线性代数及其应用的目录

行列式的形成来源于线性代数的概念和数学分析的计算方法，应用于解线性方程组、矩阵求逆、矩阵的秩、线性变换、概率论。行列式（determinant）最早由日本数学家关孝和于1683年发明，在数学领域中被广泛应用。行列式的形成来源于线性代数的概念和数学分析的计算方法。1、解线性方程组：给定一个线性方程组，可以利用克拉默法则来求解它的未知数。克拉默法则的关键就是计算行列式。2、矩阵求逆：矩阵求逆也是行列式应用的一个经典问题。通过计算行列式，可以判断矩阵是否可逆，从而求解矩阵的逆。3、矩阵的秩：矩阵的秩是通过求行列式来计算的。矩阵的秩是研究线性代数和线性方程组时比较重要的一个概念，它可以反映矩阵的线性相关性和线性无关性情况。4、线性变换：线性变换是研究线性代数时比较重要的一个分支，通过矩阵的秩和行列式可以判断线性变换是否奇异，从而推断线性变换的性质。5、概率论：行列式在概率论中也有应用，例如在多维随机变量的密度函数中，行列式可以用于表示概率分布区域的大小，从而判断这个区域内发生事件的概率大小。行列式重要性行列式是一个非常重要的数学工具，它可以用来解线性方程组、计算逆矩阵、判断矩阵的特征值和特征向量等。行列式可以将矩阵的各种性质聚合到一个单一的数值中，这个数值在某些情况下可以直观地反映出矩阵的特性。当计算行列式时，我们需要把原始矩阵转化为上三角矩阵，这个过程中需要进行一些列变换，例如交换矩阵的两行或两列、将矩阵的某一行或列乘以一个非零常数等。这些变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆等问题。行列式还可以用来判断矩阵是否可逆、判断矩阵的秩等，这些判断在统计学和物理学中都有应用。行列式是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用价值。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。

可以的，行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。扩展资料：①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。参考资料：百度百科-行列式

行列式的进一步知识可以参看高等院校的《线性代数》课程有关章节。行列式的性质很多，这些性质大多是用于行列式的计算的。中学所学的行列式应该是2阶与3阶行列式，线性代数中的行列式阶数可以更大。行列式的引进是为了方便计数，当线性问题遇到大量的数据时，可以用矩阵和行列式来方便的进行计算。比如有的线性方程组求解，就可以用行列式来计算。解析几何中，已知三个顶点的坐标，要求三角形的面积，通过计算可以得知其面积刚好等于以这三个顶点坐标为元素的行列式。http://www.baidu.com/baidu?&tn=kzxf_pg&word=行列式的应用 希望对你有帮助。

问题很大,很无边际.行列式只是一个定义而已,不是对事物的判定. 没有对错之分,只有是否合理,是否方便,是否恰当等等评价. 至于行列式的用处,是因为它的定义比较合理的原因. 可以用于各种实际问题的研究.如： 1、解线性方程组解的情况方面的应用： 如发现一个线性方程组的系数矩阵是方阵,且行列式≠0, 则可以判断的线性方程组有唯一解.而且可用克拉默法则表示. 如果其行列式=0,则方程有无穷多组解. 2、在线性变换的应用,如果线性变换矩阵的行列式为0,则线性变换是退化的. 空间维数经过线性变换后,线性变换的值域的维数会降低. 3、在普通的三维空间中,行列式可用于物理、几何中计算向量的外积. 比如计算力矩、角速度、洛仑兹力、科里奥利力、两向量夹的三角形（平行四边形）面积等等应用.

