协方差和协方差矩阵

协方差矩阵的计算公式是cov(x，y)=EXY－EX*EY；首先，我们需要了解协方差矩阵的重要性，协方差矩阵Cov（xi，xj）的每个元素表示随机变量xi和xj的协方差，对角元素等于向量本身的方差；在统计学和概率论中，协方差矩阵的每个元素都是向量元素之间的协方差，这是从标量随机变量到高维随机向量的自然推广；标准差和方差通常用于描述一维数据，但在现实生活中，我们经常会遇到包含多维数据的数据集。统计学中最基本的概念是样本的均值、方差和标准差，平均值描述样本集的中点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差描述样本集每个样本点与平均值之间的平均距离。协方差矩阵的维数等于随机变量的数目，即每个观测值的维数，在某些情况下，1/m将出现在其前面，而不是1/（m-1）；协方差矩阵定义，按行排列数据得到的协方差矩阵不同于按行排列的数据得到的，这里，默认数据按行排列，也就是说，每一行是一个观察值（或样本），那么每一列是一个随机变量。

定义是变量向量减去均值向量,然后乘以变量向量减去均值向量的转置再求均值.例如x是变量,μ是均值,协方差矩阵等于E[(x-μ)(x-μ)^t],物理意义是这样的,例如x=（x1,x2,...,xi）那么协方差矩阵的第m行n列的数为xm与xn的协方差,若m=n,则是xn的方差.如果x的元素之间是独立的,那么协方差矩阵只有对角线是有值,因为x独立的话对于m≠n的情况xm与xn的协方差为0.另外协方差矩阵是对称的. 一般多变量分布的时候（例如多元高斯分布）会用到协方差矩阵,工程上协方差矩阵也用来分析非确定性平稳信号的性质以及定义非确定性向量的距离（马哈拉诺比斯范数）.

在统计学上，协方差用来刻画两个随机变量之间的相关性，反映的是变量之间的二阶统计特性，两个随机变量Xi和Yj的协方差定义为 所以 是一个矩阵，其 i , j 位置的元素是第 i 个与第 j 个随机向量（即随机变量构成的向量）之间的协方差。 设X1，X2，...,Xn为一组随机变量，记X=(X1，X2，...,Xn)T为由这n个随机变量构成的随机向量，假设每个随机变量有m个样本，将所有的样本拼接在一起可以得到如下的 样本矩阵 协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。因此样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。 但是 peghoty 博客中用的是矩阵第i行元素表示第i个随机变量Xi的m个样本 ，所以以下分析暂时用的peghoty的方案。 引入向量αi和βi αi是样本矩阵的行向量，βi是样本矩阵的列向量，所以样本矩阵表示为 对于n维的随机变量X=(X1,X2,…,Xn)T的协方差矩阵定义为 协方差矩阵中的对角线元素表示方差，非对角线元素表示随机向量X的不同随机量之间的协方差 ，因此协方差矩阵可以作为 刻画不同分量之间相关性的一个评判量 ，不同分量之间的相关性越小，则C的非对角线元素的值就越小，特别地，如果不同分量彼此不相关，那么C就变成一个 对角阵 。 注意：我们并不能得到协方差矩阵C的真实性，只能根据所提供的X的样本数据，对其进行近似估计，因此，这样计算得到的协方差矩阵是依赖于样本数据的，通常提供的样本数目越多（m越大），样本在总体中的覆盖面就越广，所得协方差矩阵就越可靠。 **协方差公式推导

协方差 （Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 协方差的计算公式如下所示： 方差的计算公式如下所示： 可以看到协方差是度量两个变量的总体误差，而方差只考虑单变量的离散程度。 如果连个变量相互独立，则协方差为零。 则它的协方差矩阵计算公式为： 我们将该矩阵命名为矩阵A，这个矩阵共有三种属性，每种属性有5个变量，我们需要计算学科与学科之间的协方差，综合在一起就构成了协方差矩阵。 我们将语文、数学、英语分别编号为1、2、3，则它们之间的协方差记为E11、E12、E13、E22、E23、E33，最终该矩阵的协方差矩阵为： 可以根据协方差计算公式进行计算： 首先，我们需要得到这三科的平均成绩： 然后用矩阵A减去平均成绩（三科分别减去各科的均值），得到新的矩阵： E12的计算公式为： 由于样本减均值刚刚已经计算完成，这里直接进行计算： 同理，E13的计算公式为： 根据Eij=Eji的性质，得到新的矩阵： 然后除以样本的个数5，得到最后的协方差矩阵： 知道了协方差矩阵如何计算之后我们来使用numpy内置的函数 cov() 来计算协方差矩阵。假设有两个变量 x0 和 x1 ，有三组观测(0,2)(1,1)和(2,0)。 值得注意的是， np.cov(x) 函数的默认输入矩阵x每一行代表一个特征，每一列代表一个观测，所以在进行协方差矩阵计算的时候需要对输入矩阵进行转置，或者将默认参数设置为False，如 np.cov(x,rowvar=False) 。 输出： 亦或者： 输出： 相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。 相关系数的计算公式如下所示： 可以表示X和Y线性关系的紧密程度. 参考： 协方差 - 百度百科 相关系数 - 百度百科 协方差矩阵概念

