序代码结缘，又在机缘巧合下成为同居室友。可爱女程序员和傲娇自恋总裁在相处中斗智斗勇触发心动代码，上演了一场温馨甜蜜的爱情罗曼史。

右黎曼和公式：sin[p+(q-p)ib/n]。需要使用中点黎曼和并且让黎曼和的子区间分成三份等长的区间，所以区间划分为10到30，30到50，50到70，然后每一段长方形的面积通过底乘高的方法求解。底就是区间长度20，高就是中点的函数值，分别为22，35，44，所以最后求和等于2020。黎曼积分不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细"”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细"”有效，需要把趋于0。如此中的函数值才会与接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

格罗滕迪克。您好，黎曼和格罗滕迪克中格罗滕迪克厉害。正解，望采纳！谢谢您的支持！也感谢审核员大大！

结论推出。定积分是求是函数在区间a，b上积分和的极限，矩形数越多，定积分的极限求和越来越接近矩形的准确面积。可以推出定积分就是黎曼和的极限。