十万火急：一个不等式问题

Jensen不等式：如果f(x)在(a，b)上是凸函数，x1，x2都在(a，b)上，证明不等式：f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立。证明：证明f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立，可以转化为证明f[(x1+x2)/2]-f(x1)≥f(x2)-f[(x1+x2)/2]成立。不妨设x10，是凹函数，故有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2]。不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

Jensen不等式，又名琴森不等式或詹森不等式（均为音译）。它是一个在描述积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系的不等式。它的一般形态是：1、当且仅当f ( x ) f(x)f(x)为下凸函数时有2、当且仅当f ( x ) f(x)f(x)为上凸函数时有相关信息数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（Johan Jensen）命名的一个重要不等式，琴生不等式也称之为詹森不等式，它本质上是对函数凹凸性的应用。琴生不等式具有许多作用，尤其是在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式证明往往比借助其他一般性理论更为容易。函数的凹凸性在高中数学中不做具体要求，事实上这是高等数学研究的函数的一个重要性质。琴生不等式也经常在高中数学练习或高考试题中出现，这也说明了高考命题的原则是源于教材而高于教材，同时也体现了为高校输送优秀人才的选拔功能性。性质Jensen不等式是关于凸性(convexity)的不等式。凸性是非常好的性质，在最优化问题里面，线性和非线性不是本质的区别，只有凸性才是。如果最优化的函数是凸的，那么局部最优就意味着全局最优，否则无法推得全局最优。不等式的特殊性质有以下三种：不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

詹森不等式是以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。不等式定义一般地，用纯粹的大于号“＞”、小于号“＜”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。整式不等式：整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。一元一次不等式：含有一个未知数（即一元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式。如3-x>0。同理，二元一次不等式：含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式。

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。Rao-Blackwell定理如果L是一个凸函数，一个亚西格玛代数，然后，从Jensen不等式的条件版本中，我们可以得到所以如果δ（X）是给定一个可观测量向量X的未观测参数θ的估计量;如果T（X）是θ的充分统计量;那么可以通过计算获得改进的估计量，即具有较小的预期损失L的意义，相对于θ的期望值δ在所有可能的观察值向量X上都可以与观察到的相同的T（X）值相匹配。这个结果被称为Rao-Blackwell定理。

琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件） 　　设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）. 　　加权形式为： 　　f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 　　ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 　　凸函数的概念： 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数,或下凸函数. 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数,或上凸函数. 　　同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称它们为严格的凹凸函数 　　琴生不等式说, 　　对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n) 　　如果上面凹凸是严格的,那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 　　现在我们看看如何证明琴生不等式,下面只对凸函数加以证明. 　　首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法 　　假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1) 　　(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n 　　=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 　　≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 　　≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) 　　=f((x1+x2+...+xn)/n) 　　所以对于所有2的幂,琴生不等式成立. 　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n 　　然后我们设 　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 　　代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论. 　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 　　显然,我们可以查看函数f(x)=x^2 　　由于 　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 　　所以f(x)=x^2是凸函数 　　所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn, 　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　也就是n阶平方平均不等式. 　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦. 　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论. 　　如果f(x)二阶可导,而且f""(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数） 　　如果f(x)二阶可导,而且f""(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数) 　　至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理） 　　有了这个结论以后,使用琴生不等式就非常方便了, 　　现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 　　比如 　　i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） 　　ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0

是。琴生不等式判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。

琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件） 　　设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数，f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）。 　　加权形式为： 　　f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 　　ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 　　凸函数的概念： 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或下凸函数。 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或上凸函数。 　　同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 　　琴生不等式说， 　　对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n) 　　如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 　　现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。 　　首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 　　假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) 　　(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n 　　=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 　　≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 　　≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) 　　=f((x1+x2+...+xn)/n) 　　所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 　　然后我们设 　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 　　代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 　　显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 　　由于 　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 　　所以f(x)=x^2是凸函数 　　所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　也就是n阶平方平均不等式。 　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。 　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。 　　如果f(x)二阶可导，而且f""(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数） 　　如果f(x)二阶可导，而且f""(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数) 　　至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理） 　　有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了， 　　现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 　　比如 　　i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） 　　ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1时） 　　iii) ((x1+x2+...+xn)/n)^n≥x1x2*...*xn 　　其中前面两个取f(x)=x^t就可以了 　　后面一个取f(x)=log(x)就可以了。

