一自萧关起战尘 -
首先来说说阿基米德的故事吧，后边再来讲阿基米德是如何鉴别王冠真假的。
公元前212年，位于美丽的西西里岛上的叙古拉城一片狼烟，强大的罗马军队在重重围困叙古拉三年后，和城内的叛徒里应外合，终于攻破了这个令他们头疼的城市。
然而城中有一位老人却好像没有听到渐渐迫近的喊杀声似的， 低头盯着画在地上的几何图形苦苦地思考着。
这时，一只沾满血污的皮靴踩在了图形上，老人抬起头发现是一个凶恶的罗马兵，于是愤怒地吼道：“滚开些，别弄坏了我的图形！”没等他说出第二句话，就被这个罗马兵杀害了。 这位老人，就是古希腊最伟大的数学家，被称为“数学之神”的阿基米德。
阿基米德生于公元前287年，家乡叙古拉位于风光旖旎的西西里岛上，是一座希腊殖民城市，经济和文化都很繁荣。 阿基米德的家族是叙古拉的贵族，和叙拉古的赫农王是亲戚，家庭非常富裕。 阿基米德十一岁时，借助与王室的关系，有机会漂洋过海，到古希腊文化中心 亚历山大里亚城 去，跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习。
但是， 富裕的家境和幸运的机会都不是阿基米德成为天才数学家的根本原因，他的成功源于勤奋 探索 和不懈努力。
相传阿基米德思考问题时精神高度集中，常常会忘记周围的一切。有一次，大家关心阿基米德的身体 健康 ，给他擦上希腊人洗澡用的香油膏，把他推到澡堂去洗澡。 可是，过了半天不见他出来，大家以为他出了什么事 ，赶紧冲进澡堂去看他，谁知澡堂里的阿基米德早就把洗澡忘得一干二净了，正用手在抹了香油膏的身上画几何图形呢。
阿基米德不是一个只爱搞抽象思维而轻视实际应用的数学家。 相传，他曾经制作过一个天体仪器，用这个仪器坐在家里就能了解天体的运行情况，并推算出发生日食和月食的时间。 有些 历史 书中还记载他曾经制作过一面巨大的抛物镜，能把阳光聚集后投射到敌人的战舰上，点燃船帆。
数学家阿基米德同时也是一位伟大的爱国者。 公元前215年，罗马军队从海陆两路大举侵犯叙古拉城， 此时的阿基米德已经是一个年过古稀的老人了，但他为了国家的安危，毫不犹豫地挺身而出。
千万不要小看这位老人的力量，正是有了他的智慧，弱小的叙古拉城才能屹立在强大的罗马军团面前长达三年之久，他让骄傲的罗马人付出了惨重的代价 。三年的时间里，不要说是攻城，就是连接近叙古拉城都是一件困难的事情。
每当罗马陆军逼近城墙的时候，城墙上就会呼啸着飞出大大小小的许多石头，把他们砸的头破血流。 这正是阿基米德设计的抛石机在大显神威。
每当罗马海军的战舰驶近城墙的时候，城墙后面就会伸出一种像鸟嘴一样的机械，抛出巨大的石头，把他们的战舰砸沉或撞翻。 阿基米德的这些发明使罗马人闻风丧胆，哪怕城墙上出现一支木棍，他们都会惊呼“阿基米德又来了”！然后抱头鼠窜。
然而势单力孤的叙古拉终究不是罗马的对手，最终还是沦陷了。 被阿基米德折腾得胆战心惊的罗马士兵终于找到了报仇的机会，阿基米德就这样离开了人世，离开了他挚爱一生的数学。 按照阿基米德生前的愿望，他的墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，用来纪念他发现的重要定理。至死，阿基米德都要挚爱的数学来陪伴。
那么阿基米德是如何鉴别王冠真假的？
有一次，希腊国王交给阿基米德一顶王冠。国王怀疑铸金匠在王冠中掺杂白银，而把节省下来的黄金私吞，所以请阿基米德查一查这顶王冠的成份。
有一天阿基米德跳进装满热水的浴缸洗澡，有些水溢出，突然间他想到该如何测量黄金体积了。
阿基米德兴奋得从浴缸里一跃而起，忘了穿衣服，跑过整座城市的街道，并且高声喊叫“Eureka!Eureka!”(希腊话是“我找到了!”的意思) 他发现溢出浴缸的水的体积，就等于放进浴缸的王冠黄—金的体积。 如果白银和黄金的重量相等，白银的体积将会比较大，排开的水也比较多。
