标准布朗运动的方差和协方差是多少

数学中，维纳过程是一种连续时间随机过程，得名于诺伯特·维纳。由于与物理学中的布朗运动有密切关系，也常被称为“布朗运动过程”或简称为布朗运动。维纳过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在纯数学、应用数学、经济学与物理学中都有重要应用。维纳过程的地位在纯数学中与在应用数学中同等重要。在纯数学中，维纳过程导致了对连续鞅理论的研究，是刻画一系列重要的复杂过程的基本工具。它在随机分析、扩散过程和位势论领域的研究中是不可或缺的。在应用数学中，维纳过程可以描述高斯白噪声的积分形式。在电子工程中，维纳过程是建立噪音的数学模型的重要部分。控制论中，维纳过程可以用来表示不可知因素。维纳过程和物理学中的布朗运动有密切关系。布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微小颗粒所进行的无休止随机运动。维纳运动也可以描述由福克-普朗克方程和郎之万方程确定的其他随机运动。维纳过程构成了量子力学的严谨路径积分表述的基础（根据费曼-卡茨公式，薛定谔方程的解可以用维纳过程表示）。金融数学中，维纳过程可以用于描述期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型。

维纳过程又称布朗运动，它具有如下特点： （1）它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。 （2）维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。 （3）它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。

随机游动-->布朗运动 定义 (1) X(t) 是平稳独立增量过程(X(0) = 0) (2) 每个增量 X(t) - X(s) 服从均值为 0 和方差为 的正太分布，且 布朗运动B(t)又叫维纳过程W(t)。 有限维分布 路径性质 （1）是 t 的连续函数； （2）在任何区间(无论区间多小)上都不是单调的； （3）在任何点都不是可微的。 Brown 运动是特殊的 Gauss 过程 关于 Brown 运动的积分 积分 公式 随机分析中的链式法则the chain rule。 根据形式，首先给出 过程 的定义： (1-dimensional processes) (1-dimensional formula) 随机微分方程 解的存在唯一性 强解和弱解 例子：

维纳过程又称布朗运动，它具有如下特点：⑴它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。⑵维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。⑶它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。给定二阶矩过程{W(t),t>=0},如果它满足⒈具有独立增量⒉对任意的t>s>=0，增量W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0⒊W(0)=0则称此过程为维纳过程.维纳过程是布朗运动的数学模型. 英国植物学家布朗在显微镜下，观察漂浮在平静的液面上的微小粒子，发现它们不断地进行着杂乱无章的运动，这种现象后来称为布朗运动. 以W(t）表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标（同样也可以讨论纵坐标），且设W(0)=0，根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果. 于是，粒子在时段（s,t]上的位移可以看作是许多微小位移的代数和. 则W(t)-W(s）服从正态分布.维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程. 它也是正态过程. 其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定. 维纳过程不只是布朗运动的数学模型，电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程.期货定价模型BS模型中，期货价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响，两者也都是遵循相同的维纳过程。

维纳过程不一定是二阶矩过程。维纳过程（也称布朗运动）是一种随机过程，根据维纳过程的特征可以发现其期望恒等于0，但并不一定具备固定二阶矩。维纳过程的方差无限大，因此其不存在固定的二阶矩。

对任意的正实数，一维维纳过程在时刻是一个随机变量，它的概率密度函数是：这是因为按照维纳过程的定义，当时，可以推出的分布：它的数学期望是零： 它的方差是：在维纳过程的独立增量定义中，令，，那么和是相互独立的随机变量，并且所以两个不同时刻，与的协方差和相关系数是： 维纳过程中的即时最大值与的联合概率分布是：而即时最大值的分布是对的积分：即时最大值的数学期望是：由于维纳过程上下对称，即时最小值显然是即时最大值的相反数。 将一个维纳过程不断按比例展开，它的一部分就会呈现另一个维纳过程的样子 尺度不变性：对任意的正实数，随机过程都仍然是一个维纳过程。 时间反转：对任意的正实数，随机过程和性质相同。 空间对称：随机过程也是一个维纳过程。 时间反演：随机过程也是一个维纳过程。 时间平移不变性和马尔可夫性质维纳过程具有马尔可夫性质，也就是说，在任意一点之后的走势仅仅和这一点的取值相关，而与之前的取值无关。也就是说，对任何的有界连续函数，因此维纳过程具有时间平移不变性：随机过程也是一个维纳过程。不仅如此，维纳过程还满足强马尔可夫性质：对任意的有限停时，随机变量独立于滤波。也就是说，对任何的有界连续函数，维纳过程的强马尔可夫性质，说明即便给定的时间不是定时而是一个停时，维纳过程在停时之后的走势仍然与之前无关。所以，将停时之后的维纳过程上下反转，仍然会是一个维纳过程。用数学语言来说，就是：给定一个停时之后，随机变量：也是一个维纳过程。这个性质也称为维纳过程的反射原理。作为推论，可以建立即时最大值与的另一种关系。设有正实数停时，那么。运用反射原理可以证明，。更一般地，设有 ，则。

布朗运动：悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。维纳过程：描述布朗运动的数学语言，是布朗运动的数学模型。http://baike.baidu.com/view/652663.htm

{B(t)}布朗运动(brownian motion)也称为维纳过程，是一个随机过程，如果满足以下性质：1． 独立的增量(independence of increments)对于任意的t>s, B(t)-B(s)独立于之前的过程B(u):0<=u<=s.2． 正态的增量(normal increments)B(t)-B(s)满足均值为0方差为t-s的正态分布。即，B(t)-B(s)~ N(0,t-s)。3． 连续的路径(continuity of paths)B(t), t>=0是关于t的连续函数。固定一条路径， B(t)->B(s) 满足依概率收敛。

考虑维纳过程增量无记忆性，所以W(2)＜2与W(7)-W(3)＜1并无相关性，实际上就是P{W(7)-W(3)＜1}，也就是求满足正态分布N(0,4)的随机变量小于1的概率，即φ(0.5)=0.6915。

f"(x)=x^2-（a+1）x+b ∵f"(x)过原点，∴b=0 （1）a=1时，f"(x)=x^2-2x， f"(3)=3，f(3)=9-9+1=1, 切线为：y=3x-8 (2)即存在x<0,使得x^2-（a+1）x=-9, 即方程x^2-（a+1）x+9=0至少有一个负根， 因为两根之积是正的，故只能是有两个负根 a+1<0,a<-1 且(a+1)^2-36≥0,a+1≤-6 故a最大为-7 （3）要分类讨论，首先讨论导函数的根的情况， 0<a≤5时，f"(x)≥0，原函数单调增，只有一个零点 a>5时，f"(x)=0有两个不等根，设为x1,x2,且x1<x2 则在x1处原函数有极大值，x2处有极小值 讨论这两个极值和0的关系，若都大于0或都小于0，则一个零点 若有一个为0，另一个非零，则两个零点 若异号则三个零点