构造函数f(x)=xlnx，f"(x)=lnx+1，f""(x)=1/x>0所以f(x)下凸，由下凸函数的性质(即Jensen不等式)得f[(a+b+c)/3]≤[f(a)+f(b)+f(c)]/3即[(a+b+c)/3]u2022ln[(a+b+c)/3]≤(alna+blnb+clnc)/3而(abc)^(1/3)≤(a+b+c)/3，所以[(a+b+c)/3]u2022ln[(abc)^(1/3)]≤(alna+blnb+clnc)/3所以ln{(abc)^[(a+b+c)/3)]}≤ln[(a^a)(b^b)(c^c)]从而(abc)^[(a+b+c)/3)]≤(a^a)(b^b)(c^c)

琴生在1905年给出了一个定义：设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有 （1）则称 为[a,b]上的凸函数。若把（1）式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。凸函数的几何意义是：过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是：若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有 （2） 当且仅当 时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有 其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ，当且仅当 时等号成立。若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

取决于函数的凸性是不是严格的. 如果f(x)满足对任意x1 ≠ x2,都有f((x1+x2)/2) < (f(x1)+f(x2))/2. 那么f(x)的Jensen不等式只有在各变量都相等时取等. 因为若x1 ≠ x2,以两个(x1+x2)/2代替x1,x2可使一端取值严格减小,同时另一端不变. 如果存在x1 ≠ x2使f((x1+x2)/2) = (f(x1)+f(x2))/2. 作为凸性的结果,f(x)在x1,x2之间是线性的. 当各变量都落在该区间内时,Jensen不等式总是取等的. 一般的取等条件是:所有变量都相等,或所有变量都落在同一线性区间.

可以先加上自然对数，In。然后得In a^((a+b+c)/3) + In b^((a+b+c)/3) + In c^((a+b+c)/3) < In（a^a）+ In(b^b) + In(c^c).左再提出（a+b+c）/3 *（In(a)+In(b)+In(c)）<aIn（a）+ bIn(b) + cIn(c)

p(x|x)为已知结果为x的时候函数取值为x的概率,显然为1所以求期望时,每一个概率都是1,且取值为x,期望（平均值）自然为x求考证

琴生不等式成立是一个函数是凸函数的必要不充分条件（琴生不等式成立的逆否命题）

导数在证明不等式中的非常重要，有4种常用方法：1、利用泰勒公式证明不等式。2、利用中值定理证明不等式。3、利用函数的性质证明不等式。4、利用Jensen不等式证明不等式。导数公式指的是基本初等函数的导数公式，导数运算法则主要包括四则运算法则、复合函数求导法则（又叫“链式法则”）。一、什么是导数？导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f"(a)。二、基本初等函数的导数公式高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有：常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。它们的导数公式如下图所示：高中数学基本初等函数导数公式三、导数加、减、乘、除四则运算法则导数加、减、乘、除四则运算法则公式如下图所示：1、加减法运算法则导数的加、减法运算法则公式2、乘除法运算法则导数的乘、除法运算法则公式【注】分母g(x)≠0.为了便于记忆，我们可以把导数的四则运算法则简化为如下图所示的、比较简洁的四则运算公式。简化后的导数四则运算法则公式【注】分母v≠0.四、复合函数求导公式（“链式法则”）求一个基本初等函数的导数，只要代入“基本初等函数的导数公式”即可。对于基本初等函数之外的函数如“y=sin(2x)”的导数，则要用到复合函数求导法则（又称“链式法则”）。其内容如下。（1）若一个函数y=f(g(x))，则它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系如下图所示。复合函数导数公式（2）根据“复合函数求导公式”可知，“y对x的导数，等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”。【例】求y=sin(2x)的导数。解：y=sin(2x)可看成y=sinu与u=2x的复合函数。因为(sinu)"=cosu，(2x)"=2，所以，[sin(2x)]"=(sinu)"×(2x)"=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。五、可导函数在一点处的导数值的物理意义和几何意义（1）物理意义：可导函数在该点处的瞬时变化率。（2）几何意义：可导函数在该点处的切线斜率值。【注】一次函数“kx+b(k≠0)”的导数都等于斜率“k”，即(kx+b)"=k。