阿基米德由此证明王冠中的确掺入白银。这也是阿基米德定律的由来。也就是浮力定律。
给我一个杠杆，我可以撬动地球。利用太阳能聚集光线，产生热量，应用火攻击退敌人。识别王冠的真假依靠的是物体的密度，浮力等原理。
公元前245年，为了庆祝盛大的月亮节，赫农王给金匠一块金子让他做一顶纯金的皇冠。做好的皇冠尽管与先前的金子一样重，但国王还是怀疑金匠掺假了。他命令阿基米德鉴定皇冠是不是纯金的，但是不允许破坏皇冠。这看起来是件不可能的事情。
在公共浴室内，阿基米德注意到他的胳膊浮出水面。他的大脑中闪现出模糊不清的想法。他把胳膊完全放进水中，全身放松，这时胳膊又浮出水面。他从浴盆中站起来，浴盆四周的水位下降；再坐下去时，浴盆中的水位又上升了。他躺在浴盆中，水位变得更高了，而他也感觉到自己变轻了。他站起来后，水位下降，他则感觉到自己变重了。一定是水对身体产生向上的浮力才使他感到自己变轻了。
这一发现使阿基米德十分欣喜，他决定以此为契机做针对这个新发现的实验。他把差不多同样大小的石块和木块同时放入浴盆，浸入到水中。石块下沉到水里，但是他感觉到石块变轻了。他必须要向下按着木块才能把它浸到水里。这表明浮力与物体的排水量（物体体积）有关，而不是与物体的重量有关。物体在水中感觉有多重一定与水的密度（水单位体积的质量）有关。阿基米德在此找到了解决国王问题的方法，问题的关键在于密度。如果皇冠里面含有其他金属，它的密度会不相同，在重量相等的情况下，这个皇冠的体积是不同的。
把皇冠和同样重量的金子放进水里，结果发现皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠是掺假的。更为重要的是，阿基米德发现了浮力原理，即液体对物体的浮力等于物体所排开液体的重力大小。
阿基米德，出生书香之家，从小喜欢思考，求知欲很强。公元前275年，11岁的阿基米德被叙拉古年轻有为的皇帝亥洛看中，派他前往当时地中海流域的文化中心亚历山大里亚学习科学知识，在那里沉浸在书的海洋之中的阿基米德，废寝忘食地汲取书本里的各种养分。
和当时古希腊很多学重，注重重视科学理论的形成和阐述不同，阿基米德更偏重科学理论以及在实际工作中与生活中的运用。回到叙拉古以后，阿基米德运用他所发现的“杠杆原理”，发明了古希腊最早的取水工具，即桔槔，大大促进了生产力的发展。国王亥洛也对他很是欣赏，并且开玩笑地问他说，你的杠杆，能让地球也动一下吗?这时的阿基米德说出了那句震惊世界的名言，给我一个支点和一根足够长的杠杆，我可以撬整个地球。
实际上阿基米德心里明白，在地球上找到一个支点，并且要找到一根足够长的杠杆，对于人类来说，是不可能完成的。他之所以那样说，一个是想说明“杠杆原理”适用于地球上任何物体，另一个则是也体现了他在科学研究方面的自信。
当时，国王亥洛曾经让工匠打造一顶纯金王冠，王冠打造好以后，国王喜欢得不得了，但国王担心掺假，所有大臣都无法鉴定真假、束手无策，国王就想到了阿基米德。这次的王冠真假鉴定让阿基米德犯了难，阿基米德陷入苦苦思考中，他不停地写、画、算，提出很多假设，这个被推翻，他就从另一角度重新再次思考。他专注得几天都没洗澡。仆人看不下去了，他们就把阿基米德给拉到浴缸边，当他迈进装满水的浴缸里的时候，水流了出来，一直到他整个身体浸入水中，才没有再溢出来。阿基米德突然产生了灵感，他找到解决的方法了。
他就连忙真的王宫跑去，嘴里不住喊着“尤里卡，尤里卡”。中文意谓，我找到了”。他让人找来两个装满水的锡罐，罐口有管，起流出的水引流进有刻度的接水罐里，然后把王冠和相等重量的黄金分别放进两个锡罐里。这时发现两个锡罐里溢出的水是不相同的，很明显那名工匠在王冠材料上动了手脚。重点物质体积不同，因而溢出的水量也就不同了。结局是国王大怒，决定严惩这名工匠，国王对阿基米德这种验证方法心悦诚服。他就对臣民们说，以后不管阿基米德说什么，你们都不要怀疑。
