干涉的两列波的干涉

两束光发生干涉后，干涉条纹的光强分布与两束光的光程差/相位差有关：当相位差为周期的整数倍时光强最大；当相位差为半周期的奇数倍时光强最小。从光强最大值和最小值的和差值可以定义干涉可见度作为干涉条纹清晰度的量度。
光作为电磁波，它的强度定义为在单位时间内，垂直于传播方向上的单位面积内能量对时间的平均值，即玻印亭矢量对时间的平均值：
从而光强可以用这个量来表征。对于单色光波场，电矢量可以写为
这里是复振幅矢量，在笛卡尔直角坐标系下可以写成分量的形式。
这里是在三个分量上的（实）振幅，对于平面波，即振幅在各个方向上是常数。是在三个分量上的相位，，是表征偏振的常数。
要计算这个平面波的光强，则先计算电场强度的平方：
对于远大于一个周期的时间间隔内，上式中前两项的平均值都是零，因此光强为
对于两列频率相同的单色平面波、，如果它们在空间中某点发生重叠，则根据叠加原理，该点的电场强度是两者的矢量和：
则在该点的光强为
其中、是两列波各自独立的光强，而是干涉项。 我们用、表示两列波的复振幅，则干涉项中可以写为
前两项对时间取平均值仍然为零，从而干涉项对光强的贡献为
根据前面复振幅的定义，、可以在笛卡尔坐标系下分解为
和
将分量形式代入上面干涉项的光强，可得
倘若在各个方向上，两者的相位差都相同并且是定值，即
其中是单色光的波长，是两列波到达空间中同一点的光程差。
此时干涉项对光强的贡献为
光波是电矢量垂直于传播方向的横波，这里考虑一种简单又不失一般性的情形：线偏振光，电矢量位于x轴上，传播方向为z轴方向，则两列波在其他方向上的振幅都为零：
代入总光强公式：
因此干涉后的光强是相位差的函数，当时有极大值；当时有极小值。
特别地，当两列波光强相同即时，上面公式可化简为 ，此时对应的极大值为，极小值为0。 显然，对于不同的干涉情形，产生的极大值和极小值差异是不同的。由此可以定义条纹的可见度作为条纹清晰度的量度： ，即可见度的范围为0到1之间。 虽然以上的讨论是基于两列波都是线偏振光的假设，但对于非偏振光也成立，这是由于自然光可以看作是两个互相垂直的线偏振光的叠加。 杨氏双缝
主条目：双缝实验
杨氏双缝实验是最早被提出的光的干涉演示实验（托马斯·杨，1801年），这一实验的重要意义在于它是对光的波动说的有力支持，由于实验观测到的干涉条纹是牛顿所代表的光的微粒说无法解释的现象，双缝实验使大多数的物理学家从此逐渐接受了光的波动理论。杨氏双缝的实验设置如右图所示，从一个点光源出射的单色波传播到一面有两条狭缝的屏上，两条狭缝到点光源的距离相等，并且两条狭缝间的距离很小。由于点光源到这两条狭缝的距离相等，这两条狭缝就成为了同相位的次级单色点光源，从它们出射的相干光发生干涉，可以在远距离的屏上得到干涉条纹。
如果两条狭缝之间的距离为，狭缝到观察屏的垂直距离为，则根据几何关系，在观察屏上以对称中心点为原点，坐标为处两束相干光的光程分别为
当狭缝到观察屏的垂直距离远大于时，这两条光路长度的差值可以近似在图上表示为：从狭缝1向光程2作垂线所构成的直角三角形中，角所对的直角边。而根据几何近似，这段差值为
如果实验在真空或空气中进行，则认为介质折射率等于1，从而有光程差，相位差。
根据前文结论，当相位差等于时光强有极大值，从而当时有极大值；当相位差等于时光强有极小值，从而当时有极小值。从而杨氏双缝干涉会形成等间距的明暗交替条纹，间隔为。
不同狭缝间距情形下的双缝干涉的明暗相间条纹，左起第一和第三张图对应的狭缝间距a = 0.250mm，第二和第四张图对应的狭缝间距a = 0.500mm。照片中所看到的中央亮纹要比两边的亮条纹明亮，则是因为狭缝的衍射效应。
