200分求高中物理竞赛力学顶级难题

用应力弧垂表，上面有对应不同代表距下的不同气温（每隔5摄氏度给出一个）的弧垂系数，利用公式可能换算出70度时的弧垂。还有一种办法是直接利用悬链线状态方程，需要利用计算机进行迭代计算，也可以用手工进行简化计算（花时间较长），状态方程式可查阅李博之编著的《高压架空输电线路施工技术手册》。悬链线本质就是双曲余弦函数：y=acoshu2061xay=acosh axu200b 或者写作y=a2(exa+eu2212xa)y= 2au200b (e axu200b +e u2212 axu200b )a=1a=1 时，曲线这个样：改变参数aa 值从 1 变到 5 时，悬链曲线逐渐向上，而且通过(0，a)(0，a)这个点回到原点改变公式，可以将曲线的底端从放回到原点：y=acoshu2061xau2212ay=acosh axu200b u2212a渐屈线悬链线 是 曳物线 的渐屈线（即所有法线所组成的包络线）圣路易斯的拱门悬链线:L=(2T/Pg)*sinh(aPg/2T)其中T为水平拉力，P为绳的线质量密度，a为悬点距离，g为重力加速度。 悬链线（catenary）在物理上是指一条粗细不计的、质量均匀分布的柔软绳子两端悬挂在相同高度的两个点后，当绳子在重力作用下达到平衡后形成的曲线悬链线 (Catenary) 是一种曲线,它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数,其公式为：　　y = a*cosh(x/a) 　　其中 a 是一个常数.悬链线就是把一根绝对柔软,没有任何刚性的绳子,两端挂在垂直的墙上,任其自然悬垂所形成的曲线,其方程为:y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2.或简写为y=ach(x/a)(这叫做双曲余弦.)x∈R,x=0时y=a.即a是悬链线在Y轴上的截距.

悬链线是一种常用曲线，物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状，因此而得名。它的公式为：或者简单地表示为其中cosh是双曲余弦函数，是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，轴为其准线。具体来说，，其中是重力加速度，是线密度（假设绳子密度均匀），而是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。在工程中有一种应用，称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：File:Catenary02.png还有以下几个公式，可能也有用：其中是曲线中某点到0点的链索长度，是该点的正切角，是0点处的水平张力，是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中创造了这个名字。悬链线与抛物线相似。意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，并错误地将其形状认定为抛物线。1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰的哥哥）提出的一项挑战，即得到“悬链线”方程。图1：从左到右分别是雅各布·伯努利，戈特弗里德·莱布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利u200b莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。他们发表在《博学学报》上，这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。图1：莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。27年后，他在一封信中写道：我哥哥的努力没有成功。就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。——约翰·伯努利求悬链线方程为求悬链线方程，作以下假设：悬链悬挂在两点之间，靠自身重量悬挂。悬链是灵活的，有一个统一的线性重量密度（等于w_0）。为了简化代数上的繁琐，我们让y轴通过曲线的最小值。从最小值到点(x, y)的线段长度用s表示。作用在线段上的三个力分别为张力T_0和T以及它自身的重力w_0s（见下图）。前两个力与悬链相切。图2：此图包含计算中使用的参数和变量。要使每一段在水平和垂直上达到平衡，必须满足以下两个条件：式1：长度为s的悬链的平衡条件。我们需要解的微分方程是：式2：我们要解的微分方程。现在我们要把这个方程写成y和x的形式。我们首先对它求导得到：式3：式2的导数。ds/dx的导数可以用dy/dx表示如下：式4图3：式4中使用的无穷小三角形则式3为：式5：悬链线微分方程。为了快速求解式5，我们引入以下变量：式6：解方程5时u的定义利用式6，式5变成：式7：用变量u表示式5。u200b这个方程可以通过变量分离和一个简单的三角代换（u = tan θ）来积分：式8：积分后的式7。u200b因为y轴经过曲线的最小值：式9：变量u在曲线的最小值处为零。u200b将式9代入式8得到：式10：用式9求出式8中的c。u200b将c=0代入式8，求解u，得到：式11：方程5的解，得出了悬链线方程。

以质量均匀的细链由于重力自然下垂，建立恰当的坐标系，使悬链关于y轴对称，悬链最低点D的切向张力为N，悬链单位长度质量为p，任意一点P的切向张力为T，弧DP长为s，若D得坐标为(0，a)（其中，a=N/p） 则该悬链线方程如下：