用行列式解线性方程组，即Crammer法则用它的前提条件是：线性方程组AX=b方程的个数与未知量的个数相同，即系数矩阵A是一个方阵系数矩阵A的行列式|A|≠0则方程组有唯一解:xi=Di/DD=|A|Di是D中第i列换成b得到的行列式性质①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。③若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

行列式应用：求特征值：若多项式p(x) = det(xI 61 A)，矩阵A的特征值就是多项式的解。 多变元微积分的代换积分法（参见雅可比矩阵） 在n个n维实向量所组成的平行多面体的体积，是这些实向量的所组成的矩阵的行列式的绝对值。以此推广，若线性变换可用矩阵A表示，S是R的可测集，则f(S)的体积是S的体积的倍。 矩阵图法的用途　　①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点；　　②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠；　　③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；　　④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除；　　⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据

行列式是研究《线性方程组》和《高次多项式》（即高等代数）的【基本工具】；因为线性方程组的研究，派生出 线性规划、最佳调度、。。。等等实际领域的应用。

问题很大，很无边际。行列式只是一个定义而已，不是对事物的判定。没有对错之分，只有是否合理，是否方便，是否恰当等等评价。至于行列式的用处，是因为它的定义比较合理的原因。可以用于各种实际问题的研究。如：1、解线性方程组解的情况方面的应用：如发现一个线性方程组的系数矩阵是方阵，且行列式≠0，则可以判断的线性方程组有唯一解。而且可用克拉默法则表示。如果其行列式=0，则方程有无穷多组解。2、在线性变换的应用，如果线性变换矩阵的行列式为0，则线性变换是退化的。空间维数经过线性变换后，线性变换的值域的维数会降低。3、在普通的三维空间中，行列式可用于物理、几何中计算向量的外积。比如计算力矩、角速度、洛仑兹力、科里奥利力、两向量夹的三角形（平行四边形）面积等等应用。

行列式的引进是为了方便计数，当线性问题遇到大量的数据时，可以用矩阵和行列式来方便的进行计算。比如有的线性方程组求解，就可以用行列式来计算。解析几何中，已知三个顶点的坐标，要求三角形的面积，通过计算可以得知其面积刚好等于以这三个顶点坐标为元素的行列式。

行列式在高中阶段，主要是二阶和三阶，用于解线性方程以及解析几何中的应用，是最基本的行列式的应用。二阶和三阶都可以直接展开的。二阶行列式的展开式：三阶行列式的展开式：结果为 a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）四阶及以上的行列式都有能直接展开，要按照代数余子式逐级展开的

行列式的进一步知识可以参看高等院校的《线性代数》课程有关章节.行列式的性质很多,这些性质大多是用于行列式的计算的.中学所学的行列式应该是2阶与3阶行列式,线性代数中的行列式阶数可以更大.行列式的引进是为了方便计数,当线性问题遇到大量的数据时,可以用矩阵和行列式来方便的进行计算.比如有的线性方程组求解,就可以用行列式来计算.解析几何中,已知三个顶点的坐标,要求三角形的面积,通过计算可以得知其面积刚好等于以这三个顶点坐标为元素的行列式.http://www.baidu.com/baidu?&tn=kzxf_pg&word=行列式的应用 希望对你有帮助.

行列式主要有以下几个意义：1、矩阵是否可逆：一个矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不为0，因此可以通过行列式的值来判断一个矩阵是否可逆。2、方程组的解：通过计算其系数矩阵的行列式，并与常数矩阵的行列式进行比较，可以得到线性方程组是否有唯一解、有无解或者有无穷多解。3、判断线性变换的性质：一个矩阵代表一个线性变换，其行列式的正负号表示了该变换是否保持了空间的定向性。4、计算向量的数量积：若两个向量a,b形成的行列式为D，则它们的数量积为|a||b|sinθ，其中θ为两向量夹角。行列式的应用还可以扩展到更高维的空间，可以用于计算高维空间中向量的数量积、判断高维矩阵的可逆性等等。行列式的重要性质是线性和交换律，这是构建矩阵理论的基础之一，因此行列式是线性代数理论的核心概念之一。行列式是由一个方阵中的元素所构成的数值，是矩阵线性代数理论的重要概念之一，可以用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆、计算线性变换的系数等问题，因此在很多领域都有重要的应用。行列式的表现形式主要有两种：代数余子式和拉普拉斯展开式。1、代数余子式：代数余子式指将方阵A中除i行j列的元素外，余下的所有元素所组成的行列式称为该元素的代数余子式，记为A(i,j)。它的计算方式为A(i,j) = (-1)^(i+j)×M(i,j)，其中M(i,j)为划去第i行第j列后所剩下的矩阵的行列式。2、拉普拉斯展开式：拉普拉斯展开式指根据方阵的行列式展开式，将行和列进行交叉计算，得到最终的行列式值。设A为一个n阶方阵，则它的行列式可以写为如下的表达式：det(A) = a(1,1)×A(1,1) + a(1,2)×A(1,2) + ... + a(1,n)×A(1,n)，其中，A(1,j)表示A的第1行、第j列所对应的代数余子式。这个表达式被称作A的第1行的拉普拉斯展开式。同样，A的第j列的拉普拉斯展开式可以表示为det(A) = a(j,1)×A(j,1) + a(j,2)×A(j,2) + ... + a(j,n)×A(j,n)。行列式的代数余子式和拉普拉斯展开式的一般性质使它们具有广泛的应用价值，可以被用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆、计算线性变换的系数等等问题。

