排队论

死记硬背...可以推出来的，过程也不是很复杂，就是太浪费时间

http://math.ecnu.edu.cn/~mkgong/cours_glycx/d5j_pdl_3.doc 非常完整的文档 就是带进公式计算了 你根据里面的几个例子看看你是哪一个的

应该是min Z={200K+4800*3/(1+0.5K-3)}，因为Ls=λ/(μ-λ),总费用=200k+4800Ls即可求出_K*,Z*

M/M/C 型 清华出版社的《运筹学》332页 自己套公式吧 若搬走一台机器属于M/M/1/N 其中ρ=1型 w（s）=（N+1）/2λ

服务强度小于1说明你的服务能力大于顾客前来接受服务的强度，所以你当前的系统是满足所需条件的，当前的指标就是合理的！

饥荒海难行为排队论mod使用方法如下下载并解压压缩包。将解压获得的Geometric Placement文件夹复制到游戏目录下mods文件夹内。进入游戏，进入MODS选项，选中几何mod，第一次适用mod的玩家会提示重启游戏，按提示关闭游戏重开就可以了，勾上mod后。

k是参数, 是序列p的下标.k! = k * (k-1) * (k-2) * ... * 2 * 1.

1、从模组中下载列队行为学mod。2、进入游戏，点击模组。3、勾选列队行为学。4、点击应用。5、开始游戏，用铲子挖我们要种植的作物。6、左键拖动作物，按住shift+鼠标左键选择要种植的区域。7、最后送开鼠标，就可以批量自动种植了。

平时推导出公式，这样就容易理解了。再多做练习，加深记忆。考试为了节省时间，把记忆模糊的公式抄在草稿上或手上。嘿嘿…我就是这样的。

M/M/m排队系统性能仿真代码matlab function r=randexp(lambda) r = -lambda*log(rand);说明同上%mmm simulation in matlabclc;clear;ST_Idle=0;ST_Busy=1;EV_NULL=0;EV_Arrive=1;EV_Depart=2;EV_LEN=3;Q_LIMIT=1000;% next_event_type=[];% next_depart=[]% num_custs_delayed=[];% num_delays_required=[];% num_events=[];% num_in_q=[];% server_status=[];% area_num_in_q=[];% area_server_status=[];% mean_interarrival=[];% mean_service=[];% sim_time=[];% time_last_event=[];% total_of_delays=[];% time_arrival=[]; %到达时刻time_next_event=zeros(1,EV_LEN);%仿真参数num_events=EV_LEN-1;num_server=3; %M/M/m m=2mean_interarrival=1;mean_service=.5;num_delays_required=2000; %outfile=fopen("MM m.txt","w");fprintf(outfile, "Multiple-server queueing system ");fprintf(outfile, "Mean interarrival time%11.3f minutes ",mean_interarrival);fprintf(outfile, "Mean service time%16.3f minutes ", mean_service);fprintf(outfile, "Number of servers%20d ", num_server);fprintf(outfile, "Number of customers%14d ", num_delays_required);%part1 initializesim_time=0.0; %/* Initialize the state variables. */ server_status =zeros(1,num_server); %idle num_in_q = 0; time_last_event = 0.0; %/* Initialize the statistical counters. */ num_custs_delayed = 0; total_of_delays = 0.0; total_of_time = 0.0; area_num_in_q = 0.0; area_server_status = 0.0; %/* Initialize event list. Since no customers are present, the departure %(service completion) event is eliminated from consideration. */ time_next_event(EV_Arrive) = sim_time + randexp(mean_interarrival); time_next_event(EV_Depart) = 1.0e+230; time_depart=zeros(1,num_server); next_depart=0;%part2 while (num_custs_delayed < num_delays_required)%Run the simulation while more delays are still needed. %/* Determine the next event. */ min_time_next_event = 1.0e+290; next_event_type = 0; % Determine m depart event min_time_depart=1e290; next_depart=-1; for i=1:num_server if(server_status(i)==1 & time_depart(i)<min_time_depart) min_time_depart=time_depart(i); next_depart=i; end end time_next_event(2)=min_time_depart;% %/* Determine the event type of the next event to occur. */ for i = 1: num_events if (time_next_event(i) < min_time_next_event) min_time_next_event = time_next_event(i); next_event_type = i; end end %/* Check to see whether the event list is empty. */ if (next_event_type == 0) %/* The event list is empty, so stop the simulation. */ fprintf(outfile, " Event list empty at time %f", sim_time); exit(1); end %/* The event list is not empty, so advance the simulation clock. */ sim_time = min_time_next_event;%/* Update time-average statistical accumulators. */ double time_since_last_event; %/* Compute time since last event, and update last-event-time marker. */ time_since_last_event = sim_time - time_last_event; time_last_event = sim_time; %/* Update area under number-in-queue function. */ area_num_in_q=area_num_in_q + num_in_q * time_since_last_event; %/* Update area under server-busy indicator function. */ for i=1:num_server area_server_status =area_server_status + server_status(i) * time_since_last_event; end %/* Invoke the appropriate event function. */%arrival if(next_event_type==EV_Arrive) double delay; %/* Schedule next arrival. */ time_next_event(1) = sim_time + randexp(mean_interarrival); %/* Check to see whether server is busy. */ s_idle=-1; for i=1:num_server if (server_status(i) == ST_Idle) s_idle=i; break; end end %/* all Server is busy, so increment number of customers in queue. */ if(s_idle== -1 ) num_in_q=1+num_in_q; %/* Check to see whether an overflow condition exists. */ if (num_in_q > Q_LIMIT) %/* The queue has overflowed, so stop the simulation. */ fprintf(outfile, " Overflow of the array time_arrival at"); fprintf(outfile, " time %f", sim_time); exit(2); end %/* There is still room in the queue, so store the time of arrival of the arriving customer at the (new) end of time_arrival. */ time_arrival(length(time_arrival)+1)=sim_time; else %/* Server is idle, so arriving customer has a delay of zero. (The following two statements are for program clarity %and do not affect the results of the simulation.) */ delay = 0.0; total_of_delays =total_of_delays + delay; %/* Increment the number of customers delayed, and make server busy. */ num_custs_delayed = 1 + num_custs_delayed; server_status(s_idle) = ST_Busy; %/* Schedule a departure (service completion). */ time_depart(s_idle) = sim_time + randexp(mean_service); end % if (server_status == ST_Busy) %depart else double delay; %/* Check to see whether the queue is empty. */ if (num_in_q == 0) % /* The queue is empty so make the server idle and eliminate the departure (service completion) event from consideration. */ server_status(next_depart) = ST_Idle; time_depart(next_depart) = 1.0e+230; %check_depart() min_time_dapart=1e290; next_depart=-1; for i=1:num_server if(server_status(i)==1 & time_depart(i)<min_time_depart) min_time_depart=time_depart(i); next_depart=i; end end time_next_event(2)=min_time_depart; else %/* The queue is nonempty, so decrement the number of customers in queue. */ num_in_q=num_in_q-1; %/* Compute the delay of the customer who is beginning service and update the total delay accumulator. */ delay = sim_time - time_arrival(1); total_of_delays =total_of_delays + delay; %/* Increment the number of customers delayed, and schedule departure. */ num_custs_delayed = 1 + num_custs_delayed; serv_time=randexp(mean_service); time_depart(next_depart) = sim_time + serv_time; total_of_time = total_of_time + delay + serv_time; %check_depart() min_time_dapart=1e290; next_depart=-1; for i=1:num_server if(server_status(i)==1 & time_depart(i)<min_time_depart) min_time_depart=time_depart(i); next_depart=i; end end time_next_event(2)=min_time_depart; %/* Move each customer in queue (if any) up one place. */ tempForPop=time_arrival(2:length(time_arrival)); time_arrival=tempForPop; end %if (num_in_q == 0) end %if(next_event_type==EV_Arrive) end %while%%%%%%%%%% part 3%/* Invoke the report generator and end the simulation. */ fprintf(outfile, " Average delay in queue%11.3f minutes ",total_of_delays / num_custs_delayed); fprintf(outfile, " Average delay in system%11.3f minutes ",total_of_time / num_custs_delayed); fprintf(outfile, "Average number in queue%10.3f ",area_num_in_q / sim_time); fprintf(outfile, "Server utilization%15.3f ",area_server_status / sim_time); fprintf(outfile, "Time simulation ended%12.3f minutes", sim_time); fclose(outfile);