若在双缝干涉中增加狭缝在两条狭缝连线上的线宽，以至于狭缝无法看作是一个点光源，此时形成的扩展光源可以看作是多个连续分布的点光源的集合。这些点光源由于彼此位置不同，在屏上同一点将导致不同的相位差，将有可能导致各个点光源干涉的极大值和极小值点重合，这就导致了条纹可见度的下降。
菲涅耳双面镜[编辑]
菲涅耳双面镜干涉的几何示意图
菲涅耳双面镜（Fresnel double mirror）是一种可以直接产生两个相干光源的仪器。菲涅耳双面镜是两个长度相同的平面镜M1、M2的组合，两个平面镜的摆放相对位置成一个很小的倾角α。当光波从点光源S的位置入射到两个镜面发生各自的反射后，分别形成了两个虚像S1和S2。由于它们是同一光源的虚像，因此是相干光源，左图中蓝色阴影的部分即为两束光的干涉区域。
从图中可见菲涅耳双面镜干涉的几何关系与杨氏双缝相同，因此只要求得两个虚像间的距离d就可以推知干涉条纹的位置。如果设光源S到两个平面镜交点A的距离为b，根据镜面对称可知两个相干光源到镜面交点的距离也等于b，即，
而虚光路S1A、S2A和平分线（图中水平的点划线）的夹角都等于平面镜倾角α，从而有。
这个距离等效于杨氏双缝中两条狭缝的间距，代入上文中公式即可得到干涉条纹的位置。光波入射到两个镜面时各自都会发生的反射相变，从而不会影响两者最终的相位差，因此菲涅耳双面镜干涉条纹的形状与杨氏双缝完全相同，都是等间距的明暗相间条纹，中间为零级亮纹。
菲涅耳双棱镜[编辑]
菲涅耳双棱镜干涉的几何示意图
菲涅耳双棱镜（Fresnel double prism）是一种类似于菲涅耳双面镜的形成相干光源的仪器，它由两块相同的薄三棱镜底面相合而构成，三棱镜的折射角很小，并且两者的折射棱互相平行。当位于对称轴上的点光源S发出光时，入射光在两块棱镜的作用下部分向上折射，部分向下折射，从而形成两个对称的虚像，这两个虚像即为两个相干光源。
如果三棱镜的顶角为α，折射率为n，则当α很小时光线因折射的偏折角度。
如果点光源S到三棱镜的距离为a，则根据几何关系可知两个相干光源间的距离为
以下关于条纹间距的计算和杨氏双缝相同。
洛埃镜[编辑]
洛埃镜（Lloyd mirror）是一种更简单的波前分割干涉仪器，本质为一块平置的平面镜M。点光源S位于离平面镜M较远且相当接近平面镜所在平面的地方，因此入射光倾角非常小。点光源S和它在平面镜所成虚像S"形成了一对相干光源。根据图中几何关系，若点光源S到镜平面的距离为d，则两个相干光源间的距离为2d。由于两条相干光路中其中一条经过了镜面反射，因此只有一束相干光发生了的反射相变，出于这个原因干涉条纹的正中为零级暗纹。
迈克耳孙测星干涉仪[编辑]
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迈克耳孙测星干涉仪的基本光路图
迈克耳孙测星干涉仪（Michelson stellar interferometer）是利用干涉条纹的可见度随扩展光源的线度增加而下降的原理（参见下文空间相干性一节）来测量恒星角直径的干涉仪。其基本光路如右图所示，它的概念首先由美国物理学家阿尔伯特·迈克耳孙和法国物理学家阿曼德·斐索在1890年提出，并由迈克耳孙和美国天文学家弗朗西斯·皮斯于1920年在威尔逊山天文台首次用干涉仪对恒星的角直径进行了测量。迈克耳孙测星干涉仪的长度约为6米，架设在口径为2.5米的胡克望远镜之上。其中两面平面镜M1、M2的最大间距为6.1米，并且是可调的；而平面镜M3、M4的位置是固定的，等于1.14米。当有星光入射到干涉仪上时，两组平面镜所构成的光路是等光程的，从而会形成等间距的干涉直条纹，而条纹间距为
架设在胡克望远镜上的迈克耳孙测星干涉仪，现保存于美国自然历史博物馆
