高中基本不等式都有哪些

a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。糖水不等式为不等式中的难点

糖水不等式的证明可以从以下几个方面来看：1、从生活常识理解小文有一杯糖水，（重a克，里面有b克的糖，这份糖水的浓度就是糖/糖水=b/a。） 小文跟妈妈说，这糖水太淡了，不够甜，妈妈拿出了c克白糖，放进了小文的杯子里。（现在糖水重 a+c，里面的糖为b+c，浓度变为（b+c）/(a+c)） 小文拿起杯子一尝，果然比原来甜了。就这么一个简单的场景，其实就得出了这个糖水不等式。 原来的浓度：b/a < 加糖后的浓度 （b+c）/(a+c)。当然，结论还可以推广一下，譬如用淡的糖水+浓的糖水得到甜度中等的糖水。2、从斜率理解。b/a 是浓度，也代表点（a，b）与原点连线的斜率，因为限定b<a（最甜就是纯糖了，浓度100%），所以直线一定在y=x下面（第一象限）。随便举个例子，B（5，1）点的横坐标，纵坐标都加上5，得到 d（10，6），很明显DO的斜率大于原来BO的斜率，即浓度变大。3、应用千万不要小看这个简单的糖水不等式，在高中的不等式证明的时候巧妙应用糖水不等式，可以实现不等式的缩放，将证明极大简化。不等式的缩放是一种艺术。

糖水不等式的常见变形包括平方不等式、倒数不等式和三角函数不等式等。1、平方不等式平方不等式是将糖水不等式中的变量进行平方处理，可以通过平方根性质或对不等式两边同时平方来得到新的不等式形式。例如，将不等式 x > 2 转化为 x^2 > 4。糖水不等式是指在数学中常见的一类不等式，通过对其进行变形可以得到不同形式的不等式。2、倒数不等式倒数不等式是将糖水不等式中的不等式符号进行翻转，即将大于号变为小于号，小于号变为大于号，并将不等式两边取倒数。例如，将不等式 a > b 转化为 1/a < 1/b。3、三角函数不等式三角函数不等式是将糖水不等式中的变量带入三角函数中，利用三角函数的性质进行不等式变形和求解。例如，对于正弦函数，我们可以利用正弦函数的单调性和周期性来处理不等式。这些变形技巧在解决数学问题和证明数学定理时非常有用，可以根据具体问题和需要灵活运用。糖水不等式的应用：1、不等式求解糖水不等式常用于解决数学中的不等式问题，通过对不等式进行变形和化简，可以找到不等式解集，即满足不等式条件变量取值范围。通过对函数进行不等式变形，可以得到函数单调性、零点、极值点等重要信息，从而绘制出函数图像和研究其行为。这对解决数学问题很有用。2、最值问题糖水不等式可用于求解最值问题，即找到使得某个表达式达到最大值或最小值的变量取值。通过将目标函数与限制条件组合成不等式，可以使用糖水不等式的方法进行求解，从而得到最值点的位置和取值。3、数学证明糖水不等式在数学证明中也起到重要的作用，通过使用糖水不等式的变形方法，可以推导出一些重要的数学不等式和定理，如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等，这些定理在数学分析、概率论、几何等领域有广泛的应用。

有分数 ，在分子分母同时加上一个 ，即： 则用作差法表示为： ∵a>b>0,c>0∴ ∴一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。正如同糖水里加糖会越来越甜。糖水不等式： 成立。 根据作商法可知：若糖水不等式成立，则不等式：也成立。由不等式左边得： 即： ∵a>b>0且c>0∴ab>0,ac>bc>0即： ∴不等式： 成立，糖水不等式： 也成立。 由不等式的基本性质和糖水不等式有： u21d2 u21d2 u21d2 u21d2 u21d2 u21d2 ∵c>0∴此不等式成立，糖水不等式： 也成立。 1.综合法2.构造函数法3.定比分点公式法