分类: 商业/理财 问题描述: 什么是产定价理论、投资组合理论、布朗维纳随机过程 解析: 1.投资组合，是指投资者将投资资金按照一定比例已组合投资的形式投资在不同的资产上。而投资组合理论，是讨论由多项资产构成的资产组合作为一个整体的风险与收益关系，以及投资者如何合理的选择自己的最佳投资组合等问题。 2.资本资产定价模型，全称 Capital asset pricing model 风险越高 投资者所要求的预期收益就越高 这样才能弥补他所承受的高风险。 这个模型 风险资产的收益率＝无风险资产的收益率＋风险溢价 风险溢价＝（市场整体收益率－无风险资产收益率）*（一个系数） 一般用希腊字母β表示 风险不是资产，资产是能带来收益的。 我用股市来说明吧 个股的合理回报率＝无风险回报率＋β*（整体股市回报率－无风险回报率（可以用国债收益率衡量）） β＝1时， 代表该个股的系统风险＝大盘整体系统风险， β>1 时 代表该个股的系统风险高于大盘 一般是易受经济周期影响 例如 地产股 和耐用消费品股。这种一般称为景气循环股（cyclicals） β<1时 代表该个股风险低于大盘 一般不易受经济周期影响 例如食品零售业 和 公共事业股。 这种一般成为 防御类股（defensive stocks） 系统风险越高 也就是易受经济周期影响 投资者就需要较高的回报率抵补他承受的高风险。 我理解的是 资产的价值是由它未来产生的现金流决定的，对于像股票这样的资本资产，它的价值就是由它未来产生的收益决定的，所以收益率是最关键的。收益率决定了资本资产的定价。所以称为资本资产定价模型。 3.布朗维纳随即过程，布朗指布朗运动，是微小粒子表现出的无规则运动。现在把定义在连续函数空间的一种描述布朗运动的测度称为维纳测度，相应的随机过程称为维纳过程。

randn("state",100) % 产生随机态T = 1; N = 500; dt = T/N;dW = zeros(1,N); % 存放位置W = zeros(1,N); % 为了加快运算速度dW(1) = sqrt(dt)*randn; % 循环前的初始化W(1) = dW(1); % W(0) = 0 不允许，所以首先置值for j = 2:N dW(j) = sqrt(dt)*randn; % 产生序列 W(j) = W(j-1) + dW(j); endplot([0:dt:T],[0,W],"r-") % 画图。哦耶。xlabel("t","FontSize",16) ylabel("W(t)","FontSize",16,"Rotation",0)

控制论的发明人维纳在1923年指出，布朗运动在数学上是一个随机过程，提出了用“随机微分方程”来描述，因此人们也把布朗运动称为维纳过程；日本数学家伊藤发展建立了带有布朗运动干扰项的随机微分方程，dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dBσ（t,x）是干扰强度，μ（t,x）是漂移率该方程描写的过程是伊藤过程。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程，它直接把布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动最一般的意义。

布朗运动可以定义为： {B(t),t≥0} 为标准布朗运动 其中 B(t)是连续时间的随机过程 布朗桥 令B(0)=0，在 B(0)=B(1)=0的条件下，它的概率分布服从维纳过程W(t) 的条件概率分布。B00(t)=B(t)u2212tB(1) 则称{B00(t),0≤t≤1} 是布朗桥 方差为t(1u2212t)的时候桥的期望值是零，意思是最高不确定在桥中央，而在叉点处为零不确定。B(s)与B(t)的协方差是s(1u2212t) if s<t。布朗桥的增长是非独立性的。 如果 W(t)是个标准的维纳过程，B(t)=W(t)u2212tW(1) 就是一个布朗桥。 如果相反，B(t)是个布朗桥，Z是个标准的随机变量，那么W(t)=B(t)+tZ 是t∈[0,1] 区间的一个维纳过程，

1905年,A.爱因斯坦求出了粒子的转移密度。1923年，美国数学家N.维纳从数学上严格地定义了一个随机过程来描述布朗运动。布朗运动的起因是由于液体的所有分子都处在运动中，且相互碰撞，从而粒子周围有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用于它,使它被迫作不规则运动。若以Χ(t)表示粒子在时刻t所处位置的一个坐标,如果液体是均匀的，自然设想自时间t1到t2的位移Χ(t2)-Χ(t1)是许多几乎独立的小位移之和，因而根据中心极限定理，可以合理地假定Χ(t2)-Χ(t1)遵从正态分布，而且对任何0≤t0<t1<…<tn,增量Χ(t1)-Χ(t0),…,Χ(tn)-Χ(tn-1),可设想为相互独立。物理上的这些考虑引导到下面的数学定义。 　　设Χ＝{Χ(t)，t∈R+}为定义在概率空间(Ω,F,P)(见概率）上,取值于d维实空间Rd中的随机过程,若满足①Χ(0)=0；②独立增量性：对任意的0≤t0<t1<…<tn,Χ(t0), X(t1)-Χ(t0),…,Χ(tn)-Χ(tn-1)是相互独立的随机变量；③对任意s≥0，τ>0,增量Χ(s+τ)-Χ(s)服从密度为的d维正态分布，式中，表示x 到原点的距离；④Χ的一切样本函数连续。这样的Χ称为（数学上的）布朗运动或维纳过程。 　　维纳的一个重要结果，是证明了满足①～④的过程的存在性。这样的过程 Χ是独立增量过程，因而是马尔可夫过程，而且还是鞅和正态过程

reap all dead processes的意思是获得所有死亡的过程。reapvt. 收获，获得；收割vi. 收割，收获n. (Reap)人名；(英)里普eap vi 收割reap maryefits 蒲公英粉Another Reap 别人来收获Reap Awards 将获取丰厚大奖reap clefits 猪油膏fringe reap 福利reap vt 收割reap A 夏岐泓reap feelnjiiminefits 蒲公英粉processesn. 过程；[计] 进程（process的复数）v. 处理（process的第三人称单数形式）；加工Atmospheric processes 大气过程 ; 大气进程 ; 年夜气历程Accountant processes 会计处理 ; 会计 ; 处理 ; 会计处理support processes 支持过程Special Processes 特殊流程 ; 特殊流过程 ; 特殊过程 ; 开发特殊制程技术ciliary processes 睫状突stytoid processes 容积显示 ; 茎突活体解剖wiener processes 维纳过程 ; 随机过程 ; wiener过程 ; Wiener过程permitting processes 申请程序Core Processes 核心流程

可以clf;clear,clcdxdt=@(t,x)sin(x(1))+x(1)*randn;x0=1;%这里初值取1，可以自定tspan=[0 10];%求解区间[t,val]=ode45(dxdt,tspan,x0);plot(t,val)grid onset(gca,"xtick",0:1:10,"ytick",1:.2:3.5)

将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的几何布朗运动（geometric browmrian motion）。

高斯过程（Gaussian Process。GP）是概率论和数理统计中随机过程（stochastic process）的一种，是一系列服从正态分布的随机变量（random variable）在一指数集（index set）内的组合。高斯过程中任意随机变量的线性组合都服从正态分布，每个有限维分布都是联合正态分布，且其本身在连续指数集上的概率密度函数即是所有随机变量的高斯测度，因此被视为联合正态分布的无限维广义延伸。高斯过程由其数学期望和协方差函数完全决定，并继承了正态分布的诸多性质。高斯过程的例子高斯过程的例子包括维纳过程、奥恩斯坦-乌伦贝克过程等。对高斯过程进行建模和预测是机器学习、信号处理等领域的重要内容，其中常见的模型包括高斯过程回归（Gaussian Process Regression，GPR）和高斯过程分类（Gaussian Process Classification，GPC）。高斯过程的命名来自德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）以纪念其提出正态分布概念。

