简化牛顿迭代法收敛的证明

牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。 多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。 上面的描述过于偏学术化，我们知道有些一元多次方程的最终解可能非常难求，如果直接求解的话，可能根本就没有解方程的办法，但是我们可以利用牛顿迭代法本质上可以求出方程的近似的一个或者多个解。 原理 我们设方程函数 ,改方程可以转化为 我们只需要求出函数 的解，就可以求出 的解。 牛顿迭代公式 设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，则我们可以过点 做曲线 的切线 ,我们知道切线与 轴有交点，我们已知切线 的方程为 我们求的它与 轴的交点为 . 我们在以 斜率为 做斜线，求出与 轴的交点，重复以上过程直到 无限接近于0即可。其中第n次的迭代公式为：

牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式,从而求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要. 设r是f(x)=0的根,选取x0作为r初始近似值,过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L,L的方程为y=f(x0)+f"(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f"(x0),称x1为r的一次近似值,过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f"(x1)称x2为r的二次近似值,重复以上过程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f"(Xn),称为r的n+1次近似值.上式称为牛顿迭代公式.

牛顿迭代公式设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。

牛顿迭代法构造时比不动点迭代更简单。根据查询相关公开信息显示，牛顿迭代法使用的是函数的泰勒展开式，而不动点迭代则必须采用精确地计算梯度。此外，牛顿迭代法还能构造更高阶的多项式式，以便更有效地拟合复杂的函数，而不动点迭代对多项式式的运算实现要比牛顿迭代法要慢得多。

在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：①f(a)*f(b)<0;②f"(x)≠0,x∈[a,b];③f""(x)在[a,b]上不变号；④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f"(b)≥a.而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数定理一：设函数f(x)在邻域U(x*)内存在至少二阶连续导数,x*是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x*时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；定理二：设x*是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x*）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。

简单迭代法的步骤是如下： （1）先对某一网格点设一初值，这个初值完全可以任意给定，称为初值电位。虽然，问题的最终结果与初值无关，但初值选择估计得当，则计算步骤会得到简化。（当利用计算机来实现迭代计算时，为了简化程序初值电位一般可取为零值）。 （2）初值电位给定后，按一个固定顺序（点的顺序是从左到右，从下到上）依次计算每点的电位，即利用（2.19）式，用围绕它的四个点的电位的平均值作为它的新值，当所有的点计算完后，用它们的新值代替旧值，即完成了一次迭代。然后再进行下一次迭代，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围为止。 简单迭代法的特点是用前一次迭代得到的网络点电位作为下一次迭代时的初值。牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f"(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1=x0-f(x0)/f"(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-f(x1)/f"(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x)=f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2!+…取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=f(x)=0设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0)这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。

实数A开5次方是方程f(x)=x^5-A=0的根, 迭代公式为： x(k+1)= x(k)- f(x(k))/ f′(x(k)) x(k+1)= x(k)- (x^5(k)-A)/ (5x^4(k)),

1)迭代法设计思想最简单：x=f(x) 但这种方法初值很主要，不然容易发散。2)二分法设计思想是先给定区间[a,b]，要求f(a)与f(b)是异号，保证区间内与x轴有交点，求x=(a+b)/2，求f(x)，检查f(x)与f(a)是否同号，如果是同号，把x当成新的a，否则把x当成新的b，得到新的区间，重复求a和b的中点的值，判断与f(a)是否同号，不断循环下去，直到达到精度为止。3)牛顿迭代法设计思想是对f(x0)某点求切线，与x轴交x1点后，把x1当成x0，再求出其相应新的f(x0)，再对其求切线，找到与x轴的新交点，不断循环下去，直到达到精度为止。这种方法要求先对函数求一阶导数，然后再迭代：x1=x0-f(x0)/f‘(x0)4)弦截法设计思想利用插值原理，避免上面的求导，要求在f(x)上取二点x0,x1，做过f(x0),f(x1)的直线交x轴一点为x，把原来的x1当成x0，把x当成x1，再重复上面的做直线的过程，不断循环下去，直到达到精度为止。迭代公式：x=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0))

牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

产生背景　　牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。编辑本段牛顿迭代公式　　设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f"(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f"(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f"(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 　　解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。 牛顿迭代法示意图　　军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。 　　迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 　　利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 　　一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 　　二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 　　三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。 　　最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 　　定理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0, b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b, a mod b)的公约数 　　同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 b%d==0 , r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数 。 　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为： 　　int Gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数 　　{ 　　if (a<=0 || b<=0) //预防错误 　　return 0; 　　int temp; 　　while (b > 0) //b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值 　　{ 　　temp = a % b; //迭代关系式 　　a = b%a; //是那个胆小鬼，始终跟在b的后面 　　b = temp%b; //向前冲锋占领新的位置 　　} 　　return a; 　　} 　　从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b; 根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp;直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。 　　还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=0; fib(2)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。 　　在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。 　　int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列 　　{ 　　if (n < 1)//预防错误 　　return 0; 　　if (n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代 　　return 1; 　　int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量 　　int i; 　　for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数 　　{ 　　fn = f1 + f2; //迭代关系式 　　f1 = f2; //f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面 　　f2 = fn; 　　} 　　return fn; 　　}编辑本段C语言代码　　double func(double x) //函数 　　{ 　　return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; 　　} 　　double func1(double x) //导函数 　　{ 　　return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; 　　} 　　int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数 　　{ 　　double x1,x0; 　　int k; 　　x0=*x; 　　for(k=0;k<maxcyc;k++) 　　{ 　　if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0 　　{ 　　printf("迭代过程中导数为0! "); 　　return 0; 　　} 　　x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算 　　if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision) //达到结束条件 　　{ 　　*x=x1; //返回结果 　　return 1; 　　} 　　else //未达到结束条件 　　x0=x1; //准备下一次迭代 　　} 　　printf("迭代次数超过预期! "); //迭代次数达到，仍没有达到精度 　　return 0; 　　} 　　int main() 　　{ 　　double x,precision; 　　int maxcyc; 　　printf("输入初始迭代值x0:"); 　　scanf("%lf",&x); 　　printf("输入最大迭代次数:"); 　　scanf("%d",&maxcyc); 　　printf("迭代要求的精度:"); 　　scanf("%lf",&precision); 　　if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1 　　printf("该值附近的根为:%lf ",x); 　　else //若函数返回值为0 　　printf("迭代失败! "); 　　getch(); 　　return 0; 　　}编辑本段C++代码　　//此函数是用来求3元一次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解 　　//比如 x^3-27=0,我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解 　　#include<iostream> 　　#include<cmath> 　　using namespace std; 　　int main() 　　{ 　　double diedai(double a,double b,double c,double d,double x); 　　double a,b,c,d; 　　double x=10000.0; 　　cout<<"请依次输入方程四个系数："; 　　cin>>a>>b>>c>>d; 　　x=diedai(a,b,c,d,x); 　　cout<<x<<endl; 　　return 0; 　　} 　　double diedai(double a,double b,double c,double d,double x) 　　{ 　　while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001) 　　{ 　　x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/(3*a*x*x+2*b*x+c); 　　} 　　return x; 　　}编辑本段matlab代码1.定义函数　　function y=f(x) 　　y=f(x)；%函数f(x)的表达式 　　function y=z(x) 　　y=z(x)；%函数z(x)的表达式2.主程序　　x=X；%迭代初值 　　i=0；%迭代次数计算 　　while i<= I；%迭代次数 　　y=x-y(x)/z(x)；%牛顿迭代格式 　　if abs(y-x)>ε；%收敛判断 　　x=y； 　　else break 　　end 　　i=i+1； 　　end 　　fprintf(" %s%.4f %s%d"，"x="，x，"i="，i) %输出结果编辑本段Python代码　　Python代码以实例展示求解f(x) = (x-3)**3，f(x) = 0 的根。 [1]def f(x): 　　return (x-3)**3 """定义f(x) = (x-3)**3""" 　　def fd(x): 　　return 3*((x-3)**2) """定义f"(x) = 3*((x-3)**2) 　　def newtonMethod(n,assum): 　　time = n 　　x = assum 　　Next = 0 　　A = f(x) 　　B = fd(x) 　　print("A = " + str(A) + ",B = " + str(B) + ",time = " + str(time)) 　　if f(x) == 0.0: 　　return time,x 　　else: 　　Next = x - A/B 　　print("Next x = "+ str(Next)) 　　if A == f(Next): print("Meet f(x) = 0 , x = " + str(Next)) """设置迭代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值""" 　　else: 　　return newtonMethod(n+1,Next) 　　newtonMethod(0,4.0) """设置从0开始计数，x0 = 4.0"""