协方差矩阵的计算公式如下：Conv=frac {1} {n-1}tilde {X} tilde {X}^ {T} ktimes n 和 ntimes k 的矩阵相乘，得到 ktimes k 维的矩阵。概念：协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 这个解释摘自维基百科，看起来很是抽象，不好理解。其实简单来讲，协方差就是衡量两个变量相关性的变量。当协方差为正时，两个变量呈正相关关系（同增同减）；当协方差为负时，两个变量呈负相关关系（一增一减）。而协方差矩阵，只是将所有变量的协方差关系用矩阵的形式表现出来而已。通过矩阵这一工具，可以更方便地进行数学运算。两个变量的协方差矩阵：有了上面的数学定义后，我们可以来讨论协方差矩阵了。当然，协方差本身就能够处理二维问题，两个变量的协方差矩阵并没有实际意义，不过为了方便后面多维的推广，我们还是从二维开始。协方差矩阵的作用：虽然我们已经知道协方差矩阵的计算方法了，但还有一个更重要的问题：协方差矩阵有什么作用？作为一种数学工具，协方差矩阵经常被用来计算特征之间的某种联系。在机器学习的论文中，协方差矩阵的出现概率还是很高的，用于降维的主成分分析法（PCA）就用到了协方差矩阵。另外，由于协方差矩阵是一个对称矩阵，因此它包含了很多很有用的性质，这也导致它受青睐的程度较高。

协方差矩阵是社会科学领域经常使用的统计工具之一，它可以揭示变量之间的相关关系，帮助我们更好地理解社会现象。其性质也是非常重要的，尤其是在社会科学研究中涉及到多个变量的情况下。首先，协方差矩阵是对称矩阵，即矩阵的上下左右两侧对称。这一性质意味着两个变量之间的协方差与另外两个变量之间的协方差是相同的，这有助于我们更好地理解变量之间的关系。例如，如果我们想探究社会经济地位与健康状况之间的关系，我们可以用协方差矩阵来计算它们的相关性，从而更好地理解这两个变量之间的联系。其次，协方差矩阵的对角线元素是方差，表示每个变量本身的离散程度。这也是非常重要的，因为在社会科学研究中，我们常常需要评估一个变量的重要性以及影响程度。如果一个变量的方差很大，那么它就有可能对社会现象产生更大的影响，这对我们制定政策和推进社会发展有着重要的参考价值。最后，协方差矩阵对于线性回归分析也是非常关键的。在社会科学中，我们常常需要进行线性回归分析来探究变量之间的关系，协方差矩阵可以帮助我们计算回归方程中的系数和拟合度，进而做出更有说服力的结论。例如，如果我们想知道不同教育水平对收入的影响程度，我们可以用协方差矩阵来计算它们之间的相关性，并在线性回归分析中进行拟合，从而得出更为准确的结论。综上所述，协方差矩阵的性质在社会科学研究中非常重要，因为它可以帮助我们更好地理解变量之间的相关性和重要性，对于社会现象的研究有着重要的参考价值。

协方差矩阵的意义是每一个元素是表示的随机向量 X 的不同分量之间的协方差,而不是不同样本之间的协方 差,如元素 Cij 就是反映的随机变量 Xi, Xj 的协方差。协方差矩阵是统计学与概率论概念。外文名为covariance matrix。统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。统计学的英文statistics最早源于现代拉丁文Statisticum Collegium（国会）、意大利文Statista（国民或政治家）以及德文Statistik，最早是由Gottfried Achenwall于1749年使用，代表对国家的资料进行分析的学问，也就是“研究国家的科学”。十九世纪，统计学在广泛的数据以及资料中探究其意义，并且由John Sinclair引进到英语世界。

求协方差矩阵时，需要先确定原始数据矩阵的形状，例如是行向量、列向量或二维矩阵。如果是行向量或列向量的原始数据，则可以使用下面的公式计算出协方差矩阵：∑ cov(X,Y) = 1/N[(x1-μx)(y1-μy)+(x2-μx)(y2-μy)+...+(xn-μx)(yn-μy)] 其中，x1, x2,..., xn表示行/列向量的元素值，而 μx 和 μy 分别表示x 和 y 的均值。

　　协方差矩阵计算用公式cov(x,y)=EXY－EX*EY。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

定义是变量向量减去均值向量，然后乘以变量向量减去均值向量的转置再求均值。例如x是变量，μ是均值，协方差矩阵等于E[(x-μ)(x-μ)^t]，物理意义是这样的，例如x=（x1,x2,...,xi）那么协方差矩阵的第m行n列的数为xm与xn的协方差，若m=n，则是xn的方差。如果x的元素之间是独立的，那么协方差矩阵只有对角线是有值，因为x独立的话对于m≠n的情况xm与xn的协方差为0。另外协方差矩阵是对称的。一般多变量分布的时候（例如多元高斯分布）会用到协方差矩阵，工程上协方差矩阵也用来分析非确定性平稳信号的性质以及定义非确定性向量的距离（马哈拉诺比斯范数）。