伊藤过程控制论 的发明人维纳在1923年指出，布朗运动在数学上是一个随机过程，提出了用“随机微分方程”来描述，因此人们也把布朗运动称为维纳过程； 日本 数学家伊藤发展建立了带有布朗运动干扰项的随机微分方程， dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dB σ（t,x）是干扰强度，μ（t,x）是漂移率 该方程描写的过程是伊藤过程。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程，它直接把布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动最一般的意义。 布朗运动是随机涨落的典型现象, 一般地说，许许多多的宏观观测，都要受到布朗运动的限制. 法国经济学家Bachelier L把股价的变动理想化为布朗运动,在此基础上，经济学家把伊藤过程方程用于描写股票价格)（!）行为过程的一种模式，为更确切地描写股票价格的行为过程，伊藤过程方程被修正为 dS(t)/S(t)=μdt+σdB 其中σ为股票价格波动率、 μ为股票价格的预期收益率,人们把它称为股价方程，它是一个随机微分方程.由伊藤过程描述的股价方程是一个正向的随机微分方程，从确定的S(0)=S0出发，根据布朗运动 的随机变量B(t)在0-t之间的形态，来推断轨线的统计行为.

标准维纳过程，dw=εdt，漂移率为常数0；一般维纳过程，dX = adt + bdW ，其中a表示每单位时间dt 随机变量 X 的瞬间变量期望值，即漂移率为常数a；伊藤过程，dX = a(x,t)dt + b(x,t)dW,a、b是x与时间t的函数， a(x,t)的期望值即为期望漂移率。

核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等，其中高斯核函数最常用，可以将数据映射到无穷维，也叫做径向基函数（Radial Basis Function 简称 RBF），是某种沿径向对称的标量函数。[1] 通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数，可记作 k（||x-xc||）， 其作用往往是局部的，即当x远离xc时函数取值很小。分类核函数的选择要求满足Mercer定理（Mercer"s theorem），即核函数在样本空间内的任意格拉姆矩阵（Gram matrix）为半正定矩阵（semi-positive definite）。常用的核函数有：线性核函数，多项式核函数，径向基核函数，Sigmoid核函数和复合核函数，傅立叶级数核，B样条核函数和张量积核函数等[2] 。平稳和各向同性核函数具有平稳性（stationarity）的核函数仅是特征空间下样本间向量的函数，对指数集的平移变换保持不变（translation invariant）。若样本的协方差与其向量的方向无关，即仅与距离有关，则可使用具有各向同性（isotropy）的核函数。很多核函数同时满足平稳性和各向同性，这里给出其常见例子[3] ：1. 径向基函数核（RBF kernel）式中，为RBF核的超参数，定义了学习样本间相似性的特征长度尺度（characteristic length-scale），即权重空间视角下特征空间映射前后样本间距离的比例[3] 。2. 马顿核（Matérn kernel）式中为核函数的超参数，为修正贝塞尔函数（modified Bessel function）。由修正贝塞尔函数的定义可知，马顿核是指数函数与多项式函数的乘积，其可导性，或平滑程度与有关，的常见选择为1.5和2.5。当时，马顿核等价于以为特征尺度的RBF核[3] 。3. 指数函数核（exponential kernel）指数函数核是马顿核在的特殊形式，通常对应奥恩斯坦-乌伦贝克过程（Ornstein-Uhlenbeck Process, OU）。OU过程是一个连续但不平滑（均方不可导）的随机过程。其对应的数学模型是维纳过程（Wiener process）下质点运动的速度[3] 。4. 二次有理函数核（rational quadratic kernel, RQ kernel）式中为超参数。可以证明，RQ核是无穷个RBF核的线性叠加，当趋于无穷时，RQ核等价于以为特征尺度的RBF核[3] 。其它1. 周期核函数（periodickernel）平稳核函数可以用于构建周期核函数：式中，表示该核函数具有的周期，例如由RBF核得到的周期核的形式为：。2. 内积核函数（dot product kernel）内积核函数也被称为多项式核函数，其形式为：，式中表示多项式的阶数[3] 。3. 各向异性核函数对各向同性核函数，定义可将各向同性核函数转化为各向异性核函数，式中是表征各向异性的函数，其格拉姆矩阵的对角元素表示对不同维度所取的不同尺度[3] 。理论根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。采用核函数技术可以有效地解决这样问题。设x,z∈X,X属于R（n）空间，非线性函数Φ实现输入空间X到特征空间F的映射，其中F属于R（m），n<<m。根据核函数技术有：K(x,z) =<Φ(x)，Φ(z) > (1)其中：<, >为内积，K(x,z)为核函数。从式(1)可以看出，核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，从而为在高维特征空间解决复杂的分类或回归问题奠定了理论基础。性质核函数具有以下性质[4] ：（1）核函数的引入避免了“维数灾难”，大大减小了计算量。而输入空间的维数n对核函数矩阵无影响，因此，核函数方法可以有效处理高维输入。（2）无需知道非线性变换函数Φ的形式和参数.（3）核函数的形式和参数的变化会隐式地改变从输入空间到特征空间的映射，进而对特征空间的性质产生影响，最终改变各种核函数方法的性能。（4）核函数方法可以和不同的算法相结合，形成多种不同的基于核函数技术的方法，且这两部分的设计可以单独进行，并可以为不同的应用选择不同的核函数和算法[5] 。