这里是望远镜的焦距，是平面镜M3和M4之间的距离。而平面镜M1和M2之间的距离相当于扩展光源的线度，当M1和M2靠得很近时干涉条纹的可见度接近于1，随着两者间距增加可见度会逐渐下降为零。如果认为恒星是一个角直径为，光强均匀分布的圆形光源，其可见度由下面公式给出
其中，是贝塞尔函数。随着逐渐增加平面镜M1和M2之间的距离，当满足下面关系时，可见度首次降为零：
迈克耳孙测星干涉仪首次成功测量的恒星是参宿四，测得其角直径为0.047弧度秒，根据它到太阳的距离（约600光年）就可得到它的直径约为4.1×10千米，是太阳直径的300倍。事实上，这一台迈克耳孙测星干涉仪所能测量的都是直径在太阳直径数百倍的巨星，因为测量体积更小的恒星要求更大的M1和M2之间的距离，架设一台如此庞大的干涉仪对当时的技术而言相当困难。 等倾干涉
如右图所示，一个单色点光源S所发射的电磁波入射到一块透明的平行平面板上。在平行平面板的上表面发生反射和折射，而折射光其后又被下表面反射，反射光再被上表面折射到原先介质中。这条折射光必然会与另一条直接被上表面反射的反射光重合于空间中某一点，由于它们都是同一波源发出的电磁波的一部分，因此是相干光，这时会形成非定域的干涉条纹。若光源为扩展光源，一般而言干涉条纹的可见度会下降，但若考虑两条反射光平行的情形，即重合点在无限远处，此时会形成定域的等倾干涉条纹。根据几何关系，两束光的光程差可以表示为
其中是平行平面板的折射率，是周围介质的折射率。具体长度可以表示为
其中是平行平面板的厚度，是入射角，是折射角，两者满足折射定律。
这样得到的光程差为，对应的相位差为，另外考虑到发生于上表面或下表面的反射相变，相位差应为
根据干涉相长和相消的条件，当，m是整数时有亮条纹，而当m是半整数时有暗条纹。
由此，每一条条纹都对应一个特定的折射角/入射角，从而被称作等倾干涉。如果观测方向垂直于平行平面板，则可以观察到一组同心圆的干涉条纹。 此外，从平行平面板下表面透射的两束平行光也会形成等倾干涉，但由于不存在反射相变，相位差不需要添加项，从而导致透射光的干涉条纹的明暗位置与反射光完全相反。
等厚干涉
若等倾干涉中的平行平面板两个表面不是严格平行的，如右图所示，则对于单色点光源S的出射光，其上下表面的反射光总会在空间中某一点P上形成干涉，并且其干涉条纹是非定域的。此时这两束光的光程差可以写为
类似地，是周围介质的折射率，是平行平面板的折射率。 一般来说这个计算相当困难，但在平行平面板足够薄，且两面夹角足够小的情形下（例如薄膜），光程差可近似得出为
其中是薄膜在反射点C的厚度，是在该点的反射角。从而对应的相位差。
若光源为扩展光源，则会使干涉光在点P的相位差范围扩大，从而导致条纹可见度下降，但例外情形是点P位于薄膜表面：此时对从扩展光源各点出射的干涉光而言厚度都是相同的，当变化范围很小时，干涉条件可写为
当m为整数时有干涉极大，m为半整数时有干涉极小。其中是对扩展光源各点取平均得到的的平均值，而项的存在是考虑到反射相变。 如果是常数，则条纹是薄膜中厚度为常数的点的连线，这被称作等厚条纹。等厚干涉经常被用来检测光学表面的厚度是否均匀，对正入射的情形，，则干涉极小条件为
等厚干涉的一个例子是劈尖干涉，即光线垂直入射到劈形的薄膜上，若劈尖的折射率为，则根据前面结论干涉条件为
其中m为整数时是亮条纹，m为半整数时是暗条纹，条纹是一组平行于劈尖棱边的平行线，并且棱边上是零级暗纹。相邻明条纹对应的厚度差因而为。
进一步可得出条纹间距，其中是劈角，即劈尖干涉的条纹等间距。
