寸头二姐 -
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。
如圆周率、2的平方根等。
实数（real
munber)分为有理数和无理数(irrational
number)。
·无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0,
4/5=0.8,
1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为p/q
为既约分数。
把
√2=p/q
两边平方
得
2=(p^2)/(q^2)
即
2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p
必定为偶数，设p=2m
由
2(q^2)=4(m^2)
得
q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。
由来：
毕达哥拉斯
（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间），从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满，还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略山水风光，以驱散一天的疲劳。这天，风和日丽，海风轻轻的吹，荡起层层波浪，大家心里很高兴。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”
“我看不一定。”这时船尾的一个学者突然提问了，他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？”
“那就是小数。”“要是小数既除不尽，又不能循环呢？”
“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”
这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示，就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。”
这个提问的学者叫希帕索斯（Hippasus)，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，还不想发表自己这个新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生的理论置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聪明的大眼，伸出两手，用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：
“如果直边是3，斜边是几？”
“4。”
“再准确些？”
“4.2。”
“再准确些？”
“4.24。”
“再准确些呢？”
大个子的脸涨得绯红，一时答不上来。希帕索斯说：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”这话像一声晴天霹雳，全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论，敢破坏我们学派的信条！敢不相信数字就是世界！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“我这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的。你们可以随时去验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。”“打死他！批死他！”大胡子冲上来，当胸给了他一拳。希帕索斯抗议着：“你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时大个子也冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他的躯体，再也没有出来。这时，天空飘过几朵白云，海面掠过几只水鸟，一场风波过后，这地中海海滨又显得那样宁静了。
一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是3.1415926535897932384626……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理。
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
西柚不是西游 -
无理数的发现
在人们对数的认识过程中，首先接触到的是自然数1，2，3……。这些数可用于数离散对象的个数。但在实际生活中有些对象不能简单地用数的方法来度量。比如长度，只能通过测量的方法来进行。在测量一个物体的长度时，是将它的长度与所取的单位长度进行比较，其结果可能会出现分数。我们定义有理数为两个整数之比，其中q≠0，就是这个道理。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。因此，每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。起初人们认为，这些有理数的对应点充满了整条直线（如图1）
但是，古希腊的毕达哥拉斯学派的人发现了直线上还存在着不与任何有理数相对应的点。特别是他发现了这样的一点P，使得OP的长度恰好等于以单位长度1为边长的正方形的对角线的长度（如图2）。后来，他们又发现了更多这样的点，它们也都不对应于任何有理数。因此，只有发明一些新的数来与这样的点对应，但这些数又不可能是有理数，所以把它们称为无理数。实际上，有理数和无理数的英文原名为“rational number”和“irrational number”,把它们叫做“比数”和“非比数”可能更为恰当，也更能体现它们本身的性质。
根据勾股定理，边长为1的正方形其对角线长度。毕达哥拉斯学派是用下面的方法来证明是无理数的：
假设是有理数，即=，其中p和q是互素的整数，于是
p=q
两边平方得：
P2=2q2
于是P2是一个整数的2倍，所以P2必须是偶数，从而a也必须是偶数。令p=2r，这时上面最后一个等式就变成
4 r2=2 q2
即
2 r2= q2
由此可知，q2是偶数，从而p与q均为偶数，这与我们的假设p与q互素相矛盾。因此是有理数的假设不成立，也就是说是无理数。
在毕达哥斯学派之后，施乐尼的泰奥多勒斯（Theodorus,约公元前425年）又证明了、、、、、、、、、、、也是无理数。泰奥多勒斯的构造方法如下图3：
毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”。他们认为的数，就是比数或者有理数，突然间冒出来他们无法处理的非比数或者无理数，引起了毕达哥拉斯学派的极大震惊和恐慌，这对于基于整数或整数比的毕氏学派哲学来说，简直是一次致命的打击。
另外，作为非比数的无理数，也很难被人们的直观感觉所接受。受。通常人们以为，如果给定两条线段，必定能够找出第三条线段，使得给定的两条线段都包含这个线段的整数倍。也就是说，人们从直觉上相信，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。毕氏学派关于比例理论的所有结论都建立在可通约量之上。作为非比数的无理数的发现，实际上是发现了不可通约量或称不可公度比。发现了无理数的毕达哥拉斯学派。为了掩饰这～发现与他们的信条之间的矛盾，在很长一段时间，他们费了很大精力保守这个秘密，不准外传。据说，毕氏学派的一个成员希帕苏斯（Hippasus）把这个秘密泄露了出去，结果竟然被该学派的忠实信徒们扔进了大海；另外一个说法是他被开除出学派，别人把他当成死人，还为他立了一块墓碑。
关于有理数（比数）和无理数（非比数）的问题，也就是不可公度比以及一切量的比例问题，直到大约公元前37O年，由古希腊数学家欧多克索通过给比例下新的定义的办法解决了。他的处理不可公度比的方法，后来出现在欧几里得的《几何原本》中，并且与无理数的现代解释是基本一致的。但是，古希腊人仍然对无理数存有戒心。他们在算术、代数里坚持排斥无理数，只是在几何里不得不承认不可公度量。其结果是，数与量分而治之，算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展，使得古希腊数学的 发展不平衡，向几何学倾斜，这种影响在西方持续了近2000年。与东方数学较早接纳无理数，算术和代 数蓬勃发展形成了鲜明的对照。
最后，我们留一个关于不可公度比的问题请读者思考：证明正五边形ABCDE中（如图4），边长a与对角线b之比是一个“非比数”。
提示：如图，b=a+r1, a=r1+r2, r1=r2+r3,…r1k-1=rk+rk+1…,如此永远继续下去，永无止境！
北境漫步 -
无理数
有理数包括(整数,有限小数,无限循环小数)
无理数指无限不循环小数
特别要注意的是无限循环小数 很多人常误以为它属于无理数
等到了高中{有理数}={分数}={循环小数}
volcanoVol -
无理数是指无限不循环小数
大鱼炖火锅 -
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯将无理数透露给外人因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
简单说无理数就是无限不循环小数！
莫妮卡住了 -
无限不循环小数叫做无理数，比如根号2
ardim -
不能表示成分数的数，也就是无限不循环小数
瑞瑞爱吃桃 -
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
安徽路人假 -
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数，它会是有无限位数、非循环的小数。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
有理数包括(整数,有限小数,无限循环小数)
无理数指无限不循环小数
特别要注意的是无限循环小数
很多人常误以为它属于无理数
豆豆staR -
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
陶小凡 -
无法用有限小数或无限循环小数表示的数
LuckySXyd -
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
CPS小天才 -
无限不循环的数.像1.010010001...这样的.
再也不做站长了 -
数学上的定义他们都说了，我就不再提了，我只说说我的理解，无理数，就是毫无规则的数字，比如：π，这就是一个无限不循环小数，毫无规律，但他就是一个数。
再比如：0.1001000100001000001.......这也是无理数。
奇石珠宝真君 -
无理数：就是无限不循环小数。例如：圆周率π=3.141592653589793238……