随机过程的发展 随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。 气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。 随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。 随机过程的定义 设 (Ω,F,p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间）,如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝{x(t),t∈T}为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集,也称{xn}为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。 过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。 如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间（即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域）,称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,{ω:x(ω)∈B}∈F。特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域）,则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数u0192=(u0192(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称{x(t),t∈T}为取值于E的随机过程。 以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。 有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x={x(t),t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T,i＝1，2,…,n,考虑的联合分布函数，,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件： ① 对(1,2,…，n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn)， ； ② 若m<n，则。反之,有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数如果它满足①、②,则必存在概率空间(Ω,F,p)及定义于其上的随机过程x，而且x的有穷维分布族重合于F。 从测度论的观点看，每一随机过程x={x(t),t∈T}在(RT,BT)上产生一概率测度PX，称为x 的分布,它在上述柱集上的值就是 正态过程 有穷维分布都是正态分布的随机过程,又称高斯过程。就象一维正态分布被它的均值（见数学期望）和方差所确定一样,正态过程{x(t),t∈T}被它的均值函数m(t)=Ex(t)和协方差函数 λ(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定，其中λ(s，t)是对称非负定函数，即λ(s，t)=λ(t,s)，而且对任意的 tj∈T及实数αj，1≤i≤n，有反之,对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数λ(s,t),由柯尔莫哥洛夫定理可证,存在一个正态过程，以m(t)为其均值函数，以λ(s,t)为其协方差函数。 根据中心极限定理，许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。此外，正态过程有一系列的好性质,如它的最佳线性估计重合于条件期望,这一点在应用上是很方便的，既准确又便于计算。因此正态过程在实际中有广泛的应用，在无线电通讯及自动控制中尤为重要。为方便计,设m(t)呏0。任取tj,t∈T,用L(x(t1),x(t2), …,x(tn))表示由x(t1),x(t2),…,x(tn)的线性组合所构成的希尔伯特空间，x(t)在此空间上的投影记作 称为x(t)关于x(t1)，x(t2),…，x(tn)的最佳线性估计,即线性最小均方误差估计;条件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),…，x(tn))则是非线性的最小均方误差估计。对正态过程来讲，这两种估计以概率1相等。 可分性 设F是p-完备的,即F包含任何概率为零的集的一切子集。在随机过程的研究中,Ω的某些重要的子集并不能由事件（即F中的元素）经可列次集运算而得到。例如对一切若T不可列,则作为不可列多个事件的交,A未必是一个事件,也就谈不上它的概率。为了解决这类问题,杜布引进了随机过程可分性的概念。称过程x 关于T 的某一可列稠集Q可分(或简称可分)，是指除了一个概率为零的集N外,x在每一t∈T 处的值,可以用限于Q的x在t附近的值来任意逼近；即任给不属于N的ω，存在{rj}∈Q，使得rj→t,且x(rj,ω)→x(t,ω)。所谓Q为T 的稠集，是指T 的每一点必是Q 中某个点列的极限。如果x 关于Q 可分,则可以证明上述的 A是一个事件，而且有p(A)＝p({ω:|x(r,ω)|≤α,对一切r∈Q})。如果过程x关于T的任一可列稠集都可分,则称x完全可分。 设x={x(t)，t∈T}与Y={Y(t),t∈T}为定义在概率空间(Ω，F，p),上的两个随机过程,如果对任何t∈T,p(x(t)=Y(t))=1,则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时，x和Y有相同的有穷维分布族。虽然任给的过程 x未必可分，但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x,必存在与它等价的可分过程Y 。因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时，可取一可分过程Y来代替x。 过程x称为随机连续,如果对任一t0∈T,在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有，对随机连续的过程x，必存在一个完全可分过程Y与之等价。 可测性 为了研究样本函数对t的积分等问题,需要x(t,ω)关于两个变量(t,ω)的可测性。设T是R中某区间，B(T)是T中全体波莱尔集所成的σ域,B(T)×F表示乘积σ域,μ=L×P表示勒贝格测度L(见测度论）与p的乘积测度，表示 B(T)×F关于μ的完备化σ域。 称随机过程x为可测的,如果对任一实数α，有： 称随机过程x 为波莱尔可测的，如果对任一实数α，有。如果过程x 随机连续，则必存在与x 等价的、可测而且完全可分的过程Y。 有时还需要更强的可测性。设给了F的一族子σ 域{，t∈T}，其中T=R+=【0，∞)，满足：①单调性,对s≤t，嶅；②右连续性， ③完备性，F0包含F 的一切概率为零的集。称x 为{}-适应的，如果对任一t，xt为可测；称xt为{}-循序可测的，如果对任一t∈T 及实数α，有{(s,ω):x(s,ω)≤α, s≤t}(【0,t】)×。 循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，但逆之不然，除非样本函数性质较好。例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测。使一切样本函数右连续的适应过程都可测的T×Ω上的最小σ域，称为可选σ域，关于可选σ域可测的过程称为可选过程。可见，可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性。进一步,使一切样本函数连续的适应过程都可测的T ×Ω上的最小σ域,称为可料σ域，关于可料σ域可测的过程称为可料过程。这又是一种比可选可测性更强的可测性。可以证明，样本函数左连续的适应过程都是可料过程。 轨道性质 当人们观察物体作随机运动时，最感兴趣的问题之一是它的轨道性状，因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，过程的轨道x(t,ω), α≤t≤b,以概率1有界，或无第二类断点，或是阶梯函数，或是连续函数，等等。函数u0192(t)在【α,b】上无第二类断点是指：对每一个t0∈(α,b)，存在左、右极限及 而在α、b)处，则存在单侧极限。 设过程{x(t), t∈【α,b】}可分，而且存在常数α>0，ε>0，с≥0,使得对任意的t∈【α,b】,t+Δt∈【α,b】，有,则过程的轨道以概率1在【α,b】上一致连续。设可分过程{x(t)，t∈【α,b】}随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0,使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有 则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程{x(t),t∈【α,b】}，只要存在с≥0,α>0，使得 ,x的轨道就以概率1连续。 停时 这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。 直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ,τ(ω)=inf{t>0,x(t,ω)∈A}，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u),u≤t}。 一般地，设在可测空间(Ω,F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族{,t∈R+},称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有{τ≤t}∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。 类似于，对停时τ可以定义σ域,其中为包含一切的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。 停时有许多好的性质,例如,若τ1、τ2是停时,则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中,;还有，这里表示包含、的最小σ域；进一步，若{τn}是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。 二阶过程 均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(∧,A)上的有限测度，如果对每一A∈A,有一复值随机变量Z(A)与它对应,且满足：①E|Z(A)|2< ∞；②则称Z＝{Z(A)，A∈A}为(∧，A)上的正交随机测度。定义在∧上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（∧，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数,， 就可以产生一个二阶过程,满足 (1)它的二阶矩为 。 (2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程{x(t),t∈【α,b)】},则有级数展开式 其中{ηn}是标准正交实随机变量序列,即；δnm=0，n=m时,δnm=1)，λn是积分方程的本征值，ψn是相应的本征函数 Γ(t,s)=Ex(t)x(s)。 特殊随机过程类 对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数。 广义过程 正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω,x(·,ω)∈Dx是广义函数,而对固定的φ,x(φ，·)是随机变量,则称{x(φ,ω):φ∈D}为定义在(Ω,F,p)上的广义过程。它在φ1,φ2,…,φn上的联合分布为 全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函 和相关泛函 根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…,φn，有限维分布都是正态分布，则称x＝{x(φ,ω)}为广义正态过程。

此是是著名的“原函数不能用初等函数表示”的不定积分问题。也就是所说的“积不出来”。

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。∫sinxdx/x=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)=-cosx/x+∫dsinx/x^2=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。注意：积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。扩展资料：其他定义：除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。参考资料来源：百度百科-积分

难是必须的。首先要从概率论与数理统计这本书中找线索，找研究思路。比如有些概率论与数理统计的教材后面把统计知识讲完后，略讲些维纳过程和MAKOV过程，以及有限变差和均方收敛等知识，是不错的启蒙与引入。

Black-Scholes 期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它是由费希尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）在1973年开发的。这个模型是建立在对股票价格的对数正态分布假设、无风险利率、标的资产的波动率和期权到期时间等基本假设的基础之上的。该模型的主要思想是通过计算一个期权的风险中性概率和现值，来推断该期权的价格。具体来说，Black-Scholes 模型将期权定价分解为五个基本要素：标的资产价格、执行价格、无风险利率、期权到期时间以及标的资产波动率。模型通过解决随时间变化的期权价格变化的偏微分方程，给出了期权的一个公式估算，称为 Black-Scholes 公式。Black-Scholes 模型的优点在于能够提供对期权价格变化的定量预测，并且在实践中广泛使用。然而，该模型的基本假设可能会在某些情况下不成立，例如当标的资产价格出现大幅波动、利率和波动率发生变化时，该模型的预测就可能会存在误差。因此，在使用 Black-Scholes 模型时，需要仔细评估其基本假设的适用性，并结合实际市场情况进行修正和调整。