等厚干涉的另一个著名例子是牛顿环。如右图所示，它是将一个曲率半径很大的透镜的凸表面置于一个玻璃平面上，并由平行光垂直入射而形成的干涉条纹。此时凸透镜和玻璃平面间的间隙形成了空气（折射率近似为1）为介质的劈尖，从而干涉条件为 ，其中m为整数时是亮条纹，m为半整数时是暗条纹。其干涉条纹是一组同心圆，并且中心为零级暗纹。 设透镜的曲率半径为，则条纹半径与劈尖厚度满足关系
从而可以得到干涉条纹的半径为，其中m为整数时是暗条纹，m为半整数时是亮条纹。由此可知牛顿环从中心向外条纹的间隔越来越密。
迈克耳孙干涉仪
主条目：迈克耳孙干涉仪
迈克耳孙干涉仪是典型的振幅分割干涉仪，它通过将一束入射光分为两束后，两束相干光各自被对应的平面镜反射回来从而发生振幅分割干涉。两束干涉光的光程差可以通过调节干涉臂长度以及改变介质的折射率来实现，从而能够形成不同的干涉图样。迈克耳孙干涉仪的著名应用是美国物理学家迈克耳孙和爱德华·莫雷使用它在1887年进行了著名的迈克耳孙－莫雷实验，得到了以太风测量的零结果。除此之外，迈克耳孙还用它首次系统研究了光谱线的精细结构。
右图是迈克耳孙干涉仪的基本构造：从光源到光检测器之间存在有两条光路：一束光被分束器（例如一面半透半反镜）反射后入射到上方的平面镜后反射回分束器，之后透射过分束器被光检测器接收；另一束光透射过分束器后入射到右侧的平面镜，之后反射回分束器后再次被反射到光检测器上。通过调节平面镜的前后位置，可以对两束光的光程差进行调节。值得注意的是，被分束器反射的那一束光前后共三次通过分束器，而透射的那一束光只通过一次。对于单色光而言只需调节平面镜的位置即可消除这个光程差；但对于复色光而言，在分束器介质内不同波长的色光会发生色散，从而需要在透射光的光路中放置一块材料和厚度与分束器完全相同的玻璃板，称作补偿板，如此可消除这个影响。
当两面平面镜严格垂直时，单色光源会形成同心圆的等倾干涉条纹，并且条纹定域在无穷远处。如果调节其中一个平面镜使两束光的光程差逐渐减少，则条纹会向中心亮纹收缩，直到两者光程差为零而干涉条纹消失。若两个平面镜不严格垂直且光程差很小时，光源会形成定域的等厚干涉条纹，其为等价于劈尖干涉的等距直条纹。
1905年至1930年间，人们又使用迈克耳孙干涉仪重复进行了多次迈克耳孙－莫雷实验，结果均不超过以太风存在情形下条纹移动量的10%。1979年，人们用激光进行了迄今为止最为精确的迈克耳孙－莫雷实验，实验所用的氦－氖激光频率被锁定到一个绝热稳定的法布里－珀罗干涉仪上，结果显示激光频率因以太风而可能存在的偏移不会超过其所预测的5×10。
马赫－曾德尔干涉仪
迈克耳孙干涉仪中，分束器也被用来使两束相干光重新会合发生干涉，而倘若采用一块独立的半透半反镜来使两束光重新会合，则可构造成马赫－曾德尔干涉仪（Mach-Zehnder interferometer）。它是由德国物理学家路德维希·马赫（恩斯特·马赫之子）和路德维希·曾德尔于十九世纪末设计的，其基本光路如左图所示：光源位于透镜的焦平面上，从透镜出射的平行光入射到第一面半透半反镜上分为两束，各自经一面平面镜反射后在完全相同的第二面半透半反镜重新会合，之后在两个方向上的光检测器都能发生干涉。通常，干涉仪中四个反射面需要被尽量设置为严格平行，并且四个反射点构成一个平行四边形以保证准直。由此，两列干涉臂的长度差异高度影响着两个方向上的光检测器所接收到的干涉信号，任何一个微小的光程差变化都会导致入射光能量的重新分配。当两列干涉臂的光程完全相等，并考虑光波在半透半反镜和平面镜上反射产生的多次半波损失，则可知此时两列相干光在光检测器1的光路上有相长干涉，所有入射光的能量都将进入光检测器1；而在光检测器2的光路上有相消干涉，没有入射光能量进入光检测器2。
在实际操作中，若其中一块半透半反镜和平面镜之间稍有倾斜，则会形成类似迈克耳孙干涉仪的劈尖干涉，即得到定域的平行等距直条纹。
