欧拉线定理

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。内容：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。

欧拉线定理如下：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点。这是由莱昂哈德欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的定理。三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。应用1、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其重心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。2、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其垂心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。3、平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。证明：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。4、在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，连接DE，EF，FD，则△ABC与△DEF的欧拉线重合。

等腰三角形的欧拉线是底边的高。任意三角形的外心，重心，垂心三点共线，这就是三角形的欧拉线，等腰三角形的欧拉线垂直平分底边，此时欧拉线就是底边的高。

对。任何三角形都存在一条神奇的欧拉线,跟三角形的一些特殊点紧密相关。任意三角形的垂心、重心和外心在一条直线上,这条直线被称为欧拉线。

直角三角形的外接圆圆心 直角三角形是三角形中最特殊的一种类型，它的一个角为90度，另外两个角加起来必须为90度。因此直角三角形的性质比其他三角形更为特殊，其中一个非常重要的性质便是直角三角形的三个顶点在一条圆上，这个圆便是直角三角形的外接圆，其中心叫做外心。外接圆的定义 在平面几何中，对于任意不在同一直线上的三个点，可以找到一个圆，使得三个点都在这个圆上，这个圆被称为外接圆。特别的，对于直角三角形，三个顶点构成的圆就是直角三角形的外接圆。外接圆有很多重要的性质，其中最明显的便是它的圆心与三角形的顶点都在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线。此外，直角三角形的垂心和中心也分别位于欧拉线的两端。外接圆的性质 外接圆是直角三角形的最重要的性质之一，因为它不仅能帮助我们求解三角形相关的问题，还能作为其它数学问题的基础。以下是直角三角形外接圆的一些基本性质：外接圆的圆心是直角三角形三边中垂线交点的位置。外接圆的半径等于直角边中点到斜边的距离。外接圆的弦与圆弧所对的角相等。直角三角形的面积等于外接圆半径与直角边乘积的一半。欧拉线的中心是外接圆圆心和中心连线的中点。外心的应用 外心是直角三角形中最重要的一个点，这个点不仅有着重要的几何性质，在物理学和天文学中也有着广泛的应用。在几何学中，外心常常用于解决相关的问题。例如，求解直角三角形的外接圆半径、面积等等。而在物理学中，外心则是很多问题的基础。例如，外心是圆周运动中角速度和角加速度计算的基础，它还可以被用于电磁感应、质心问题和运动学中的中心问题等等。总之，直角三角形的外接圆圆心是数学中一个非常重要的点，具有广泛的应用和重要的几何性质。对于数学爱好者来说，深入学习直角三角形及其外接圆的各种性质和运用，对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。

孟庆阳三角形的研究在平面几何学中具有重要的意义，下面详细介绍它的一些性质。1. 内心、重心和垂心三点共线。重心是三角形三条中线交点，垂心是三角形每一侧的垂足所组成的点，内心是三角形内心圆的圆心。孟庆阳三角形内心、重心和垂心三点共线这一性质被称为"孟庆阳线"。2. 它的欧拉线与边缘成30度角。欧拉线是以三角形的外心、重心、垂心三点为端点的一条直线，而边缘是指三角形三边所组成的线段。欧拉线与边缘成30度角是一个比较有趣的性质。3. 它的外心到对边角的距离是内心到对边角的距离的二倍。外心是三角形外接圆的圆心，内心是三角形内切圆的圆心。孟庆阳三角形的这个性质意味着，内心、外心和重心都在同一条直线上。4. 它的内角和为180度。这是所有三角形的通性，但其重要性不可忽视。5. 它的内心到三角形三边的距离之积等于三角形的面积。这个性质被称为“三角形内心定理”，是三角形内心圆面积的另外一种表示方法，也是孟庆阳三角形的一个重要性质。