是的。泊松过程是马尔可夫过程之一，首先独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程，泊松过程和维纳过程是两种最重要的独立增量过程，是研究热噪声和散弹噪声的理论基础。所以泊松也是属于马尔可夫过程的。在一般情况下，随机过程在某时刻的状态与邻近时刻过程的状态有关，时间相隔越远，这种关联度越小，经过数学抽象，得到应用十分广泛的马尔可夫过程。马尔可夫过程的特：在马尔可夫性的定义中，"现在"是指固定的时刻，但实际问题中常需把马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时（见随机过程）。例如考察从圆心出发的平面上的布朗运动，如果要研究首次到达圆周的时刻 τ以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里τ为停时，并且认为τ是“现在”。

分为 一、流动偏好理论，长期债券收益高于短期，由于短期流动性高，易于变现。发行者愿意付较高的回报是因为发行长期比短期节省成本，风险小，且不必关注未来高融资风险。二、预期理论，假定，预期的即期利率等于远期利率，投资者在持有一年到期和在上年出售这种债券下一年再投资得到的回报是相同的。投资者预期即期利率在未来上升，是向上斜的期限结构。三、市场分隔理论，不同的投资者受法律，偏好和不同的到期期限的习惯限制，以及信息的高成本等因素的影响，因此被限制在投资期限与其负债期限相一致的某些固定收益证券市场上。前2个理论更符合期限结构的长期变动，最后的更符合期限结构的每日变动情况。

布朗运动首次击中a的时刻的期望是ETa。1、布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。其因由英国植物学家布朗所发现而得名。2、作布朗运动的微粒的直径一般为10-5~10-3厘米，这些小的微粒处于液体或气体中时，由于液体分子的热运动，微粒受到来自各个方向液体分子的碰撞，当受到不平衡的冲撞时而运动，由于这种不平衡的冲撞，微粒的运动不断地改变方向而使微粒出现不规则的运动。布朗运动的剧烈程度随着流体的温度升高而增加。3、布朗运动是大量分子做无规则运动对悬浮的固体微粒各个方向撞击作用的不均衡性造成的，所以布朗运动是大量液体分子集体行为的结果。4、将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。

利率期限结构的估计是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理的基准。国外关于利率期限结构理论的研究分为传统的利率期限结构理论和现代的利率期限结构理论。传统的利率期限结构理论主要集中于研究收益率曲线形状及其形成原因；现代的利率期限结构理论着重研究利率的动态过程。传统的利率期限结构理论包括三个理论：预期理论、流动性溢酬理论和市场分割理论。预期理论一般是指Hicks—Lutz理论，是利率期限结构理论中最主要的理论，它假定交易无税收、无风险且交易者理性预期，认为任何证券的利率都同短期证券的预期利率有关，远期利率反映出对未来的即期利率(spot rate)的预期。流动性溢酬理论(Liquidity Premiums Theory)认为预期理论忽视风险规避因素是不完善的。预期理论假定债券市场的债券间存在完全的可替换性，而流动性溢酬理论认为这种完全替换性是不存在的，因为不同利率之间的相互关系不仅与对未来利率的预期有关，还与风险规避因素有关。市场分割理论将整个市场分为不同期限的更小的子市场，认为投资者受到法律、偏好或者投资期限习惯的限制，只能进入子市场中的一个，从而不同期限子市场的利率水平由本身市场的供求双方决定。西方债券市场的经验数据研究证明，三种理论模型中，预期理论表达了对于未来即期利率的信息；偏好理论的流动性升水在期限一年以内的政府债券定价中明显存在，而在一年期以上的债券中则不存在；市场分割理论的经验证明相对较弱。在传统的利率期限结构理论中，除市场分割理论以外，其他利率期限结构理论的前提条件都认为，资金在不同期限的金融市场之间是可以自由流动的。 　　现代的利率期限结构理论是指随机期限结构(stochastic term structure)模型。随机期限结构模型是刻画利率与期限(或时间)之间的非确定性函数关系及其变化规律的有效工具。从一系列的假设条件入手，运用模型对金融市场利率历史数据进行分析，探索利率水平变化所遵循的规律。常见的随机期限结构和衍生证券定价模型，按其研究方法可分为计量经济学的均衡模型(equilibrium models)和现代金融学的无套利模型(no—arbitrage models)两大类。均衡模型是从假设一些经济变量开始，推出短期无风险利率的一个过程，然后寻找该过程对债券价格和期权价格的含义。根据影响利率水平因素的数量，均衡模型又分为单因素模型和双因素模型。无套利时变参数模型(Time-Dependent Parameter Models)，有Heath，Jarrow和Morton(HJM)模型、Ho-Lee模型和Hull-White模型。无套利模型将初始期限结构看作为已知量，并定义期限结构是如何演变的，这个模型主观色彩较浓；并且其模型参数的估计必须依赖市场利率的历史数据。随机期限结构模型中都包含维纳过程，表示短期利率受到的随机冲击，即利率水平是以一种随机游走的方式反映来自市场的冲击，不考虑不同期限利率产品间交易存在的摩擦。　因而，无论从传统的利率期限结构理论还是从现代的利率期限结构理论进行分析，资金在整个金融市场上的自由流动是形成完善的利率结构的基础条件。

布朗运动是悬浮在液体中的固体小颗粒的无规则运动。这种无规则运动是大量液体分子做无规则运动的反映，它不是分子的热运动。分子的热运动是指大量分子的无规则运动，不是这种固体颗粒的运动。

因为常用的时间序列分析的模型，都要求随机变量是二阶矩平稳，很明显价格序列通常是I（1）过程，或者是广义维纳过程。这一类过程二阶矩不平稳，很多模型不适用，所以要进行对数转换，变成平稳的序列。对数收益率的时序可加性能够使用另外两个利器：中心极限定理和大数定律。假设初始资金 X_0（假设等于 1），ln(X_T) = ln(X_T/X_0) 就是整个T期的对数收益率。对数收益率的最大好处是可加性，把单期的对数收益率相加就得到整体的对数收益率。扩展资料：影响股票收益率的因素：1、企业分配政策：由于不同企业所处发展阶段不同，经营效率不同，现金流量状况不同及规模扩张动力大小不同，因此会有不同的分配政策。这会直接影响红利分配的数量及红利分配的形式，也对资本增值收益产生间接影响。2、企业所处行业特征：通常企业所处行业若为成长性行业、高科技行业，由于这些行业成长性高，发展前景广阔而被市场看好，因此市场预期趋同使这类股票受到追捧，从而有较高的市场价或存在着较高的价格上升潜力。反之处于传统产业甚至夕阳产业的企业，股票价格表现一般不会很好，从而投资难以获得差价收入。3、宏观经济状况：宏观经济状况是股价变化的重要外部因素，具体包括经济增长周期、经济政策及经济指标变化特征等。宏观经济状况好，企业业绩增长外部环境好，股价容易上涨。参考资料来源：百度百科-股票收益率参考资料来源：百度百科-分形市场假说