设原来糖水的浓度为X=a/b 加入质量m糖浓度为Y=（a+m）/（b+m）Y/X=b（a+m）/a（b+m）=（ab+mb）/（ab+am）因为a>b 所以am>bm所以ab+mb）ab+am所以Y/X>1 即Y>X浓度大了 就甜了

（a+m）/（b+m）＞a/b 可以证得[（a+m）/（b+m）]-a/b =m(b-a）/b(b+m) 0＜a＜b,M＞O ∴b-a＞0 得（a+m）/（b+m）＞a/b

不成立。糖水不等式指的就是当a＞b＞0，m＞0时，有b斜杠a公式从左往右应用，公式要做到三用即正用、逆用、变用，是成立的，而对负数是不成立的。

糖水的甜度是由舌头来决定的.而舌头对糖水甜度的感应是由糖水的浓度决定. 所以糖浓度大的糖水会变甜. 由：加入糖后的浓度为：（b+M)/(a+M) 假设：（b+M)/(a+M)≤b/a 则有：a（b+M)≤b(a+M),（ab+aM）≤（ab+bM),进而推出,a≤b,显然是错误的. 故有：（b+M)/(a+M)>b/a,也就是说加入糖M克后,糖水的浓度变高,所以糖水变甜了.

已知一个分式a/b (b大于a大于0）若在分式的分子、分母同时加上一个正数的分式的值,怎样变化? 结果会增大!打个比方:有一杯糖水,总质量为b,含糖量为a!则这杯糖水的含糖百分数为:a/b*％!如果再往里面加点糖,设所加糖质量为c,因为糖水变甜了,则当然有:(a+c)/(b+c)>a/b了!

十二分之十一<十六分之十五<十八分之十七

a克不是溶剂质量，是溶液质量，答案正确

把a升理解成a克吧因为更甜了,所以含糖的比例增加了 即 加入M克糖后,总质量接是a+m,其中的糖有b+m所以比例为 (b+m)/(a+m) 而原来的比例为b/m 所以 (b+m)/(a+m)>b/m

(b+m)/(a+m)uff1eb/a

什么都大于0的？请叙述清楚

高中数学中的不等式在高考中重要。 1、不等式不是孤立存在的，在函数，数列，解析几何，向量，几乎所有的数学都是有不等式的知识的，可以说贯穿了整个高中数学。就算是大学里面的微积分，不等式也是证明的利器。高考中单独考不等式可能不多，但是大部分题里面都会体现，不等式在高考中占有十分重要的地位。 2、高中数学中的几个重要不等式：均值不等式；重要不等式；绝对值不等式。 3、用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号(,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题也可以表示一个问题。

思路解析:本题来源于实际生活 题目用生活语言描述要求考生利用数学语言来表示 利用生活经验不难将题目中所蕴涵的不等关系表示出来.根据题意不难得知 糖水变甜说明水中含糖量变大 也就是糖水的浓度变大了.

ag糖水中有bg糖（a＞b＞0），则糖的质量与糖水的质量比为ba；再添加cg糖（c＞0），则糖有（b+c）g，糖水有（a+c）g，∴糖的质量与糖水质量的比为b+ca+c；算出前面两个比值后，实际为含糖量，∴添加的糖完全溶解后，含糖量变大，提炼出的不等式为：ba＜b+ca+c．

糖：水=75%：（1-75%）=3:1糖：水=80%：（1-80%）=4:1如果第三次加入的与第一次同样多的糖后，这时的糖约占糖水的：4+（4-3）÷（4+1+1）≈83%

a克糖水中有b克糖（a>b>0），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，即可得到不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。在溶液中，判断溶质的质量分数的大小时，经常用到该不等式。

糖水不等式是八年级下册学的。糖水不等式，a克糖水中有b克糖（a>b>0），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，即可得到不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0，c>0)。趣称之为“糖水不等式”。

设a为糖,b为糖水,且b>a>0,m>0,则： (a+m)/(b+m)-a/b=b(a+m)/b(b+m)-a(b+m)/b(b+m) =(ab+bm-ab-am)/b(b+m) =(b-a)m/b(b+m) 因为b>a>0,m>0,则(b-a)m/b(b+m)>0 所以不等式(a+m)/(b+m)>a/b成立