(1)构造指数函数f(t)=e^t， 则f"(t)=e^t>0，f""(t)=e^t>0. 故f(t)为下凸函数， 依Jensen不等式得 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2] (x≠y时为严格不等式) ∴(e^x+e^y)/2>e^[(x+y)/2].(2)构造函数f(t)=tlnt (t>0)， 则f"(t)=lnt+1，f""(t)=1/t>0， 故f(t)为下凸函数， 故依Jensen不等式得 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2] (x≠y时，为严格不等式) ∴xlnx+ylny>2·[(x+y)/2]ln[(x+y)/2] 即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2].(3)构造幂函数f(t)=t^n， 则f"(t)=nt^(n-1)， f""(t)=n(n-1)t^(n-2)>0， 故f(t)为下凸函数， 依Jensen不等式得 [f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2] ∴(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n。

a≤调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数≤b二元的易证，多元的就有点麻烦了。下面给二元的证明，多元的找本竞赛书看吧。以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。基础的，几何和算术：因(a-b)^2>=0，即(a+b)^2-4ab>=0，故a+b>=√(4ab)=2√(ab).调和与几何：利用上式，有1/(1/a+1/b)=ab/(a+b)<=ab/2√(ab).算术与平方：因(a^2+b^2)/2-(a/2+b/2)^2=(a-b)^2/4>=0，故√((a^2+b^2)/2)>=(a+b)/2.n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、cauchy不等式，jensen不等式等。另几个也是类似的。其中jensen不等式是关于凸函数性质的，证明要用到高等数学，不过比较广泛，上面的几个不等式好像都可以用它推出来。要看初等的证明方法还是看竞赛书吧调和:2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)2ab/(a+b)和a同乘a+b然后可以得到a^2+ab<2ab所以a≤调和平均数平方平均数≤b两边同平方(a^2+b^2)/2b^2同乘以2a^2+b^2<2b^2所以平方平均数≤b

这要看你你想达到什么水平了。。。 还有 jensen不等式Holder不等式和Minkowski不等式反向Holder不等式、反向Minkowski不等式Rado不等式Popovic不等式Jacobsthal不等式Carlson不等式HGA不等式的加细幂平均不等式Sierpinski不等式胡克不等式郝稚传不等式Henrici不等式Kober不等式等等。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，你可以问我

(1)f"(x)=e^x-e,在(-∞,1)内，f"<0,f单调下降；在(1,+∞)内，f">0,f单调上升；(2)此问不明确，如取x=1,m=2e，则f(x)<0(3)F(x)=f(x)+f(-x)=e^x-mx+e^(-x)+mx=e^x+e^(-x)设g(x)=-lnF(x)g"(x)=-[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)],g""(x)=-4/[e^x+e^(-x)]^2<0故g(x)是上凸函数，由Jensen不等式∑-1/n*lnF(n)<=-lnF(∑1/n*k)=-lnF((n+1)/2)即1/n∑lnF(n)>=lnF((n+1)/2)=1/2ln{e^[(n+1)/2]+e^[-(n+1)/2]}^2=1/2ln{e^(n+1)+2+e^[-(n+1)]}>1/2ln[e^(n+1)+2]ln[F(1)*F(2)*...*F(n)]>ln[e^(n+1)+2]^(n/2)故F(1)*F(2)*...*F(n)>[e^(n+1)+2]^(n/2)