布朗运动又称维纳过程。1827年，英国植物学家R.布朗观察到悬浮在液体中的微粒子作不规则的运动，这种运动的数学抽象,就叫做布朗运动。 30岁左右经理人，在职业发展道路上往往有很多致命的问题。在30岁之前，他们的职业生涯表现很优秀，但从30岁到40岁这一段，很多人都在做职业的布朗运动，无规则的跳来跳去。 　　但是每个人都要经历这个阶段，如果一个人到40岁、50岁还不知道自己的领地在哪，这可能很糟糕，30岁之后还不知道自己到底属于哪一块的，这是挺可怕的一件事情。如果我要给一些年轻人忠告的话，我的忠告是尽量早的落地，外面可能景色很美，我们有很多的选择，很多很好的选择，但是我想说的是做一个坏的选择比你不做选择要好。为什么呢?因为你有了自己的地盘，有了自己的领地，你可以往下做了。 　　第三个阶段，这个时候可能挺烦的，很多年轻人都这种心态，我天天都在重复做一件事情，这个时候一个人需要学会的是自我激励，一生要做很多平凡无聊的事，好多人希望外部激励他，这个时候更需要他自我激励。 　　第四个阶段，这三件事情都是一个人刚刚会做事，可能是景老师前面讲提到的做事阶段，你可能很聪明的做事了，但是还没有学会做人。所以我第四个阶段是如何学会做人，让自己变成一个别人喜欢的人，别人可能尊敬的人，别人能够信赖的人，这是下一阶段最关键的，这是特别困难的一件事情，但是如果你要学不会的话，可能你的事业不会有大的发展。 　　再往后，实际上还有更高的两个阶段，但是非常虚无缥缈了，可能我们很多人一生也不会接触到这个层次，但是我觉得还是有必要说一下，对我们奔50的人，或者50岁的人比较意思。 　　在第六个阶段我觉得是发现使命的阶段和找到自己接班人的阶段，可能对我们今天的话题很遥远，但是要讨论这个话题，我们必须把人的一生的阶段拿过来做参考。 　　就是这样的阶段，可能30岁是我们的好多人彷徨时期，建议大家尽量把时间往前提，走上一个比较正轨的成长道路。

维纳过程是鞅过程。一、鞅过程介绍：指的是根据目前所得的信息对未来某个资产价格的最好预期就是资产的当前价格。在新的概率分布条件下，所有资产价格经过无风险利率贴现之后，为一个鞅过程。二、维纳过程介绍：数学中，维纳过程是一种连续时间随机过程，得名于诺伯特·维纳。由于与物理学中的布朗运动有密切关系，也常被称为“布朗运动过程”或简称为布朗运动。维纳过程是莱维过程（指左极限右连续的平稳独立增量随机过程）中最有名的一类，在纯数学、应用数学、经济学与物理学中都有重要应用。维纳过程的地位在纯数学中与在应用数学中同等重要。在纯数学中，维纳过程导致了对连续鞅理论的研究，是刻画一系列重要的复杂过程的基本工具。它在随机分析、扩散过程和位势论领域的研究中是不可或缺的。在应用数学中，维纳过程可以描述高斯白噪声的积分形式。在电子工程中，维纳过程是建立噪音的数学模型的重要部分。控制论中，维纳过程可以用来表示不可知因素。维纳过程和物理学中的布朗运动有密切关系。布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微小颗粒所进行的无休止随机运动。维纳运动也可以描述由福克-普朗克方程和郎之万方程确定的其他随机运动。维纳过程构成了量子力学的严谨路径积分表述的基础（根据费曼-卡茨公式，薛定谔方程的解可以用维纳过程表示）。金融数学中，维纳过程可以用于描述期权定价模型如布莱克-斯科尔斯模型。

若一个随机过程{X(t),t>=0}满足：⑴ X(t)是独立增量过程；⑵ 任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,σ^2*t），即X(s+t)-X(s）是期望为0，方差为σ^2*t的正态分布；⑶ X(t)关于t是连续函数。则称{X(t),t>=0}是维纳过程（Wiener process）或布朗运动。

中文名称：布朗运动英文名称：Brownian motion 定义：悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。 应用学科：大气科学（一级学科）；大气物理学（二级学科） 定义若一个随机过程{X(t),t>=0}满足： ⑴ X(t)是独立增量过程； ⑵ 任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,c^2*t），即X(s+t)-X(s）是期望为0，方差为c^2*t的正态分布； ⑶ X(t）关于t是连续函数。 则称{X(t),t>=0}是维纳过程（Wiener process）或布朗运动。

是的。根据数学结构得知维纳过程为平稳独立增量过程。正交增量过程是在任何两个不相交时段上增量有正交性的随机过程。

布朗运动是独立增量过程，所以协方差，cov(Bs，Bt)=min(s，t)，可假du设s>t证之。Bt服从N(0，t)。积分即得原点反射的期望方差。{B(t)}布朗运动(brownian motion)也称为维纳过程，是一个随机过程，如果满足以下性质：1、 独立的增量对于任意的t>s, B(t)-B(s)独立于之前的过程B(u):0<=u<=s。2、 正态的增量B(t)-B(s)满足均值为0方差为t-s的正态分布。即，B(t)-B(s)~ N(0,t-s) 。3、 连续的路径B(t), t>=0是关于t的连续函数。固定一条路径， B(t)->B(s) 满足依概率收敛。扩展资料：布朗运动特点：1、无规则每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因而布朗运动是无规则的。2、永不停歇因为液体分子的运动是永不停息的，所以液体分子对固体微粒的撞击也是永不停息的。3、颗粒越小，布朗运动越明显颗粒越小，颗粒的表面积越小，同一瞬间，撞击颗粒的液体分子数越少，据统计规律，少量分子同时作用于小颗粒时，它们的合力是不可能平衡的。而且，同一瞬间撞击的分子数越少，其合力越不平衡，又颗粒越小，其质量越小，因而颗粒的加速度越大，运动状态越容易改变。4、温度越高，布朗运动越明显温度越高，液体分子的运动越剧烈，分子撞击颗粒时对颗粒的撞击力越大，因而同一瞬间来自各个不同方向的液体分子对颗粒撞击力越大，小颗粒的运动状态改变越快，故温度越高，布朗运动越明显参考资料来源：百度百科-布朗运动

随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响，它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

