施密特正交化公式

施密特正交化是一种将一组线性无关的向量正交化的方法。详细计算过程如下：1. 设有一组向量组成的集合 {v1，v2，...，vn}。2. 取第向量 v1 正交化的基础。3. 对剩余向量进行正交化，即计算它们在 v1 上的投影并从原向量中减去该投影。4. 重复上述步骤，以第 i 个向量正交化的基础，并用它对剩余向量进行正交化。 a. 计算第 i 个向量在前 i - 1 个向量的线性组合下的投影，并从原向量中减去该投影。 b. 对第 i 个向量进行标准化，得到正交向量 vi 。5. 对于所有向量得到的正交向量集合 {v1，v2，...，vn}，计算它们的长度并归一化。6. 最终得到一组正交化的向量 {u1，u2，...，un}。施密特正交化的计算过程中主要涉及向量的加减、点积、取模等基本运算。需要注意的是，当原向量集合中存在线性相关的向量时，施密特正交化无法得到一组正交的向量。此时需要先进行向量组的基变换或者使用其他的正交化方法。

施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为标准正交向量组的方法。其详细计算过程如下：设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是 $n$ 个线性无关的向量组，需要将它们转化为标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$，其中 $q_1$ 是与 $a_1$ 方向相同的单位向量。1. 先对第向量 $a_1$ 进行单位化，得到单位向量 $q_1 = \frac{a_1}{\left\|a_1\right\|}$。2. 对于 $i = 2, 3, ..., n$，定义 $u_i = a_i - \sum_{j=1}^{i-1}\left\langle a_i,q_j\right\rangle q_j$，其中 $\left\langle a_i,q_j\right\rangle$ 表示向量 $a_i$ 在向量 $q_j$ 上的投影。这一步的目的是让 $u_i$ 不再与前面已经处理过的向量正交。3. 然后对 $u_i$ 进行单位化，得到单位向量 $q_i = \frac{u_i}{\left\|u_i\right\|}$。这一步是将 $u_i$ 转化为与前面已经处理过的向量正交的单位向量。4. 重复步骤 2 和 3 直到处理完所有的向量。最终得到的标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$ 满足 $\left\langle q_i,q_j\right\rangle = \begin{cases}1 u0026 i=j \\ 0 u0026 ieq j\end{cases}$，即它们两两正交，且长度都为 1。

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。正交向量组简介：正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

如下：施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。相关信息：施密特正交化首先需要向量组b1,b2,b3...一定是线性无关的。一般解决的问题是特征向量，同一个特征值的特征向量不一定是线性无关的，但是不同特征值的特征向量一定是线性相关的。选取向量b1作为基准向量c1，那么c2就等于b2减去b2和c1的内积除以c1和c1的内积再乘以c1，记住诸侯一定是矩阵的形式。包括c3等于b3减去b3与c1的内积乘以b1减去c3与b2的内积除以c2与c2的内积乘以c2。

施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。正交：在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

对于n阶矩阵，正交变换求正交矩阵时,如果同一特征值的特征向量没有正交，则需要施密特正交化使其正交。施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。线性代数：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

施密特正交化是将线性无关向量构造标准正交向量，如果题目有要求就需要单位化，单位化的目的是为了得出正交阵（正交阵的列向量组是正交的单位向量）。施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，??，αm出发，求得正交向量组β1，β2，??，βm，使由α1，α2，??，αm与向量组β1，β2，??，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组。扩展资料：施密特正交公式：设{xn}是内积空间H中有限个或可列个线性无关的向量，则必定有H中的规范正交系{en}使得对每个正整数n（当{xn}只含有m个向量，要求n≤m），xn是e1，e2，?，en的线性组合。

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。正交向量组简介：正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

代数中的一种计算公式：一组向量，向量的模都是1，并且两个向量的乘积为0。这样的一个过程成为标准正交化。常用的方法是施密特标准正交化。保证选的一组基是正交的（有时也可看出某种意义下的垂直），然后保证每个都去单位长度。扩展资料：施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，αm出发，求得正交向量组β1，β2，βm，使由α1，α2，αm与向量组β1，β2，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。参考资料来源：百度百科-正交化