欧拉线是高二所学的数学知识。如果一个三角形，它的外心、重心、九点圆圆心和垂心，都能依次位于同一直线上，那么我们说这条直线就叫三角形的欧拉线。(且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点)。莱昂哈德·欧拉曾经于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出这个定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC∴AH∥OM连接OB、OC，易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径）又连接BH并延长交AC于D，则BD⊥AC∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC∴AH=2OM设OH和AM交于G，则△AHG∽△MOG∴AG:GM=AH:OM=2:1∴G是△ABC的重心，即O、H、G三点共线，且GH:GO=AG:GM=2:1然后证明九点圆心也在线上，如下图，DEF为△ABC中点，OGH为△DEF外心、重心、垂心，则用线束可证G也是△ABC重心，DH,EH,FH分别垂直于△ABC三边且DEF为三角形ABC三边中点，∴H为△ABC外心，DO=EO=FO,∴O为△ABC九点圆心，∴九点圆心也在欧拉线上

　　三角形我们初中就学过，那他们的三条边之间有什么关系呢?下面是由我为大家整理的“三角形的三条边有什么关系”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　 　三角形的三条边有什么关系 　　三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 　　三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 　　设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-b，b+c>a,b>a-c，a+c>b,c>b-a 　 　拓展阅读：三角形三条高的交点有什么性质 　　三角形三条高的交点叫垂心，垂心的性质： 　　1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　2.三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line)) 　　3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 　　4.垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外. 　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。 　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

三角形五心定理 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称. [编辑本段]一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比. 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小. 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3. [编辑本段]二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心. 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心. 2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合. 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ). 5、外心到三顶点的距离相等 [编辑本段]三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心. 垂心的性质： 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆. 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍. 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等. 定理证明 已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立! [编辑本段]四、三角形内心定理 三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心. 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心. 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一. 3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). [编辑本段]五、三角形旁心定理 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心,叫做三角形的旁心. 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心. 2、每个三角形都有三个旁心. 3、旁心到三边的距离相等. 如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外. 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一. [编辑本段]有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混． 重 心 三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 重心分割中线段,数段之比听分晓； 长短之比二比一,灵活运用掌握好． 外 心 三角形有六元素,三个内角有三边． 作三边的中垂线,三线相交共一点． 此点定义为外心,用它可作外接圆． 内心外心莫记混,内切外接是关键． 垂 心 三角形上作三高,三高必于垂心交． 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源； 点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

欧拉线：任意三角形的外心，垂心，重心必在同一直线，这条直线叫欧拉线。垂心到重心距离等于重心到外心距离的2倍。重心：三边中线的交点。定点到重心距离等于重心到中点距离的2倍。外心：三边中垂线交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。内心：三内角平分线交点。内心到三边的距离相等。垂心：三边高线的交点。垂心分每条高线的两部分乘积相等。旁心：同一条边上的外角平分线交点。旁心到三边距离相等。

方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。 所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =（V-2）·360度（2） 由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 所以 V+F-E=2.方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 F-E+V=2。 证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： （1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。 （2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 （3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 （4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 （5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 （6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 （7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。 （8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 即F′-E′+V′=1 成立，于是欧拉公式： F-E+V=2 得证。

一般三角形 的 Euler(欧拉)线是指： 三角形的 垂心H、重心G、外心O 三点共线 —— 称为Euler线 且 HG : GO = 2 : 1 用几何画板演示发现，正三角形的欧拉线是过三心（合一）且与某条边平行（有3条？）

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 利用向量证明，简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.∴向量OG=1/3向量OH，∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 还是向量做法，设△ABC的外心，重心，垂心分别为O，G，H。作△ABC的中点三角形DEF∵OD⊥AC∴OD⊥EF同理OE⊥DF，OF⊥DE∴O是△DEF的垂心。又EF∥AC，DF∥AB，DE∥BC且△ABC∽△DEF∴向量HB=-2向量OD，向量HA=-2向量OF，向量HC=-2向量OE∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC又向量BG=2/3向量BD=1/3（向量BA+向量BC）同理向量CG=1/3（向量CA+向量CB），向量AG=1/3（向量AB+向量AC）∴向量BG+向量AG+向量CG=向量0向量HG=向量HA+向量AG=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG向量OG=向量OA+向量AG=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC，3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC∴向量HG=-2向量OG 如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC∴AH∥OM连接OB、OC，易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径）又连接BH并延长交AC於D，则BD⊥AC∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC∴AH=2OM设OH和AM交於G，则△AHG∽△MOG∴AG:GM=AH:OM=2:1∴G是△ABC的重心，即O、M、G三点共线，且GH:GO=AG:GM=2:1