想像你有两条绳你将两条绳的头连接, 尾一起连接, 这样方式叫并联将第一条绳的尾连接第二条绳的头, 这样的方式叫串联

系统排队假设某人已经等待了十分钟那么这种的话需要等待大约系统排队，假设某人已经等待了十分钟，那么这种的话需要等待，大约也要在15分钟就。

饥荒联机排队论是可以用的，步骤如下：1、身上放满东西，捡起堆叠好的树种，鼠标放在你自己身上，shift+鼠标左键，树种会一个一个掉地上。2、在旁边做一个灭火器，点燃树种，打开灭火器，把所有烧着的树种灭掉火，保存退出再进，就都变成树苗了。

第一个M是输入过程服从负指数分布，第二个M是服务时间服从负指数分布，c是服务台数量。

这个有公式的啊，背会就行了。一般情况都满足伯松分布，你想啊，一般排队来说肯定是刚开始人少，慢慢人就多了，到快下班就又没人了，确实是符合伯松分布也就是你说的输入服从正态分布。如果不是随机的话，而是规定时间有固定的人加入系统，那就更简单了，公式都不用背了，直接就可以算出来了。你要求各种参数首先要明确这个是什么排队系统MM1还是MMN,不同系统的公式不一样，你找一般的运筹学的书里都有公式的推导过程的，会推导不错，其实记住结论就可以了。

你好！c指的是服务台的数量，如果c=1就表示单服务台模型，如果c>1，就表示多服务台模型。如果对你有帮助，望采纳。

图片上传不上，只能在线给你解答一下，（1）滑行时间为2分钟，即每架飞机的服务时间为1/30个小时，所以服务率为30架/小时，盘旋时间不大于10分钟，即排队时间不大于1/6小时，由里特公式可解出到达率为25架/小时。（2）飞机从达到到降落不大于20分钟，即在系统停留时间不大于1/3小时，可以算出到达率为27架/小时由于我们没学一般分布，所以第（3）题帮不到你望采纳！！！

进行批量收草，树枝，浆果，拾取等操作时，按住键盘Shift键，同时按住鼠标左键，移动鼠标，会框出一个长方形范围，该范围内可以拾取的东西会显示出来，然后松开双手就可以了，等人物收集完或格子满时自动停止。进行批量铲树跟，重置陷阱等操作时，按住键盘Shift键，同时按住鼠标右键，框住你要铲或重置的范围，一样松开双手，操作完会自动停止。使用排队论的过程中，进行移动，切换装备，搓绳子等均会打断排队操作。如图，是使用排队论收浆果：

取一段t时间,期间内有x名顾客光顾的概率=[（λt）^x ]e^(-λt)/x! t时段内空闲即x=0 P=e^(-λt) λ,t你就代入就行了 不给t的话不知道 还可以看出t若是无期限这个概率肯定是0了,永远没有顾客生意就别做了

首先，生灭过程的平衡方程存在的充要条件是生率小于灭率；其次，在此条件下生灭过程对应的马氏链是遍历的，存在平衡极限概率；直观上讲，平衡方程就是系统处于稳态下、每个状态对应的总生率与总灭率相等条件下建立起来的稳态方程。

steam正版中有一个mod叫蛋疼排队论，这个mod可以一键种树砌墙之类的，用法就是拿着树种，（因为是右键种树）按住shift右键圈一块地方，就可以自动在这个范围内整齐的种满树（默认会以最小间距种植）。注意地面要光滑，否则如果出现不可种树的地方，人物会自动跳过这块地方，一定种不整齐。另外，如果是只想种一行，就按住shift右键圈地方的时候圈一块很窄的细长的框，类似画一条直线，这样就会在这个范围内种出一行的树。亲测种树种围墙种狗牙陷阱都很不错。另外就是不知道是我的电脑配置还是怎么着，有时候这样种时会卡死，不是闪退，就卡在那里不动了。所以不建议大量的用这个mod。

研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。通常评价排队系统优劣有 6项数量指标。①系统负荷水平ρ ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度；②系统空闲概率P0：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为LS；④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lg；⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为WS；⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wg。M/M/1排队系统是一种最简单的排队系统。系统的各项指标可由图2中状态转移速度图推算出来（表1）。其他类型的排队系统的各种指标计算公式则复杂得多，可专门列出计算公式图表备查。现已开始应用计算机仿真来求解排队系统问题。

我不会，但帮你找到了，望采纳。这是一个MM1排队模型，顾客到达服从参数为4的泊松分布，服务时间服从参数为60／10＝6的负指数分布，则p=4/6=2/3，即系统忙时概率为2／3，则1、空闲时间概率为1－2／3＝1／32、在店内顾客平均数LS＝4／（6－4）＝2人3、逗留时间WS＝1／（6－4）＝0.5小时4、等待时间2／3／（6－4）＝1／3小时理发时间为0.5－1／3＝1／6小时