来自生活中的“糖水不等式”a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),(b-c)/(a-c)<b/a(c<b)(b/a)-(b+c)/(a+c)＞0

设原来糖水的浓度为X=a/b 加入质量m糖浓度为Y=（a+m）/（b+m）Y/X=b（a+m）/a（b+m）=（ab+mb）/（ab+am）因为a>b 所以am>bm所以ab+mb）ab+am所以Y/X>1 即Y>X浓度大了 就甜了

设原来糖水的浓度为X=a/b 加入质量m糖浓度为Y=（a+m）/（b+m）Y/X=b（a+m）/a（b+m）=（ab+mb）/（ab+am）因为a>b 所以am>bm所以ab+mb）ab+am所以Y/X>1 即Y>X浓度大了 就甜了

已知一个分式a/b (b大于a大于0）若在分式的分子、分母同时加上一个正数的分式的值,怎样变化?结果会增大!打个比方:有一杯糖水,总质量为b,含糖量为a!则这杯糖水的含糖百分数为:a/b*％!如果再往里面加点糖,设所加糖质量为c,因为糖水变甜了,则当然有:(a+c)/(b+c)>a/b了!

就是（b+m）/(a+m)≥b/a

由b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），得到糖水的浓度为ab．若在糖水中再放上m（m＞0）克糖，则糖水浓度变为a+mb+m．∵变得更甜了，∴ab＜a+mb+m(b＞a＞0，m＞0)．故答案为：ab＜a+mb+m(b＞a＞0，m＞0)．

(a-b)/a<(a-b+t)/(a+t)

解析:这是糖水浓度变高了. 原来的浓度为 现在的浓度为 . 答案: ＞

(a+c)/(b+c)>a/b

糖水不等式内容：对于a,b,m属于R* , a < b ,有 (a+m) / (b+m) > a / b 背景：相当于向质量分数为 a / b 的糖水中加入质量m的糖，糖水浓度会变大。学术界有很多对它的研究论文。值得了解一下。

有分数 ，在分子分母同时加上一个 ，即： 始终有： 比如（1+0.9）/（2+0.9）>1/2

简单分析一下，详情如图所示

(b-c)/(a-c)<b/a其中c<=b<a

设原来糖水里水为X,糖为Y,糖在糖水中的比例为Y/(X+y),后来加入更多的糖Z,（Z>0）即有（Y+Z)/(X+Y+Z)>Y/(X+y).

已知b克糖水中有a克糖（b>a>0），若添上m克糖（m>0），则糖水就变甜了。这说明糖水中含糖的比值增大，可列不等式为：(a+m)/(b+m) > a/b（加糖后含糖比值> 加糖前含糖比值）

∵mg糖水中有ng糖，糖水的浓度为： n m ；如果m克糖水有n克糖，蒸发b克水后不结晶，则糖水的浓度为： n m-b ；又糖水变甜了，说明浓度变大了，∴ n m-b ＞ n m ．故答案为： n m-b ＞ n m ．

解答:解:由b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，得到糖水的浓度为ab.若在糖水中再放上m(m＞0)克糖，则糖水浓度变为a+mb+m.∵变得更甜了，∴ab＜a+mb+m(b＞a＞0，m＞0).故答案为:ab＜a+mb+m(b＞a＞0，m＞0).

a+mb+m＞ab，由于20082009＞20072008＞20062007，所以-20062007＞?20072008＞?20082009．

这是一道不等式证明的题目，题意要求大家熟悉不等式的证明方法——比较法中的做差法。a/b-（a+m/b+m）经过通分、合并同类项，化简得【m(a-b)】/【b(b+m)】，根据题意，m、a-b、b、b+m均为负，所以总式为正，即（a/b）>（a+m/b+m），你做的没错。据我所知，这题的本意是要大家通过不等式的方法证明一个生活中的例子：糖水加糖甜更甜。所以我大胆猜想题目会不会是：0<a<b,0<m？题意是这样的：b克糖水含糖a克，加入m克糖后，糖水是否变的更甜呢？原来含糖率是a/b，加入m克糖后含糖率是（a+m/b+m），意图很明显，让你证明a/b<（a+m/b+m）。