设△ABC的垂心、重心、外心分别为H,G,O,则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，向量OH=3向量OG所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半。

先证△AOB的欧拉线过△ABC重心G：向外作等边△ABD,其中心为M,AB中点为E,则ME=DE/3,GE=CE/3,连接MG交OE于F,由O是费马点知O在CD上，故EF=OE/3,即OF/EF=2,故F为△AOB重心，而又由∠AOB=120°，∠AMB=120°，AM=MB,得M是△AOB外心，由于MFG共线得到△AOB欧拉线MF过原三角形重心G.因此三条欧拉线交于一点——原三角形重心G.(PS:其实原三角形△ABC欧拉线也经过G.)

旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点. 一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外,三角形三个旁心构成的三角形称旁心三角形.在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。　　在平面三角形中:　　(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. 　　　　(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.　　(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合　　（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。　　（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

太简单了,就是欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半

三角形的“五心” 我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2均为0°; θ1,θ2取接近30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为34,2493,2509时,θ1=29.658°. 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等.

第一个：直接用解析几何证。省去辅助线一类烦人的东西。把各个点的坐标都设出来，比如(a,0),(0,b),(0,c)，然后代公式进去算，可以把垂心重心外心的坐标都算出来，算一下距离和斜率，就ok了。第二个：用第一问的结论，R和r都可以用a、b、c的式子来表示，算一下就是了。

有 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

设这两点为A（m1,n1),B(m2,n2) 求这两点所对应的一次函数y1=ax+b 求这条对角线的中点M(（m1+m2)/2,(n1+n2)/2) 求点A到点M的距离为l 过点M作A的垂线,求出这条直线的一次函数关系式y2=x/a+b" 设线上一点C（x,x/a+b") MC=l 求出x 可以算出两个x,代入y2,可得两个点,即是所求点

这个是三角形的一个性质,垂心到某一顶点的距离等於外心到该顶点对边距离的二倍.而且其实你的证明有点本末倒置,因为本身这个性质的向量证明恰好是通过OH→=OA→+OB→+OC→得到的,你现在用结果推出原因简直就是胡说八道证明这个很简单作△ABC的外接圆和直径AE,连接BE,CE那麼BE⊥AB,CE⊥AC∵H是垂心,∴HB⊥AC,HC⊥AB∴有HB∥CE,HC∥BE,那麼四边形BECH是平行四边形∴BE→=HC→BE→=BO→+OE→=-OB→-OA→HC→=HO→+OC→=-OH→+OC→∴OH→=OA→+OB→+OC→

有莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　五心重心：三角形三条中线(顶点到对边中点的连线)的交点。垂心：三角形三条高(顶点到对边的垂线)的交点。内心：三角形三条内角平分线的交点。外心：三角形三边中垂线(垂直平分线)的交点。旁心：三角形一内角平分线和另两角的外角平分线的交点。(三角形只有五种心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　四圆内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。欧拉圆：以垂心与外心连线的中点为圆心，以外接圆半径之半为半径的圆，与三角形的内切圆、三个旁切圆均相切。又称“九点圆”，即三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点九点共圆。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三点勒莫恩点：三条顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心。奈格尔点：三条顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心。欧拉点：三个顶点与垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一线欧拉线：外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线上，即外心、重心、九点圆圆心、垂心四点共线，这条直线称为欧拉线。(欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离之半)