排队论中潜在顾客损失率是指顾客到达排队系统未接受服务而离去的概率。排队论(queuingtheory)，或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。排队系统衡量指标（评价排队系统的优劣）忙期服务量指一个忙期内系统平均完成服务的顾客数，损失率指顾客到达排队系统，未接受服务而离去的概率。

steam正版中有一个mod叫蛋疼排队论，这个mod可以一键种树砌墙之类的，用法就是拿着树种，（因为是右键种树）按住shift右键圈一块地方，就可以自动在这个范围内整齐的种满树（默认会以最小间距种植）。注意地面要光滑，否则如果出现不可种树的地方，人物会自动跳过这块地方，一定种不整齐。另外，如果是只想种一行，就按住shift右键圈地方的时候圈一块很窄的细长的框，类似画一条直线，这样就会在这个范围内种出一行的树。亲测种树种围墙种狗牙陷阱都很不错。另外就是不知道是我的电脑配置还是怎么着，有时候这样种时会卡死，不是闪退，就卡在那里不动了。所以不建议大量的用这个mod。

　　运筹学是现代管理学的一门重要专业基础课。它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。该学科是一应用数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。 研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业密切相关。　　排队论又叫随机服务系统理论。最初是在二十世纪初由丹麦工程师艾尔郎关于电话交换机的效率研究开始的，在第二次世界大战中为了对飞机场跑道的容纳量进行估算，它得到了进一步的发展，其相应的学科更新论、可靠性理论等也都发展起来。

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。 对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如下指标。 （1）系统损失的概率 其中rho是系统到达负荷 ，s是服务台或服务员的个数。 （2）单位时间内平均进入系统的顾客数（ ） （3）系统的相对通过能力（ ）与绝对通过能力（ ） （4）系统在单位时间内占用服务台（或服务员）的均值（即 ） 注意：在损失制排队系统中， ，即等待时间为0。 在上述公式，引入 是十分重要的，因为尽管顾客以平均 的速率到达服务系统，但当系统被占满后，有一部分顾客会自动离去，因此，真正进入系统的顾客输入率是 ，它小于 其参数为 。编写LINGO程序如下： 求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务，通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统，系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。 （1）电话交换台的服务分为两类，第一类内线打外线，其强度为： 第二类时外线打内线，其强度为： 因此，总强度为： （2）这是损失制服务系统，按题目要求，系统损失率不能超过5%，即： （3）外线是整数，在满足条件下，条数越小越好。 由上述三条，编写相应的Lingo程序如下： 求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65 ％，有96.35％的电话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。 求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。 编写LINGO程序： 求得 第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下： 比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算时间上要少许多。

该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。 具体用法将在下面举例说明： 本例可看成一个 排队问题，其中 （1）修理店空闲的概率 （2）店内恰有3个顾客的概率 （3）店内至少有1顾客的概率 （4）在店内的平均顾客数 （5）每位顾客在店内的平均逗留时间 （6）等待服务的平均顾客数 （7）每位顾客平均等待服务时间 （8）顾客在店内逗留时间超过 10min 的概率Lingo程序： @peb(rho,s)中，第一个参数rho即为 ，第二个参数为 为服务台个数。

M/1/ g / g 标准模型 M/M/1/N/ g系统容量有限模型 =队伍容量+1 M/M/1/ g /m顾客源有限模型 m=^统只有m+1种状态 M/M/C/ g /m。

首先，生灭过程的平衡方程存在的充要条件是生率小于灭率；其次，在此条件下生灭过程对应的马氏链是遍历的，存在平衡极限概率；直观上讲，平衡方程就是系统处于稳态下、每个状态对应的总生率与总灭率相等条件下建立起来的稳态方程。

则称 为一个 生灭过程 。 一般来说，得到 的分布 是比较困难的，因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布，记为 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状态 n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的 “流入＝流出” 原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下： 可解得： 记： 则平衡状态的分布是： 由概率分布的要求： 有： 于是：

这是排队论的模型第一个M表示到达过程，服从泊松分布第二个M表示服务时间，服从负指数分布第三个C表示constant，常数的意思，表示服务台数量是有限的这是排队论里面最常用最经典的模型通常银行排队，商店购物都是这样的

　　摘 要：随着国内各大城市轨道交通行业的快速发展，地铁运量大、速度快、安全、准点、舒适等优点已经受到广大市民的认可，越来越多的人开始选择地铁作为首要出行工具。每逢工作日早晚高峰、节假日或大型活动举办日，地铁车站的客流量都会大幅攀升，很多车站都会出现大量乘客排队购票的情况。在组织大客流时，车站一般会采用开放人工售票窗口的方式加快疏散速度，提高服务率。乘客总是希望能开放的窗口数量越多越好，车站在客流组织过程中虽然也想更好的为乘客服务，但为了提高运输组织工作效率，人工售票窗口不可能无限制的开放。 　　本文以运筹学中的排队论原理为基础，首先以地铁车站售票工作为研究对象，建立了地铁站购票多窗口等待制排队模型，其次依据此模型计算出了开放人工售票窗口数量的最优解，最后对计算结果进行了研究和分析，为车站大客流运输组织方案的优化提供了有力的数据论证。 　　关键词：客流组织；排队论模型；M／M／C模型；客流组织优化 　　引言 　　随着城市的快速发展，地铁作为一种特殊的交通运输方式，以其运量大、速度快、能耗低、安全、准点、环境舒适等优势，成为很多市民首选的出行工具。地铁承载着城市交通运输中的重要任务，在一些大型商业圈、火车站、长途汽车站、大型体育场馆、展览馆附近的地铁站，经常会出现短时间瞬间大客流和持续大客流。乘客在购票的过程中的等待时间则会因乘客的增多而变长，大量乘客长时间排队不但影响乘客的出行质量，而且会导致站厅人员聚集、拥挤，进而发生通道被排队人流及伴行等候人员堵塞，人员流动速度明显下降，甚至阻滞不前，极易引发事故。因此尽快疏导购票客流往往成为大客流组织工作的重中之重。 　　在运能满足条件的前提下，通常大客流组织的过程中，车站为了加快客流的疏散速度，节省乘客购票的排队时间，通常会开放人工售票窗口方便乘客购票。 　　由于受到人员、设备、场地的限制，人工售票窗口不可能无限制的开放。如何合理的确定开放人工售票窗口的数量，从而达到既能保证客流顺利疏导，又能最大程度节省人力的效果，成为大客流组织工作优化的重点问题。这就需要对乘客排队购票情况建立数学模型进行分析研究。 　　一、排队系统的组成 　　任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1-1表示。从图1-1可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。通常，排队系统都有输入过程、服务台、服务时间、服务规则等3个组成部分。 　　图1-1 排队过程示意图 　　1、输入过程 　　这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流，一般可以从3个方面来描述-个输入过程。 　　(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床数则是有限的。 　　(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。 　　(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、 )的概率是多大。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。 　　2、服务台 　　服务台可以从以下3方面来描述： 　　(1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台有： 　　①单队——单服务台式；（开放一个服务窗口，一列等候服务的队伍。实例：公交汽车排队刷卡服务。） 　　②单队——多服务台并联式；（开放多个服务窗口，不同服务窗口同时开展同类或类似业务，一列等候服务的队伍，按既定顺序随机到各窗口实施有关业务。实例：银行取号排队等候服务。） 　　③多队——多服务台并联式；（开放多个服务窗口，同时开展同类或类似业务，多列等候服务的队伍，按各窗口排定序列实施有关业务。实例：食堂窗口排队领餐服务。） 　　④单队——多服务台串联式；（开放多个服务窗口，顺序开展不同类业务。实例：政务超市办理跨部门审批有关业务。） 　　⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队--多服务台并串联混合式等等。 　　(2)服务方式。取决于在某一特定时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。 　　(3)服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。 　　3、服务时间 　　服务时间是指顾客接收服务的时间规律。顾客接受服务的时间规律往往也通过概率分布描述。一般来说,简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布,即每位顾客接受服务的时间是独立同分布的,其分布函数为B(t)=1-e-mt(t≥0),其中m＞0为一常数,代表单位时间的平均服务率,而1/m则是平均服务时间。 　　4、服务规则。这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。 　　(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。 　　(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：