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。[1]其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

范德蒙行列式有广义和狭义之分，我们一般所指的是狭义的范德蒙行列式。范德蒙行列式在行列式计算、微积分、多项式理论、线性变换理论、向量空间理论等方面都有广泛的应用。在行列式计算方面主要是把类似于范德蒙行列式的n阶行列式运用加边法、换行法等方法转化为范德蒙行列式的形式。 在线性变换理论方面常见的一种是范德蒙行列式在Cramer法则中的应用。

我学了一学期，几乎都忘完了。行列式可能多用在解方程，这是我接触到的。矩阵又规定了自己的一套算法，现实中的很多问题都可以采用矩阵，它的应用远比行列式广，不止是解方程，矩阵在坐标变换、货物调配、很多优化问题等方面都有应用。线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。另外大名鼎鼎的MATLAB就是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意，现在很多的工程运算都得靠它。

行列式主要还是用在变换中，比如解多元方程、解析几何中的坐标平移和旋转等等。

行列式是数，矩阵是数表。只有方阵才有行列式。矩阵的性质需要靠行列式开解答

　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。　　　　其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。　　性质:矩阵与它的转置行列式相等；互换行列式的两行（列），行列式变号；行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和；把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.

1、产生成本问题2、人口流动迁徙问题3、密码的加密解密应用4、网络和图5、生态统计学引用：http://wenku.baidu.com/view/073f60c40c22590102029d42.html

关于范得蒙(vandermonde)行列式|111...........1||a1a2a3............an||a1^2a2^2a3^a..........an^2||....|=d|....||....||a1^(n-1)a2^(n-1)a3^(n-1)...an^(n-1)|行列式形式也可写成（更美观）|1a1a1^2...a1^(n-1)||1a2a2^2...a2^(n-1)||....||....||....||1anan^2...an^(n-1)|按第二方式写出的行列式第i行第j列元素可表示为a（ij)=ai^(j-1)这样的行列式就是范德蒙德行列式，其结果为:ii(ai-aj)1<=j应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，是行列式的奠基者。他给出了用二阶子式和它的余子式来展开行列式的法则，还提出了专门的行列式符号。他具有拉格朗日的预解式、置换理论等思想，为群的观念的产生做了一些准备工作。一种特殊的行列式以他的名字命名，但数学界有不同的看法，因为这一行列式并未出现在他的论文中。

行列式是个数，可以是任意数；一个行向量和一个列向量的乘积（如果维数合适的话）也是一个数，可以是任意数。两个数相等当然是可以的啊。 如果是矩阵，我觉得应该可以，不过我没证明过。矩阵的分解是一个挺复杂的东西，我到现在还没看到过有人把矩阵分解成两个向量的乘积，一般都是分解成两个矩阵的乘积，两个有特殊形式的矩阵，方便数值计算的。

余子式即去掉该元素所在行和列剩下部分的行列式(n-1阶),另外还要明确第二个概念就是代数余子式,代数余子式是在余子式基础上再乘(-1)^(m+n)。主要信息：行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