2014-01-03 15:36 吴淑忠 学生 来自西南科技大学 椭圆的方程是x2/4+y2/2=1吧，我就照这样做了（x2即x的平方）设PQ坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)MF＝a+ex=2+（（根号2）／2）＊1又因为等差数列得2MF＝FP+FQ=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2)MF代入得x1+x2=2 设PQ中点为S，坐标即为（1，t)，2t＝y1+y2由点差法求得（y1-y2)/(x1-x2)=-1/(y1+y2)=-1/(2t)则PQ为y=(-1/2t)(x-1)+t，则PQ垂直平分线为y=2t(x-1)+t所以当x-1=-1/2时即x=1/2时恒有y=0所以定点A为（1/2,0）则B点为（-1/2,0）d=【(x1+1/2)平方+（y1)平方】开方由椭圆方程得：y平方==2-x2/2d=[x2/2+x+9/4]开方当x=-1/2时有最小值根号2即PB的最小值为根号2，点P坐标为【-1/2，（根号30）/4】

：悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为： y = a*cosh(x/a) 其中 a 是一个常数

抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线. 抛物线不可以说成是一条弧.因为抛物线的线长是无限的.而弧是一个有限的量. 因为弧的概念是：圆周或曲线上任意的一段. 悬链线：是一种曲线,它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数,其公式为： y = a*cosh(x/a) 其中 a 是一个常数. 这个悬链线高中以前似乎都没有要求的.如果LZ是高中生或还要小.就没必要知道了

悬链线拱桥是利用悬链线的基础上制作的桥型。悬链线 (Catenary) 是一种曲线，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数。表达式的证明如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，AB段绳子的质量为m,显然B点受力平衡，进行受力分析有：注释（1）m=σs ，其中s是右段AB绳子的长度，σ是绳子线密度，即单位长度绳子的质量。代入得微分方程（2）再利用勾股定理 得到：（3）将（3）式代入（2）式得：（4）不妨做一次变量替换，令： 得到如下方程：为了将积分符号去掉，对上式两边对x求导：接下来变量分离并两端进行积分：由于 ，所以上面的积分的解为： （5）（注意，指数-1表示的是反函数，而不是倒数。）下面确定C的值。显然，当x=0时，y"=0，即p=0，所以将该初值条件代入我们得到的解，因为,解得C=0.下面给出反双曲正弦的图像以加强直观认识。反双曲正弦的部分图像然后利用反函数的性质，在（5）式的两边取双曲正弦：

a=水平张力/线密度(链子单位重力)=H/ρ 这一般在解微分方程时用.实际工程中,设计中只给出跨度和索塔处的方向角θ.就可以计算出a. y轴取跨度的中点,x轴取悬索最低点下a处. x0=跨度/2 a=x0/ar sinh(tanθ) 注意:对于任意一点的坐标x和该点的方向角都满足这个公式. 水平张力 T=aρ 其他详细的推导过程和计算,可发邮件----lx.pan@hotmail.com

分别代表二次、一次系数和常数。其中a表示抛物线的开口的大小b与a表示抛物线的对称轴c表示与y轴的交点为(0,c).

悬链拱：一根自由悬挂着的链子，形成了一条称之为悬链线的曲线。该曲线看起来很像一条抛物线，以至于伽利略最初竟误信为它就是一条抛物线。当把重物系在悬链线等间隔的地方，链就变成抛物曲线。悬链线 (Catenary) 是一种曲线，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数。

有弧微分公式 ds=(√(1+y"^2))dxch是双曲余弦代号。

这样问显然有问题！这个方程里只有一个参数a, 怎么可能要求过三个任意的定点？ 你给的方程固然没错，但这是过原点，且以y轴为对称轴的悬链线的方程。“过原点”和“以y轴为对称轴”已经限制了自由度，只剩下一个参数a. ------------------------------------------------我说了，现在这样没法求a. 这就好比你问：过一般的三个点的直线方程是什么…… 另外，用追问的方式方便一些~~ -----------------------------------------------抱歉，刚想了一下，三点恐怕确定不了一条一般的悬链线……悬链线和抛物线一样，一般需要由五点确定。 这样的话，这个问题本身就更奇怪了。能否说说此问题的来源？

1690年。与达芬奇的时代时隔170年，1690年，瑞士数学家雅各布伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。

请见ssitong吧网页链接：悬链线方程的推导

你的问题不全，悬链线的MATLAB编程的内容是什么，是悬链线方程，还是悬链线图形，还是悬链线曲线弧长？请说明，这样才能针对性的帮你解决。如有不便，也可以通过其他方式解决。