单服务台等待制模型 是指：顾客的相机到达时间服从参数为 的负指数分布，服务台个数为1，服务时间 服从参数为 的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。 记 为系统到达平衡状态后队长 的概率分布，则由(17)中关于指数分布的分析,并注意到 和 。记 并设 （否则队列将排至无限远），则： 所以： 其中 因此 上面两个公式废除了在平衡条件下系统中顾客数为 的概率。由上式可以看出， 是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因此，因此也成 为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，上述式子的推导前提是 即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。 已经得到概率分布，可以求得期望，期望即为平均队长： 平均排队长是：关于顾客在系统中的逗留时间 ，可说明它服从参数为 的负指数分布，即 可直接得到平均逗留时间： 因此，顾客在系统中的逗留时间为等待时间 和接受服务时间 之和，即： 故由： 可得等待时间 为： 与平均逗留时间 具有关系： 同理，平均排队长 与平均等待时间 具有关系上面两个公式称为Littile公式，是排队论中一个非常重要的公式。 在平衡状态下，忙期 和闲期 一般为随机变量，求取它们的分布是比较麻烦的。因此，我们来求一下平均忙期 和平均闲期 。由于忙期和闲期出现的概率分别为 和 ，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为 。又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于是，忙期的平均长度 和闲期的平均长度 之比也应是 ，即 又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从参数为 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为 ，这样，便求得平均忙期为： 可发现，平均逗留时间 =平均忙期 。 从直观上看，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。

区间 内的 均匀分布 记做 。服从 分布的随机变量又称为随机数，它是产生其他随机变量的基础。如若 为 分布，则 服从 。 以 为期望， 为方差的 正态分布 记做 。正态分布的应用十分广泛。正态分布还可以作为二项分布一定条件下的近似。 指数分布 是单参数 的非对称分布，记做 ，概率密度函数为： 数学期望为 ，方差为 。指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量，既有 ，在排队论，可靠性分析中有广泛应用。 Gamma分布是双参数 的非对称分布，记做 ，期望是 。 时退化为指数分布。 个相互独立，同分布（参数 ）的指数分布之和是Gamma分布 。Gamma分布可用于服务时间，零件寿命等。 Gamma分布又称为埃尔朗分布。 Weibull分布是双参数 的非对称分布，记做 。 时退化为指数分布。作为设备，零件的寿命分布在可靠性分析中有非常广泛的应用。 Beta分布是区间 内的双参数，非均匀分布，记做 。 伯努利分布是 处取值的概率分别是 和 的两点分布，记做 。用于基本的离散模型。 泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数 的到达间隔服从指数分布时，单位时间内到达的顾客数 服从泊松分布，即单位时间内到达 位顾客的概率为： 记做 。泊松分布在排队服务，产品检验，生物与医学统计，天文，物理等领域都有广泛应用。 在独立进行的每次试验中，某事件发生的概率为 ，则 次实验中该事件发生的次数 服从二项分布，即发生 次的概率为： 记做 。二项分布是 个独立的伯努利分布之和。它在产品检验，保险，生物和医学统计等领域有着广泛的应用。 当 很大时， 近似于正态分布 ；当 很大， 很小，且 约为常数 时， 近似于

排队论已广泛应用于交通系统、港口泊位设计、机器维修、库存控制和其他服务系统。表2中列出排队论的应用。

（1）这是（M/M/1/N/）模型，即是（M/M/1）模型中系统容量有限的排队论模型，N=100。（2）状态概率Pn表示系统处于繁忙状态时的概率，即有车辆进入停车场的概率。队长表示停车场内的车辆数。排队长表示排队进入停车场的车辆数。逗留时间指的是车辆从等待进入停车场的时间和在停车场内的时间之和。等待时间则就是车辆等待进入停车场所用的时间。（3）这就要看P101的概率，这就是指当有100个车辆在停车场内时，第101个车辆离开的概率。这个概率也叫做是停车场的损失率。损失率过大的话就必须要考虑扩大停车场的容量了，否则将因此失去很多顾客。

1，把信号交叉口、停车场、加油站等交通设施都看作“服务系统”，把到达的车辆看作“服务对象”，因而排队论在这些交通设施的设计和管理方面得到广泛的应,2用排队论研究信号交叉口前的车辆排队现象及其所造成的车辆延误，并根据交叉口上车辆延误时间量最小的目标来确定交通信号的配时方案3根据整个地区各交叉口上车辆延误时间总量最小的目标来实现区域交通控制的最优方案

排队轮的经济含义：服务成本与等待成本的权衡。

如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。因此只能按主要特征进行分类。一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。现代常用的分类方法是英国数学家D.G.肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号 X/Y/Z进行分类。X处填写相继到达间隔时间的分布；Y处填写服务时间分布;Z处填写并列的服务台数目。各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。这里k阶埃尔朗分布是为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时服从自由度为 2k的χ2分布。例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。D/M/C表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C个服务台的模型。至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。

取一段t时间，期间内有x名顾客光顾的概率=[（λt）^x ]e^(-λt)/x!t时段内空闲即x=0P=e^(-λt)λ,t你就代入就行了不给t的话不知道还可以看出t若是无期限这个概率肯定是0了，永远没有顾客生意就别做了

首先，生灭过程的平衡方程存在的充要条件是生率小于灭率；其次，在此条件下生灭过程对应的马氏链是遍历的，存在平衡极限概率；直观上讲，平衡方程就是系统处于稳态下、每个状态对应的总生率与总灭率相等条件下建立起来的稳态方程。