三角形ABC 中线为DEF，交点为O，则六块面等。证明过程如下：∵BOD和△COD等底等∴S△BOD=S△COD同理,S△AOE=S△COE,S△AOF=S△BOF∵EF∥BC,△BFC和△BEC同底等高∴S△BFC=S△BEC∵S△BOF=S△BFC-S△BOC,S△BOF=S△BEC-S△BOC∴S△BOF=S△BOF同理,S△AOE=S△BOD,S△AOF=S△COD所以S△BOD=S△COD=S△AOE=S△COE=S△AOF=S△BOF中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四种比较容易理解的方法。特殊点、线：五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，埃及金字塔等等。

这道题比较复杂，工具所限我就不画图了~~D是做CD垂直于BC在圆O上的交点，容易知道∠BOD=2∠BCD=180°，即BOD共线；因为A、B、C、D都在圆O上，所以∠ACD=∠ABD=∠ABO=∠BAO，∠CAD=∠CBD=∠CBO=∠OCB，∠OCA=∠OAC。于是∠BCD=∠ACD+∠OCB+∠OCA=∠BAO+∠CAD+∠OAC=∠BAD=90°。则DA垂直于AB，于是DA和CH平行。又DC垂直于BC，所以DC与AH平行。所以AHCD为平行四边形~~向量AH=DC。第二问则是早就知道了的，DO=OB。基本就是这样，不知是否满意~~

任意三角形的垂心，重心，外心三点都共线;三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉线的证明(请看“参考资料”的图)作△ABC的外接圆(圆心为O,垂心为H)，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"∵BD是直径;∴∠BAD、∠BCD是直角;∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC;∴DA‖CH，DC‖AH;∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC.∵M是BC的中点，O是BD的中点;∴OM=DC;∴OM=AH∵OM‖AH;∴△OMG"∽△HAG";∴G"是△ABC的重心∴G与G"重合;∴O、G、H三点在同一条直线上假设CH为∠ACB的角平分线,则等腰ΔBOC≌等腰ΔAOC∴CB=CA.∴四心共线（内、外、垂、重心)的三角形为等腰三角形参考资料：http://baike.baidu.com/view/145768.htm

首先求出AB的中垂线方程，它与欧拉线的交点即为外心（－1，1）。由此可写出外接圆方程。c必在外接圆上，设C点坐标(Xo,Yo)，然后可得AC与AB中点m、n坐标，求出BM、CN方程，建立可得重心坐标X=(Xo+2)/3;Y=(Yo+4)/3代入欧拉线方程得方程1，与圆之方程2联立，可得C(-4,0).即得。

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 小学都应该掌握的重要定理2、射影定理(欧几里得定理) 重要3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 重要4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。重要7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点重要8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上高中竞赛中会用，不常用12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 高中竞赛的题目，不用掌握13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 重要14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 重要15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中竞赛需要，重要16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中竞赛需要，重要17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 显然的结论，不需要掌握18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上高中竞赛需要，重要19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 初中竞赛需要，重要20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复数后是显然的结论，不需要掌握21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要掌握22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 不需要掌握23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 不用掌握26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 不用掌握27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 初中竞赛需要，重要28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 不用掌握29、塞瓦定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 不用掌握32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线) 初中竞赛的常用定理33、西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 不用掌握35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。 不用掌握36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏). 不用掌握37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点不用掌握38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 不用掌握39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点不用掌握40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。 不用掌握41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用掌握42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 不用掌握43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。 不用掌握44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 不用掌握45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线 不用掌握46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点) 不用掌握47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 不用掌握48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆. 上面已经有了49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 不用掌握50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 不用掌握51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。不用掌握52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 不用掌握53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 不用掌握54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 不用掌握55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 这是我认为的平面几何中最漂亮最神奇的几个定理之一，但不用掌握56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 高中竞赛中常用57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 不用掌握58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 高中竞赛中偶尔会用59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 高中竞赛中偶尔会用60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。高中竞赛中重要，一般称做帕斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形

垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线.欧拉线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.莱昂哈德?65年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在...