1、我们先假设3个需要规范化的向量，用下面的例子来进行讲解一下，这样可以理解的更加清楚。2、我们已经选取好需要进行正交化的向量了，第一步，我们要先进行正交化。3、对上面已经做完正交化之后的向量进行单位化，然后我们在对向量单位化。4、最后就是我们得出的结果了。

P被改变了!P原来是可逆矩阵, 被改变成正交矩阵Q.首先, 正交化是在属于同一个特征值的线性无关的特征向量之间进行的由正交化过程知道, 向量组正交化后得到的向量组与之前的向量组等价而属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是此特征值的特征向量故正交化后仍是属于同一个特征值的特征向量.其次. 特征向量单位化后仍是属于同一个特征值的特征向量.注意上面的措词, 正交化单位化后仍是属于同一个特征值的特征向量所以 仍然有 Q^-1AQ = P^-1AP 即原对角矩阵.

施密特正交化内积详细计算：[α1，β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4。施密特正交化（Schmidtorthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

斯密特正交化后能还原原矩阵。Gram-Schmidt正交化的每一步都是初等变换，当然保持秩不变。至于一楼所说的特征值不变纯属无稽之谈，Gram-Schmidt正交化未必只针对方阵，即使是方阵也不保证特征值不变。一般来讲特征向量不能做正交化，注意，是不可以，而不是不需要。正交化相当于QR分解，A=Q*Λ*Q^{-1}一般是不可能等价于A=(QR)*Λ*(QR)^{-1}。实现：通过施密特正交化方法就可以实现。下面就来介绍这个方法，由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。

不是实对称矩阵需要斯密特正交化，是转化为对角阵的转化矩阵需要斯密特正交化。斯密特正交化不是必须的，不过斯密特正交化后的矩阵具有独特的特点。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。所以我们如果把多重特征值对应的特征向量正交化后，所有的特征向量两两正交。如果再单位化。那么这些不同向量的内积为0，而自己与自己的内积为1。也就是说，这些特征向量构成的转化矩阵的逆就等于它的转置。这样的转化矩阵非常特殊很有用。而非实对称矩阵，保证不了不同特征值对应的特征向量之间的正交，所以即使多重特征值对应的多个特征向量做了正交化，也达不到想要的目

在将n阶实对称阵A对角化的过程中，我们希望得到一个正交阵P，使得P-1AP=∧。如果求得的特征值没有重根，对应的n个特征向量是两两正交的，这时n个特征向量组成的矩阵就是正交阵P；但如果特征值有r重根，那对应r重根特征值可求得r个线性无关特征向量，这r个特征向量虽与其他特征值对应的特征向量正交，但这r个特征向量本身并不一定正交。这时，需要通过施密特正交化，求得另外r-1个正交特征向量（可以证明通过施密特正交化求得的正交向量仍是特征向量，具体证明可参见附件相关章节），这样通过正交化后求得的n个特征向量都是两两正交的，这样才能得到正交阵P。当然这个过程中还可再将P单位化，即得到规范正交阵P，这样可使得求P的逆矩阵更加方便。

施密特正交化根据定义b3=a3-(a2，a3)。把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特(Schimidt)正交化过程。把a1，a2，...ar规范正交化，取b1=a1b2=a2-[b1，a2]b1/[b1，b1]。

施密特正交化方法是指

在高数的线性代数中我们会用到向量的正交规范化，下面就让我来给大家讲一下用施密特正交化方法将向量规范化。 01 首先选取3个需要规范化的向量，下面我们会用例子来讲解。 02 接下来对已经选取的向量进行正交化。 03 对上面已经做完正交化之后的向量进行单位化。 04 完成单位化之后，整理好所求结果就是最后正交规范化后的结果。

线性代数施密特正交化是480。

正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。问题不难，回答如下：

同学，这么巧实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量就已经相互正交了而相同特征值的不一定正交，对不正交的就要做Schmidt正交化