正好最近在看阿基米德的一本书，赶巧也来回答一波。
从生平上说，阿基米德诞生于公元前287年希腊西西里岛叙拉古附近的一个小村庄的贵族家庭，十分富有。他的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。阿基米德深受家庭的影响，从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。以下有几个有趣的小故事可以和大家分享。
1、保卫祖国发明投石器和起重机
公元前218年罗马帝国与北非迦太基帝国爆发了第二次布匿战争。罗马军队的最高统帅马塞拉斯率领罗马军队包围了阿基米德所居住的城市，还占领了海港。阿基米德虽不赞成战争，但又不得不尽自己的责任，保卫自己的祖国。阿基米德眼见国土危急，护国的责任感促使他奋起抗敌，于是他绞尽脑汁，日以继夜的发明了御敌武器——投石器和起重机
他利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
2、镜子聚光燃烧敌人舰队
有一天叙拉古城遭到了罗马军队的偷袭，而叙拉古城的青壮年和士兵们都上前线去了，城里只剩下了老人、妇女和孩子，处于万分危急的时刻。就在这时，阿基米德再次为了自己的祖国站了出来。
阿基米德让妇女和孩子们每人都拿出自己家中的镜子一齐来到海岸边，让镜子把强烈的阳光反射到敌舰的主帆上，千百面镜子的反光聚集在船帆的一点上，船帆燃烧起来了，火势趁着风力，越烧越旺，罗马人不知底细，以为阿基米德又发明了新武器。就慌慌张张地逃跑了。
至于鉴别皇冠的真假，主要是利用了密度远离。他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。
这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。[呲牙][呲牙][呲牙]
王冠金假鉴定是利用阿基米德定律：物体在液体中会受到向上的浮力，浮力大小等于物体排开液体的重量。浮力大小=液体的密度×物体排开液体体积
叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重。国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。
回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。
一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着："优勒加！优勒加！（意为发现了）"。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着"真疯了，真疯了"，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看。
原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。
阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。烦人的王冠之谜终于解开了。两千多年前的某一天，在古希腊的叙拉古城内发生了极其悲壮的一幕，一名罗马士兵闯入了一位老人的家里，这个简陋的屋子里并没有什么值钱的东西，只有一位老人正蹲在地上看着一副似乎是他手画的图形，正在专心思考的老人已经到了忘乎所以的境界，他全然不顾正在一旁手持宝剑的士兵，而当这名士兵将脚踩在地上的图形上时，老人瞬间勃然大怒道："别踩坏了我的图形"，而这名士兵被老人呵斥后气急败坏的将手中的宝剑刺向了老人，至此，这位享誉世界的老人便从世界上彻底的消失了，事后这名士兵被军法处置，而这名惨死的老人再也回不来了，他就是非常传奇的科学家：阿基米德，虽然他的肉身已经仙逝，但是关于他的许多故事依旧流传在世间：