详解协方差与协方差矩阵 协方差的定义 对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。 记住，X、Y是一个列向量，它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定 用中文来描述，就是： 协方差(i,j)=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值） 这里只有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，下面分别求出每一个元素： 所以，按照定义，给定的4个二维样本的协方差矩阵为： -0.3333 4.0000 可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为： ** 协方差(i,j)=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）**

在统计学 与 概率论中, 协方差矩阵 是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。 在统计学 与 概率论中, 协方差矩阵 是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。假设 X 是以 n 个标量随机变量组成的列向量，并且<math>mu_k</math> 是其第k个元素的期望值, 即, <math>mu_k = mathrm{E}(X_k)</math>, 协方差矩阵然后被定义为: <math> Sigma=mathrm{E} left[ left( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}] ight) left( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}] ight)^ op ight] </math> <math> = egin{bmatrix} mathrm{E}[(X_1 - mu_1)(X_1 - mu_1)] & mathrm{E}[(X_1 - mu_1)(X_2 - mu_2)] & cdots & mathrm{E}[(X_1 - mu_1)(X_n - mu_n)] \ \ mathrm{E}[(X_2 - mu_2)(X_1 - mu_1)] & mathrm{E}[(X_2 - mu_2)(X_2 - mu_2)] & cdots & mathrm{E}[(X_2 - mu_2)(X_n - mu_n)] \ \ vdots & vdots & ddots & vdots \ \ mathrm{E}[(X_n - mu_n)(X_1 - mu_1)] & mathrm{E}[(X_n - mu_n)(X_2 - mu_2)] & cdots & mathrm{E}[(X_n - mu_n)(X_n - mu_n)]end{bmatrix} </math> 矩阵中的第<math>(i,j)</math>个元素是<math>X_i</math>与<math>X_j</math>的协方差. 这个概念是对于标量随机变量方差的一般化推广。 [编辑]术语与符号分歧协方差矩阵有不同的术语。有些统计学家，沿用了概率学家威廉·费勒的说法，把这个矩阵称之为随机向量<math>X</math>的方差（Variance of random vector X），这是从一维随机变量方差到高维随机向量的自然推广。另外一些则把它称为协方差矩阵（Covariance matrix），因为它是随机向量里头每个标量元素的协方差的矩阵。不幸的是，这两种术语带来了一定程度上的冲突： 标准记号: <math> operatorname{var}( extbf{X}) = mathrm{E} left[ ( extbf{X} - mathrm{E} [ extbf{X}]) ( extbf{X} - mathrm{E} [ extbf{X}])^ op ight] </math> 另 标准记号(与上边的记号不幸冲突): <math> operatorname{cov}( extbf{X}) = mathrm{E} left[ ( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}]) ( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}])^ op ight] </math> 又 标准记号: <math> operatorname{cov}( extbf{X}, extbf{Y}) = mathrm{E} left[ ( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}]) ( extbf{Y} - mathrm{E}[ extbf{Y}])^ op ight] </math> (两个随机向量的"互协方差(cross covariance)") 头两个术语彼此冲突，第一个与第三个彼此切合。第一个记号可以在威廉·费勒的广受推崇的两本概率书中找到。 [编辑]性质<math>Sigma=mathrm{E} left[ left( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}] ight) left( extbf{X} - mathrm{E}[ extbf{X}] ight)^ op ight]</math> 与<math> mu = mathrm{E}( extbf{X})</math> 满足下边的基本性质： <math> Sigma = mathrm{E}(mathbf{X X^ op}) - mathbf{mu}mathbf{mu^ op} </math> <math> operatorname{var}(mathbf{a^ op}mathbf{X}) = mathbf{a^ op} operatorname{var}(mathbf{X}) mathbf{a} </math> <math> mathbf{Sigma} geq 0 </math> <math> operatorname{var}(mathbf{A X} + mathbf{a}) = mathbf{A} operatorname{var}(mathbf{X}) mathbf{A^ op} </math> <math> operatorname{cov}(mathbf{X},mathbf{Y}) = operatorname{cov}(mathbf{Y},mathbf{X})^ op</math> <math> operatorname{cov}(mathbf{X_1} + mathbf{X_2},mathbf{Y}) = operatorname{cov}(mathbf{X_1},mathbf{Y}) + operatorname{cov}(mathbf{X_2}, mathbf{Y})</math> 若 <math>p = q</math>，则有<math>operatorname{cov}(mathbf{X} + mathbf{Y}) = operatorname{var}(mathbf{X}) + operatorname{cov}(mathbf{X},mathbf{Y}) + operatorname{cov}(mathbf{Y}, mathbf{X}) + operatorname{var}(mathbf{Y})</math> <math>operatorname{cov}(mathbf{AX}, mathbf{BX}) = mathbf{A} operatorname{cov}(mathbf{X}, mathbf{X}) mathbf{B}^ op</math> 若<math>mathbf{X}</math> 与<math>mathbf{Y}</math> 是独立的，则有<math>operatorname{cov}(mathbf{X}, mathbf{Y}) = 0</math> <math> Sigma = Sigma^ op </math> 其中 <math>mathbf{X}, mathbf{X_1}</math> 与<math>mathbf{X_2}</math> 是随机<math>mathbf{(p imes 1)}</math>向量, <math>mathbf{Y}</math> 是随机<math>mathbf{(q imes 1)}</math>向量, <math>mathbf{a}</math> 是<math>mathbf{(p imes 1)}</math> 向量, <math>mathbf{A}</math> 与<math>mathbf{B}</math> 是<math>mathbf{(p imes q)}</math> 矩阵。 尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis)，在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。 [编辑]复随机向量均值为<math>mu</math>的复随机标量变量的方差定义如下（使用共轭复数）： <math> operatorname{var}(z) = operatorname{E} left[ (z-mu)(z-mu)^{*} ight] </math> 其中复数<math>z</math>的共轭记为<math>z^{*}</math>. 如果<math>Z</math> 是一个复列向量,则取其共轭转置，得到一个方阵: <math> operatorname{E} left[ (Z-mu)(Z-mu)^{*} ight] </math> 其中<math>Z^{*}</math>为共轭转置, 它对于标量也成立，因为标量的转置还是标量. [编辑]估计多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导非常精致. 它需要用到谱定义以及为什么把标量看做<math>1 imes 1</math>矩阵的trace更好的原因. 参见协方差矩阵的估计. [编辑]外部连接Covariance Matrix at Mathworldde:Kovarianzmatrix en:Covariance matrix fr:Matrice de variance-covariance pl:Macierz kowariancji ru:Ковариационная матрица http://define.cnki.net/define_result.aspx?searchword=%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E7%9F%A9%E9%98%B5