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随机过程的发展 随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。 气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。 随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。 随机过程的定义 设 (Ω,F,p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间）,如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集,也称为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。 过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。 如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间（即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域）,称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,∈F。特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域）,则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数06=(06(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称为取值于E的随机过程。 以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。 有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x=起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T,i＝1，2,…,n,考虑的联合分布函数，,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件： ① 对(1,2,…，n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn)， ； ② 若m<n，则。反之,有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数如果它满足①、②,则必存在概率空间(Ω,F,p)及定义于其上的随机过程x，而且x的有穷维分布族重合于F。 从测度论的观点看，每一随机过程x=在(RT,BT)上产生一概率测度PX，称为x 的分布,它在上述柱集上的值就是 正态过程 有穷维分布都是正态分布的随机过程,又称高斯过程。就象一维正态分布被它的均值（见数学期望）和方差所确定一样,正态过程被它的均值函数m(t)=Ex(t)和协方差函数 λ(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定，其中λ(s，t)是对称非负定函数，即λ(s，t)=λ(t,s)，而且对任意的 tj∈T及实数αj，1≤i≤n，有反之,对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数λ(s,t),由柯尔莫哥洛夫定理可证,存在一个正态过程，以m(t)为其均值函数，以λ(s,t)为其协方差函数。 根据中心极限定理，许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。此外，正态过程有一系列的好性质,如它的最佳线性估计重合于条件期望,这一点在应用上是很方便的，既准确又便于计算。因此正态过程在实际中有广泛的应用，在无线电通讯及自动控制中尤为重要。为方便计,设m(t)呏0。任取tj,t∈T,用L(x(t1),x(t2), …,x(tn))表示由x(t1),x(t2),…,x(tn)的线性组合所构成的希尔伯特空间，x(t)在此空间上的投影记作 称为x(t)关于x(t1)，x(t2),…，x(tn)的最佳线性估计,即线性最小均方误差估计;条件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),…，x(tn))则是非线性的最小均方误差估计。对正态过程来讲，这两种估计以概率1相等。 可分性 设F是p-完备的,即F包含任何概率为零的集的一切子集。在随机过程的研究中,Ω的某些重要的子集并不能由事件（即F中的元素）经可列次集运算而得到。例如对一切若T不可列,则作为不可列多个事件的交,A未必是一个事件,也就谈不上它的概率。为了解决这类问题,杜布引进了随机过程可分性的概念。称过程x 关于T 的某一可列稠集Q可分(或简称可分)，是指除了一个概率为零的集N外,x在每一t∈T 处的值,可以用限于Q的x在t附近的值来任意逼近；即任给不属于N的ω，存在∈Q，使得rj→t,且x(rj,ω)→x(t,ω)。所谓Q为T 的稠集，是指T 的每一点必是Q 中某个点列的极限。如果x 关于Q 可分,则可以证明上述的 A是一个事件，而且有p(A)＝p()。如果过程x关于T的任一可列稠集都可分,则称x完全可分。 设x=与Y=为定义在概率空间(Ω，F，p),上的两个随机过程,如果对任何t∈T,p(x(t)=Y(t))=1,则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时，x和Y有相同的有穷维分布族。虽然任给的过程 x未必可分，但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x,必存在与它等价的可分过程Y 。因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时，可取一可分过程Y来代替x。 过程x称为随机连续,如果对任一t0∈T,在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有，对随机连续的过程x，必存在一个完全可分过程Y与之等价。 可测性 为了研究样本函数对t的积分等问题,需要x(t,ω)关于两个变量(t,ω)的可测性。设T是R中某区间，B(T)是T中全体波莱尔集所成的σ域,B(T)×F表示乘积σ域,μ=L×P表示勒贝格测度L(见测度论）与p的乘积测度，表示 B(T)×F关于μ的完备化σ域。 称随机过程x为可测的,如果对任一实数α，有： 称随机过程x 为波莱尔可测的，如果对任一实数α，有。如果过程x 随机连续，则必存在与x 等价的、可测而且完全可分的过程Y。 有时还需要更强的可测性。设给了F的一族子σ 域，其中T=R+=)×。 循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，但逆之不然，除非样本函数性质较好。例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测。使一切样本函数右连续的适应过程都可测的T×Ω上的最小σ域，称为可选σ域，关于可选σ域可测的过程称为可选过程。可见，可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性。进一步,使一切样本函数连续的适应过程都可测的T ×Ω上的最小σ域,称为可料σ域，关于可料σ域可测的过程称为可料过程。这又是一种比可选可测性更强的可测性。可以证明，样本函数左连续的适应过程都是可料过程。 轨道性质 当人们观察物体作随机运动时，最感兴趣的问题之一是它的轨道性状，因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，过程的轨道x(t,ω), α≤t≤b,以概率1有界，或无第二类断点，或是阶梯函数，或是连续函数，等等。函数06(t)在上无第二类断点是指：对每一个t0∈(α,b)，存在左、右极限及 而在α、b)处，则存在单侧极限。 设过程可分，而且存在常数α>0，ε>0，с≥0,使得对任意的t∈,t+Δt∈，有,则过程的轨道以概率1在上一致连续。设可分过程随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0,使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有 则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程，只要存在с≥0,α>0，使得 ,x的轨道就以概率1连续。 停时 这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。 直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ,τ(ω)=inf，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，∈σ。 一般地，设在可测空间(Ω,F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族,称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。 类似于，对停时τ可以定义σ域,其中为包含一切的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。 停时有许多好的性质,例如,若τ1、τ2是停时,则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中,;还有，这里表示包含、的最小σ域；进一步，若是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。 二阶过程 均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(∧,A)上的有限测度，如果对每一A∈A,有一复值随机变量Z(A)与它对应,且满足：①E|Z(A)|2< ∞；②则称Z＝为(∧，A)上的正交随机测度。定义在∧上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（∧，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数,， 就可以产生一个二阶过程,满足 (1)它的二阶矩为 。 (2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程,则有级数展开式 其中是标准正交实随机变量序列,即；δnm=0，n=m时,δnm=1)，λn是积分方程的本征值，ψn是相应的本征函数 Γ(t,s)=Ex(t)x(s)。 特殊随机过程类 对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数。 广义过程 正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω,x(·,ω)∈Dx是广义函数,而对固定的φ,x(φ，·)是随机变量,则称为定义在(Ω,F,p)上的广义过程。它在φ1,φ2,…,φn上的联合分布为 全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函 和相关泛函 根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…,φn，有限维分布都是正态分布，则称x＝为广义正态过程。

不定积分是自然对数y=ln x，定积分就用牛顿莱布尼兹公式，代入区间端点相减即可。

这个积分是积不出原函数的，它叫虚误差函数。这个文档里是通过微分方程来定义这个积分的。因为那个方程的通解要用积分表示，具体是：C2 + 1/2 sqrt[Pi] C1erfi[x]。erfi[x]就是虚误差函数。类似的e^(-x^2)的积分的积分叫误差函数，也积不出原函数，但从负无穷积到正无穷的结果是根号Pi。

有个e^(-x^2)定积分是这样积得。积分范围（0，∞）假如设 I=∫e^(-x^2), 积分范围（0，∞） I^2=∫e^(-y^2)∫e^(-x^2)==∫∫e^-(x^2+y^2)dxdy 然后把I^2变换为极坐标积分， 积分范围为xy平面，即 ∫(0,Pi/2)∫(0,∞) 然后开平方I^2，求得I

∫x*e^x/(x+1)^2 dx= ∫xe^x d(-1/(x+1))= -xe^x/(1+x) + ∫(e^x+xe^x)/(x+1)dx= -xe^x/(1+x)+ ∫e^xdx= -xe^x/(1+x)+ e^x +C= e^x/(1+x)+C

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。∫sinxdx/x=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)=-cosx/x+∫dsinx/x^2=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。注意：积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。扩展资料：其他定义：除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。参考资料来源：百度百科-积分