先取自然对数，然后求导。为了证明导数非负，需要对凸函数x*log(x)用jensen不等式，有点舍近求远了……具体一点说是这样的：证明：(sum a[i]^r / n)^(1/r) 是变量 r 的增函数取对数之后，函数变成 (1/r)*log(sum a[i]^r / n)。导数为：(1/r^2)*[(sum a[i]^r * log a[i]^r) / (sum a[i]^r) - log (sum a[i]^r / n)]令x[i] = a[i]^r，则只要证明：(sum x[i]*log(x[i]))/n >= (sum x[i] / n)*log(sum x[i] / n)由函数 x*log(x) 的jensen不等式立刻得到上式成立

Ds平方等于2/(n-1)。样本方差上头的Σ(X均值-Xi)^2。服从卡方n-1分布。D(Σ(X均值-Xi)^2)= 2(n-1)。D(s^2)=D(Σ(X均值-Xi)^2/(n-1))=D(Σ(X均值-Xi)^2)/(n-1)^2=2/(n-1)。含义n-1的使用称为贝塞尔校正（Bessel"s correction），也用于样本协方差和样本标准偏差（方差平方根）。 平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。 标准偏差的无偏估计是技术上的问题，对于使用术语n-1.5的正态分布，形成无偏估计。

1.研究某随机变量的方差，有无穷多个样本，可以通过抽取一个样本集，以它的方差作为该随机变量方差的估计。当该样本集的样本数N趋于正无穷时，可以证明除以N－1才是无偏的，即收敛于该随机变量的方差；除以N是有偏的。因此采用无偏估计时除以N-1,而不是除以N。2.仅研究某样本集内样本数据的分散情况，除以N即可，这是方差原始的定义。

题目有问题啊!题在ΔABC中，a,b,c是三边长，s,r分别是ΔABC的半周长和内切圆半径。求证:a*b*c*A*B*C≥(2π/3)^3*r*Δ。证明设R为ΔABC的外接圆半径，据三角形恒等式:abc/(r^2*s)=4Rsr/r^2*s=4Rs/rs=2(sinA+sinB+sinC)/(sinA*sinB*sinC)=1/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]。所以得:abc*ABC/(r^2*s)=8(A/2)*(B/2)*(C/2)/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]，对凹函数f(x)=x/sinx,利用Jensen不等式得:(A/2)*(B/2)*(C/2)/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]≥(π/3)^3，故得:abc*ABC≥(2π/3)^3*r^2*s。证毕。

解题过程如下图：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凹函数.若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。扩展资料琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数。加权形式为：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……

孩子不等式证明不会，不妨帮助孩子梳理不等式证明思路与方法，慢慢掌握证明思维就可以了。初等等式证明思路有：①作差、作商、析、综合、三角代换、反证、判别式、缩放、局部等式、磨光变换、增量代换；②重要等式均值等式、柯西等式、排序等式；③构造包括构造函数结合导数利用单调性证明、构造向量、构造复数、构造图形；④参加比赛经用切线、赫尔德等式、权等式、母等式、舒尔等式、凸函数(Jensen等式)、卡尔松等式、微值定理等.。

MODE2（SD）数据M＋数据M＋SHIFT22＝（这是标准差）然后平方就是方差。如果要再算一组数据，按SHIFTMODE1（scl）=这样可以清除上一组数据取消算样本方差的模式，按SHIFTMODE2（mode）=样本方差为构成样本的随机变量对离散中心x之离差的平方和除以n-1，用来表示一列数的变异程度。样本方差可以理解成是对所给总体方差的一个无偏估计。E(S^2)=DX。n-1的使用称为贝塞尔校正（Bessel"s correction），也用于样本协方差和样本标准偏差（方差平方根）。 平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。 标准偏差的无偏估计是技术上的问题，对于使用术语n-1.5的正态分布，形成无偏估计。以上内容参考：百度百科-样本方差