u2003u2003为了便于理解和验证，可以参考一下， http://www.ab126.com/shuxue/2788.html 所提供的协方差的在线计算器。 u2003u2003统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。假定有一个含有n个样本的集合X={X1,…,Xn}，依次给出这些概念的公式描述:u2003u2003很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的。 u2003u2003而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3，后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。u2003u2003看出方差与标准差关系没有? u2003u2003为什么除以n-1而不是除以n? 这个称为贝塞尔修正。在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它的意思是样本能自由选择的程度,当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是（n-1)。这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。 u2003u2003下面采用Python演算一下: u2003u2003参考: https://blog.csdn.net/lyl771857509/article/details/79439184 计算步骤: 求和： 1+2+3+4=10 平均值： =2.5方差： u2003u2003上面几个统计量看似已经描述的差不多了，但我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，这个时候怎么办？ u2003u2003协方差该出场了！ u2003u2003协方差可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？ 换种说法: u2003u2003协方差是度量各个维度偏离其均值的程度。协方差的值如果为正值，则说明两者是正相关的，结果为负值就说明负相关的，如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。 与方差对比: u2003u2003方差是用来度量单个变量“自身变异”大小的总体参数，方差越大表明该变量的变异越大 u2003u2003协方差是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，则二个变量相互影响越大。 u2003u2003采用协方差在线计算器练习一下： u2003u2003u2003u2003输入值 X=1 ,5 ,6 u2003u2003u2003u2003输入值 Y=4, 2, 9 计算步骤: u2003u2003在分析协方差矩阵之前有必要搞清矩阵维数的概念！以女孩子找对象为例，一般关心几个点 这里是5个维数。如果同时有几个男孩子备选，则会形成多个行，有对比才有会伤害。u2003u2003可以这样形象理解：在女孩心中，多个男孩形成一个个行向量，即多个样本。 u2003u2003另外，再回忆一下系数矩阵的来历。含有n个未知量，由m个方程组成线性方程组的一般形式为： 将系数按它们的位置排列形成一个表格： 这个表格就是方程组的系数矩阵，它的维数是由未知量个数即n来决定的。 u2003u2003下面介绍的协方差矩阵仅与维数有关，和样本数量无关。 u2003u2003 设 为n维随机变量，称矩阵 为n维随机变量 的协方差矩阵（covariance matrix），也记为 ，其中u2003u2003为了简易起见，先举一个简单的三变量的例子，假设数据集有{x,y,z}三个维度，则协方差矩阵为：更进一步: 矩阵 其协方差矩阵为 还是有点抽象??? 那就结合实例来理解，可能更方便一些。 假定有下列矩阵:我们来计算一下协方差矩阵。 结果如下: 可以看出 验算一下: 输入值 X= [1, 5, 6] 输入值 Y= [4 ,3 , 9] 再验算一下: 输入值 X= [4 ,3 , 9] 输入值 Y= [4 ,7 , 2]

在统计学与概率论中，协方差矩阵（也称离差矩阵、方差-协方差矩阵）是一个矩阵，其 i, j 位置的元素是第 i 个与第 j 个随机向量（即随机变量构成的向量）之间的协方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。均值为的复随机标量变量的方差定义如下（使用共轭复数）：其中复数的共轭记为。如果 是一个复列向量,则取其共轭转置，得到一个方阵:其中为共轭转置, 它对于标量也成立，因为标量的转置还是标量。