大二。悬链线与抛物线相似，是一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，形成的曲线形状，例如悬索桥悬链线方程是数学史上的难题之一，在大二会学习它的相关知识。

y"""+6y""+(9+a^2)y"=1The aux. equationp^3 +6p^2 +(9+a^2)p=0p[p^2+6p +(9+a^2) ]=0p=0 or -3+ai or -3-ailetyg= C1 +e^(-3x) . [ C2.cos(ax) +C3.sin(ax) ]letyp= Axyp""" +6yp""+(9+a^2)yp"=1A(9+a^2)=1A=1/(9+a^2)ie yp=[1/(9+a^2)]x通解y=yg+yp=C1 +e^(-3x) . [ C2.cos(ax) +C3.sin(ax) ] +[1/(9+a^2)]x

微分方程 指含有未知函式及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函式。 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的套用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函式的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有套用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。 基本介绍 中文名 ：微分方程 外文名 ：differential equation 发明人 ：艾萨克·牛顿 所属学科 ：高等数学 理论基础 ：极限理论 介绍,定义式,来源及发展,特点,数学描述,其他学科关系,分类,偏微分方程,线性及非线性,举例,微分方程的解,约束条件,唯一性, 介绍 含有未知函式的导数，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函式、未知函式的导数与自变数之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。 定义式 来源及发展 微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y" = f ( x )的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函式的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函式的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。 17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。 微分方程 在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题” 　数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函式，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函式）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。 第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变数方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。 第二，当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处，达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。 第三，微分方程在物理学、力学中的重要套用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。 特点 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际套用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。 通常微分方程在很多学科领域内有着重要的套用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和飞弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，套用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 数学描述 许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式。在生物学及经济学中，微分方程用来作为复杂系统的数学模型。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现，而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程，此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。 例如考虑光和声音在空气中的传播，以及池塘水面上的波动，这些都可以用同一个二阶的偏微分方程来描述，此方程即为波动方程，因此可以将光和声音视为一种波，和水面上的水波有些类似之处。约瑟夫·傅立叶所发展的热传导理论，其统御方程是另一个二阶偏微分方程－热传导方程式，扩散作用看似和热传导不同，但也适用同一个统御方程，而经济学中的布莱克-休斯方程也和热传导方程有关。 其他学科关系 早期由于外弹道学的需要，以及40年代由于高速气动力学研究激波的需要，拟线性一阶双曲组的间断解的研究更得到了重大发展，苏联和美国学者作出了贡献。泛函分析和偏微分方程间的相互联系，相互促进发展，首先应归功于法、波、苏等国学者的努力。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的套用及理论研究提供了非常有力的工具。 分类 微分方程可分为以下几类，而随着微分方程种类的不同，其相关研究的方式也会随之不同。 偏微分方程 常微分方程（ODE）是指微分方程的自变数只有一个的方程。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函式，但未知数也可能是一个向量函式或是矩阵函式，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。 一般的n阶常微分方程具有形式： 其中 是 的已知函式，并且必含有 。 偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变数有两个或以上，且方程式中有未知数对自变数的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变数的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。 最常见的二阶椭圆方程为调和方程： 。 线性及非线性 常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。 若 是 的一次有理式，则称方程 为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。 一般的，n阶线性方程具有形式： 其中， 均为x的已知函式。 若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。 举例 以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函式，自变数为x，c及ω均为常数。 非齐次一阶常系数线性微分方程： 齐次二阶线性微分方程： 非齐次一阶非线性微分方程： 以下是偏微分方程的一些例子，其中u为未知的函式，自变数为x及t或者是x及y。 齐次一阶线性偏微分方程： 拉普拉斯方程，是椭圆型的齐次二阶常系数线性偏微分方程： KdV方程，是三阶的非线性偏微分方程： 微分方程的解 微分方程的解通常是一个函式表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。 例如： ，其解为： ，其中C是待定常数； 如果知道 ，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1， 一阶线性常微分方程 对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法： 对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0，可知其通解： ，然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。 二阶常系数齐次常微分方程 对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解 一般的通解形式为： 若 ，则有 若 ，则有 在共轭复数根的情况下： 。 约束条件 微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。 常微分方程常见的约束条件是函式在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。 若是二阶的常微分方程，也可能会指定函式在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。 偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。 唯一性 存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。 针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。 针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

这是常系数线性微分方程组，有固定的求解套路。这里使用代入法：从书上的式子来看，首先把第二式的积分项用其他部分表示，代入第一式，把积分项消掉，结果记为第四式。其次，对第二式求两次导数，用i2及其导数把d(i1)/dt表示出来，代入第四式，把含d(i1)/dt消掉。更加系统的方法可以查看微分方程相关的书籍。