施密特正交化的意义：施密特正交化就是把非正交基变为正交基的。施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发。求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。施密特正交化的过程其实就是这种过程的重复。对于两个向量而言，以其中一个向量为基，构建出另一个与之垂直的向量。具体的构造方法就是利用两个向量的内积得到其中一个向量在基方向的投影向量，然后直接相减，就能得到垂直于基的向量。这种垂直其实就是来自于向量的内积过程，或者说投影过程。因此我们看到施密特正交化公式中有大量的内积。说起来似乎很复杂，我更喜欢用一句话来概括施密特正交化方法的核心：对于一个向量α和另一个基向量β，把α向量中与β向量平行的部分减去，剩下的就是和β向量垂直的部分这里平行于β向量的部分自然就是指α在β方向上的投影向量。把α向量看成是由β向量和垂直于β的向量的线性组合，可以很自然地得到上面的结论，这也是另一种理解方式。

特征值无重根，特征向量自然正交，不需正交化。特征值有重根时，重根对应的特征向量一般不正交，要求正交变换时需要正交化。如果你能对重特征值注意求出的正交的特征向量，就可避免正交化， 但求出本身不易。

施密特正交化方法，就是将一组线性无关的向量组，变成一组正交的向量组的方法。通过这个方法，可以将一个线性空间的基，变成一组正交基（orthogonal basis），甚至标准正交基（或规范正交基，orthonormal basis ）。这一方法的理论基础就是投影定理。它的方法如下：设 (v1,v2,u22ef,vp)(v1,v2,u22ef,vp) 是一组线性无关的向量组，我们令b1=v1b2=v2u2212v2u22c5b1||b1||2b1b3=v3u2212v3u22c5b2||b2||2b2u2212v3u22c5b1||b1||2b1u22efbp=vpu2212pu22121∑i=1vpu22c5bi||bi||2bib1=v1b2=v2u2212v2u22c5b1||b1||2b1b3=v3u2212v3u22c5b2||b2||2b2u2212v3u22c5b1||b1||2b1u22efbp=vpu2212∑i=1pu22121vpu22c5bi||bi||2bi那么， (b1,b2,u22ef,bp)(b1,b2,u22ef,bp) 是一组正交向量组。进一步，令e1=b1||b1||,e2=b2||b2||,u22ef,ep=bp||bp||e1=b1||b1||,e2=b2||b2||,u22ef,ep=bp||bp||则(e1,b2,u22ef,bp)(e1,b2,u22ef,bp) 是一组f规范正交向量组或标准正交组。P

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。正交向量组简介：正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

在线性代数中，施密特标准正交化是一种方法，用于将向量组转换为正交向量组，并且可以通过这种方法将正交向量组变为单位向量组。具体过程如下：1. 对于给定向量组$v_1,v_2,...,v_n$，令$u_1=v_1$2. 对于$i=2,3,...,n$，令$u_i=v_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{?v_i,u_j?}{?u_j,u_j?}u_j$3. 对于$i=1,2,...,n$，求$u_i$的模长$||u_i||$，令$e_i=\frac{1}{||u_i||}u_i$，则$e_1,e_2,...,e_n$就是所求的施密特标准正交化单位化后的向量组。其中，$?v_i,u_j?$表示向量$v_i$和$u_j$的内积，$||u_i||=\sqrt{?u_i,u_i?}$表示向量$u_i$的模长。这种方法可以将不正交的向量组转换为正交向量组，并且将正交向量组变为单位向量组，方便计算。

在二次型求标准形的过程中：如果二次型矩阵为A，要将二次型标准化，就是要找到矩阵C使得，能够实现如下变化：令x=Cy这样得到的二次型为标准形这样我们可以用“求特征值，然后求对应特征向量，得到一个由线性无关的特征向量构成的矩阵D”，该矩阵满足如下关系：D不一定是正交矩阵（这样就不能满足第一个式子），所以将D进行施密特正交化后，其转置矩阵便等于逆矩阵，这样就能满足第一个式子了，于是得到了进行二次型标准化的 可逆转换矩阵。