通过测量光程差改变引起的光检测器所接收到的光强变化，马赫－曾德尔干涉仪经常用于测量可压缩气流中折射率的变化。即对于两条相干光路，其中一条作为参考光路，另一条置于待测气流中作为测试光路，从而可测得气流的折射率改变，进一步即可得到待测气流的密度改变。 主条目：相干性
在迈克耳孙干涉仪或马赫－曾德尔干涉仪这样的振幅分割干涉装置中，虽然两束光来自同一光源，但在实验中会发现如果一味增加两束光的光程差，会导致干涉条纹的可见度下降直至条纹消失；而在杨氏双缝干涉中，如果逐渐扩展两条狭缝在彼此连线上的线度，也会导致干涉条纹可见度的下降并最终消失。这种干涉条纹最终消失的现象是由于相干性，前者是由于实际的光波并非严格的无限长单色波列，它具有有限的相干长度（时间相干性）；后者是由于扩展光源造成了空间中不同点之间彼此的相干性下降（空间相干性）。例如在迈克耳孙干涉仪中，一列有限长度的入射波进入干涉仪后被分成长度相等的两列波，如果干涉仪两臂的光程差大于这两列波的长度，则对于这一入射波而言它产生的两列分波无法发生干涉，即两列波没有相干性。从而在任意时刻，到达空间中某一点的所有波列都来自不同的入射波的叠加，而这些入射波本身具有随机的相位和振幅涨落，在可观测时间内它们的叠加不产生干涉。
时间相干性
随着时间 的变化，在时间 内，一个相位显著飘移的波的振幅（红色），与延迟了时间 的振幅（绿色）。在任何设定时间 ，红色波会与延迟的绿色复制波互相干涉。可是由于一半的时间，红色波与绿色波同相位，另外一半时间，两个波异相位，所以，对于这个延迟，随着时间平均的干涉等于零。
时间相干性是光波单色性的一种反映，如果光波的单色性越好则它具有越好的时间相干性。也就是说，对于一列光波，将它延迟一段时间后再将其与自身延迟后的版本发生干涉，如果延迟的这段时间即使很大，而它仍然能与自身发生干涉，则称这列波或对应的波源有很好的时间相干性。对于严格的无限长单色波，无论延迟多久它仍然能与自身发生干涉；而对于实际的有限长波列超过一段特定时间之后则无法发生干涉，这段时间被称作相干时间，它也就是这列光波的持续时间。根据定义，描述时间相干性的方法即为自相关函数。
设有限长波列，其持续时间为，即当时。对这个波列做傅里叶变换，可得它的频谱为
这个积分的结果是一个归一化的Sinc函数，而频谱的模平方（功率谱）对应着光强。从函数可知光强的第一个零值对应着。
从而得到这列有限长波列的频率范围，即波列的频率范围近似为波列持续时间的倒数。事实上，实际的光波满足关系。由此可知激光的线宽也是时间相干性的反映，激光的线宽越窄则说明这束激光的时间相干性越高。
从相干时间可以进一步定义相干长度，是波长的范围。对于两列光波的光程差接近或大于它们的相干长度时，干涉效应将难以发生。
空间相干性
空间相干性是电磁波传播过程中在空间中两点的电场相关程度的反映，即它是一种互相关函数。如果一束电磁波在空间中传播的同一波阵面上不同点的相位彼此间高度相关，则认为这束电磁波有很强的空间相干性。例如，在一束激光的横截面上，向不同方向振荡的电场在相位变化上是高度一致的，即使这束激光的线宽很宽从而不具有很好的时间相干性。空间相干性是激光能够保持高度方向性的关键因素。
根据傅立叶光学，波源光强在二维平面上的分布的傅立叶变换，即是干涉条纹的可见度函数。从而对于线度为的扩展光源，其可见度是一个Sinc函数，因而在距离为的波阵面上，具有空间相干性的范围近似可表为
这个距离被称为相干间隔，由此可定义相干孔径角，也就是说在这个范围的光场内，波阵面上任意两点具有空间相干性。
由于杨氏双缝实验中条纹的可见度和狭缝在彼此连线上的扩展线度有很大关系，利用这个方法可以测量一些小光源的角幅度，这也正是迈克耳孙测星干涉仪的原理。