有未知函数的导数，如的方程都是微分方程。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。拓展资料：方程发展史方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

应用悬链线公式，求出此电线悬挂的曲线方程，定积分求曲线弧长，最后得到电线的总长度。

浅议能量最低原理高中化学曾讲到最低能量原理：在不违背泡利原理的情况下，核外电子总是尽先排布在能量最低的轨道上。在能量最低的轨道上，电子处于稳定状态。分析众多事例，能量最低原理实质上是势能最低原理，即：若物体（系）具有势能，则当势能最低时，其状态是稳定的。推论：物体系的稳定状况与系统的势能相关，势能越小则状态越稳定。势能是种什么能呢？我们可以这样表述：物体系由于其中各物体间有保守力（万有引力、弹力、电场力等）相互作用而具有的、由它们的相对位置决定的能叫势能。换言之，势能是物体系内物体由于受某种保守力作用而具有运动趋势时所具有的能，这种能取决于物体的位置。势能的改变量取决于运动过程的始、末位置，而与路径无关。取不同的零势能点时，同一状态的势能可以有不同数值。物体运动的趋势局限于一定的范围，这个范围由物体所处状态到势能最低状态（稳定）所需经历的空间所决定，不取决于物体在该状态时的受力情况及可能的加速度。允许物体运动的范围越大，势能也越大。这样我们就认识到，能量最低原理不仅局限于核外电子排布，而应具有更普遍的意义。在任何保守力作用的物体系中，物体在无其他外力作用时，总是向势能减少的方向变化——即总是自发地、必然地趋于稳定。这样的例子很多。如：树枝上的苹果离开树枝后总是向地面坠下，而不是背离地面升上天空。流星体进入地球引力场后受地球引力作用向地球加速运动。这些都使引力势能减少而趋于能量最低——稳定状态。形变后的弹簧在去除外力后总是在弹性恢复力作用下运动，使形变减小——势能减少，最终恢复原状——势能最小——稳定状态。由两个点电荷组成的系统中，同种电荷总是趋向远离，异种电荷总是趋向接近，即常说的“同种电荷相斥，异种电荷相吸”，从势能的角度看，这样就使系统的电势能减少，系统趋于稳定。在由两种保守力作用的系统中，物体兼有两种势能时，势能最低原理仍然是适用的。如：一支质量不计的弹簧，其劲度系数为k，上端固定，下端系一重物，如图1所示。当物体处于平衡状态时，kx=mg。我们来证明此时总势能为最小值。记弹簧伸长量为x。当x=0时，弹性势能EPT=0，重力势能EPG=0。当弹簧伸长量为x时，总势能为求E对x的一阶导数并令之为0：求E对x的二阶导数：又如，有一带电量-q、质量为m的小球以轻绳悬挂在一定点，如图2所示。绳长L。全部装置在如图示的匀强电场中。试讨论其平衡时之情况。令当悬绳竖直时重力势能、电势能为零。则当绳与竖直方向为θ角时，重力势能为EPG=mgL(1-cosθ)电势能为EPD=-EqLsinθ，总势能为E=EPG+EPD=mgL（1-cosθ）-EqLsinθ。由以上二例可知，由势能最低原理讨论的结果与通常力学方法计算的结果是完全一致的。在保守力作用下，物体的平衡状态必然是势能最低状态。推论：由两种以上保守力作用的情况下，势能最低原理仍然正确。从势能最低原理出发可以方便地理解或解释许多物理事实。关于物质结构的分子论：物质分子间有分子力相互作用，因而分子具有一定分子势能。固体、液体中的分子要处于某种相对稳定状态，即要势能最低。分子处于平衡位置是稳定的，其平衡间距为r0，故分子间距等于r0时必然分子势能为最小值，正如图3中分子势能曲线所示。要保持分子势能的最小值，就要保持分子间距为r0。不论分子间距大于r0还是小于r0，都将使分子势能增加。因而要使物体的体积——r0改变时，必须对物体施加某种作用，如热传递，使r＞r0。增加分子引力势能；或压缩，使r＜r0，增加分子斥力势能，因为分子斥力势能随r减小的增加很快，即使△r极小，也需要做极多的功，所以固体、液体极难被压缩，因为分子间距为r0时势能最小，是稳定的，所以固体、液体有一定体积。通常气体分子间距大，可视为没有分子力，也就没有分子势能，因而气体无平衡位置可谈，因此其分子可随意运动，从而最大限度地充满容纳它的空间。这里附带说一下，零势能是为了研究问题方便起见而根据不同的具体情况特定的，作为参照标准的势能值，势能为零不表示没有势能。相反，它可以是一个相当大的势能。如在讨论星际运动时，定义无限远处的势能为零——引力势能的最大值，凡有限远处引力势能皆为负值。液体表面的种种现象也可由势能最低原理获得满意解释。液体表面层中分子间作用力是引力，势能是引力势能。由于势能要趋于减小以至最低，分子间距有缩小趋势。使表面积趋于最小，从力的角度说，表现出表面张力。液体与固体相接触时，若附着层中分子间距较小，分子势能为斥力势能，反之，分子间距较大，分子势能为引力势能。无论哪种情况，附着层中分子势能较大，不稳定，必然导致分子的运动，使分子势能减小而趋向稳定，因而产生了不同的浸润与不浸润现象。电场中的带电粒子具有电势能。它总是有使电势能减小而趋于稳定的趋势，总是在所受电场力方向——势能减小的方向产生加速度。若粒子原来是静止的，在无其他外力时，带正电荷的粒子总是向低电势处运动。反之则向高电势处运动。在日常也有许多类似现象。如绕水平轴自由转动的物体，若其质量分布稍有不同，它最终停下来时，必然是质量稍大的一方处于最低位置，如自行车轮。物体重心越高，重力势能越大。稳度越小，反之稳度越大。一个物体平衡状态被破坏后，总是要通过某种运动使重力势能减小而趋于稳定，由于物体支点（面）的不同情况而有稳定平衡与不稳定平衡之别。若物体的势能不因运动而变化，则必然是随遇平衡。用以上观点可以简捷地处理一些看起来似乎很费解的问题。例1．有两个立方体上下相叠放在水平面上，其质量分别为m和2m。要想用最小的力将二立方块一起推倒，怎样放置时做的功多？这个题要严格推算是相当麻烦的。从势能最低原理出发，当2m的一块在下时，稳度大，势能小。要将其推倒必须对它做功，使重力势能增大到某个最大（临界）值。原来势能小的必然要做较多的功。即越是稳度大的物体，要破坏它的平衡状态越难。例2．有一段质量分布均匀的长链，两端挂在同一高度的两只钉上．中间部分自然悬垂。现用手拉其中点A使之下降。问链的重心如何变化？（设链不可伸长）解：题中说为一悬链线，其方程为式中a为其中点处的曲率半径。y轴O点在链自然下垂时位于中点下方a处。如图4所示。显然，要求出链的重心及其变形后的重心不是中学生所能做到的（详细计算从略），似乎超了纲。但若要灵活运用所学知识就会迅速得出正确答案。方法之一：如图5所示，画出A点向下拉后链的示意图，可以粗略看到，链的大部分上升，只有很小一部分下降。故得答案：重心上升。