1、a<=x<=b，而w(x)>=0，不等式乘以w(x)得aw(x)<=xw(x)<=bw(x)。在[a，b]上积分有b=b*∫b→a w(x)dx≥∫b→a x*w(x)≥a*∫b→a w(x)dx=a。2、由于f(x)是凹函数，由Jensen不等式，取xi=a+i(b-a)/n，i=1,2,...，n，dxi=(b-a)/nf[(求和(i=1到n)w(xi)xi*dxi)/(求和(i=1到n)w(xi)*dxi)]<=[求和(i=1到n)w(xi)f(xi)*dxi]/[求和(i=1到n)w(xi)*dxi]令n趋于无穷并利用积分的定义以及f(x)的连续性知道有f[(∫b→a x*w(x)dx)/（∫b→a w(x)dx）]<=[∫b→a w(x)*f(x)dx]/[∫b→a w(x)dx]，注意到条件即知结论成立。

（琴生（Jensen）不等式）如果f(x)在(a,b)上是凸函数，x1，x2都在(a,b)上，证明不等式：f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立.证明：证明f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立可以转化为证明f[(x1+x2)/2]-f(x1)≥f(x2)-f[(x1+x2)/2]成立.不妨设x1<x2.根据拉格朗日（Lagrange）中值定理，可得：f[(x1+x2)/2]-f(x1)=f"(ξ1)(x2-x1)/2, f(x2)-f[(x1+x2)/2=f"(ξ2)(x2-x1)/2,其中ξ1在x1和(x1+x2)/2之间，ξ2在(x1+x2)/2和x2之间，由假定条件x1<x2可知，ξ1<ξ2.由于f(x)在(a,b)上是凸函数，所以f(x)在(a,b)上满足f""(x)<0,所以f"(x)在(a,b)上递减，由于ξ1<ξ2，则有f"(ξ1)>f"(ξ2)，所以{f[(x1+x2)/2]-f(x1)}-{f(x2)-f[(x1+x2)/2]}=(x2-x1)[ f"(ξ1)- f"(ξ2)]/2>0,所以f[(x1+x2)/2]-f(x1)>f(x2)-f[(x1+x2)/2]，所以f[(x1+x2)/2]>1/2[f(x1)+f(x2)].如果假设x1<x2，结果是一样的；如果x1=x2，则显然f[(x1+x2)/2]=1/2[f(x1)+f(x2)],因此我们证明了f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立.同理如果f(x)在(a,b)上是凹函数，x1，x2都在(a,b)上，则有不等式：1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]成立.对f(x)=tanx求二阶导数：f"(x)=1/cos^2xf""(x)=1/cos^3x*(-2)*(cosx)"=2tanx/cos^2x显然当x∈(0,π/2)时f""(x)>0,是凹函数，故有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2].…………………………忘了你是高一的了，用初等数学的话tan[(x1+x2)/2]=(tanx1/2+tanx2/2)/(1-tanx1/2tanx2/2)tanx1=(tanx1/2+tanx1/2)/(1-tan^2x1/2)tanx1=(tanx2/2+tanx2/2)/(1-tan^2x2/2)作代换a=tanx1/2<1,b=tanx2/2<1问题变为：2a/(1-a^2)+2b/(1-b^2)>2(a+b)/(1-ab)a/(1-a^2)-a/(1-ab)>b/(1-ab)-b/(1-b^2)a^2(1-b)/(1-a^2)(1-ab)>b^2(a-1)/(1-ab)(1-b^2)显然右边值<0,左边>0,所以证明了2a/(1-a^2)+2b/(1-b^2)>2(a+b)/(1-ab)，所以有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2].