斯莱特行列式在量子化中应用广泛，经过自洽场方法解HF方程获得的最终解便是一个斯莱特行列式型多电子波函数，高级的量子化学计算方法也应用到斯莱特行列式，组态相互作用方法得到的多电子体系波函数是若干个斯莱特行列式的线性组合: Φ = ∑ CiΨi i 经过对这个由许多行列式组成的巨大波函数的变分法处理，可以获得比HF方程更加精确的量子化学计算结果

在工科里应用比较多，比如工程力学，很多都需要用到行列式，它的高级叫法叫“矩阵”

十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式的概念，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，书里对行列式的概念和它的展开已经有了叙述，主要是用来解线性方程组的。后来人们又发现了行列式的几何意义。行列式等于它的各个行对应的平面相交而成的空间的体积，这是因为行列式是一个交替多重线性形式，而我们通常理解的欧式空间中的体积也是这样一个函数（单位立方体体积为1，沿某条边扩大c倍体积就扩大c倍，交换两条边以后体积反号——这一条是补充定义的，我们认为体积是有向体积，其数值表示体积大小，正负号表示各条边的排列顺序或坐标轴手性），而满足归一性、多线性、反对称性的函数是唯一的，所以行列式的直观理解就是欧式空间中的有向体积。现在行列式被广泛应用于矩阵、向量、物理等研究中。

简单地说就是简化书写，提高求解线性方程组的速度，比如一个含4个未知量、4个方程的线性方程组，按普通消元法求解书写时会重复写未知量符号和等号，这在多变量的方程组求解时会显得麻烦，若在计算时把未知量前边的系数单独提取出来运算，这样既直观高效，同时又不影响计算结果，把复杂问题简单化是永恒不变的主题，进一步内容等到你上大学时会专门学习一门课叫《线性代数》，里边有详细介绍，其实矩阵紧紧是解决线性代数问题的一种工具，因而学习行列式主要就是要能计算行列式的值，在大学里学习一般从行列式入手，接着会学习矩阵，向量组这些数学工具通过初等变换去研究线性方程组，最终这几种数学工具都为解决线性方程组服务，好比以前我们求解方程时用的各种方法，如换元法等等。就是一种计算工具而已。上到研究生你会有机会接触到矩阵论并专门研究，总之线性代数是现代科学研究不可或缺的工具，只要能称之为学科的基本都会遇到矩阵这种字眼，足见奇重要性，奇特点是逻辑性很强，要想真正搞懂线性代数你得耗上几年甚至几十年，因为就算教了多年书的教授也很难说真正搞懂了，抓住最本质的东西。

行列式的一个主要应用是解线性方程组。

一个是nXn的，一个是mXn.根据计算规则，不同行不同列的数值乘积之和是行列式的值，矩阵没有。mXn矩阵与nXp矩阵之间可以相乘得到一个mXp的新矩阵，每隔矩阵可以有逆矩阵。还有很多由矩阵概念，运算规则衍生出来的的定理。矩阵还用在求解线性方程上。这些都是行列式不具备的。总体而言，二者是两个不同的概念，分别有自己的一套应用环境吧，随便去找找线性代数的书翻一下就能了解的更多了。

行列式解现行方程组是克莱姆法则的应用,它有局限性,主要是因为它限定方程组必须是n个方程n个未知数 且 要求系数行列式不等于0 ,矩阵解线性方程组就没有要求 根据系数矩阵和增广矩阵的秩之间的关系就可以解任何