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 双曲正弦 sh z ＝（ez－e－z）/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝（ez＋e－z）/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝（ez－e－z）/（ez＋e－z） （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝（ez＋e－z）/（ez－e－z） （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponential function）可由无穷级数定义 ez＝1＋z/1！＋z2/2！＋z3/3！＋z4/4！＋…＋zn/n！＋… （7） 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。 双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。 1、阻尼落体 在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。 解： 小石块遵循的运动方程为 mdv/dt=mg―μv2 （8） 这是Riccati方程，它可以精确求解。 依标准变换方式，设 v=（m/μ）（z′/z） （9） 代入（8）式，再作化简，有 z"" ―(gμ /m)z=0 （10） （10）式的通解是 z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） （11） 其中，C1和C2是任意常数。 由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为 v（0）=0 （12） 这等价于 z′（0）=0 （13） 因此，容易定出 C2=－C1 （14） 将（14）式代入（11）式，再将（11）式代入（9）式，就可得 满足初始条件的解 v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15） 图1：阻尼落体时速度和时间的关系 我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。 2、导线电容 真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2,中心线相距为d(d >R1+R2)。试求它们间单位长度的电容。 解： 设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。 我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是： 由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。 以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为 φ=φ1+φ2 =（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2） =（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16） y P r2 r1 R2 ―λ +λ R1 x O a a a2 a1 图2：带电导线与其镜像 式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（16）式便化为 φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （17） 由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是 φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （18） 故偶极线的等势面方程便为 [（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19） 式中 k2 =e4πε0φ/λ （20） 令 c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21） 则（19）式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（ k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由（18）式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。 3、粒子运动轨迹 一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为 x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42） 式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。 解： 带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为 dp/dt=q（E+v×B） （43） 式中v是粒子的速度，p是粒子的动量 p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44） 本题运动方程的分量表示式为 dpx=qE dpy=0 dpz=0 （45） 解之，有 px =qEt+C1 py = C2 pz = C3 （46） 代入t=0时初始条件 px（0）=0 py（0）= p0 pz（0）= 0 （47） 定出积分常数后，可知 px=qEt py= p0 pz= 0 （48） 粒子的能量为 W=mc2 =√p2c2+m02c4 =√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4 =√q2E2 c2t2+W02 （49） 因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50） 积分得 x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt = [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51） 又由（48）式得 dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52） 积分得 y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt =（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53） 或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54） 在（51）式和（54）式中消去t，有 x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55） 利用恒等变换公式 cosh2x―sinh2x=1 （56） （55）式可以写成 x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57） （57）式是一种悬链线。 图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹 讨论： 因双曲余弦泰勒级数展开式是 cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58） 当v/c →0时，保留前2项，得 x=（qE/2m v02）y2 （59） （59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c＜＜1，这也是牛顿力学的适用范围。 4、非线性方程求解 如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为 ux+uux+βuxxx=0 （60） 它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。 解： 考虑其行波解 u（x，t）=φ（ξ） （61） 其中， ξ=kx－ωt+ξ0 （62） KdV方程成为 －ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63） 记 f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64） 尝试 φ=a0+a1f+a2g （65） 注意存在关系式 df/dξ=－fg dg/dξ=1－g2－rg g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66） 将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组 －6βk3b1（r2－1）2=0, －6βk3a1（r2－1）=0, －2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0, －k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0, b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0, ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0, －b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67） 用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解 φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68） 其中，k、ω、ξ0为任意常数 。 （68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。 图4： KdV方程的孤波解 从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。 参 考 文 献 2、吕克璞、石玉仁等，《物理学报》，50（2001）2074。参考资料：1、林旋英、张之翔，《电动力学题解》，科学出版社，1999年第一版；