syms x f=x^3-3*x-1; df=diff(f,x); eps=1e-5; x0=2; cnt=0; MAXCNT=200; %最大循环次数 while cnt<MAXCNT %防止无限循环 x1=x0-subs(f,x,x0)/subs(df,x,x0); %去掉分号可以看到迭代过程.if (abs(x1-x0)<eps) break; end x0=x1; cnt=cnt+1; end if cnt==MAXCNT disp "不收敛" else vpa(x1,8) end

简单迭代法的步骤是如下：（1）先对某一网格点设一初值，这个初值完全可以任意给定，称为初值电位。虽然，问题的最终结果与初值无关，但初值选择估计得当，则计算步骤会得到简化。（当利用计算机来实现迭代计算时，为了简化程序初值电位一般可取为零值）。 （2）初值电位给定后，按一个固定顺序（点的顺序是从左到右，从下到上）依次计算每点的电位，即利用（2.19）式，用围绕它的四个点的电位的平均值作为它的新值，当所有的点计算完后，用它们的新值代替旧值，即完成了一次迭代。然后再进行下一次迭代，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围为止。 简单迭代法的特点是用前一次迭代得到的网络点电位作为下一次迭代时的初值。 牛顿迭代法（Newton"smethod）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

牛顿迭代公式编辑设r是 的根，选取 作为r的初始近似值，过点 做曲线 的切线L，L的方程为 ，求出L与x轴交点的横坐标 ，称x1为r的一次近似值。过点 做曲线 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 ，称 为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中， 称为r的 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程 线性化的一种近似方法。把 在点 的某邻域内展开成泰勒级数 ，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 ，以此作为非线性方程 的近似方程，若 ，则其解为 ， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式： 。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。[1] 军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f"(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f"(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f"(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f"(Xn),称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。参考资料：http://baike.baidu.com/view/643093.html?wtp=tt

就是一些高次方程的根很难求，利用牛顿迭代法可以近似的求得方程的根。具体你看一下百科上的说明。

牛顿迭代法matlab实现如下：function [x_star,index,it] = Newton(fun,x,ep,it_max)%求解非线性方程的牛顿法%第一个分量是函数值，第二个分量是导数值% x为初始点% ep为精度,当 | x(k)-x(k-1) |<ep时，终止计算,缺省值为1e-5% it_max为最大迭代次数,缺省值为100% x_star为当迭代成功时，输出方程的根% 当迭代失败，输出最后的迭代值% index为指标变量，当index=1时，表明迭代成功% 当index=0时，表明迭代失败（迭代次数>=it_max）% it为迭代次数if nargin<4 it_max=100;end if nargin<3 ep=1e-5;endindex=0;k=1;while k<it_maxx1=x;f=feval(fun,x);x=x-f(1)/f(2);if abs(x-x1)<epindex=1;break;endk=k+1;endx_star=x;it=k;程序示例如下：fun=inline("[x^3-x-1,3*x^2-1]");[x_star,index,it] = Newton(fun,1.5)

给你一点提示。牛顿迭代法要计算(1)y1=f(x)在x的函数值(2)d1=f(x)的一阶导数在x的值你可以写两个函数，分别计算y1,d1如果一阶导数有解析解，则可用赋值语句，否则要写数值解子程序。步骤：设解的精度,例floateps=0.000001;设x初值，x1;算y1=f(x1);迭代循环开始算一阶导数在x1的值d1用牛顿公式算出x2;[x2=x1-y1/d1]如果fabs(x2-x1)>eps则从新迭代--用新的函数值和一阶导数值推下一个新x.