**排队论在食堂系统中的应用 每次下课的时候，同学们都争相跑向食堂去买饭，卖饭窗口前没一会儿便排成了长长的队伍，食堂也立即变得拥挤不堪。 学生食堂的卖饭窗口个数和同学们吃饭的方便程度有关。窗口太少，吃饭高峰期同学排队等待时间很长,经常引发学生的不满情绪。而窗口太多，又会造成资源浪费，增加食堂成本。为此，我选择了学生食堂二楼作为研究对象来分析这个问题，看能否为食堂合理设置服务窗口提出建议，在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量。 1.1 排队过程的一般模型：一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。 一 输入过程 输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或到达的间隔时间的概率分布。 排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。 可以是一个或多个服务台。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。但大多数情形服务时间是随机型的。对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。 二模型理论分析 1.2.1模型分类 排队模型的表示： X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时间的分布； Y—服务时间的分布； M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔朗分布。 Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为∞）； B—顾客源数目（默认为∞）； C—服务规则 （默认为先到先服务FCFS)。 1.2.2 模型求解 一个实际问题作为排队问题求解时，只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布须要实测的数据来确定，其他的因素都是在问题提出时给定的。并且必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征值。这些指标通常是：[系统中顾客数]=[在队列中等待服务的顾客数]+[正被服务的顾客数] （2）逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其（3）忙期：从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度； 系统状态：即指系统中的顾客数；表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率； 要解决排队问题，首先要确定排队系统的到达间隔时间分布与服务时间分布。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现有系统原始资料统计出它们的经验分布，然后与理论分布拟合，若能对应，我们就可以得出上述的分布情况。 1、经验分布 经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行的统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。 2、泊松分布 下面我们在一定的假设条件下，推出顾客的到达过程就是一个泊松过程。（t2>t1，n≥0）符合于下述三个条件时，我们说顾客到达过程就是泊松过程。 (1)再不相重叠的的时间区间内顾客到达数是相互独立的。 (2)对于足够小的Δt，在时间区间[t，t+Dt)内有1个顾客到达的概率为 （λ>0 是常数，称为概率强度）。 (3)对充分小的Δt,在时间区间[t,t+Δt）内有2个或2个以上顾客到达的概率是Δt一高阶无穷小，即t>0，n=0,1,2,… 负指数分布由前知，λ表示单位时间内顾客平均到达数，这里1/λ表示顾客到达的平均间隔时间，两者是吻合的。 下面我们再谈一下服务时间的分布：其中：m表示单位时间内能被服务完成的顾客数，即平均服务率。1/m表示一个顾客的平均服务时间。令[图片上传失败...(image-66c5ad-1602761504886)] 则ρ称为服务强度。 食堂窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的关系，可以用服务系统模型来表示，就餐人员打饭的过程，即为顾客接受服务机构服务的过程。 故可以用排队论模型中有关服务系统的理论来分析和解决该问题。 学生到食堂就餐的时刻可以认为是随机的，若用N(t)表示[0,t)时间内到达该服务系统的顾客数，则对于任意一个给定的时刻t,N(t)的值都是随机的，即随机变量族{N(t)|t∈[0,A)}是一个随机过程.同样,打饭需要的时间长短因人而异，也认为是随机的，若用V(n)表示第n位顾客所需的服务时间,则有随机变量族{Vn,n=1,2,…}。 我们将学生就餐的过程看作是泊松过程进行讨论。 为了使模型便于求解，假定每个工作人员的打饭效率相同，每个窗口的饭菜相同，即不会出现某个窗口“扎堆”排长队或无人问津的现象。由于每个窗口独立排队、服务,这里把m个窗口服务X位顾客的情况等同为1个窗口服务情况来讨论.又假定食堂服务系统的容量无限,来到食堂就餐的学生不会在未打好饭之前离去.这样,得到一个输入过程为最简单流,服务时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无限,顾客源数无限的等待制排队模型. 这里,对有关符号的数量指标加以说明: λ ——单位时间内平均到达的顾客数,即平均到达率; μ ——单位时间内受到服务的顾客数,即平均服务率; t ——每位顾客的平均服务时间; Lq ——等待队长的期望值; Wq ——等待时间的期望值. 现对食堂二楼的4个服务窗口进行讨论: 在11:40至12:20之间的40分钟为大家用餐的高峰,每4分钟为1个时段,统计到达人数,如下表. <colgroup><col width="80"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"><col width="44"></colgroup> 求得平均到达率为: λ= 5.94 (人/分钟) 相应地,对其中50名顾客接受服务的时间进行统计,得到下表. <colgroup><col width="84"><col width="61"><col width="61"><col width="73"><col width="73"><col width="73"><col width="73"></colgroup> 求得平均服务时间为: t = 0.157(分钟) 平均服务率为: μ =1/t= 6.37 (顾客/分钟) 等待队长的期望值为: Lq = 12.88(顾客) 等待时间的期望值为: Wq =Lq /λ= 2.17(分钟) 由上述模型求出的平均服务时间为9.4秒,这与实际情况大体吻合;等待队长的期望值为12.88人,明显偏长,但实际上,高峰期往往排队会更长些,这主要是因为在高峰期,用餐人数比闲时明显增多,且持续时间较长;相应地,现实中高峰期的等待时间也比求得的平均等待时间(2.17分钟)要久.另外,实际上并不是每个窗口的饭菜都一样的,存在个别窗口很受欢迎或不受欢迎的情况,造成该窗口前的排队明显过长.就餐人员排队时间过长,自然会产生不满情绪。[图片上传失败...(image-44f3e3-1602761504888)] 相应地,在就餐人数较少时,单位时间到达的顾客数明显少于单位时间工作人员所能服务的人数,造成资源浪费,增加了食堂的成本.[图片上传失败...(image-6b2218-1602761504888)] 因此,该食堂的窗口设置尚不够合理.现从就餐人员排队时间过长引起不满和食堂资源浪费增加成本两个方面来考虑改进窗口设置. 11:40前, 3个窗口即可; 11:45应开放4个窗口;11:55应开放5个窗口,以防止出现排队过长的现象;直到12:15再减少为4个窗口,至此时,5、6、7时段排队的就餐人员已经服务完毕;12:20后只需2个窗口即可.调整后,各时段能够服务人数和需要排队等待人数如下表.（该表显示了不同时段的窗口数以及服务情况） 这里做出说明,大约到11:58,到就餐人数的才达到5个窗口能够服务的人数,按平均服务时间来算,11:45至11:48之间的3分钟时间内,5个窗口的服务能力有剩余,完全能够完成之前排队人员的服务. 窗口调整后的等待时间(和部分取最大值)仅为调整前(2.17分钟)的一半:(6.6+19.6+8.6)/5×0.157=1.09(分钟),改进的效果十分明显. 对于食堂的运营成本, 其它因素不变的情况下,这里只讨论人力部分.该食堂11:30至12:20之间营业,每个窗口有1名工作人员,总的人力成本为:50×4=200(人·分钟).调整窗口设置后,11:30至11:40只需最多2个窗口,12:20至12:30也只需最多2个窗口,总的人力成本最多为:2×10+3×5+4×10+5×20+4×5+2×10=190(人·分钟). 可以看出，窗口设置按照该方案调整后，食堂的运营成本也会相应减少。食堂可以根据这个结论进行参考并相应调整窗口数量，得到最优方案。 心得体会： 以上就是我在学习了排队论这门课程后对食堂窗口问题的分析，过程中结合了网上查找的相关文献以及资料来帮助自己完成。通过这次作业，我尽量认真分析了网上相关文献内容并将课上学习的内容相结合，对排队论的理解更加深刻。 在此也十分感谢魏老师在课上的认真讲解，并能将理论与实际生活相结合，让我学到很多知识并激发了我对这门学科的学习兴趣。 【参考文献】