惠更斯是17世纪荷兰著名的物理学家、天文学家和数学家，是介于伽利略和牛顿之间一位重要的物理学先驱。他一生致力于科学事业的研究，可说为科学而生，在力学、光学、数学和天文学等自然科学的诸多领域内都作出了突出的贡献，成为近代自然科学的一位重要开拓者，在整个科技发展史上有着举足轻重的地位。1629年的4月14日，克里斯蒂安·惠更斯诞生在荷兰海牙的一个比较富裕的大户人家，在亲人们的环绕下过着衣食无忧的生活。但他并不贪图安逸，而是经常跟着父亲潜心研究学问，13岁时就自制出了一台车床，16岁的时候就进入了大学学习法律和数学，并以优异的成绩获得了博士学位，不仅结识了当时的著名学者牛顿，还于1663年成为英国皇家学会的第一个外国学员。惠更斯的成就是多方面的。早年的他对数学有着极大的兴趣，22岁时就发表了关于椭圆弧及双曲线、圆周长的计算等方面的著作，并且对各种平面曲线也进行了深入的研究，展示了他的数学天赋。光的波动说是惠更斯的主要成就。他在巴黎时就长期从事这方面的研究，在当时曾经发生了一场关于光的本性问题的讨论，这一论争推动了光学事业的发展。1678年，惠更斯在法国科学院的一次公开演讲中推翻了牛顿的光的微粒说，并在1690年出版的《光论》一书中正式提出了光的波动说，建立了著名的惠更斯原理，促进了光学研究的发展。《光论》里面所涉及到的最重要的光学理论就是光波理论。他认为从波源发射出的子波中的每一点都可以作为子波的波源，每个子波波源波面的包洛面就是下一个新的波面。在此原理基础上，他发现了光的衍射、光的折射定律和反射定律，解释了光在光密介质中传播速度减小的原因，同时还画出了光进入冰洲石所产生的双折射现象图像，使人们对光的理解摆脱了只在视觉上的认识，推进了光学的发展。惠更斯光的波动说，虽然预料了光的衍射现象的存在，也就是说它可以确定光波的传播方向，却不能确定沿不同方向传播振动的振幅，所以惠更斯原理只能说是人类对光学的一个近似的认识，直到后来菲涅耳对惠更斯的光学理论作出了发展和补充，创立了“惠更斯——菲涅耳原理”，才较好地解释了衍射现象，完成了光的波动说的全部理论。在力学方面，惠更斯在伽利略研究的基础上对“碰撞”问题进行了研究，并在1669年提出解决了碰撞问题的一个法则——“活力”守恒原理，这一法则是动量守恒定律的雏形。在研究单摆的过程中他还提出了“离心力”的命题，这也就是后来的“离心力定律”，从而把几何学带进了力学研究的领域。在天文学方面，他因和其弟共同改造的望远镜而发现了土卫六和土星光环，分辨了猎户座星云所包含的恒星。惠更斯的一生执着于科学研究，终生未婚，1695年7月8日在海牙逝世。