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n阶范德蒙德行列式，当这些 两两互异时， ．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．证 设 有 个互异的零点 ，则有， ．即这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式，因此 ．这个矛盾表明 至多有n个互异根．例2 设 是n个两两互异的数．证明对任意n个数 ，存在惟一的次数小于n的多项式 ：，使得 ， ．证 从定义容易看出 的次数小于n，且 ，故只需证明唯一性即可．设 满足， ，即这个关于 的线性方程组的系数行列式，故 是唯一的，必须 ． 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设 是 个复系数多项式，满足，证明 ．证 设 ，取 ，分别以 代入，可得这个关于 的齐次线性方程组的系数行列式，因此 ．例4 设n是奇数， 是 个复系数多项式，满足，证明 ．证 注意到当n是奇数时，，可按照例3的思路完成证明．例5 设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设 是A的两两不同的r个特征值，非零向量 适合， ，假设，那么有， ．即，注意到，必须 ，于是 ，这证明了 线性无关．例6 计算行列式，其中 ．解 注意到下面的等式：即得．例7 计算行列式，其中 ．解 直接利用例6可得．例8 设 是正整数，证明n阶行列式能被 整除．证 直接运用例6、例7可得能被 整除．例9 计算n阶范德蒙德行列式，其中 ．解 注意到 当且仅当 ，可得，由此 ， 的模 ．现在来确定 的幅角：令 ， ，故对于上面考虑的j和k，总有 ，这意味着 ，因此，由此可设 ，其中这样就求得了 ．例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式证 按 的第一行展开行列式，可得例11 设有n个常数 ，n个两两不同的常数 以及由x的恒等式定义的一个多项式 ．对于一个已知多项式 ，定义另一个多项式 ，它为上面的恒等式中将 分别代之以 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 除以 所得的余式为 ．证 由于n阶范德蒙德行列式，按题设这里的行列式的最后一列展开，可知 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个 ，，必须 ， ．由拉格朗日插值公式知．同理可求出由恒等式所定义的多项式． 设 ，其中 的次数小于n．为证 ，只需证明 时， 即可．事实上，对每个 ， 是易见的，因此结论成立．例12 设 在 上连续，在 内存在2阶导数，证明在 上有，这里 ．特别地，存在 ，使．证 在 上构造函数，则 在 上连续，在 内存在2阶导数．因 ，由中值定理存在 ，使 ，故再运用一次中值定理，存在 ，使 ，即，展开行列式即得．特别地，取 ，则有相应的 ，使上式成立，即，化简即得．例13 设 在 内存在 阶导数， ．证明存在 ，使．证 在 上构造函数，在 内存在 阶导数．因 ，反复利用微分中值定理，存在 ，使 ，即．按第一行展开行列式得，左边按最后一列展开行列式，化简可得．例14 设 在 内存在n阶导数，这里 ．证明存在 ，使．证 置 ， ，则 ．于是例14在本质上是例13的特殊情形．

线性代数的实际应用如下：1.在运筹学中的应用运筹学的一个重要议题是线性规划，许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。而线性规划则要用到大量的线性代数的知识进行处理。如果你掌握了线性代数及线性规划的相关知识，那么你就可以将实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题，从而得到最优解。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。即使你是一家小商店的老板，你也可以运用线性代数知识来合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润；或者你仅仅是一个大家庭中的一员，你同样可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最小。2.在电子、软件工程中的应用由于线性代数是研究线性网络的主要工具，因此，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代。在进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件也需要依赖线性方程组的方法。对于光电及射频工程，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。此外，3D游戏的制作也是以图形的矩阵运算为基础的，游戏里的大量图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，比如电影《阿凡达》中大量的后期电脑制作，如果没有线代的数学工具简直难以想象。3.在工业生产和经济管理中的应用在工业生产和经济管理方面应用最广的应该是行列式了，人们可以利用行列式解决部分工程中的现实问题。例如：日常会计工作中有时会遇到的一些单位成本问题，虽然成本会计可以算出单位成本，用约当产量法或定额法或原材料成本法，但只能求得近似值，不能求得精确值。许多工程施工中，经常遇到计算断面面积、开挖或回填方量的工作。根据行列式的几何意义，将其与实际纵断图结合分析，可以直接计算出结果，并具有精确、简便的优点。4.在机械工程领域中的应用在机械工程领域复杂线性方程组的数值求解是经常遇见的问题，而且机械工程中的一些多解问题，例如机构转配构型，机器人机构树状解和设计方案的多解问题等，常常需要线性代数中线性方程的一些理论求解。并且线性代数中的公式通用于能淬火硬化的各种碳素钢及合金钢。实际上，这些方程可以当作是一种定量尺度，广泛用于设计或选择钢种、制定或修订标准、控制熔炼成分等方面。此外，这也有助于建立关于成分、组织和性能的完整的计算体系。这为机械工程领域作出了巨大的贡献。5.其他领域中的应用对于其他领域，也基本没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具。石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决。做餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；再比如气象方面，为了做天气和气象预报，有时往往根据诸多因素最后归结为解一个线性方程组。当然，这种线性方程组在求解时不能手算，而要在电子计算机上进行；又比如线性方程组在国民经济中的应用。为了预测经济形势，利用投入产出经济数学模型，也往往归结为求解一个线性方程组。