稳定性

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。内容：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。 欧拉线的证明： 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG" ∽△HAG"。 ∴ 。 ∴ G"是△ABC的重心。 ∴ G与G"重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 [编辑]证明如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，再连DB、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…② ∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③，CH⊥AB…④ 由①、③可知DC‖AH，由②、④可知DA‖CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM，即AH=2OM。作BC边上的中线AM,连OM、OH；设OH交AM与点G" ∵OM⊥BC，△AHG"∽△MOG"，∴AG"=2G"M，因此G"即△ABC重心G。 故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。 [

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点Gu2019。∵BD是直径，u2234u2220BAD、u2220BCD是直角。u2234ADu22a5AB，DCu22a5BC。∵CHu22a5AB，AHu22a5BC，u2234DA‖CH，DC‖AH。u2234四边形ADCH是平行四边形，u2234AH=DC。∵M是BC的中点，O是BD的中点。u2234OM=DC。u2234OM=AH。∵OM‖AH，u2234△OMGu2019∽△HAGu2019。u2234。u2234Gu2019是△ABC的重心。u2234G与Gu2019重合。

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。　　欧拉线的证明： 　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四边形ADCH是平行四边形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG" ∽△HAG"　　∴AG/GM=2/1　　∴ G"是△ABC的重心　　∴ G与G"重合　　∴ O、G、H三点在同一条直线上 　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。　　欧拉线的证明： 　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四边形ADCH是平行四边形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG" ∽△HAG"　　∴AG/GM=2/1　　∴ G"是△ABC的重心　　∴ G与G"重合　　∴ O、G、H三点在同一条直线上 　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。 欧拉线的证明：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"。 ∵ BD是直径， ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB，DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB，AH⊥BC， ∴ DA‖CH，DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形， ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点，O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH， ∴ △OMG" ∽△HAG"。 ∴ 。 ∴ G"是△ABC的重心。 ∴ G与G"重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。

欧拉线　　三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。　　欧拉线的证明： 　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G"　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四边形ADCH是平行四边形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG" ∽△HAG"　　∴AG/GM=2/1　　∴ G"是△ABC的重心　　∴ G与G"重合　　∴ O、G、H三点在同一条直线上 　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.　　欧拉线的另证：　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。　　连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。　　连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF　　连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。　　

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线. 欧拉线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线. 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半. 欧拉线的证明： 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G" ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖CH,DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点,O是BD的中点 ∴ OM= DC ∴ OM= AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG" ∽△HAG" ∴ G"是△ABC的重心 ∴ G与G"重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上 顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线

垂心，重心，外心三点共线,这条线叫欧拉线。欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证明：作△abc的外接圆，连结并延长bo，交外接圆于点d。连结ad、cd、ah、ch、oh。作中线am，设am交oh于点g"∵bd是直径∴∠bad、∠bcd是直角∴ad⊥ab，dc⊥bc∵ch⊥ab，ah⊥bc∴da‖ch，dc‖ah∴四边形adch是平行四边形∴ah=dc∵m是bc的中点，o是bd的中点∴om=dc∴om=ah∵om‖ah∴△omg"∽△hag"∴g"是△abc的重心∴g与g"重合∴o、g、h三点在同一条直线上顺便指出任意三角形的垂心，重心，外心三点都共线

垂心定理啊！三角形的“五心”我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2均为0°; θ1,θ2取接近30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为34,2493,2509时,θ1=29.658°. 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等.