①幼时就有所成就阿基米德出生在公元前287年的叙拉古，叙拉古是一座著名的文化古城，而阿基米德的父亲也是为天文学家同时还是名数学家，可以说是古城的人文气息和家族的优秀传承造就了他这样一副充满智慧的头脑，在他十一岁的时候，按照古城的惯例，他被送到了当时的世界文化学术中心亚历山大里亚域王家学校学习，在那里他跟随当时的著名数学家柯龙学习数学知识，而在学习数学的期间他同样也对力学和天文学产生了浓厚的兴趣，可以说他的天赋在这个时候就已经显现了出来。
这一直接体现就是他在学习天文学的时候便发明了用水力推动的星球仪，这个星球仪可以用来模拟太阳和行星以及月亮之间的运行以及解释月食和日食现象，在当时来说可以是非常的先进。除此之外，为了解决土地的灌溉问题，他发明了圆筒状的螺旋杨水器，从尼罗河上抽水灌溉土地，这一发明被后人称为 "阿基米德螺旋"， 俗称“ 阿基米德水泵”； 水泵的原理就是现今直升飞机的基本原理，而时至今日在依然有人在用这种古老的阿基米德水泵来灌溉田地，足以见得这一发明的伟大性和可传性。
而除了他发明的解决日常生活用的 科技 物品外，更让人津津乐道的便是他用他所学的知识以及他捍卫家园的勇气来抵御外敌入侵的故事：
②用所学知识来抵御外敌入侵这个故事已经发生在了他的暮年，当新兴的罗马帝国入侵叙拉古的时候，此时的阿基米德已经有73岁高龄，但是他并没有害怕，依旧将自己的毕生所学极尽所能的用起来，投入到抵御外敌入侵的英勇行动中，据传他利用他所学的数学和物理知识发明了类似于起重机一样的机械装置，这种装置可以把罗马的战船从海里面抓起来然后狠狠地砸向水面，战船在重重地砸向水面之后自然摔得粉碎便沉入海底，甚至据传还有一种可以聚集太阳光地巨大凹面镜，可以将太阳光线聚集起来，当其照射在敌人的帆布上时由于能量的集中帆布很快就燃烧了起来，而敌人的木制船身也自然被烧。
而也正是由于阿基米德的发明使得罗马军队无法穿过海岸向叙拉古城内推进，他们也因此被困在了叙拉古城城墙外达近3年之久，而罗马军队也正是由于阿基米德的发明无法强攻之时将策略改成了久耗，而叙拉古城也正是在这样的策略下粮草耗尽被攻破，因此便发生了开头的那一幕。
③广为流传的检验王冠真假的故事这个故事便是阿基米德运用他发明创造出的阿基米德定律也就输现如今的浮力定律所识别出来的，相传有一次叙拉古城的国外请人打造了一顶纯金的王冠，这顶王冠在打造成功的时候确实是非常精致，金光闪闪，但是这个是胡却有人向皇上透露这顶王冠并不是纯金的，工匠在制作的时候偷偷掺入了一些银。但是周围又没有什么能人能够检验，因此皇上便请来了阿基米德，而为防止这顶王冠并不是假的而遭到破坏，皇上要求阿基米德在不损害王冠的情况下测出里面是否掺了银。
而阿基米德知道根据他所研究的知识他如果知道这顶王冠的比重那么他肯定可以知道其是否纯金，而这就必须要知道王冠的体积，但是我们知道王冠是不规则的物体表面坑坑洼洼的，因此阿基米德一时也在费尽脑汁的想，他的极致钻研致使他在澡堂洗澡的时候仍然在想，因此便有了他发明浮力定律的 历史 机遇，他在洗澡的时候发现自己的身体越往下沉，盆里溢出的水就越多，而他则感到身体越轻。而这个时候他就灵机一动想到了测量的好点子，这也就有了后来盛传的阿基米德忘穿衣服跑出澡堂大喊:"我找到了，我找到了"。可见阿基米德为了科学多么的忘我啊。