随机过程的发展 随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。 气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。 随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。 随机过程的定义 设 (Ω,F,p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间）,如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集,也称为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。 过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。 如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间（即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域）,称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,∈F。特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域）,则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数06=(06(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称为取值于E的随机过程。 以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。 有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x=起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T,i＝1，2,…,n,考虑的联合分布函数，,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件： ① 对(1,2,…，n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn)， ； ② 若m<n，则。反之,有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数如果它满足①、②,则必存在概率空间(Ω,F,p)及定义于其上的随机过程x，而且x的有穷维分布族重合于F。 从测度论的观点看，每一随机过程x=在(RT,BT)上产生一概率测度PX，称为x 的分布,它在上述柱集上的值就是 正态过程 有穷维分布都是正态分布的随机过程,又称高斯过程。就象一维正态分布被它的均值（见数学期望）和方差所确定一样,正态过程被它的均值函数m(t)=Ex(t)和协方差函数 λ(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定，其中λ(s，t)是对称非负定函数，即λ(s，t)=λ(t,s)，而且对任意的 tj∈T及实数αj，1≤i≤n，有反之,对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数λ(s,t),由柯尔莫哥洛夫定理可证,存在一个正态过程，以m(t)为其均值函数，以λ(s,t)为其协方差函数。 根据中心极限定理，许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。此外，正态过程有一系列的好性质,如它的最佳线性估计重合于条件期望,这一点在应用上是很方便的，既准确又便于计算。因此正态过程在实际中有广泛的应用，在无线电通讯及自动控制中尤为重要。为方便计,设m(t)呏0。任取tj,t∈T,用L(x(t1),x(t2), …,x(tn))表示由x(t1),x(t2),…,x(tn)的线性组合所构成的希尔伯特空间，x(t)在此空间上的投影记作 称为x(t)关于x(t1)，x(t2),…，x(tn)的最佳线性估计,即线性最小均方误差估计;条件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),…，x(tn))则是非线性的最小均方误差估计。对正态过程来讲，这两种估计以概率1相等。 可分性 设F是p-完备的,即F包含任何概率为零的集的一切子集。在随机过程的研究中,Ω的某些重要的子集并不能由事件（即F中的元素）经可列次集运算而得到。例如对一切若T不可列,则作为不可列多个事件的交,A未必是一个事件,也就谈不上它的概率。为了解决这类问题,杜布引进了随机过程可分性的概念。称过程x 关于T 的某一可列稠集Q可分(或简称可分)，是指除了一个概率为零的集N外,x在每一t∈T 处的值,可以用限于Q的x在t附近的值来任意逼近；即任给不属于N的ω，存在∈Q，使得rj→t,且x(rj,ω)→x(t,ω)。所谓Q为T 的稠集，是指T 的每一点必是Q 中某个点列的极限。如果x 关于Q 可分,则可以证明上述的 A是一个事件，而且有p(A)＝p()。如果过程x关于T的任一可列稠集都可分,则称x完全可分。 设x=与Y=为定义在概率空间(Ω，F，p),上的两个随机过程,如果对任何t∈T,p(x(t)=Y(t))=1,则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时，x和Y有相同的有穷维分布族。虽然任给的过程 x未必可分，但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x,必存在与它等价的可分过程Y 。因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时，可取一可分过程Y来代替x。 过程x称为随机连续,如果对任一t0∈T,在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有，对随机连续的过程x，必存在一个完全可分过程Y与之等价。 可测性 为了研究样本函数对t的积分等问题,需要x(t,ω)关于两个变量(t,ω)的可测性。设T是R中某区间，B(T)是T中全体波莱尔集所成的σ域,B(T)×F表示乘积σ域,μ=L×P表示勒贝格测度L(见测度论）与p的乘积测度，表示 B(T)×F关于μ的完备化σ域。 称随机过程x为可测的,如果对任一实数α，有： 称随机过程x 为波莱尔可测的，如果对任一实数α，有。如果过程x 随机连续，则必存在与x 等价的、可测而且完全可分的过程Y。 有时还需要更强的可测性。设给了F的一族子σ 域，其中T=R+=)×。 循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，但逆之不然，除非样本函数性质较好。例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测。使一切样本函数右连续的适应过程都可测的T×Ω上的最小σ域，称为可选σ域，关于可选σ域可测的过程称为可选过程。可见，可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性。进一步,使一切样本函数连续的适应过程都可测的T ×Ω上的最小σ域,称为可料σ域，关于可料σ域可测的过程称为可料过程。这又是一种比可选可测性更强的可测性。可以证明，样本函数左连续的适应过程都是可料过程。 轨道性质 当人们观察物体作随机运动时，最感兴趣的问题之一是它的轨道性状，因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，过程的轨道x(t,ω), α≤t≤b,以概率1有界，或无第二类断点，或是阶梯函数，或是连续函数，等等。函数06(t)在上无第二类断点是指：对每一个t0∈(α,b)，存在左、右极限及 而在α、b)处，则存在单侧极限。 设过程可分，而且存在常数α>0，ε>0，с≥0,使得对任意的t∈,t+Δt∈，有,则过程的轨道以概率1在上一致连续。设可分过程随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0,使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有 则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程，只要存在с≥0,α>0，使得 ,x的轨道就以概率1连续。 停时 这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。 直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ,τ(ω)=inf，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，∈σ。 一般地，设在可测空间(Ω,F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族,称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。 类似于，对停时τ可以定义σ域,其中为包含一切的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。 停时有许多好的性质,例如,若τ1、τ2是停时,则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中,;还有，这里表示包含、的最小σ域；进一步，若是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。 二阶过程 均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(∧,A)上的有限测度，如果对每一A∈A,有一复值随机变量Z(A)与它对应,且满足：①E|Z(A)|2< ∞；②则称Z＝为(∧，A)上的正交随机测度。定义在∧上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（∧，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数,， 就可以产生一个二阶过程,满足 (1)它的二阶矩为 。 (2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程,则有级数展开式 其中是标准正交实随机变量序列,即；δnm=0，n=m时,δnm=1)，λn是积分方程的本征值，ψn是相应的本征函数 Γ(t,s)=Ex(t)x(s)。 特殊随机过程类 对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数。 广义过程 正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω,x(·,ω)∈Dx是广义函数,而对固定的φ,x(φ，·)是随机变量,则称为定义在(Ω,F,p)上的广义过程。它在φ1,φ2,…,φn上的联合分布为 全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函 和相关泛函 根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…,φn，有限维分布都是正态分布，则称x＝为广义正态过程。

白噪声，高斯过程，平稳过程，窄带随机过程这几个概念间是组合关系，没有相关关系，即没有谁决定谁，也没有谁包括谁。具体说来：⑴功率谱为的白噪声不一定是高斯随机过程，这说明功率谱与随机过程并不像傅里叶变换那样原函数与变换后的函数一一对应，同样高斯随机过程的功率谱也不一是的均匀谱。⑵高斯随机过程不一定是平稳随机过程，如维纳过程就是均值为零，平稳的高斯型白噪声通过理想积分器后获得的随机过程，因为是线性变换，所以维纳过程也是高斯随机过程，但它不再是平稳的（平稳过程通过积分器后一般就不再平稳了，因为与时间起点有关了，而不再只是与时间间隔有关）⑶窄带信号不一定是随机过程，窄带信号都可以表示成的形式，如果相位或包络任意一个或二者包含有随机成分，则这个窄带信号就称为窄带随机过程。另外只要是窄带信号，那么不管信号是不是随机过程，都可以分解出同相分量和正交分量。⑷说窄带噪声就一定不是白噪声了，白意味着频谱宽。⑸我们课程上重点研究的两类窄带随机过程：即“窄带平稳实高斯随机过程”和“随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和”这两类随机过程。⑹高斯型随机过程并不一定不包含有用信号，如Y(t)=S(t)+N(t),其中N(t)是高斯窄带噪声，是高斯型随机过程，S(t)是一个确定信号，所以Y(t)是高斯型随机过程，而且这个高斯型随机过程还包含了有用信号