1、施密特是将一些不成交矢量正交化的过程。2、a1,a2,a3是给出的，b1,b2,b3是要求的，[b1,a2]/[b1,b1]是b1的系数。3、例如：b1=【1,2,3】，a2=【3,4,5】，则[b1,a2]=1*3+2*4+3*5

施密特正交化括号里算法：如果施密特正交化中单位化中双括号里是向量的模长的话,应该是把向量的各个分量先平方再相加。如果指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加。 施密特正交化括号里算法 施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的模长吧, 如果是向量的模长的话,应该是把向量的各个分量先平方再相加,然后再开算数平方根,就是模长了。 而如果施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加,就是内积了。 施密特正交化 施密特正交化，是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定正交。而我们只需要把相同特征值对应的几个特征向量正交化即可。而斯密特正交化还有一特点，不仅正交化，还单位化，即每个向量的模都是1。最后我们得到一组相互正交，而且模都是1的向量组。这个向量组有个特点，任意一个向量与自己做内积，结果都等于1，而其它向量的内积都等于0。于是这样的向量组构成的矩阵，转置即为它的逆。即变换矩阵P的逆，只要转置一下即可得到。

从线性无关向量组 到正交向量组 采取的方法就是正交化方法 可以看出一定的规律。以下图为例 首先，确定了一个基准，也就是a1。这一步是很关键的，没有参考也就谈不上描述了。 然后就是神奇的构造过程。 向量可看做是从原点引出的，所以两向量必有一公共点，也就是原点。所以这两个向量必确定一个平面。注：考虑两向量线性无关，所以不存在共线的情况。 对于平面向量，可以进行正交分解。对于a2，它可以分解为沿b1方向和垂直于b1方向的两个分量。于是考虑到可以考虑将b1方向的分量去除，这样就得到了⊥b1的向量，也就实现了正交化的目的。 具体的做法 先分解，再减去线性相关的分量，得到的就是正交的分量。 至于三维，四维，乃至n维向量，没有区别 最后，进行单位化，除以模长，得到单位向量。 这几天有了新的理解，关于 向量内积 在傅里叶级数的理解一文中，使用了内积来求分量，是一个不错的方法。介绍于下： 对于标准正交基： 对于正交基，无非是添上了系数，仍然反映坐标。 从而就很好理解了。

要将向量规范化，其中一种方法就是使用施密特正交化，具体步骤如下可参照下面例子：1、这里选取3个需要规范化的向量，如图所示。2、将3个向量正交化3、单位化以上向量4、单位化后进行整理，就是正交规范化后结果

具体参考知识：可逆矩阵的UT分解。在此，我简单的说一下：首先能正交化的矩阵必须是可逆的，也就是满秩，否则得话，它的列向量一定线性相关，那么它们根本不能作为N维空间的一组基，也就更谈不上将其正交化了。其次根据UT分解定理：对于任何可逆阵A，一定存在酉矩阵U和主对角线恒为正的上三角阵T，使得A=UT其实施密特正交化就是这个定理的逆用：U=T^(-1)AA为任意可逆阵，也就是为正交化之前的那个矩阵。U为酉矩阵（酉矩阵退化到实数范围就是正交阵），也就是施密特正交化之后的结果。T^(-1)还是上三角阵。从此可以看出，为什么施密特正交化过程中，b1只与a1有关，但b2与a1,a2有关，b3与a1,a2，a3有关。其实质是乘以了一个上三角阵。具体乘的过程中你就可以发现了。至于怎么求这个T^(-1)，其实是就求个向量在正交基上的投影系数，这个的推导，你可以看看内积空间的变换，向量a在向量b上的投影系数就是a,b做内积<a,b>，具体在这里说不太清楚。