假设协方差矩阵为c第i行与du第j行的相关zhi系数为：r(i,j)=c(i,j)/sqrt(c(i,i)*c(j,j))若要dao求整个矩阵可专用循属环实现[m,n]=size(c);for i=1:mfor j=1:nr(i,j)=c(i,j)/sqrt(c(i,i)*c(j,j));endend自协方差矩阵的应用在数字图像处理中，虽然图像不一定是方阵，无法使用特征值分解还原，但是图像的自协方差矩阵必定是个实对称矩阵，因而它能导出一个变换矩阵；这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)，从而能够提取图像中物体的特征。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据（用于数据压缩）。

在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差。是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度来看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，但协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算个协方差，那自然而然我们会想到使用协方差矩阵来组织这些数据。

协方差矩阵不是正定矩阵，因为协方差矩阵和正定矩阵是两种不同性质的矩阵。对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。协方差矩阵：在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差，是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。正定矩阵：在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。扩展资料：一、正定矩阵的判定方法：根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。二、正定矩阵的相关应用：1、简正模式：正定矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。2、几何光学：在几何光学里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何射线。3、电子学：在电子学里，传统的网目分析或节点分析会获得一个线性方程组，这可以以矩阵来表示与计算。4、线性变换及对称：线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。参考资料来源：百度百科-协方差矩阵参考资料来源：百度百科-正定矩阵

1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素Cij就是反映的随机变量Xi,Xj的协方差。 2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。

相关系数矩阵：相当于消除量纲的表示变量间相关性的一个矩阵协方差矩阵：它是没有消除量纲的表示变量间相关性的矩阵。你对比下它们的等式变换关系：r=COV(x,y)/D(x)D(y)看看我的博客http://blog.csdn.net/yugao1986/article/details/6878578

1，首先，打开excel表，鼠标点击要编辑的单元格；2，点击菜单栏的公式——“插入函数”；3，在函数对话框内输入“COVARIANCE.P”，点击确定；4，接下来设置函数参数，在ARRAY1处输入A2:A8；5，在ARRAY2处输入B2:B8；6，点击确定后就获得了销售量的协方差。

设有n个随机变量x[1],x[2],...,x[n]。任意两个随机变量x[i]和x[j]之间可以计算协方差cov[i,j],特别地，当i=j的时候，协方差就是方差。因此刻画n个随机变量之间协方差的协方差矩阵，有时候也称方差-协方差矩阵。它的对角线上第i个元素是x[i]的方差，它的i行j列的元素是x[i]和x[j]的协方差。

而且国内的网络上此类资源并不很多，而且存在这以讹传讹的现象。此外很多论坛上，针对各种提问的回答往往是言者不知，知者不言。 今天为了把协方差矩阵生成的问题搞清楚，花去了半个下午的时间。先是在中文的网页上用百度搜索转悠的半天，得到了一堆只言片语的信息，一头雾水。于是转战谷歌用英文关键字进行搜索，收获不小。 一、用spss生产协方差矩阵（covariance matrix） 1、在spss中运用CORRELATION和MCONVERT命令生成协方差矩阵 用CORRELATION命令生成相关矩阵，然后MCONVERT命令将相关矩阵（correlation matrix）生成协方差矩阵。 例如有3个变量（age, response, time），生成协方差矩阵（covariance matrix）的命令是： CORRELATION MATRIX OUT (*) /VARIABLES=age response time. MCONVERT /MATRIX=OUT ("c: empcovariance.sav"). （注意：spss的语法命令以.结束。） 新生成的含有协方差矩阵的文件位于c: emp folder中，此外此文件还包括观测项的数量、标准查、均值、变量名称等信息。 运用这种方法时，运行syntax的sps文件后实际上生成三个文件，即：系统自定义命名的spv文件，主要包含的是变量的相关系数矩阵；output文件，主要包含的信息也是变量的相关系数矩阵；这两个文件需要另存。第三个文件是自动生成在out命令定义的输出文件夹中，也就是c: emp folder（可随便自定义）中。2、用spss菜单工具生成工具栏analysis----scale----reliability analysis（不同spss版本略不同，我使用的是15.0），点选变量，点击设置statistics，选择inter-item的选项，包含输出相关矩阵和协方差矩阵。运行后，在output文件中可以看到结果。二、用lisrel生成协方差矩阵lisrel对中文的支持并不好，虽然很多教程中声称可以用中文字符进行文件命名、变量命名等，但是我建议最好用英文字符，很多时候会有意想不到的error发生。工具栏statistics----output options,设置output，选中moment matrix中的covariances，勾选save to file，对生成文件命名，后缀为cov。运行后，在原文件的同文件夹内生成cov文件。 以上操作如有错误，请大家指正。

调用方式（1）y=cov（x）：当x为向量时，此函数返回结果为x的方差。当x为矩阵时，则它的每一列相当于一个变量，函数返回结果为该矩阵的列与列之间的协方差矩阵。这时diag（cov（x））是该矩阵每一个列向量的方差，sqrt（diag（cov（x）））为标准差向量。元素分别为矩阵每列元素的均值。（2）y=cov（x，y）：相当于cov（［x（：）y（：）），计算两个等长度向量的互协万差矩阵。