ch和sh意思是是双曲函数。在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。双曲函数的定义域是实的，其自变量的值称为双曲角。双曲函数出现在一些重要的线性微分方程的解中，如定义悬链线方程和拉普拉斯方程。扩展资料：双曲函数悬链线：函数y＝acosh（x／a）（a是常数）的图形叫做悬链线，它来自软弦，有点像抛物线，但很不一样。据说莱布尼茨在1690年首次提出了悬链线方程，随后惠更斯和伯努利兄弟在1691年提出了悬链线方程。悬链线与抛物线的关系是这样的：悬链线是在直线上滚动的抛物线的焦点的轨迹。悬链线顶点的渐开线为轨迹线。阻力的渐近线称为悬链线准线，悬链线绕准线旋转形成的面称为悬链线面。参考资料来源：百度百科—双曲函数

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程。而在中国，《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？。”之后的丢番图（古代希腊数学家），欧几里德（古代希腊数学家），赵爽，张遂，杨辉对一元二次方程的贡献更大贝祖（Bezout Etienne 1730.3.31~1783.9.27）法国数学家。少年时酷爱数学，主要从事方程论研究。他是最先认识到行列式价值的数学家之一。最早证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。他在其第一篇论文《几种类型的方程》中用消元法将只含一个未知数的n次方程问题与解联立方程组问题联系起来，提供了某些n次方程的解法。他还用消元法解次数高于1的两个二元方程，并证明了关于方程次数的贝祖定理。1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。 十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。 十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。 十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。 十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。 1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。 1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。 1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。 1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。 1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。 1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。 1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。 十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。 1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。 1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。 1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。 1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。 1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。 1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。 1614年，英国的耐普尔制定了对数。 1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。 1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。 1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。 1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。 1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。 1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。 1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。 1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。 1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。 1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。 1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。 1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。 1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。 1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。 1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。 1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。 1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。 1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。 1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。 1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。 1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。 1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。 1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。 1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。 1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。 1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。 1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。 1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。 1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。 1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。 1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。 1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。 1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。 1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。 1794年，德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。 1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。 1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。 1799年，德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。 微分方程:大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布61贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

拱桥的力学之前，往往引入看似有些无关的悬链线。悬链线指：一根可以弯曲但不可伸缩、单位长度质量恒定的绳索，在两端固定的情况下自然下垂所形成的曲线。最小作用量原理最小作用量原理也称哈密顿原理，是牛顿力学和拉格朗日力学的分水岭，大致可表述为：粒子所遵循的轨迹是作用量最小化的轨迹。在我们的情况中，悬链线就是在此情形中重力势能最小的曲线。最小作用量属于变分问题，可用变分法求解。假设重力加速度恒为g，则某物体重力势能可表述为 . 设绳子两端点距离为L.建立x-y坐标系，y表示高度，y(x)代表绳索形成的曲线, 绳索关于y轴对称。绳子上每个点的重力势能个表示为重力势能公式两边求导的结果： .设绳索单位长度质量为 , 则根据其定义， , 所以 代入得 作用于整条绳索上的重力势能表示为：要找到使Ug最小的y(x)属于泛函极值问题，如同任何其它极值问题，对自变量求导即可。从上文我们发现，Ug可以表示为x, y(x), y"(x)的函数，记作： 此时使Ug最小化的y(x), L(x)需满足欧拉-拉格朗日方程：欧拉-拉格朗日方程左侧为：右侧偏导数部分为 再对x求导得： 得到等式： 进行一系列暴力化简：对原式再次求导：两边积分，区间为0至x：已知此类微分方程的解为：由坐标系设定，y(x) 应为偶函数，所以c2 = 0代入初值即可得到悬链线的表达式如果将悬链线倒置，将会得到一个稳定的拱形

二阶偏微分方程是：y′=f（x）。原函数问题便是最简单的微分方程。而如果在该方程中y连续求两次导数的话就是二阶微分方程。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，二阶微分方程得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解（化为积分形式）也被证明不可能。