1．顾客相继到达的间隔时间的分布为随机；服务时间的分布为随机。例如：餐馆就餐。就餐人数和时间不定，订餐质量决定服务准备时间。2．顾客相继到达的间隔时间的分布为定数；服务时间的分布为随机。例如：学生放学，校车（非法校车，时间不定）接送。3．顾客相继到达的间隔时间的分布为随机；服务时间的分布为定数。例如：公交车站的黑出租。乘客人数和密度不定，黑出租数量和忙闲不定。

进行批量收草，树枝，浆果，拾取等操作时，按住键盘Shift键，同时按住鼠标左键，移动鼠标，会框出一个长方形范围，该范围内可以拾取的东西会显示出来，然后松开双手就可以了，等人物收集完或格子满时自动停止。进行批量铲树跟，重置陷阱等操作时，按住键盘Shift键，同时按住鼠标右键，框住你要铲或重置的范围，一样松开双手，操作完会自动停止。使用排队论的过程中，进行移动，切换装备，搓绳子等均会打断排队操作。如图，是使用排队论收浆果：注意事项：框选拾取不拾取恶魔花、荆棘葱、仙人掌。框选拾取不拾取鸟笼里的鸟。支持批量烤食物。砍树、挖矿、挖掘、拆除后自动捡起掉落的资源。完美支持镰刀模组框选收集，镰刀正常掉耐久。

取一段t时间,期间内有x名顾客光顾的概率=[（λt）^x ]e^(-λt)/x! t时段内空闲即x=0 P=e^(-λt) λ,t你就代入就行了 不给t的话不知道 还可以看出t若是无期限这个概率肯定是0了,永远没有顾客生意就别做了

排队系统基本的参数包括：顾客到达率，服务员数目，服务员服务效率。顾客到达率：单位时间平均到达排队系统的顾客数量。它反映了顾客到达排队系统的速度快慢。服务员数目：排队系统中可以同时接受服务的设备数量或者是窗口的数量，也就是服务机构的资源。服务员服务效率：指单位时间内由一个服务员进行服务所离开排队系统的平均顾客数量。现在你要弄清楚三个概念。等待时间:指的是从顾客到达系统到开始接受服务的时间。服务时间：一个顾客被服务的时间，即顾客从开始被服务到离开系统的时间。系统时间：顾客从到达系统到离开系统这段时间，它是等待时间和服务时间之和，也就是每一个顾客在系统中所停留的时间。所以服务时间和排队时间也就是等待时间是两个概念。。

M/G/1或者M/G/c排队系统是指顾客到达服从泊松分布，服务时间为一般分布。这里的G表示服务机构的服务时间v服从任意分布，E(v)和方差存在且已知。求解M/G/1排队系统需要使用PK公式来求解。

这是一个MM1排队模型，顾客到达服从参数为4的泊松分布，服务时间服从参数为60／10＝6的负指数分布，则p=4/6=2/3，即系统忙时概率为2／3，则1、空闲时间概率为1－2／3＝1／32、在店内顾客平均数LS＝4／（6－4）＝2人3、逗留时间WS＝1／（6－4）＝0.5小时4、等待时间2／3／（6－4）＝1／3小时理发时间为0.5－1／3＝1／6小时

排队论;学习内容;引导案例-1 银行排队系统;引导案例-2 医院排队系统;形形色色的排队系统;为什么会出现排队现象？;到达数量;1 排队论的基本问题1.1 排队论的主要研究内容;1.2 排队论的经济含义;服务成本与等待成本的权衡（成本－效益平衡）;2 排队论概述2.1 基本概念;2.2 排队系统的一般形式;3 排队问题的特征;;3.2 顾客到达与服务模式;3.2.1 泊松分布;泊松分布的形式;泊松分布的概率密度函数;3.2.2 指数分布;（负）指数分布的形式;（负）指数分布的概率密度函数;（1）;3.2.3 泊松分布和指数分布的关系;3.3 排队纪律/排队规则/服务顺序;等待制的四种类型;3.4 服务员数量;排队系统的四种变形-1;多通道单阶段;4 排队模型4.1 排队问题的一般表达方式;4.2 一些特殊排队模型;4.3 模型符号定义（无限顾客源）;系统利用率正在接受服务的顾客平均数系统中的平均顾客数系统中等待的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间;三种重要的关系;4.4 模型参数计算-2（ M/G/1 ）;4.4 模型参数计算-3（ M/M/C）-1;4.4 模型参数计算-3（ M/M/C）-2;例1;解：;例2; 到达病人数 n;解：;（2）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的指数分布。;（4）依次带入公式，算出各指标得：;单通道仿真视频;排队系统仿真软件Flexsim-1;排队系统仿真软件Flexsim-2;单通道Excel求解;例3-1;例3-2;解：;（2）选择功率II时; (3)对于功率I，由于等待时间为12.5分钟，部分顾客会放弃接受服务。尽管这将使数学分析复杂化，我们仍可以估计出选择功率I时营业额的减少量。我们可以通过假设Wq=5分钟（1/12小时）

排队论中有两个重要的参数λ和μ。排队系统中的顾客到达过程若为泊松过程，其参数λ 就是到达率。排队论（queueing theory）是专门研究带有随机因素产生拥挤现象的优化理论，是有关于服务设施与被服务者构成的排队服务系统的理论。亦称随机服务系统理论。因为被服务者到达系统的时间是不确定的。排队论是计算机通信网络和计算机系统中通信信息量研究的基础理论，信息系统通信问题的定量研究往往要求借助于排队论才能得到解决。