假设协方差阵列相关，那么必然会有其对应的行列式为0，所以行列式的值在一定程度上反映了协方差阵的差异，所以可以这样表示。PS：我记得好像在多元统计中的wilks统计量就是用的协方差阵的行列式的值来构造的统计量，然后进行假设检验的。希望能帮助到你!

cov=co-var，co-是联合，协作，cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y)，var(x)=e(xx)-e(x)e(x)，0=0，所以是非负定矩阵。因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，先定义正定二次型：设有二次型,如果对任何x0都有f(x)>0(0)，则称f(x)为正定（半正定）二次型。相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：令a为阶对称矩阵，若对任意n维向量x≠0都有f(x)>0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n阶对称矩阵，若对任意n维向量x≠0,都有f(x)<0（≤0），则称a负定（半负定）矩阵。例如，单位矩阵e就是正定矩阵。

1、认定不同同方差指总体回归函数中的随机误差项（干扰项）在解释变量条件下具有不变的方差。异方差是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。2、应用范围不同同方差适用于数学统计、经济统计、机器学习算法、适用领域范围、回归分析、时间序列。异方差适用于计量经济学，异方差性是计量经济学术语。指回归模型中扰动项的方差不全相等。 1、认定不同同方差指总体回归函数中的随机误差项（干扰项）在解释变量条件下具有不变的方差。异方差是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。2、应用范围不同同方差适用于数学统计、经济统计、机器学习算法、适用领域范围、回归分析、时间序列。1、认定不同同方差指总体回归函数中的随机误差项（干扰项）在解释变量条件下具有不变的方差。异方差是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。2、应用范围不同同方差适用于数学统计、经济统计、机器学习算法、适用领域范围、回归分析、时间序列。异方差适用于计量经济学，异方差性是计量经济学术语。指回归模型中扰动项的方差不全相等。

a的协方差矩阵就是E(aa")。其中E代表数学期望，a"代表a的转置。我这里默认你这个a是写成列向量的形式的。所以a/||a||的协方差矩阵就是E(aa")/||a||^2，就是把a的协方差矩阵里的每个元素都除以||a||^2。当a的协方差矩阵是单位阵时，a的任意一个元素（都是随机变量）的方差都是1，而且任意两个元素不相关（不相关不代表独立）。

工具栏analysis----scale----reliabilityanalysis（不同spss版本略不同，我使用的是15.0），点选变量，点击设置statistics，选择inter-item的选项，包含输出相关矩阵和协方差矩阵。运行后，在output文件中可以看到结果。

协方差矩阵都是正定的，所以一定有逆吧~用逆矩阵的原因是相当于除去scale对距离的影响，想想一维的情况就应该能理解了~比如说同样距离都是3，但是对于方差大的数据，这个距离就算小了，所以要用距离再除以方差，高维情况就是协方差阵的逆了~

是的，协方差矩阵一定是对称阵，这是因为cov(X,Y)=cov(Y,X)。

http://wenku.baidu.com/view/e5aa43d6195f312b3169a5b2.html这个文档逐步逐步教的，有例子

最主要一点：相关矩阵是纯数，不受度量单位的影响。比如：以米度量长度和以毫米度量长度，用协方差矩阵做主成分分析在两种度量下会有不同结果，但是使用相关矩阵做主成分分析，结果是一样的。

分别为m与n个标量元素的列向量随机变量X与Y，这两个变量之间的协方差定义为m×n矩阵.其中X包含变量X1.X2......Xm,Y包含变量Y1.Y2......Yn,假设X1的期望值为μ1，Y2的期望值为v2，那么在协方差矩阵中（1,2）的元素就是X1和Y2的协方差。两个向量变量的协方差Cov(X,Y)与Cov(Y,X)互为转置矩阵。协方差有时也称为是两个随机

首先更正一下，应该为方差矩阵（或方差-协方差矩阵），协方差矩阵可能不是方的，谈不上正定负定.证：设随机向量X=(X1,X2,...,Xn)"（列向量），X的方差阵为V(X)=cov(X,X)=(σij)n×n,i,j=1,2,...,n.而σij=σji=cov(Xi,Xj)，所以，V(X)为对称阵,并且对角元素σii≥0.所以，V(X)≥0（n维零向量），即，方差矩阵V(X)是非负定矩阵.

如果信号中含有噪声，最大特征值代表信号与噪声的功率，最小特征值代表噪声功率；只有信号的话，个人感觉最大最小特征值应该相等吧。

协方差矩阵的计算公式是cov(x，y)=EXY－EX*EY。首先，我们需要了解协方差矩阵的重要性，协方差矩阵Cov（xi，xj）的每个元素表示随机变量xi和xj的协方差，对角元素等于向量本身的方差；在统计学和概率论中，协方差矩阵的每个元素都是向量元素之间的协方差，这是从标量随机变量到高维随机向量的自然推广；标准差和方差通常用于描述一维数据，但在现实生活中，我们经常会遇到包含多维数据的数据集。统计学中最基本的概念是样本的均值、方差和标准差，平均值描述样本集的中点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差描述样本集每个样本点与平均值之间的平均距离。协方差矩阵的维数等于随机变量的数目，即每个观测值的维数，在某些情况下，1/m将出现在其前面，而不是1/（m-1）；协方差矩阵定义，按行排列数据得到的协方差矩阵不同于按行排列的数据得到的，这里，默认数据按行排列，也就是说，每一行是一个观察值（或样本），那么每一列是一个随机变量。

