以心消业
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e是指自然对数底。它的值大约是2.718281828……(注意,他是个无理数)
e是一个极限的值:lim(1+1/n)^n(n->无穷大)。如果你不懂极限,那么可以想象,y=(1+1/n)^n,当n变得很大很大的时候,y的值就非常非常接近一个数,这个数就是e。你可以拿个计算器算一下,比如(1+1/100000000)^100000000,他就大约等于2.71828……。同时,e还是这个极限的值:lim(1+n)^(1/n)(n->0),你也可以想象成当n取很小很小的时候,y=(1+n)^(1/n)的值就差不多等于e了。你也可以用计算器算算(1+1/0.000001)^0.000001是多少。(如果没学过小数次方,那么不管它,只要知道一下就可以了,计算器会帮你算出来的)
自然对数是指以e为底的对数,一般写作ln(它是一个函数)。如果你不知道对数是什么,那么我可以给你解释一下:如果y=ln(x),那么e^y=x。
如果你连指数、函数都没有接触过,那么只能告诉你,你只要记住有这么一个数e就可以了,他大约等于2.718281828……,目前阶段没有什么作用,要等到n年后才会了解到有关它的知识(其实有关于e的知识是很有趣的,比如e^(iπ)+1=0,i=根号(-1))。如果你硬要想了解e,那么学一下指数(包括分数指数)、对数、函数、复数、极限,你就能够大致了解e了。
(注:a^b是指a的b次方)
Troublesleeper
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是自然指数e,多用于经济学,微积分等
自然对数是Inx,是对数函数
bikbok
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就是指自然对数
跟pai一样性质的
ardim
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自然对数的底数e
台湾师大数学系二年级 赵国亨
沧海桑田世事非 始终不变未曾悔
高中教师常常用这么一则笑话,帮助学生记忆一个很特别的微分公式,故事是这么说的:
在一家精神病院里,有个病患整天对着别人说,「我微分你我微分你」,也不知为什么,这些病患都有一点简单的微积分概念,总以为有一天自己会像一般多项式函数般,被微分到变成零而消失,因此对他避之唯恐不及,然而某天他却遇上了一个始终不为所动的人,他很意外地问他为何不会害怕,这个人淡淡地对他说,「我是e的x次方。」
这个微分公式就是:ex不论对x微分几次,结果都还是ex,一丝不变!难怪数学系的学生会用ex,来比喻坚定不移的爱情!
熟悉数学的人都知道,在π之后,第二个最重要的数学常数是e。但是不同于π的历史辉煌,它拥有「由π的准确位数可以看出一个文明当时的数学水平,甚至是文化水平」这般地位,自然对数的底数e的出现几乎不可考,我们仅知道人们发现数列 (1+1/n)n在n趋近于 ∞ 时,会趋近于一个常数。这个数列是由于金融业的发达,为了处理复利的计息周期而出现,然后这个常数的估计值,则要等到对数出现后,才能被真实地评定。
对数函数无所假 天文学家延生涯
十七世纪初,苏格兰数学家John Napier『发明』了对数 (logarithm)。其实,笔者也不知道该不该称呼Napier为数学家,毕竟他是个对宗教狂热、具有机械天份、喜欢用鬼点子解决问题的有趣贵族。更让人意外的,是他居然扎实地做了廿年的苦工,完成了史上第一张对数表。
与我们现在所熟知的对数不同,这张对数表的底数是1-10-7而不是10,以10为底的常用对数在Briggs与Napier见面之后,才在Briggs的手中诞生。可敬的Napier在做出对数表的三年后,便与世长辞,而这门不假其它数学研究的学问,才正要席卷数学界。在此,容我用西北雨来形容对数这项发明的出现:
埋首计算那烦闷一如夏日午后的庞大乘法,毫无预兆地几滴名为「对数」的斗大雨滴落下,转眼整个数学界的天空变了颜色,狂泄的雨水淋湿了厚重的计算纸,雨过天青,计算纸上繁复的乘法变成加法,简单一如雨后的清爽空气。雨后,天文学家,减少了计算时间,延长了学术生涯。
充斥于天地万物 闪烁在晨曦蛛网
在一片空旷的草地上,有甲、乙、丙、丁、四只狗,分别站立在一个正方形的四个顶点 A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下,四只狗以相同的速度,同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻,都是正面朝向它的目标,那么,这四只狗所跑过的路径是什么形式呢?