那么他找到鉴定王冠真假的方法的具体原理到底是什么呢？这就是浸没于水中的物体会受到一个向上的浮力，而浮力大小等于它所排开的水的重量。而阿基米德就是根据这个计算出了金和银的含量。因为重量相同的物体，密度越大体积就越小。金的密度大于银，因而金块和银块同重时，金块的体积必然小于银块；如果把同重的实心金块和实心银块放入水中，那么金块排出的水就比银块的少。而王冠排出的水在这两者之间，这就证明了王冠不是纯金的。
可以说阿基米德他的一生都是在致力于科学发展前进的道路上前行，即便是在他临死前他依然在为了一个数学思考而执着，而他发明创造出的一系列科学定律至今仍然在为我们后世的人类所使用，可以说这就是肉身虽逝去但精神仍存留的最好体现了吧！
二千一百九十年前，在古希腊西西里岛的叙拉古国，出现一位伟大的物理学家。他叫阿基米德（公元前287——212年）。阿基米德的一生勤奋好学，专心一志地献身于科学，忠于祖国，受到人们的尊敬与赞扬。阿基米德曾发现杠杆定律和以他的名字命名的阿基米德定律。并利用这些定律设计了多种机械，为人民、为祖国服务。关于他生平的详细情况，已无法考证。但关于他发明创造和保卫祖国的故事，却流传至今。
杠杆定律的确立
人们从远古时代起就会使用杠杆，并且懂得巧妙地运用杠杆。在埃及造金字塔的时候，奴隶们就利用杠杆把沉重的石块往上撬。 造船工人用杠杆在船上架设桅杆。人们用汲水吊杆从井里取水，等等。但是，杠杆为什么能做到这一点呢？在阿基米德发现杠杆定律之前，是没有人能够解释的。当时，有的哲学家在谈到这个问题的时候，一口咬定说，这是“魔性”。阿基米德却不承认是什么“魔性”。他懂得，自然界里的种种现象，总有自然的原因来解释。杠杆作用也有它自然的原因，他决心把它解释出来。阿基米德经过反复地观察、实验和计算，终于确立了杠杆的平衡定律。就是，“力臂和力（重量）成反比例。”换句话说，就是：小重量是大重量的多少分之一重，长力臂就应当是短力臂的多少倍长。阿基米德确立了杠杆定律后，就推断说，只要能够取得适当的杠杆长度，任何重量都可以用很小的力量举起来。据说他曾经说过这样的豪言壮语：
“给我一个支点、我就能举起地球！”
叙拉古国王听说后，对阿基米德说：“凭着宙斯（宙斯是希腊神话中的众神之王，主管天、雷、电和雨）起誓，你说的事真是稀奇古怪，阿基米德！”阿基米德向国王解释了杠杆的特性以后，国王说：“到哪里去找一个支点，把地球举起来呢？”
“这样的支点是没有的。”阿基米德回答说。
“那么，要叫人相信力学的神力就不可能了？” 国王说。
“不，不，你误会了，陛下，我能够给你举出别的例子。”阿基米德说。
国王说：“你太吹牛了！你且替我推动一样重的东西，看你讲的话怎样。”当时国王正有一个困难的问题，就是他替埃及王造了一艘很大的船。船造好后，动员了叙拉古全城的人，也没法把它推下水。阿基米德说：“好吧，我替你来推这一只船吧。”
阿基米德离开国王后，就利用杠杆和滑轮的子理，设计、制造了一套巧妙的机械。把一切都准备好后，阿基米德请国王来观看大船下水。他把一根粗绳的末端交给国王，让国王轻轻拉一下。顿时，那艘大船慢慢移动起来，顺利地滑下了水里，国王和大臣们看到 这样的奇迹，好象看耍魔术一样，惊奇不已！于是，国王信服了阿基米德，并向全国发出布告：“从此以后，无论阿基米德讲什么，都要相信他……”
称量皇冠的难题
在一般人看来，阿基米德是个“怪人”。用罗马 历史 学家普鲁塔克的话说：“他象是一个中了邪术的人，对于饭食和自己的身体全不关心。”有时候，饭摆在桌子上叫他吃饭，他好象没听见，仍旧在火盆的灰里画他的几何图形。他的妻子，要时时看守他。譬如他用油擦身的时候，便呆坐着用油在自己身上画图案，而忘记原来是作什么事的了。他的妻子更怕送他到浴堂里去洗澡，这个笑话是因为国王的一个新冠冕而引起的。