矩阵 数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。见 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9%E9%98%B5 在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作det(A)。在本质上，行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，行列式描述的是在n维向量空间中，一个线性变换对“体积”所造成的影响。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。 见 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

把第二、三、四列都加到第一列，则第一列都是 5 的倍数（感觉你有抄错数了），所以原行列式是 5 的倍数。

关于范得蒙(Vandermonde)行列式 |1 1 1 ........... 1 | |a1 a2 a3 ............ an | |a1^2 a2^2 a3^a .......... an^2| |. . . . | = d |. . . . | |. . . . | |a1^(n-1) a2^(n-1) a3^(n-1) ... an^(n-1)| 行列式形式也可写成（更美观） |1 a1 a1^2 ... a1^(n-1)| |1 a2 a2^2 ... a2^(n-1)| | . . . . | | . . . . | | . . . . | |1 an an^2 ... an^(n-1)| 按第二方式写出的行列式第i行第j列元素可表示为 a（ij)=ai^(j-1) 这样的行列式就是范德蒙德行列式，其结果为: II(ai-aj) 1<=j<i<=n (‘<="指小于等于，‘II"指连乘） 范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a1,a2,a3...an这n个数中至少有两个相等。 范德蒙德行列式的应用主要在线性代数中求解行列式的值以及计算线性方程组的解方面。 关于范得蒙 范德蒙（1735-1796），法国数学家。范德蒙在高等代数方面有重要贡献。他在1771年发表的论文中证明了多项式方程根的任何对称式都能用方程的系数表示出来。他不仅把行列式<span class=GramE>应用于解线性方程</span>组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，是行列式的奠基者。他给出了用二阶子式和它的余子式来展开行列式的法则，还提出了专门的行列式符号。他具有拉格朗日的预解式、置换理论等思想，为群的观念的产生做了一些准备工作。一种特殊的行列式以他的名字命名，但数学界有不同的看法，因为这一行列式并未出现在他的论文中。

行列式键盘（Matrix Keyboard）是一种键盘布局方式，它的每一行和每一列都连通，通过对每个按键进行编址来实现输入。与传统键盘不同，它可以自定义布局，具有更高的效率和更好的人体工程学设计。生活中，行列式键盘的应用比较广泛，例如：游戏玩家：许多游戏玩家喜欢使用行列式键盘，因为它们可以自定义按键布局，更符合他们的游戏习惯和需要。程序员：程序员常常需要频繁地使用各种快捷键和组合键，使用行列式键盘可以提高他们的效率和舒适度。办公人员：办公人员在日常工作中也需要经常使用键盘，使用行列式键盘可以减少他们的手指疲劳和打字错误。总之，行列式键盘在生活中的应用领域非常广泛，对于那些需要长时间使用键盘的人来说，它们是一个非常好的选择。

行列式是矩阵的重要函数，应该说到处都有用，尤其是在某些只用一个值来反应某种性质的时候，这个并不是很生硬的人造概念。你举的例子本质上都是由Cramer法则引出的代数中的例子，我再给你些别的例子：在积分换元的时候需要用到Jacobi矩阵的行列式，拥有体积比的几何意义。线性常微分方程组的基本解方阵的行列式称为Wronsky行列式，相应地还有Liouville定理，也是微分方程中的重要定理。量子力学中有著名的Slatter行列式，用来刻画电子自旋。