《排队论问题》 教学设计 教学内容： 人教版《义务教育课程标准实验教科书》四年级上册第七单元数学广角的排队论问题例3。 教学目的： 1、通过生活中常见的一些简单事例，让学生从中体会到运筹思想在解决问题中的作用 2、使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯，形成寻找最优化方案解决问题的意识。 教学重点： 体会合理安排时间的意义与价值，养成良好的习惯 教学难点： 理解排队等候时间的总和的意义，运用这种数学思想解决生活中的实际问题。 教学用具：PPT课件 练习纸 教学过程 一、 创设情景，导入新课 1、小品：水龙头风波。（PPT1） 师旁白：今天，红红和明明做值日，他们俩正好同时（强调读）来到一个自来水龙头前。 红红：我装一小桶水只要1分钟时间。 明明：我接一盆水要5分钟时间。 红红、明明：我有事，让我先来吧。 红红：还是让我先接吧，这样好一点。 师旁白：明明疑惑不解。为什么红红接先就好一点呢？ 师：同学们，小红说的有道理吗？ 2、讨论后，师：现在他们都感觉自己有道理，那我们帮他们算一算时间吧，好吗？ 生：1+5=6分钟 生：5+1=6分钟 师：这样看来，好象小红说的没什么道理呀，时间长短不是一样吗？ （引发学生思考：一人做事，另一人在干嘛？） 生：红红先接，小明只等1分钟，如果明明先接水的话，小红要等5分钟。 师及时指出：是呀，我们在自己完成自己任务的时候，也要考虑到别的同学的感受，那我们来算一算，如果包含等候的时间在内，一共用多长时间吧。 生：红先明后：1+1+5=7分钟。（师可有意识引导：1×2+5=7分钟） 生：明先红后：5+5+1=11分钟。（或：5×2+1=11分钟） 师：现在哪位同学能说说，这里的7分钟和11分钟是什么时间？能给它们起个名字吗？（突破难点：等候时间的总和） 师：同学们，在我们日常生活中，有许多数学问题，刚才我们遇到的问题，在数学上叫做“排队问题”，今天这节课，我们就来研究这个问题。 （设计意图：这样设计，一方面为了引入新课，创设了学生常常遇到的生活场景，学生容易产生共鸣，可以很好的吸引学生的注意力，把学生的学习状态调整到最佳，另一方面就是为了降低新课的难度，通过这个简单的事例，让学生对“同时来到”这个前提要重视，同时，也对“等候时间的总和”有了一定的认识，为新课的学习奠定基础。） 二、 探索交流，解决问题： （一）阅读教材，初步感知 1、阅读提纲（PPT2） （1）、例题中的主题图反映的是什么情景 ？ （2）、其中包含哪些数学信息？ （3）、要解决什么问题？有什么要求？ 2、全班交流，理解题目意思 问题1：这是一个码头卸货的场景，有三艘货船来到一个码头，等待调度安排他们卸货。 问题2：已经知道了每艘货舱的卸货时间，还有一点，就是：只能一船一船地卸货。 问题3：这题要解决怎样安排卸货的顺序，使三艘船的等候总时间最少。 3、质疑：对于这个问题，你还有什么疑问？ 生：等候时间的总和是什么意思？（很可有能学生对此还有疑问，这里要留时间给学生，要让学生都明白题目的意思） （设计意图：通过让学生读图、文，正确理解题目的意义，知道有哪些条件，要求什么问题，这个问题是建立在什么前提之下：只能一船一船的下。而且要让所有学生都明白，要求的问题是“等候时间的总和”，这个和，既包括下货时间，也包括其他船的等候时间，为下面讨论方案，计算总时间作准备。） （二）、讨论合作，研究解决问题的方案 1、分组活动安排与要求（PPT3） （1）、同桌2人为一小组。把货船按从上到下的顺序分别命名为：甲船、乙船、丙船。 （2）、2人讨论后写出卸货方案，能写几种就写几种。 （3）、算出每种卸货方案的等候时间的总和 2、教师巡视，参与学生的讨论。 3、时间：5分钟左右。 （设计意图：合作交流的目的，一方面是让学生互相帮助寻找卸货的方案，另一方面可以培养学生的合作意识与能力。教师参与学生的讨论可以指导学生也可以成为学生的合作伙伴。） （ 三）汇报交流，寻找最优化方案 1、学生汇报自己的卸货方案，教师按一定的次序板书。 主要有： （1） 按甲-乙-丙的顺序，等候时间总和：8×3+4×2+1=33小时 （2） 按甲-丙-乙的顺序，等候时间总和：8×3+1×2+4=30小时 （3） 按乙-甲-丙的顺序，等候时间总和：4×3+8×2+1=29小时 （4） 按乙-丙-甲的顺序，等候时间总和：4×3+1×2+8=22小时 （5） 按丙-甲-乙的顺序，等候时间总和：1×3+8×2+4=23小时 （6） 按丙-乙-甲的顺序，等候时间总和：1×3+4×2+8=19小时 2、引导学生观察以上方案，谈谈自己的想法。 3、质疑：你还有什么问题？ 4、小结：在确定排队等候顺序的时候，我们要按一定的顺序（从小到大）合理安排时间，这样可以使等候时间的总和最少。 三、巩固运用知识解决实际问题 1、你能用刚才我们学到的知识，解释一下刚才的问题吗，红说，让她先接水好在哪儿了吗？ 2、如果你也遇到类似的问题，你会解决吗？ 完成P115页的做一做。（PPT4） 学生尝试，全班交流 3、水龙头风波（下）（PPT5） 有四个同学同时来到一个水龙头前，他们分别要洗手、洗抹布、洗拖把和用水桶装水。 （1）这儿只有一个自来水龙头 （2）你能用今天学到的知识，给他们合理的安排一下排队的顺序吗？ （3）说一说，你在进行合理安排前，需要了解什么？你认为怎样安排最合理？ 四、回顾整理，反思提升： 1、这节课你有什么收获？ 2、你还有什么疑问？ 板书设计 排队问题 方案 等候时间的总和 甲-乙-丙 8×3+4×2+1=33小时 5+1=6小时 甲-丙-乙 8×3+1×2+4=30小时 1+5=6小时 乙-甲-丙 4×3+8×2+1=29小时 5+5+1=11小时 乙-丙-甲 4×3+1×2+8=22小时 1+1+5=7小时 丙-甲-乙 1×3+8×2+4=23小时 丙-乙-甲 1×3+4×2+8=19小时 最合理

1917年爱尔朗首先提出了排队论的一些著名公式。排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。排队现象 作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。排队论在社会生活的各方面有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理论来进行计算，从而获得合理的解决办法。排队论一般由输入过程、排队规则、服务过程三个部分组成。排队论的特征排队论的输入过程：顾客的输入可以是有限的也可以是无限的；顾客的输入可以是单独的也可以是成批的；顾客的输入可以是相互独立的也可以是前后相关的（顾客的输入可以是平稳的，即输入的期望和方差是稳定的， 相反，也可以是非稳定的，即随时间的变化而改变。排队论的排队规则：损失制：所有服务台都有人，离开；等待制：所有服务台都有人，进入队列等待；混合制：所有服务台都有人，但是系统具有容量限制，达到最大容量之后需要离开。排队论的服务过程：服务台可以分为单服务台、多服务台，多服务台又分为多服务台串联和多服务台并联，串联服务台是所有服务台依次为同一位顾客服务，并行服务台是每一个服务台为不同的顾客服务，服务的规则如下：先到先服务FCFS；后到先服务LCFS；优先服务；随机服务。