01 首先我们要了解协方差矩阵的意义，协方差矩阵每个元素Cov(xi,xj)表示的随机变量xi与xj的协方差，并且对角线上的元素等于向量自身的方差。 02 协方差代表两个变量之间的关系，其计算公式如图。 03 如果协方差结果为正值，则代表两个相应变量之间的关系为正相关，如果为负值则为负相关，如果为0则代表不相关。将每个元素的协方差数值代入矩阵，即得出协方差矩阵的数字形式。 04 协方差矩阵很简单，但它能通过变换得出一个完全不相关的矩阵，即主成分分析。

详解协方差与协方差矩阵 协方差的定义 对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。 记住，X、Y是一个列向量，它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定 则X表示x轴可能出现的数，Y表示y轴可能出现的。注意这里是关键，给定了4个样本，每个样本都是二维的，所以只可能有X和Y两种维度。所以 用中文来描述，就是： 协方差(i,j)=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值） 这里只有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，下面分别求出每一个元素： 用matlab计算这个例子 z=[1,2;3,6;4,2;5,2] cov(z) ans = 2.9167 -0.3333 -0.3333 4.0000 可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为： 协方差(i,j)=（第i列所有元素-第i列均值） （第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）*

尽管协方差矩阵很简单，可它却是很多领域里的非常有力的工具。它能导出一个变换矩阵，这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)。从不同的角度来看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据。(完整的证明请参考瑞利商)。 这个方法在统计学中被称为主成分分析(principal components analysis)，在图像处理中称为Karhunen-Loève 变换(KL-变换)。建议参考百度百科：http://baike.baidu.com/link?url=ub9DWs-hDL5iA-8bOd9OAxj9Bu4eGuGTCZ47ebsUjXNaWRcWBr-3P0wF9IpvDgJwmxFKgOdkjZ9kHDyQvbsPj_

协方差矩阵四个数代表什么如下：协方差矩阵的意义是每一个元素是表示的随机向量 X 的不同分量之间的协方差,而不是不同样本之间的协方 差,如元素 Cij 就是反映的随机变量 Xi, Xj 的协方差。协方差矩阵是统计学与概率论概念。外文名为covariance matrix。统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。统计学的英文statistics最早源于现代拉丁文Statisticum Collegium（国会）、意大利文Statista（国民或政治家）以及德文Statistik，最早是由Gottfried Achenwall于1749年使用，代表对国家的资料进行分析的学问，也就是“研究国家的科学”。十九世纪，统计学在广泛的数据以及资料中探究其意义，并且由John Sinclair引进到英语世界。

答：定义是变量向量减去均值向量，然后乘以变量向量减去均值向量的转置再求均值。例如x是变量，μ是均值，协方差矩阵等于E[(x-μ)(x-μ)^t]，物理意义是这样的，例如x=(x1,x2,...,xi)那么协方差矩阵的第m行n列的数为xm与xn的协方差，若m=n，则是xn的方差。如果x的元素之间是独立的，那么协方差矩阵只有对角线是有值，因为x独立的话对于m≠n的情况xm与xn的协方差为0。另外协方差矩阵是对称的。一般多变量分布的时候(例如多元高斯分布)会用到协方差矩阵，工程上协方差矩阵也用来分析非确定性平稳信号的性质以及定义非确定性向量的距离(马哈拉诺比斯范数)。 望采纳

假设协方差矩阵为c第i行与du第j行的相关zhi系数为：r(i,j)=c(i,j)/sqrt(c(i,i)*c(j,j))若要dao求整个矩阵可专用循属环实现[m,n]=size(c);for i=1:mfor j=1:nr(i,j)=c(i,j)/sqrt(c(i,i)*c(j,j));endend自协方差矩阵的应用在数字图像处理中，虽然图像不一定是方阵，无法使用特征值分解还原，但是图像的自协方差矩阵必定是个实对称矩阵，因而它能导出一个变换矩阵；这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)，从而能够提取图像中物体的特征。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据（用于数据压缩）。

1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素Cij就是反映的随机变量Xi,Xj的协方差。2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。

1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素Cij就是反映的随机变量Xi, Xj的协方差。2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。 在概率论和统计学中，相关或称相关系数或关联系数，显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中，相关的意义是用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下，有许多根据数据特点而定义的用来衡量数据相关的系数。对于不同数据特点，可以使用不同的系数。最常用的是皮尔逊积差相关系数。其定义是两个变量协方差除以两个变量的标准差（方差）。皮尔逊积差系数数学特征其中，E是数学期望，cov表示协方差。因为μX = E(X)，σX2 = E(X2) 61 E2(X)，同样地，对于Y，可以写成当两个变量的标准差都不为零，相关系数才有定义。从柯西—施瓦茨不等式可知，相关系数不超过1. 当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时，相关系数大于0。当一个变量的增加而另一变量减少时，相关系数小于0。当两个变量独立时，相关系数为0.但反之并不成立。 这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说，X是区间［－１，１］上的一个均匀分布的随机变量。Y = X2. 那么Y是完全由X确定。因此Y 和X是不独立的。但是相关系数为0。或者说他们是不相关的。当Y 和X服从联合正态分布时，其相互独立和不相关是等价的。当一个或两个变量带有测量误差时，他们的相关性就受到削弱，这时，“反衰减”性（disattenuation）是一个更准确的系数。