先看2个（列）向量的正交化。设2向量V(1),V(2)线性无关。v(1) = V(1)/|V(1)|, v(2) = V(2)/|V(2)|是对应的2个单位向量。则，[v(1)]^T*{v(2) - [v(1)]^Tv(2)v(1)}= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^T*[v(1)]^Tv(2)*v(1)= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^Tv(2)*[v(1)]^T*v(1)【注意到，[v(1)]^Tv(2)是1个数。因此，可以提到乘积的前面来。而v(1)是单位向量，因此[v(1)]^Tv(1)=|v(1)|^2 = 1^2 = 1.】= [v(1)]^Tv(2) - [v(1)]^Tv(2)*1= 0所以，向量v(1)与v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)相互垂直。u(1)=v(1), u(2) = {v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)}/|v(2) - [v(1)]^Tv(2)*v(1)|就是相互垂直的2个单位向量。假设v(1),v(2),...,v(k)是k个相互垂直的单位向量，v(k+1)与v(1),v(2),...,v(k)线性无关。则对于 i = 1,2,...,n.都有，[v(i)]^T{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ... - [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ... - [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(i)]^T*[v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(i)]^T*[v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ... - [v(i)]^T*[v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ... - [v(i)]^T*[v(k)]^Tv(k+1)v(k)= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)*[v(i)]^T*v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)*[v(i)]^T*v(2) - ... - [v(i)]^Tv(k+1)[v(i)]^T*v(i) - ... - [v(k)]^Tv(k+1)[v(i)]^T*v(k)= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)*0 - [v(2)]^Tv(k+1)*0 - ... - [v(i)]^Tv(k+1)*1 - ... - [v(k)]^Tv(k+1)*0= [v(i)]^Tv(k+1) - [v(i)]^Tv(k+1)= 0.因此，向量{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ... - [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ... - [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}和v(1),v(2),...,v(k)都相互垂直。u(1)=v(1),u(2)=v(2),...,u(k)=v(k), u(k+1) = {v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ... - [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ... - [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}/|{v(k+1) - [v(1)]^Tv(k+1)v(1) - [v(2)]^Tv(k+1)v(2) - ... - [v(i)]^Tv(k+1)v(i) - ... - [v(k)]^Tv(k+1)v(k)}| 是相互垂直的k+1个单位向量。

向量正交化，对称矩阵对角化的时候看题目要求是否需要正交阵，二次型化标准型让求正交变换的时候化正交阵~-、如果求出的特征值不相等，则只需要对其对应的特征向量单位化(原因是:实对称矩阵不同特征值的特征向量正交)二、如果特征值相等，比如说a1=a2=a3=2，则先要对特征值等于2多对应的特征向量先进行正交，然后单位化(施密特正交化)。。比如:设b=a2+ta1.为了b⊥a1,必须(a2+ta1)·a1=0,即:a2·a1+ta1·a1=0t=-(a2·a1)/(a1·a1)=-(-1)/2=1/2b=(021)T+(1/2(10-1)T=(1/2,2,1/2)T＜a1,a2＞≡＜a1,b＞[向量组＜a1,a2＞与向量组＜a1,b＞等价，后者是正交组]这个过程就是向量组的正交化。

施密特（Schimidt）正交变换把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法 所谓正交,在平面几何里就是垂直,在一般的空间里是指向量内积为零. 具体正交化过程： 设（a1,a2,……an)为任一组向量,(b1,b2,……,bn)为一组需要得到的标准正交基,则 1、标准化第一个向量,令b1=a1/|a1| 2、递归公式：bn=an-(an,b1)b1/(b1,b1)-(an,b2)b2/(b2,b2)-……-(an,bn-1)bn-1/(bn-1,bn-1) 注：这里如(bn-1,bn-1)形式表示bn-1,bn-1两个向量的内积.