排队论模型的缺点排队论模型1. 模型背景排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了自动电话，以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题，即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。1909 年，丹麦的哥本哈根电话公司 A.K. 埃尔浪( ( Erlang) ) 在热力学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。2. 模型介绍由于顾客到达和服务时间的随机性，现实中的排队现象几乎不可避免；排队过程，通常是一个随机过程，排队论又称 “ 随机服务系统理论 ”3. 排队 系统的 要素顾客输入过程；排队结构与排队规则；服务机构与服务规则；4. 顾客 输入过程顾客源( ( 总体) ) ：有限/ / 无限;顾客到达方式：逐个/ / 逐批 ;( 仅研究逐个情形) )顾客到达间隔：随机型/ / 确定型;顾客前后到达是否独立：相互独立/ / 相互关联；输入过程是否平稳：平稳/ / 非平稳；( ( 仅研究平稳性) )5. 排队 结构与排队规则顾客排队方式：等待制/ / 即时制( ( 损失制 );排队系统容量：有限制/ / 无限制 ;排队队列数目 : 单列/ / 多列;是否中途退出 : 允许/ / 禁止;是否列间转移 : 允许/ / 禁止;( ( 仅研究禁止退出和转移的情形) )6. 服务 机构与服务规则服务台( ( 员) ) 数目; ; 单个/ / 多个;服务台( ( 员) ) 排列形式; 并列/ / 串列/ / 混合;服务台( ( 员) ) 服务方式; 逐个/ / 逐批 ;( 研究逐个情形) )服务时间分布; 随机型/ / 确定型;服务时间分布是否平稳: 平稳/ / 非平稳 ;( 研究平稳情形) )

排队论是运筹学的一个新分支。排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1909年丹麦数学家、科学家，工程师 A. K. 埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。排队规则：排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。

排队论 (queuing theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。拓展资料：一、 简介 1.日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1909年丹麦数学家、科学家，工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。 2.自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。3.在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 二、 定义 1.排队论(queuing theory)，或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。2.它是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络，生产，运输，库存等各项资源共享的随机服务系统。3.排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的形态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。 4.排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔兰（A.K.Erlang）用概率论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学学科，并为这门学科建立许多基本原则。20世纪30年代中期，当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时，排队论才被数学界承认为一门重要的学科。5.在第二次世界大战期间和第二次世界大战以后，排队论在运筹学这个新领域中变成了一个重要的内容。20世纪50年代初，堪道尔(D.G.Kendall)对排队论作了系统的研究，他用嵌入马尔柯夫(A.A.Markov)链方法研究排队论，使排队论得到了进一步的发展。是他首先（1951年）用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。其中A表示顾客到达时间分布，B表示服务时间的分布，C表示服务机构中的服务台的个数。

排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论 又称**随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科，它研究的内容主要有以下三部分： 下面将对排队论的基本知识进行介绍： 下图是排队论的一般模型： 图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。 一般的排队过程都由 输入过程，排队规则，服务过程 三部分组成，现分述如下： 输入过程 是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： 排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为 损失制，等待制和混合制 三种。 举例：小张去银行取钱，发现前面一个顾客身边摆了4个麻袋的硬币要存钱，于是悻悻地换了一个窗口。 举例：小张去银行取钱，发现前面有一条队的人很少，于是赶紧挤上前去排队。 举例：小张发现柜台前面有一条排队等待线，排队队伍长度不能够超过这条线，于是换到了还没有达到排队限度的队伍里。 1.服务机构 单服务台 ， 多服务台并联 （每个服务台同时为不同顾客服务）； 多服务台串联 （多服务台依次为同一顾客服务）； 混合制 。 2.服务规则 (1)先到先服务 (2)后到先服务 (3)随机服务，在队列中随机选人进行服务 (4)特殊优先服务，对病情危急的病人优先治疗。 ：顾客到达流或顾客到达时间的分布。 ：服务时间的分布。 ：服务台数目。 ：系统容量限制。 ：顾客源数目。 ：服务规则。（先到先服务FCFS，后到先服务LCFS） 1.平均队长 ： 正在被服务和正在等待服务 的顾客数之和的数学期望。 2.平均排队长 ：指系统内 等待服务 的顾客数的数学期望。 3.平均逗留时间 ：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）。 4.平均等待时间 ：指一个顾客在排队系统中排队等待时间。 5.平均忙期 ：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望。 还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的 损失率以及以后经常遇到的 服务强度等，这些都是很重要的指标。 计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓 系统的状态即指系统中顾客数，如果系统中有 n 个顾客就说系统的状态是 n ，它的可能值是： 1.队长没有限制时： 2.队长有限制，最大数为 时， 3.损失制，服务台个数是 时， 这些状态的概率一般是随时刻 而变化，所以在时刻 ，系统状态为 的概率用 表示。稳态时系统状态为 的概率用 表示。

排队论的网络解释是：排队论排队论(QueuingTheory)，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。排队论的网络解释是：排队论排队论(QueuingTheory)，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。结构是：排(左右结构)队(左右结构)论(左右结构)。注音是：ㄆㄞ_ㄉㄨㄟ_ㄌㄨㄣ_。拼音是：páiduìlùn。排队论的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】运筹学的一个分支。研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性拥挤(排队)现象。如电话交换台用户的呼叫就是一种排队现象。主要研究用户的等待时间、排队长度等的概率分布，从而作出合理的安排。应用于交通运输、仓库和生产流水线设计、计算机存储器设计等方面。关于排队论的成语按部就队成群逐队排沙简金论资排辈排患解纷排沙见金解纷排难论千论万随行逐队关于排队论的词语随行逐队成群结队论资排辈成帮结队排沙见金成群作队蜂营蚁队成_结队按部就队逐队成_关于排队论的造句1、利用排队论原理解决车辆维修保障中维修组个数的确定。2、本文以排队论为工具建立了紧耦合多处理机系统存贮器的排队模型。3、介绍了飞机管道加油系统的特点，应用排队论建立了加油过程的单队多列排队模型。4、利用随机过程和排队论的基础知识，对爱尔朗排队模型进行性能分析和参数求解，给出其在机场旅客航站楼中的应用范围。5、利用排队论对集装箱码头集卡作业模式进行了研究，建立了仿真模型，并对两种集卡作业模式进行了试验研究。点此查看更多关于排队论的详细信息