牛顿迭代法 牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f"(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f"(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f"(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。 注：由于本人做过的题最高2次，你这里出现3次，其实这个问题就很复杂，很难做出来，以上知识可供参考。

二分法和牛顿迭代法的区别是牛顿迭代法不能收敛，但是大多数情况下它效果都非常好。二分法固定每次缩短一半的区间，而牛顿迭代法的迭代效率往往更高。1、二分法的本质就是查找空间折半，至于函数递增或者是数组当中元素递增都只是表象，只是我们进行折半的条件。换句话说如果我们能找到其他的条件来折半搜索空间，那么我们一样可以得到二分的效果，并不用拘泥于是否有序。2、虽然少数情况下牛顿迭代法不能收敛，但是大多数情况下它效果都非常好。牛顿迭代法的迭代效率往往更高，一般情况下使用牛顿迭代法可以获得更快的收敛速度。3、和二分法相比，牛顿迭代法的公式也并不难写，并且它在机器学习当中也有应用，学会它真的非常划算！牛顿迭代法的介绍：1、牛顿迭代法又称为牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。2、多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。3、牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

自己添一个计数器就可以了。double x0,x1;double EPS=1e-14;int js=0;x0=2.0while(1){x1 = 你的迭代函数;js = js +1;if (fabs(x-x0) < EPS) break;x0=x1;};printf("iteration times: %d ", js); // 打出次数==10的负16次方 -- double型 也许精度还不够！负14次方还勉强。

将方程改写成：xi+1 = (xi + 1) ^ (1/3)。#include <stdio.h>#include <math.h>int main( ){double x = 1.5, x0; /*给定初始近似值*/do /* 迭代*/{x0 = x;x = pow(x0 + 1, 1.0 / 3);} while (fabs(x - x0) >= 1e-6);printf("The root of equation is x =%lf ", x);}简介迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行。在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值，迭代法又分为精确迭代和近似迭代。比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。

Private Function NewTon(n As Double, eps As Double) As Double Dim a(100) As Double Dim x As Double Dim y As Double Dim k As Double a(0) = 0 For i = 0 To 99 x = a(i) y = x ^ 3 - 2 * x ^ 2 + 4 * x + 1 k = 3 * x ^ 2 - 4 * x + 4 a(i + 1) = x - y / k Print a(i + 1) If Abs(y) < esp Then NewTon = a(i + 1) Exit Function Else NewTon = 0 End If Next iEnd Function

牛顿迭代法 是切线 法。如果方程本身连续，光滑，且只有一解（一个根），比较简单，随便给都能收敛。如果方程有几个根，就要考虑分区间，每个区间为单调增或单调减，初值点处 一阶导数不为0，并靠近 这个区间的解附近。

总的来说局部收敛性指的是初值取在根的局部时算法(一般)具有二阶收敛速度,全局收敛性是指初值在定义域内任取时算法是否收敛,若收敛其速度如何,收敛到哪个根. 具体来说 局部收敛性有如下定理 设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续). 若 f"(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f"(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的. 若 f"(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的. 记 g(x)=x-f(x)/f"(x),其中"某个邻域"可由 |g"(x)|

牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式,求根非常困难,甚至不可能,寻找方程的近似根就显得特别重要.方法:函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根

设f(x)=2x^3-4x^2+3x-6,对它求导的f"(x)=6x^2-8x+3根据牛顿迭代公式令x(k+1)=x(k)-f[x(k)]/f"[x(k)]然后将x(0)=1.5代入方程xf(x)f"(x)1.5-3.754.52.333333332.296317.00002.19826方程的根就是2.19826取得精度不同，算出来的数据可能稍有差别，如果这个数据精度不够要求，你可以按照这个方法再往下算几次就可以了