施密特正交化首先需要向量组b1,b2,b3...一定是线性无关的。一般解决的问题是特征向量,同一个特征值的特征向量不一定是线性无关的...2.选取向量b1作为基准向量c1,那么c2就等于b2减去b2和c1的内积除以c1和c1的内积再乘以c1,记住诸侯一定是矩阵的形式...3.内积,在前面讲的一个行向量乘以一个列向量组最后的结果是一个数也就是内积。如果是一个列向量乘岔联以一个行向量那么结果一定是一个矩阵...令b1=a1=(1,1,0)Tb2=a2-([b1,a2]/[b1,b1])*b1=(1,0,1)T-1/2(1,1,0)=1/2(1,-1,2)b3同理再把b1,b2,b3,单位化就行了啊[b1,a2]就是的乘积。

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。正交向量组简介：正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为标准正交向量组的方法。其详细计算过程如下：设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是 $n$ 个线性无关的向量组，需要将它们转化为标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$，其中 $q_1$ 是与 $a_1$ 方向相同的单位向量。1. 先对第向量 $a_1$ 进行单位化，得到单位向量 $q_1 = \frac{a_1}{\left\|a_1\right\|}$。2. 对于 $i = 2, 3, ..., n$，定义 $u_i = a_i - \sum_{j=1}^{i-1}\left\langle a_i,q_j\right\rangle q_j$，其中 $\left\langle a_i,q_j\right\rangle$ 表示向量 $a_i$ 在向量 $q_j$ 上的投影。这一步的目的是让 $u_i$ 不再与前面已经处理过的向量正交。3. 然后对 $u_i$ 进行单位化，得到单位向量 $q_i = \frac{u_i}{\left\|u_i\right\|}$。这一步是将 $u_i$ 转化为与前面已经处理过的向量正交的单位向量。4. 重复步骤 2 和 3 直到处理完所有的向量。最终得到的标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$ 满足 $\left\langle q_i,q_j\right\rangle = \begin{cases}1 u0026 i=j \\ 0 u0026 ieq j\end{cases}$，即它们两两正交，且长度都为 1。

施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为标准正交向量组的方法。其详细计算过程如下：设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是 $n$ 个线性无关的向量组，需要将它们转化为标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$，其中 $q_1$ 是与 $a_1$ 方向相同的单位向量。1. 先对第向量 $a_1$ 进行单位化，得到单位向量 $q_1 = \frac{a_1}{\left\|a_1\right\|}$。2. 对于 $i = 2, 3, ..., n$，定义 $u_i = a_i - \sum_{j=1}^{i-1}\left\langle a_i,q_j\right\rangle q_j$，其中 $\left\langle a_i,q_j\right\rangle$ 表示向量 $a_i$ 在向量 $q_j$ 上的投影。这一步的目的是让 $u_i$ 不再与前面已经处理过的向量正交。3. 然后对 $u_i$ 进行单位化，得到单位向量 $q_i = \frac{u_i}{\left\|u_i\right\|}$。这一步是将 $u_i$ 转化为与前面已经处理过的向量正交的单位向量。4. 重复步骤 2 和 3 直到处理完所有的向量。最终得到的标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$ 满足 $\left\langle q_i,q_j\right\rangle = \begin{cases}1 u0026 i=j \\ 0 u0026 ieq j\end{cases}$，即它们两两正交，且长度都为 1。

如下：施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。相关信息：施密特正交化首先需要向量组b1,b2,b3...一定是线性无关的。一般解决的问题是特征向量，同一个特征值的特征向量不一定是线性无关的，但是不同特征值的特征向量一定是线性相关的。选取向量b1作为基准向量c1，那么c2就等于b2减去b2和c1的内积除以c1和c1的内积再乘以c1，记住诸侯一定是矩阵的形式。包括c3等于b3减去b3与c1的内积乘以b1减去c3与b2的内积除以c2与c2的内积乘以c2。