简单分析一下，答案如图所示

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。即，对任意三角形△ABC，设是I线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI2或作AB2+AC2=(BC)2+2AI2

三角形ABC 中线为DEF，交点为O，则六块面等。证明过程如下：∵BOD和△COD等底等∴S△BOD=S△COD同理,S△AOE=S△COE,S△AOF=S△BOF∵EF∥BC,△BFC和△BEC同底等高∴S△BFC=S△BEC∵S△BOF=S△BFC-S△BOC,S△BOF=S△BEC-S△BOC∴S△BOF=S△BOF同理,S△AOE=S△BOD,S△AOF=S△COD所以S△BOD=S△COD=S△AOE=S△COE=S△AOF=S△BOF中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四种比较容易理解的方法。特殊点、线：五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，埃及金字塔等等。

1. 三角不等式： 三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边.如果两者相等,则是退化三角形. 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角. 1. 勾股定理(毕氏定理)及其逆定理： 设三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c,则$ a^2+b^2=c^2 $等价于角C=90°. 1. 正弦定理（R为三角形外接圆半径）： $ frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(eta)} = frac{c}{sin(gamma)}=2R $ 1. 余弦定理： $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cdot cos (alpha) $ $ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cdot cos (eta) $ $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos (gamma) $ [编辑] 2.2 角度 三角形两只内角之和,等于剩下的一只的外角. 在欧几里德平面内,三角形的内角和等于180°. [编辑] 3 分类 [编辑] 3.1 锐角、钝角三角形 钝角三角形是其中一角为钝角（大于90°）的三角形,其余两角均小于90°. 锐角三角形的所有内角均为锐角（小于90°）. [编辑] 3.2 直角三角形 有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形. 成直角的两条边称为直角边,直角所对的边是斜边（hypotenuse）；或最长的边称为弦,底部的一边称作勾（又作句）,另一边称为股. 可以透过不同角度的直角三角形各边的比求得锐角三角函数. [编辑] 3.3 等边三角形 等边三角形（又称正三角形）,为三边相等的三角形.其三个内角相等,均为60°.它是锐角三角形的一种.设其边长是a,则其面积公式为$ frac{sqrt 3}{4}a^2 $. 等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状.六个等边三角形可以拼成一个正六边形. [编辑] 3.4 等腰三角形 等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形.等腰三角形中的两条相等的边被称为腰,而另一条边被称为底边,两条腰交叉组成的那个点被称为顶点,它们组成的角被称为顶角.等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上. 等腰三角形的底的垂直平分线,刚好又是对应角的角平分线,同时又是 等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式. 等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度. 等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度. [编辑] 3.5 退化三角形 面积为零的三角形. [编辑] 4 特性 三角形是具有稳定性：当三角形的三边确定后,它的形状、大小就不会改变. [编辑] 5 面积 [编辑] 5.1 已知两边及其夹角 设a、b为所知的两边,C为该夹角,三角形面积为$ frac{1}{2} $ab sin C. [编辑] 5.2 已知底和高 $ frac{1}{2} $底x高.因为两个相同的三角形叠合可成平行四边形. [编辑] 6 参考文献 [编辑] 6.1 已知三边长 希罗公式： 设p等于三角形三边和的一半： $ p=frac{a+b+c}{2} $ 则 $ S = sqrt{pleft(p-a ight)left(p-b ight)left(p-c ight)} $ 化简后就是： $ S = frac{1}{4} sqrt{left(a+b+c ight)left(a+b-c ight)left(a+c-b ight)left(b+c-a ight)} $ 秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法： $ sqrt{frac{1}{4} {(c^2a^2-(frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}} $ 基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法.设a ≥ b ≥ c,三角形面积为$ frac{1}{4} sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))} $ [编辑] 7 其他三角形有关的定理 * 拿破仑三角形 * 费马点 * 欧拉线 * 梅涅劳斯定理 [编辑] 8 三角形的五心 名称 定义 图示 备注 内心 三个内角的角平分线的交点三角形内接圆的圆心 外心 三条边的垂直平分线的交点三角形外接圆的圆心 垂心 三条高的交点重心 三条中线的交点被交点划分的线段比例为1:2 (靠近角的一段较长) 旁心 外角的角平分线的交点有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心 垂心（蓝）、重心（黄）和外心（绿）能连成一线,称为欧拉线.

看看以下参考资料 http://baike.baidu.com/view/26234.htm