定义是变量向量减去均值向量，然后乘以变量向量减去均值向量的转置再求均值。例如x是变量，μ是均值，协方差矩阵等于E[(x-μ)(x-μ)^t]，物理意义是这样的，例如x=(x1,x2,,xi)那么协方差矩阵的第m行n列的数为xm与xn的协方差，若m=n，则是xn的方差。如果x的元素之间是独立的，那么协方差矩阵只有对角线是有值，因为x独立的话对于m≠n的情况xm与xn的协方差为0。另外协方差矩阵是对称的。一般多变量分布的时候(例如多元高斯分布)会用到协方差矩阵，工程上协方差矩阵也用来分析非确定性平稳信号的性质以及定义非确定性向量的距离(马哈拉诺比斯范数)。

操作步骤　　1.打开原始数据表格，制作本实例的原始数据需要满足两组或两组以上的数据，结果将给出其中任意两项的相关系数。　　2.选择“工具”-“数据分析”-“描述统计”后，出现属性设置框，依次选择:　　输入区域:选择数据区域，注意需要满足至少两组数据。如果有数据标志，注意同时勾选下方“标志位于第一行”；　　分组方式:指示输入区域中的数据是按行还是按列考虑，请根据原数据格式选择；　　输出区域可以选择本表、新工作表组或是新工作簿；　　3.点击“确定”即可看到生成的报表。　　可以看到，在相应区域生成了一个3×3的矩阵，数据项目的交叉处就是其相关系数。显然，数据与本身是完全相关的，相关系数在对角线上显示为1；两组数据间在矩阵上有两个位置，它们是相同的，故右上侧重复部分不显示数据。左下侧相应位置分别是温度与压力A、B和两组压力数据间的相关系数。　　从数据统计结论可以看出，温度与压力A、B的相关性分别达到了0.95和0.94，这说明它们呈现良好的正相关性，而两组压力数据间的相关性达到了0.998，这说明在不同反应器内的相同条件下反应一致性很好，可以忽略因为更换反应器造成的系统误差。　　协方差的统计与相关系数的活的方法相似，统计结果同样返回一个输出表和一个矩阵，分别表示每对测量值变量之间的相关系数和协方差。不同之处在于相关系数的取值在-1和+1之间，而协方差没有限定的取值范围。相关系数和协方差都是描述两个变量离散程度的指标。

假设协方差矩阵为c第i行与du第j行的相关zhi系数为：r(i,j)=c(i,j)/sqrt(c(i,i)*c(j,j))若要dao求整个矩阵可专用循属环实现[m,n]=size(c);for i=1:mfor j=1:nr(i,j)=c(i,j)/sqrt(c(i,i)*c(j,j));endend自协方差矩阵的应用在数字图像处理中，虽然图像不一定是方阵，无法使用特征值分解还原，但是图像的自协方差矩阵必定是个实对称矩阵，因而它能导出一个变换矩阵；这个矩阵能使数据完全去相关(decorrelation)，从而能够提取图像中物体的特征。从不同的角度看，也就是说能够找出一组最佳的基以紧凑的方式来表达数据（用于数据压缩）。

对二维随机向量（X,Y)来说，期望E(X),E(Y)只反映了X,Y各自额平均值，方差D(X),D(Y)只反映了它们各自与自己均值的偏离程度，它们对X,Y之间的相互关系不提供任何信息。 我们知道当X,Y相互独立时，有 E((X-E(X))(Y-E(Y))＝0 由此可知，如不等于0，则它们肯定不独立 于是定义： 设(X,Y)是二维随机变量，若E(|(X-E(X))(Y-E(Y))|)小于无穷大，则称 E((X-E(X)(Y-(Y)))为X与Y的协方差，记为Cov(X,Y).即： Cov(X,Y)=E(((X-E(X))(Y-E(Y)))计算式： Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)满意请采纳

【答案】：A,B对角线模型和因子模型可用来简化协方差矩阵。

定义是变量向量减去均值向量，然后乘以变量向量减去均值向量的转置再求均值。例如x是变量，μ是均值，协方差矩阵等于E[(x-μ)(x-μ)^t]，物理意义是这样的，例如x=(x1,x2,...,xi)那么协方差矩阵的第m行n列的数为xm与xn的协方差，若m=n，则是xn的方差。如果x的元素之间是独立的，那么协方差矩阵只有对角线是有值，因为x独立的话对于m≠n的情况xm与xn的协方差为0。另外协方差矩阵是对称的。一般多变量分布的时候(例如多元高斯分布)会用到协方差矩阵，工程上协方差矩阵也用来分析非确定性平稳信号的性质以及定义非确定性向量的距离(马哈拉诺比斯范数)。