上述题目出自赵文敏老师的文章〈等角螺线及其它〉,有兴趣的人可以参考下列网站:http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_20_09_1/index.html。他的答案是等角螺线,如果用极坐标表示,等角螺线的基本形式就是r = aeθ cotθ。
等角螺线有着惊人的美妙相似性质,大自然中许许多多的生物身上,都显示等角螺线的存在,鹦鹉螺的截面线条、菠萝、向日葵的螺旋纹,都是这种形式。另一方面,等角螺线在数学上,也有许多神奇的性质,如右图中,做一过P点的切线截y轴于T点,则从O点沿着螺线到P点的距离恰好等于PT的距离,这是由伽利略 (Galileo Galilei)的学生托里切利 (Torricelli) 证明出来。
另一方面,有个经常被误认为是抛物线的曲线,也跟e分不开来,它被称为悬链线,源自开始大量使用极坐标研究螺线的Jakob Bernoulli提出来的问题:「把一条细绳挂在两定点上,让他自由悬垂下来,求:这细绳会构成怎样的曲线。」这个曲线的基本形式是( ex + ex ) / 2,同时,它也是相同条件下位能最小的曲线。当然,这个答案在当时不是这个样子的,因为要等到尤拉 (Euler) 来为自然对数命名。
随手拈游戏之作 遗我以美丽结果
相对于π是希腊文字中圆周的第一个字母,e是由来的是较不为人所熟知的。一般咸认为尤拉是建议将e作为自然对数的底数之数学家,因此,偶尔总会有人认为:根本就是尤拉 (Euler) 取自己名字的第一个字母作为自然对数。但是,别忘了大家称呼e为自然对数的底数,而不是Euler对数或Euler常数 (注1)。
尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二:一为在a, b, c, d等四个常被使用的字母后面,第一个尚未被经常使用的字母就是e,所以,他很自然地、毫不避嫌地选了e这个符号,代表自然对数的底数;一为e是指数 (exponential) 的第一个字母,虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉 (Euler) 的母语又不是英文,很不幸地法文、德文的指数都是exponential (注2)。
不论如何,我们已经接受e代表着自然对数,现在,让我们先抛开折磨人的严谨性,一起来感受一下Newton与Leibniz创造微积分之后,属于数学界的大航海时代精神:
1. 首先大家都知道 ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! + …
2. 用 ix 代替 x
3. eix = 1 + ix + (ix)2/2! + (ix)3/3! + (ix)4/4! + (ix)5/5! + …
= 1 + ix - x2/2! - ix3/3! + x4/4! + ix5/5! + …
= ( 1 - x2/2! + x4/4! + … ) + i( x - x3/3! + x5/5! + … )
= cos x + i sin x (注3)
4. 如果你写下另一个用 –ix 代替 x 的式子,就可以加减得到Euler三角函数公式 cos x = ( eix + e-ix ) / 2 、 sin x = ( eix - e-ix ) / 2i
5. 如果你将π代入 x ,就会看到 eiπ = -1,也就是eiπ + 1 = 0
感谢Lagrange、Cauchy、Weierstrass等等后来许多数学家们的努力,Euler的『游戏之作』,在今日已经成了人们眼中最美丽的数学式!至于这个过程的『严谨性』,就让大家等着看他怎么出现在数学系的分析学课程之中了!
写在最后…
很遗憾地删掉了很多东西,像是许多可以让文章更加生动的图片、提到等角螺线就让人自然而然联想到的黄金比例及Fibonacci数列、e身为一个超越数对数学界的影响等等,但这是很难得的经验。看了很多书,也学到很多过去没注意的知识,很累、但很有充实感。
批注
1. 事实上Euler常数g 是另一个跟对数有关的常数。
2. 不过,笔者在怀疑会不会是l这个对数的开头字母的书写体压扁的结果?毕竟l常常拿来代表长度,所以要将它变体一下啰~~
3. 在Euler之前,有一位英国数学家Roger Cotes计算出那个常数是2.7182818,同时,再提出以那个常数作为底数,得到if = log(cosf + isinf) ,其中 i = (-1)1/2 。
参考书目:
American Council of Learned Societies (1991). Biographical Dictionary of Mathematicians. New York:Scribner。
Eli Maor (2000),《毛起来说e》,郑惟厚译,台北:天下文化。
Ian Stewart (2000),《大自然的数学游戏》,叶李华译,台北:天下文化。
Ian Stewart (2000),《生物世界的数学游戏》,蔡信行译,台北:天下文化。
吴文俊等编 (1995),《世界著名数学家传记》,北京:科学出版社。
曹亮吉 (1996),《阿草的葫芦》,台北:远哲科学教育基金会。
赵文敏撰,〈等角螺线及其它〉,《科学月刊》第二十卷,第九、十期。