行列式的应用：1、DNA序列对比在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比是就用到了矩阵的相似。基于生物学中序列决定结构，结构决定功能的普遍规律，将核酸序列和蛋白质一级结构上的序列都看成由基本字符组成的字符串，检测序列之间的相似性，发现生物序列中的功能、结构和进化的信息。2、遥感图像对比图像配准就是将不同时间、不同传感器（成像设备）或不同条件下（天候、照度、 摄像位置和角度等）获取的两幅或多幅图像进行匹配、叠加的过程，它已经被广泛地应用 于遥感数据分析、计算机视觉、图像处理等领域。由于同一场景拍摄的图像是真实的三维，世界在不同时间向成像平面的一系列投影，而图像与图像之间具有较大的相关性和信息冗余，所以无论所处理的图像是发生何种形式的变化。3、行列式进行保密编译码在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以行列式和矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于±1的整数矩阵，则Auf02d1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A-1就可以复原。4、行列式在企业设备更新中的应用企业为了创造更大的价值，需要购买新设备，但买新设备花钱较多。而继续使用旧设备需要大量的维修费。为了解决这一问题，行列式和矩阵就可以计算出在哪一年更新设备，使企业的经济效益最好。5、行列式在文献管理中的应用比如现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和行列式的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。

行列式在生活中的应用如下：1、DNA序列对比：在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比是就用到了矩阵的相似。基于生物学中序列决定结构，结构决定功能的普遍规律，将核酸序列和蛋白质一级结构上的序列都看成由基本字符组成的字符串，检测序列之间的相似性，发现生物序列中的功能、结构和进化的信息。2、遥感图像对比：图像配准就是将不同时间、不同传感器（成像设备）或不同条件下（天候、照度、摄像位置和角度等）获取的两幅或多幅图像进行匹配、叠加的过程，它已经被广泛地应用于遥感数据分析、计算机视觉、图像处理等领域。由于同一场景拍摄的图像是真实的三维，世界在不同时间向成像平面的一系列投影，而图像与图像之间具有较大的相关性和信息冗余，所以无论所处理的图像是发生何种形式的变化。3、行列式进行保密编译码：在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以行列式和矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于±1的整数矩阵，则A口1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A-1就可以复原。4、行列式在企业设备更新中的应用：企业为了创造更大的价值，需要购买新设备，但买新设备花钱较多。而继续使用旧设备需要大量的维修费。为了解决这一问题，行列式和矩阵就可以计算出在哪一年更新设备，使企业的经济效益最好。5、行列式在文献管理中的应用：比如现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和行列式的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间.

1、DNA序列对比在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比是就用到了矩阵的相似。基于生物学中序列决定结构，结构决定功能的普遍规律，将核酸序列和蛋白质一级结构上的序列都看成由基本字符组成的字符串，检测序列之间的相似性，发现生物序列中的功能、结构和进化的信息。2、遥感图像对比图像配准就是将不同时间、不同传感器（成像设备）或不同条件下（天候、照度、 摄像位置和角度等）获取的两幅或多幅图像进行匹配、叠加的过程，它已经被广泛地应用 于遥感数据分析、计算机视觉、图像处理等领域。由于同一场景拍摄的图像是真实的三维，世界在不同时间向成像平面的一系列投影，而图像与图像之间具有较大的相关性和信息冗 余，所以无论所处理的图像是发生何种形式的变化。3、行列式进行保密编译码在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以行列式和矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于±1的整数矩阵，则Auf02d1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A-1就可以复原。4、行列式在企业设备更新中的应用企业为了创造更大的价值，需要购买新设备，但买新设备花钱较多。而继续使用旧设备需要大量的维修费。为了解决这一问题，行列式和矩阵就可以计算出在哪一年更新设备，使企业的经济效益最好。5、行列式在文献管理中的应用比如现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和行列式的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。中文名行列式外文名determinant(英文)déterminant（法文）表达式D=|A|=detA=det(aij)应用学科线性代数适用领域范围数学、物理学快速导航性质数学定义n阶行列式设是由排成n阶方阵形式的n2个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为(－1)3.　　若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作　　D=|A|=detA=det(aij)　　若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.　　标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足　　1≤i1<i2<...<ik≤n(1)　　i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集（参见第二十一章，1，二），C(n,k)的元素记作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示　　σ={i1,i2,...,ik}　　是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。