高中数学合集百度网盘下载链接：https://pan.baidu.com/s/1znmI8mJTas01m1m03zCRfQ?pwd=1234提取码：1234简介：高中数学优质资料下载，包括：试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。

Jensen不等式，又名琴森不等式或詹森不等式（均为音译）。它是一个在描述积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系的不等式。jensen不等式也就是琴生不等式，琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式。不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

詹森不等式是以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。它本质上是对函数凹凸性的应用。詹森不等式具有许多作用，尤其是在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式证明往往比借助其他一般性理论更为容易。詹森不等式的重要性函数的凹凸性在高中数学中不做具体要求，事实上这是高等数学研究的函数的一个重要性质。詹森不等式也经常在高中数学练习或高考试题中出现，这也说明了高考命题的原则是源于教材而高于教材，同时也体现了为高校输送优秀人才的选拔功能性。而函数凹凸性的一个重要定理就是琴生不等式。

琴生（jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）.加权形式为：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数,或下凸函数.【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数,或上凸函数.同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称它们为严格的凹凸函数琴生不等式说,对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n)如果上面凹凸是严格的,那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立现在我们看看如何证明琴生不等式,下面只对凸函数加以证明.首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1)(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)=f((x1+x2+...+xn)/n)所以对于所有2的幂,琴生不等式成立.现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n然后我们设x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论.现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2显然,我们可以查看函数f(x)=x^2由于(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2所以f(x)=x^2是凸函数所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)也就是n阶平方平均不等式.从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦.不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论.如果f(x)二阶可导,而且f""(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数）如果f(x)二阶可导,而且f""(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数)至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理）有了这个结论以后,使用琴生不等式就非常方便了,现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式比如i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t,(t>1时）ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t,(0

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 凸函数的概念： 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。 同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说， 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2+...+xn)/n) 所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 (x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凸函数 所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式。 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。 不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。 如果f(x)二阶可导，而且f""(x)>=0,那么f(x)是凸函数 如果f(x)二阶可导，而且f""(x)<=0,那么f(x)是凹函数 至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理） 有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了， 现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 比如 i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n<=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1时） iii) ((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1x2*...*xn 其中前面两个取f(x)=x^t就可以了 后面一个取f(x)=log(x)就可以了。

琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件） 　　设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）. 　　加权形式为： 　　f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 　　ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 　　凸函数的概念： 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数,或下凸函数. 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数,或上凸函数. 　　同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称它们为严格的凹凸函数 　　琴生不等式说, 　　对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n) 　　如果上面凹凸是严格的,那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 　　现在我们看看如何证明琴生不等式,下面只对凸函数加以证明. 　　首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法 　　假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1) 　　(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n 　　=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 　　≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 　　≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) 　　=f((x1+x2+...+xn)/n) 　　所以对于所有2的幂,琴生不等式成立. 　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n 　　然后我们设 　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 　　代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论. 　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 　　显然,我们可以查看函数f(x)=x^2 　　由于 　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 　　所以f(x)=x^2是凸函数 　　所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn, 　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　也就是n阶平方平均不等式. 　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦. 　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论. 　　如果f(x)二阶可导,而且f""(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数） 　　如果f(x)二阶可导,而且f""(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数) 　　至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理） 　　有了这个结论以后,使用琴生不等式就非常方便了, 　　现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 　　比如 　　i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） 　　ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0

zjpzjpzjp12345 ，你好： 琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸), 称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 要使用jensen 不等式，你就必须先判定一个式子是凸性的，分上凸和下凸两种。凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。 同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说， 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凹函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2+...+xn)/n) 所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 (x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凹函数 所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式。 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

构造函数f(x)=xlnx，f"(x)=lnx+1，f""(x)=1/x>0所以f(x)下凸，由下凸函数的性质(即Jensen不等式)得f[(a+b+c)/3]≤[f(a)+f(b)+f(c)]/3即 [(a+b+c)/3]u2022ln[(a+b+c)/3]≤(alna+blnb+clnc)/3而 (abc)^(1/3)≤(a+b+c)/3，所以[(a+b+c)/3]u2022ln[(abc)^(1/3)]≤(alna+blnb+clnc)/3所以 ln{(abc)^[(a+b+c)/3)]}≤ln[(a^a)(b^b)(c^c)]从而 (abc)^[(a+b+c)/3)]≤(a^a)(b^b)(c^c)