迭代法求平方根原理：平方根迭代法一种具有大范围收敛性的方程求根迭代法。设f<x是阶数小于2的整函数，若f(二)只含实零点，则求方程f<二)=0根的下述迭代法称为平方根迭代法。用牛顿迭代法求平方根：假设a。欲求a的平方根，首先猜测一个值X1=a/2，然后根据迭代公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，算出X2，再将X2代公式的右边算出X3等等，直到连续两次算出的Xn和X（n+1）的差的绝对值小于某个值，即认为找到了精确的平方根。例算如下：假设要求6的平方根，当Xn和X（n+1）的差值小于0.001时，可以认为已经找到了精确值。根据牛顿迭代法的步骤，首先猜测一个值X1，猜测X1=6/2=3。将X1=3代入公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，则X2=（X1+6/X1）/2=（3+6/3）/2=2.5,由于3和2.5的差大于0.001，需要继续计算。将X2=2.5代入公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，则X3=（X2+6/X2）/2（2.5+6/2.5）/2=2.45，由于2.5-2.45=0.5>0.001，故需要继续计算。将X3=2.45代入公式X（n+1）=（Xn+a/Xn）/2，则X4=（X3+6/X3）/2=（2.45+6/2.45）/2=2.4495，由于2.5-2.4495=0.0005<0.001，故不需要继续计算。则可以确定6的平方根，在自己认为的精确的范围内，即误差小于0.001的范围内，值为2.4495，即 √（6）=2.4495。

因为高次多项式会有多个峰值，所以在给定初始值不同的时候会收敛到不同的峰值，这个有可能不是全局最优值一般在进行迭代的时候，取定义迭代区间的中值是比较科学的。例如：本例，[0.1，1.9] 取中间的值1.0

牛顿迭代法和弦截法的相同之处？答：1、对于单根,牛顿迭代法是二阶收敛。2、弦截法的迭代收敛速度为1.618.3、牛顿迭代法每次迭代需要计算两次函数值,而弦截法仅需计算一次函数值。

实数A开5次方是方程f(x)=x^5-A=0的根，迭代公式为：x(k+1)= x(k)- f(x(k))/ f′(x(k))x(k+1)= x(k)- (x^5(k)-A)/ (5x^4(k)),

牛顿迭代法公式：1x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f"(x(0))。牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0,那么牛顿法将具有平方收敛的性能.粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法，即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。中文名牛顿迭代法外文名Newton"s method别名牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法提出时间17世纪快速导航牛顿迭代公式其他迭代算法C语言代码C++代码matlab代码Python代码Java代码JavaScript代码Fortran代码产生背景多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代公式设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，过点 做曲线 的切线 ， ，则 与 轴交点的横坐标 ，称 为 的一次近似值。过点 做曲线 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 ，称 为r的二次近似值。重复以上过程，得 的近似值序列，其中， 称为 的 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程 线性化的一种近似方法。把 在点 的某邻域内展开成泰勒级数 ，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 ，以此作为非线性方程 的近似方程，若 ，则其解为 ， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式： 。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。其他迭代算法欧几里德算法最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数查看更多

牛顿迭代法公式：1x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(0))。牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f"(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f"(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f"(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。解非线性方程的vb代码：Private Sub Command1_Click()x = 0 "设置初值，可以自己定absolution = 1 "随便给个>0的数Do While absolution > 0.0000001 "运算精度y = F（x） "原函数"一介导数Y1 = F"(x)X1 = x - y / Y1absolution = Abs(X1 - x)x = X1LoopText1 = X "解End Sub

牛顿迭代法公式：gcd(a，b)=gcd(b，amodb)，迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

1、迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。 2、利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：首先确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。其次建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。再就是对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

牛顿迭代法 牛顿迭代法(Newton"s method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。 设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0) f"(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f"(x0),称x1为r的一次近似值。过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f"(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f"(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x-x0)f"(x0)+(x-x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f"(x0)(x-x0)=f(x)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0-f(x0)/f"(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f"(x(n))。 参考资料: http://baike.baidu.com/view/643093.html

牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式,从而求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要. 设r是f(x)=0的根,选取x0作为r初始近似值,过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L,L的方程为y=f(x0)+f"(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f"(x0),称x1为r的一次近似值,过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f"(x1)称x2为r的二次近似值,重复以上过程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f"(Xn),称为r的n+1次近似值.上式称为牛顿迭代公式.