矩阵是一个数阵，例如一个2*3矩阵1 23 45 6n阶矩阵的行列式是n*n的矩阵通过一种运算求出的值，这个值的几何含义是n维向量张成的体积，例如n=2时代表面积，n=3是代表体积等等，这是直观的含义。以2阶矩阵的行列式为例介绍算法：a bc d其行列式为ad-bc；利用行列式可以判断一次方程有没有非零解，例如你给的例子，把x，y前面的系数提出来，写成如下三个矩阵：a1 a2a3 a4a1 a2a5 a6a3 a4a5 a6如果他们求行列式值后都为0，这个方程组有非零解，其实判断的道理很简单，对于此题，你只需要判断一下a1, a2与a3， a4与a5，a6成不成比例就行了。比如x+y=02x+2y=03x+3y=0显然有非零解。行列式只有到了高维的时候显得很有用。而高维行列式又很难算，一般用电脑算，作为高中生肯定不需要掌握。PS：我讲的很笼统，有很多地方不系统学是难以理解的，给个网址：zh.wikipedia.org/wiki/行列式 写的较详细，而且很通俗。另外希望你能把这份学习数学的热情保持下去，加油！

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。性质①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。 [1]

a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2则x=|b1a12||b2a22|-------------|a11a12||a21a22|在线性代数，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作det(A)。在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。　　行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。　　行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。

行列式的六条运算规则：规则一：行列式与它的转置行列式相等。规则二：交换行列式的两行，行列式取相反数。规则三：行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。规则四：行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。规则五：若行列式的某一行每一个元素都可以由两个数相加得到，则这个行列式是对应两个行列式的和。规则六：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变。行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。希望您能点击右下角“采纳答案”，谢谢！

a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2则x=|b1 a12||b2 a22|-------------|a11 a12||a21 a22|在线性代数，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作det(A)。在本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分学中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用。　　行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中。行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。　　行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。

这是典型的行列式性质应用的题目|2a1, a2+3a3,a1+2a2-a3|第一列公共系数可以提出来得到2|a1, a2+3a3,a1+2a2-a3|然后第三列减去第一列，行列式值不变，得到2|a1, a2+3a3,2a2-a3|然后第三列减去2倍第二列，行列式值不变，得到2|a1, a2+3a3, -7a3|然后第三列的系数-7可以提出得到-14|a1,a2+3a3,a3|然后第二列减去3倍第三列得到-14|a1,a2,a3|而|a1,a2,a3|就是|A|

其余项没有变化，只是将中间加法的那个行，按照算式中每一列的第一项全提取做成第一个子式，然后是每一列的第二项全提取做成第二个子式，类推就做出了

第3题根据行列式定义，显然只能选择各行各列中，不为0的元素，组成的乘积，构成行列式的项，然后再乘以一个符号，即根据排列2,3,4,...,n,1的逆序数的奇偶性，得到符号是(-1)^(n-1+n-2+...+2+1)=(-1)^(n(n-1)/2)因此行列式等于(-1)^(n(n-1)/2)n!定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。扩展资料：行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。参考资料：百度百科——行列式

随着现代科学的发展，数学中的矩阵也有更广泛而深入的应用，下面列举几项矩阵在现实生活中的应用：（1）矩阵在经济生活中的应用‍可“活用”行列式求花费总和最少等类似的问题；可“借用”特征值和特征向量预测若干年后的污染水平等问题。（2）在人口流动问题方面的应用这是矩阵高次幂的应用，比如预测未来的人口数数、人口的发展趋势。（3）矩阵在密码学中的应用可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。（4）矩阵在文献管理中的应用比如现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和向量的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。