琴生在1905年给出了一个定义:设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有 (1)则称 为[a,b]上的凸函数。若把(1)式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。凸函数的几何意义是:过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是:若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有 (2) 当且仅当 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。 更为一般的情况是:设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有 其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ，当且仅当 时等号成立。若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

琴生在1905年给出了一个定义:设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有(1)则称 为[a,b]上的凸函数。若把(1)式的不等号反向，则称这样的 为[a,b]上的凹函数。凸函数的几何意义是:过 曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是:若函数 的是[a,b]上的凸函数，则对[a,b]内的任意数 ，都有(2) 当且仅当 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。 更为一般的情况是:设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有 其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数，则对任意 有 ，当且仅当 时等号成立。若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。

f(x)=lnx是凹函数, 利用Jensen不等式得(lnx1+...+lnxn)/n<=ln((x1+...+xn)/n), 再取指数就得到几何--算术平均不等式.把xk用1/xk代替就得到调和--几何平均不等式.

设总体X～N（μ,σ^2）X1,X2,X3,X4是来自该总体的一个样本,求样本方差介于(X1+X2)^2/(X3-X4)^2的分布之间的概率样本方差Sn运用定理（n-1）Sn^2/σ^2服从自由度为（n-1）的χ方分布代入数据(9-1)*6/16=3 (9-1)*14/16=7查表+线性插入计算得P(X1+X2)^2/(X3-X4)^2=0.562所以P=0.932-0.562=0.37扩展资料样本方差可以理解成是对所给总体方差的一个无偏估计。E(S^2)=DX。n-1的使用称为贝塞尔校正，也用于样本协方差和样本标准内偏差（方差平方根）。 平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。标准偏差的无偏估计是一个技术上涉及的问题，尽管对于使用术语n-1.5的正态分布，形成无偏估计。无偏样本方差是函数（y1，y2）=（y1-y2）2/2的U统计量，这意味着它是通过对群体的两个样本统计平均得到的。

a、b∈R+,且a+b＝1.本题目的解法非常多，选个简单的：方法一：ab≤[(a+b)/2]^2＝1/4.设ab＝t≤1/4,则(a+1/a)(b+1/b)＝(ab+1/ab)+(a/b+b/a)≥(ab+1/ab)+2√(a/b·b/a)＝(t+1/t)+2.依对勾函数单调性知，0<t≤1/4时，f(t)＝t+1/t递减.即f(t)≥f(1/4)＝17/4.故所求最小值为：(17/4)+2＝25/4。方法二：构造函数f(t)＝ln(t+1/t),用导数易判断，f(t)为下凸函数，∴依Jensen不等式得f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2]＝2f(1/2)＝ln(25/4)∴ln(a+1/a)+ln(b+1/b)≥ln(25/4)→(a+1/a)(b+1/b)≥25/4.故所求最小值为：25/4。

构造上凸函数：f(t)＝ln[(sint)/t], 则依Jensen不等式得 f(x1)+f(x2)+…+f(xn)<n·f[(x1+x2+…+xn) bdsfid="116" n] ∴ln[(sinx1)/x1]+ln[(sinx2)/x2]+…+ln[(sinxn)/xn]<n·ln[(sin(x1+x2+…+xn) bdsfid="117" n)] →∏[(sinxn)/xn]<[(sin(1/n·∑xn))/(1/n·∑xn)]^n. 故原不等式得证.