国王在前不久，叫一个工匠替他打造一顶金皇冠。国王给了工匠他所需要的数量的黄金。工匠的手艺非常高明，制做的皇冠精巧别致，而且重量跟当初国王所给的黄金一样重。可是，有人向国王报告说：“工匠制造皇冠时，私下吞没了一部分黄金，把同样重的银子掺了进去。”国王听后，也怀疑起来，就把阿基米德找来，要他想法测定，金皇冠里掺没掺银子，工匠是否私吞黄金了。这次，可把阿基米德难住了。他回到家里苦思苦想了好久，也没有想出办法，每天饭吃不下，觉睡不好，也不洗澡，象着了魔一样。
有一天，国王派人来催他进宫汇报。他妻子看他太脏了，就逼他去洗澡。他在澡堂洗澡的时候，脑子里还想着称量皇冠的难题。突然，他注意到，当他的身体在浴盆里沉下去的时候，就有一部分水从浴盆边溢出来。同时，他觉得入水愈深，则他的体量愈轻。于是，他立刻跳出浴盆，忘了穿衣服，就跑到人群的街上去了。一边跑，一边叫：“我想出来了，我想出来了，解决皇冠的办法找到啦！”
他进皇宫后，对国王说：“请允许我先做一个实验，才能把结果报告给你。”国王同意了。阿基米德将与皇冠一样重的金子、一块银子和皇冠，分别一一放在水盆里，看金块排出的水量比银块排出的水量少，而皇冠排出的水量比金块排出的水量多。
阿基米德对国王说：“皇冠掺了银子！”国王看了实验，没有弄明白，让阿基米德给解释一下。阿基米德说：“一公斤的木头和一公斤的铁比较，木头的体积大。如果分别把它们放入水中，体积大的木头排出的水量，比体积小的铁排出的水量多。我把这个道理用在金子、银子和皇冠上。因为金子的密度大，而银子的密度小，因此同样重的金子和银子，必然是银子的体积大于金子的体积。所 以同样重的金块和银块放入水中，那么金块排出的水量就比银块的水量少。刚才的实验表明，皇冠排出的水量比金块多，说明皇冠的密度比金块的密度小，这就证明皇冠不是用纯金制造的。”阿基米德有条理的讲述，使国王信服了。实验结果证明，那个工匠私吞了黄金。
阿基米德的这个实验，就是“静水力学”的胚胎。但他并不停留在这一点上，继续深入研究浮体的问题。结果发现了自然科学中的一个重要原理——阿基米德定律。即：把物体浸在一种液体中时，所排开的液体体积，等于物体所浸入的体积；维持浮体的浮力， 跟浮体所排开的液体的重量相等。
公元前245年，为了庆祝盛大的月亮节，赫农王给金匠一块金子让他做一顶纯金的皇冠。做好的皇冠尽管与先前的金子一样重，但国王还是怀疑金匠掺假了。他命令阿基米德鉴定皇冠是不是纯金的，但是不允许破坏皇冠。这看起来是件不可能的事情。
在公共浴室内，阿基米德注意到他的胳膊浮出水面。他的大脑中闪现出模糊不清的想法。他把胳膊完全放进水中，全身放松，这时胳膊又浮出水面。他从浴盆中站起来，浴盆四周的水位下降；再坐下去时，浴盆中的水位又上升了。他躺在浴盆中，水位变得更高了，而他也感觉到自己变轻了。他站起来后，水位下降，他则感觉到自己变重了。一定是水对身体产生向上的浮力才使他感到自己变轻了。
这一发现使阿基米德十分欣喜，他决定以此为契机做针对这个新发现的实验。他把差不多同样大小的石块和木块同时放入浴盆，浸入到水中。石块下沉到水里，但是他感觉到石块变轻了。他必须要向下按着木块才能把它浸到水里。这表明浮力与物体的排水量（物体体积）有关，而不是与物体的重量有关。物体在水中感觉有多重一定与水的密度（水单位体积的质量）有关。阿基米德在此找到了解决国王问题的方法，问题的关键在于密度。如果皇冠里面含有其他金属，它的密度会不相同，在重量相等的情况下，这个皇冠的体积是不同的。
把皇冠和同样重量的金子放进水里，结果发现皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠是掺假的。更为重要的是，阿基米德发现了浮力原理，即液体对物体的浮力等于物体所排开液体的重力大小。