＞ ；＜

没有原来甜，说明糖的质量与糖水的质量比变小了，即（b-c)/(a-c)<b/a

略 按含糖的浓度可以写出 ．此不等式可用作差法进行证明．

由题可知m/n<（m+x）/（n+x）那么设m=2008,n=20092008/2009<(2008+x)/(2009+x)当x=1时2008/2009<2009/2010同理2009/2010<2010/2011则2008/2009<2009/2010<2010/2011

好简单啊

（b+m）/(a+m）>b/a,a,b,c是三角形三边（若没有这个条件不可以比如： c=10,a=1,b=2,10/(1+2)=10/3>2）∴b+c>a,a+c>b,a+b>c∴根据浓度不等式有a/(b+c)<2a/(a+b+c)b/(a+c)<2b/(a+b+c)c/(a+b)<2c/(a+b+c)∴[a/(b+c)]+[b/(c+a)]+[c/(a+b)]<2a/(a+b+c)+2b/(a+b+c)+2c/(a+b+c)=2(a+b+c)/(a+b+c)=2又a/(b+c)>a/(a+b+c)b/(a+c)>b/(a+b+c)c/(a+b)>c/(a+b+c)[a/(b+c)]+[b/(c+a)]+[c/(a+b)]>c/(a+b+c)+b/(a+b+c)+a/(a+b+c)=1∴1<[a/(b+c)]+[b/(c+a)]+[c/(a+b)]<2

1.(c+b)/(a+c)>b/a 分子为糖的含量，分母为糖水的总量，分式表示甜度 2（－∞，1）∪（2，＋∞）解：∵f(x)*g(x)>0∴有两种情况f(x)>0且g(x)>0 或者f(x)<0且g(x)<0∵g(x)≥0的解集为?∴排除第一种情况。∵g(x)<0的解集为R，f(x)<0的解集为（－∞，1）∪（2，＋∞）∴不等式f（x）×g（x）＞0的解集是（－∞，1）∪（2，＋∞）

(1)a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为 b/a; 若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为（b+c）/（a+c）.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式:当 a>b>0，c>0时;（b+c）/（a+c）>b/a. (2)我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:第一种根据正切函数的图像可知正切值随着这个角的增大增大的越快，第二种由tanA的导数(tanA)′=1/(cosA)^2可知正切值随着这个角的增大增大的越快. (3)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式. 证明: 因为 tan∠DEB=BD/BE=（b+c）/（a+c） tan∠CAB=BC/AB=b/a ∠DEB=∠F+∠EAF=∠F+∠CAB>∠CAB 所以tan∠DEB> tan∠CAB 即 （b+c）/（a+c）>b/a