构造函数f(t)＝lnt (t>0)则f"(t)＝1/t, f"(t)＝-1/t^2<0.即f(t)为上凸函数，故依Jensen不等式得1/2[f(x)+f(y)]≤f[(x+y)/2]∴1/2(lnx+lny)≤ln[(x+y)/2].当x≠y时，上式为严格不等式，即1/2(lnx+lny)<ln[(x+y)/2]。

　　因为 a≥0,b≥0,c≥0 且 a+b+c=1, a,b,c为轮次对换式，所以，　　设 a = 1 / 4 b = 1 / 4 c = 2 / 4　　代入 a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2) = 74 / 85 ＜ 9/10　　设 a = b = c = 1 / 3 这时取最大值，　　代入 a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2) = 9/10　　所以a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2)≤9/10

琴生不等式秒杀高考导数压轴是以丹麦数学家约翰·琴生（Johan Jensen）命名的一个重要不等式，琴生不等式也称之为詹森不等式，它本质上是对函数凹凸性的应用。琴生不等式具有许多作用，尤其是在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式证明往往比借助其他一般性理论更为容易。函数的凹凸性在高中数学中不做具体要求，事实上这是高等数学研究的函数的一个重要性质。琴生不等式也经常在高中数学练习或高考试题中出现，这也说明了高考命题的原则是源于教材而高于教材，同时也体现了为高校输送优秀人才的选拔功能性。具备性质不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

a≤调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数≤b二元的易证，多元的就有点麻烦了。下面给二元的证明，多元的找本竞赛书看吧。以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。基础的，几何和算术：因(a-b)^2>=0，即(a+b)^2-4ab>=0，故a+b>=√(4ab)=2√(ab).调和与几何：利用上式，有1/(1/a+1/b)=ab/(a+b)<=ab/2√(ab).算术与平方：因(a^2+b^2)/2-(a/2+b/2)^2=(a-b)^2/4>=0，故√((a^2+b^2)/2)>=(a+b)/2.n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、cauchy不等式，jensen不等式等。另几个也是类似的。其中jensen不等式是关于凸函数性质的，证明要用到高等数学，不过比较广泛，上面的几个不等式好像都可以用它推出来。要看初等的证明方法还是看竞赛书吧调和:2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)2ab/(a+b)和a同乘a+b然后可以得到a^2+ab<2ab所以a≤调和平均数平方平均数≤b两边同平方(a^2+b^2)/2b^2同乘以2a^2+b^2<2b^2所以平方平均数≤b

不等式的证明，基本方法有以下几种,你都好好看看,把每种题型都背下来,相信你能学好的! 比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法 综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。 分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。 换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考 反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立 放缩法： 用柯西不等式证。等等…… 高考不是重点，但是难点。 大学数学也会讲到柯西不等式。如果a、b都为实数，那么a平方+b平方≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。） 和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等） 积定和最小：当ab=P是，a+b≥2√P（a=b取等概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数 算术平均数，arithmetic mean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average 几何平均数，geometric mean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根 设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号[编辑本段]●【均值不等式的变形】 (1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b) (4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab (7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）[编辑本段]●【均值不等式的证明】 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn) 即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)[编辑本段]●【均值不等式的应用】 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16[编辑本段]●【均值不等式的总结】 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号【柯西不等式的证法】 柯西不等式的一般证法有以下几种： ■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 ■②用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2) 这就证明了不等式． 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．[编辑本段]【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 ■巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．

构造下凸函数f(t)＝tlnt, 利用Jensen不等式。首先明白1/p+1/q＝1时，则“x/p+y/q”是x、y的平均∴f(t)＝t·lnt→f"(t)＝lnt+1f"(t)＝1/t,当t>0时,f"(t)>0故f(t)为下凸函数故依Jensen不等式得∴(x/p)lnx+(y/q)lny≥(x/p+y/q)ln[(x/p)+(y/q)].当y>x>0时，上式不能取等，是严格不等式，∴(x/p+y/q)ln[(x/p)+(y/q)]<(x/p)lnx+(y/q)lny.原不等式得证。简介一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f "(x) (y u2212 x）。特别地，如果f "(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。