对于n阶矩阵，正交变换求正交矩阵时,如果同一特征值的特征向量没有正交，则需要施密特正交化使其正交。施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。线性代数：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为标准正交向量组的方法。其详细计算过程如下：设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是 $n$ 个线性无关的向量组，需要将它们转化为标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$，其中 $q_1$ 是与 $a_1$ 方向相同的单位向量。1. 先对第向量 $a_1$ 进行单位化，得到单位向量 $q_1 = \frac{a_1}{\left\|a_1\right\|}$。2. 对于 $i = 2, 3, ..., n$，定义 $u_i = a_i - \sum_{j=1}^{i-1}\left\langle a_i,q_j\right\rangle q_j$，其中 $\left\langle a_i,q_j\right\rangle$ 表示向量 $a_i$ 在向量 $q_j$ 上的投影。这一步的目的是让 $u_i$ 不再与前面已经处理过的向量正交。3. 然后对 $u_i$ 进行单位化，得到单位向量 $q_i = \frac{u_i}{\left\|u_i\right\|}$。这一步是将 $u_i$ 转化为与前面已经处理过的向量正交的单位向量。4. 重复步骤 2 和 3 直到处理完所有的向量。最终得到的标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$ 满足 $\left\langle q_i,q_j\right\rangle = \begin{cases}1 u0026 i=j \\ 0 u0026 ieq j\end{cases}$，即它们两两正交，且长度都为 1。

施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。正交：在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

如下：施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。相关信息：施密特正交化首先需要向量组b1,b2,b3...一定是线性无关的。一般解决的问题是特征向量，同一个特征值的特征向量不一定是线性无关的，但是不同特征值的特征向量一定是线性相关的。选取向量b1作为基准向量c1，那么c2就等于b2减去b2和c1的内积除以c1和c1的内积再乘以c1，记住诸侯一定是矩阵的形式。包括c3等于b3减去b3与c1的内积乘以b1减去c3与b2的内积除以c2与c2的内积乘以c2。

施密特正交化是一种将一组线性无关的向量正交化的方法。详细计算过程如下：1. 设有一组向量组成的集合 {v1，v2，...，vn}。2. 取第向量 v1 正交化的基础。3. 对剩余向量进行正交化，即计算它们在 v1 上的投影并从原向量中减去该投影。4. 重复上述步骤，以第 i 个向量正交化的基础，并用它对剩余向量进行正交化。 a. 计算第 i 个向量在前 i - 1 个向量的线性组合下的投影，并从原向量中减去该投影。 b. 对第 i 个向量进行标准化，得到正交向量 vi 。5. 对于所有向量得到的正交向量集合 {v1，v2，...，vn}，计算它们的长度并归一化。6. 最终得到一组正交化的向量 {u1，u2，...，un}。施密特正交化的计算过程中主要涉及向量的加减、点积、取模等基本运算。需要注意的是，当原向量集合中存在线性相关的向量时，施密特正交化无法得到一组正交的向量。此时需要先进行向量组的基变换或者使用其他的正交化方法。

施密特正交化是将线性无关向量构造标准正交向量，如果题目有要求就需要单位化，单位化的目的是为了得出正交阵（正交阵的列向量组是正交的单位向量）。施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组。扩展资料：施密特正交公式：设{xn}是内积空间H中有限个或可列个线性无关的向量，则必定有H中的规范正交系{en}使得对每个正整数n（当{xn}只含有m个向量，要求n≤m），xn是e1，e2，…，en的线性组合。

施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。正交：在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

施密特正交化是一种将一组线性无关的向量正交化的方法。详细计算过程如下：1. 设有一组向量组成的集合 {v1，v2，...，vn}。2. 取第向量 v1 正交化的基础。3. 对剩余向量进行正交化，即计算它们在 v1 上的投影并从原向量中减去该投影。4. 重复上述步骤，以第 i 个向量正交化的基础，并用它对剩余向量进行正交化。 a. 计算第 i 个向量在前 i - 1 个向量的线性组合下的投影，并从原向量中减去该投影。 b. 对第 i 个向量进行标准化，得到正交向量 vi 。5. 对于所有向量得到的正交向量集合 {v1，v2，...，vn}，计算它们的长度并归一化。6. 最终得到一组正交化的向量 {u1，u2，...，un}。施密特正交化的计算过程中主要涉及向量的加减、点积、取模等基本运算。需要注意的是，当原向量集合中存在线性相关的向量时，施密特正交化无法得到一组正交的向量。此时需要先进行向量组的基变换或者使用其他的正交化方法。

对于n阶矩阵，正交变换求正交矩阵时,如果同一特征值的特征向量没有正交，则需要施密特正交化使其正交。施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。线性代数：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。