创设问题情境已成为课程改革的一个显著特征，以问题情境为基础的数学教学有利于激发学生的学习动机和探索欲望。从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索与交流，主动地获取知识，形成技能，发展思维。学会学习是当今中学数学课堂教学改革的主流，创设问题情境是一种有助于产生课堂动态生成性资源的重要方法。那么，如何去创设有效的问题情境？一、从课本出发去创设问题情景。高中数学新教材的特点之一就是创设各种问题情景，降低教学的难度，使数学问题与现实紧密联系。数学教材各个章节，每介绍一个知识点，都要先设置一个情境问题，然后引入新知识。在这些情境问题中有的用学生生活中的问题展示，有的用漂亮的图案展示，有的用生动的故事展示，有的让学生动手操作展示，有的通过学生游戏展示。对各知识点虽然展示的方式不同，但编者都是根据学生的认知需要而设置的。所给的问题情景都是经过专家推理和验证的，一般都能达到理想的教学效果。如果我们没有更好的问题情景,不妨直接选用,"拿来主义"也是个不错的选择。例如等差数列求和公式的推导，除用高斯的故事（求"1＋2＋3＋…＋100＝？"）作为一个好的问题情境外，教材中的问题情境也是非常好的：一堆钢管，最上层4根，最下层9根，从第二层起每一层都比上一层多一根，求这堆铜管总数（除了直接进行加法运算外，你还能用什么方法求得总数？）。二、借助实际生活创设问题情境 数学知识中有许多是源于实际生活的，因此数学问题的引入可以联系生产、生活实际．如果将数学问题改编为实际的应用性问题，让学生去积极思考，便可以引导学生主动地探究新知识，促使学生形成和发展数学应用意识，提高实践能力． 例如在“不等式”的教学中有这样一道例题： 已知a、b、m都是正数，且a < b，求证：＞如果直接去证，学生会感到索然无味，而且这个结论容易记错．不妨将其改编为下述简单而有趣的实际问题：a克糖放到水中得到b克糖水，浓度（质量分数）是多少？在糖水中又增加了m克糖，此时浓度又是多少？糖水变甜还是变淡了？学生们会很容易地做出判断，从而得到要证明的结论．三、利用趣味故事和数学史话创设问题情境 在数学教学中结合有趣的故事和数学史话可以很有效地激发学生的兴趣，使他们主动去思考。比如在人教版《全日制普通高级中学教科书（必修）》第三章“数列”章首图和引言中，教材引用国际象棋棋盘的示意图，棋盘上共有8行8列，构成64个格子。国际象棋起源于古印度，关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上一颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第三个格子里放上4颗麦粒，在第四个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子放满为止，请给我足够的麦子来实现上述要求。”国王觉得这不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？说明数列求和的作用，这就可以立刻吸引对此问题感兴趣的同学深入其中。又例如在讲解“相互独立事件同时发生的概率”时，可以创设如下情境：常说三个臭皮匠顶一个诸葛亮，能顶上吗？假如已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，三个臭皮匠解出问题的概率分别为0.5，0.45，0.4，且每个人必须独立解题，那么三个臭皮匠中至少有一个解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，那个大？通过这样创设情境，极大地提高了学生学习数学的兴趣，促使学生积极思考问题，使他们的思维处于活跃状态，创设潜能得以发挥。 四、通过操作试验创设问题情境 有些数学知识可通过引导学生自己操作试验或通过现代教育技术手段演示，从中领悟数学概念的形成过程，既发展了学生的思维能力、理解能力与创造能力，又增强了学生学习的积极性． 例如在讲解“数学归纳法”时，可以先用多媒体演示“多米诺骨牌”效应，通过这一问题情境的创设可以使学生很快地理解并掌握数学归纳法的定义与本质． 五、从相关学科中创设问题情境 数学是学习物理、化学等学科的基础，它的许多知识都与这些学科有着紧密的联系．如概率原理在生物遗传学中的应用，三角函数与向量在物理学中的应用等．因此在讲解这些知识点时，可适当地创设与相关学科联系的情境，强化数学的工具性、基础性，激发学生学习的积极性． 六、从学生已掌握的知识点出发创设问题情境 利用学生已有的知识和经验引入概念。数学概念图往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，教学中充分利用学生头脑中已有的知识与相关的经验引入概念。例如如平面几何中，两条直线不平行就相交，到立体几何中就不一定是相交，也有可能异面。其实，有不少结论在平面几何中成立的，但到了立体几何中就不一定成立了。如果能一步一步挖掘、深入，不仅可使学生巩固初中知识，更重要的是学生能逐步得以接受、理解新知识。 七、情境创设中存在的误区：（1）、只关注趣味，少了目标；（2）、虚构的美丽，欺骗学生；（3）、脱离生活圈，生搬硬套；（4）、多了生活味，少了科学性；（5）、每一节课都要有情境。 总之，在数学教学中，我们只要紧紧围绕教学目标，从学生的生活经验和基础知识出发，创设生动有趣、富有启发性的教学情境，使学习成为学生主动的建构活动，激发其学习兴趣，调动其学习的积极性，最终实现课堂教学效益的最大化。