牛顿迭代法 牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。 设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f"(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f"(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f"(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。参考资料：http://baike.baidu.com/view/643093.html

牛顿迭代法（Newton"s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f"(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f"(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f"(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f"(x0)+(x－x0)^2*f""(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f"(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f"(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f"(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f"(x(n))。

这里的Newton 法是求方程f(x)=0的根的方法。用迭代法：通过一定的迭代公式得到x(k+1)=g(xk)，若记ek＝|xk－x*|，其中x*是f(x)＝0的根。ek就是度量迭代序列{xk}与真解之间的距离，ek＝0表示已经得到真解。可以证明，f(x)满足一定的条件，则{xk}二次收敛到x*，大致上说就是ek约为e(k－1)^2，这是一个收敛很快的方法。因为你想，比如e1=0.1，则e2约为0.01，e3约为10^(－4)，e4约为10^(－8)，e5约为10^(－16)，只需几步迭代就能得到解的一个有效位数大约是16位的近似解，收敛很快的。当然一般是很难做到这么快的，不过Newton法一般认为是求解非线性方程根的一个很有效的方法。

在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：①f(a)*f(b)<0;②f"(x)≠0,x∈[a,b];③f""(x)在[a,b]上不变号；④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f"(b)≥a.而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数定理一：设函数f(x)在邻域U(x*)内存在至少二阶连续导数,x*是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x*时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；定理二：设x*是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x*）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。

设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。 军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0) f"(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f"(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f"(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn 1=Xn-f(Xn)/f"(Xn),称为r的n 1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。

在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：①f(a)*f(b)<0;②f"(x)≠0,x∈[a,b];③f""(x)在[a,b]上不变号；④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f"(b)≥a.而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数定理一：设函数f(x)在邻域U(x*)内存在至少二阶连续导数,x*是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x*时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；定理二：设x*是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x*）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。

c语言实现编辑本段问题已知f(x)=x*e^x-1针对f(x)=0类型。迭代方程是：g(x)=x-f(x)/f"(x)；其中f"(x)是导数。针对x*e^x-1=0的牛顿迭代法求出迭代方程，根据牛顿的是，g(x)=x-f(x)/f"(x)针对x*e^x-1=0，是g(x)=x-(xe^x-1)/(e^x+x*e^x);代码#include#includeintmain(){doublef(doublex);doublex,y,d;x=1;y=0;//迭代值。d=0.000000001;//误差控制

1 牛顿迭代法又叫牛顿切线法。主要用于求方程的近似解。牛顿切线法收敛快，适用性强，缺陷是必须求出方程的导数。设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0) f"(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f"(x0),称x1为r的一次近似值，如果|f(x1)-0|小于指定的精度，那么继续过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f"(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程。得r的近似值序列{Xn},其中Xn 1=Xn-f(Xn)/f"(Xn),称为r的n 1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。你画个图对照看，很容易理解的。2 f=((a*x0+b)*x0+c)*x0+d; //为什么要这样写？而不直接写成//a*x*x*x+b*x*x+c*x+d ?这完全是为了加快计算速度。它使用了数学中有名的霍纳求值法。((a*x0+b)*x0+c)*x0+d只需要做3次乘法，而a*x*x*x+b*x*x+c*x+d需要做6次乘法。在计算机中乘法和除法需要的机器指令周期是最长的，这样改写可大大提高计算速度，特别是计算式复杂，数据繁多的场合。这是一个很有用的设计技巧。

在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：①f(a)*f(b)<0;②f"(x)≠0,x∈[a,b];③f""(x)在[a,b]上不变号；④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f"(b)≥a.而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数定理一：设函数f(x)在邻域U(x*)内存在至少二阶连续导数,x*是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x*时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；定理二：设x*是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x*）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。