摘 要：介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，包括矩量法、有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。 关键词：矩量法；有限元法；时域有限差分方法；复射线方法 1 引 言 1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。 本文综述了国内外计算电磁学的发展状况，对常用的电磁计算方法做了分类。 2 电磁场数值方法的分类 电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主要有矩量法、有限差分方法等，频域技术发展得比较早，也比较成熟。时域法主要有时域差分技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑，某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时，频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算，然后做傅里叶反变换才能求得解答，计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化，采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法，如GTD，UTD和射线理论。 从求解方程的形式看，可以分为积分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特点：IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差限于求解区域的边界，故精度高；IE法适合求无限域问题，DE法此时会遇到网格截断问题；IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的是稀疏矩阵，但阶数大；IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题，DE法可直接用于这类问题〔1〕。 3 几种典型方法的介绍 有限元方法是在20世纪40年代被提出，在50年代用于飞机设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元法已非常著名。 有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。其定解问题为： 应用变分原理，把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，利用对区域D的剖分、插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，进而得到一组多元的代数方程组，求解代数方程组就可以得到所求边值问题的数值解。一般要经过如下步骤： ①给出与待求边值问题相应的泛函及其变分问题。 ②剖分场域D，并选出相应的插值函数。 ③将变分问题离散化为一种多元函数的极值问题，得到如下一组代数方程组： 其中：Kij为系数（刚度）矩阵；Xi为离散点的插值。 ④选择合适的代数解法解式（2），即可得到待求边值问题的数值解Xi（i＝1，2，…，N） （2）矩量法 很多电磁场问题的分析都归结为这样一个算子方程〔2〕： L（f）＝g（3）其中：L是线性算子，f是未知的场或其他响应，g是已知的源或激励。 在通常的情况下，这个方程是矢量方程（二维或三维的）。如果f能有方程解出，则是一个精确的解析解，大多数情况下，不能得到f的解析形式，只能通过数值方法进行预估。令f在L的定义域内被展开为某基函数系f1，f2，f3，…，fn的线性组合： 其中：an是展开系数，fn为展开函数或基函数。 对于精确解式（2）通畅是无限项之和，且形成一个基函数的完备集，对近似解，将式 （2）带入式（1），再应用算子L的线性，便可以得到： m＝1，2，3，… 此方程组可写成矩阵形式f，以解出f。矩量法就是这样一种将算子方程转化为矩阵方程的一种离散方法。 在电磁散射问题中，散射体的特征尺度与波长之比是一个很重要的参数。他决定了具体应用矩量法的途径。如果目标特征尺度可以与波长比较，则可以采用一般的矩量法；如果目标很大而特征尺度又包括了一个很大的范围，那么就需要选择一个合适的离散方式和离散基函数。受计算机内存和计算速度影响，有些二维和三维问题用矩量法求解是非常困难的，因为计算的存储量通常与N2或者N3成正比（N为离散点数），而且离散后出现病态矩阵也是一个难以解决的问题。这时需要较高的数学技巧，如采用小波展开，选取合适的小波基函数来降维等〔3〕。 （3）时域有限差分方法 时域有限差分（FDTD）是电磁场的一种时域计算方法。传统上电磁场的计算主要是在频域上进行的，这些年以来，时域计算方法也越来越受到重视。他已在很多方面显示出独特的优越性，尤其是在解决有关非均匀介质、任意形状和复杂结构的散射体以及辐射系统的电磁问题中更加突出。FDTD法直接求解依赖时间变量的麦克斯韦旋度方程，利用二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接转换为差分形式，这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压缩。电场和磁场分量在空间被交叉放置，这样保证在介质边界处切向场分量的连续条件自然得到满足。在笛卡儿坐标系电场和磁场分量在网格单元中的位置是每一磁场分量由4个电场分量包围着，反之亦然。 这种电磁场的空间放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然几何结构。因此FDTD算法是计算机在数据存储空间中对连续的实际电磁波的传播过程在时间进程上进行数字模拟。而在每一个网格点上各场分量的新值均仅依赖于该点在同一时间步的值及在该点周围邻近点其他场前半个时间步的值。这正是电磁场的感应原理。这些关系构成FDTD法的基本算式，通过逐个时间步对模拟区域各网格点的计算，在执行到适当的时间步数后，即可获得所需要的结果。 在上述算法中，时间增量Δt和空间增量Δx，Δy和Δz不是相互独立的，他们的取值必须满足一定的关系，以避免数值不稳定。这种不稳定表现为在解显式 差分方程时随着时间步的继续计算结果也将无限制的67增加。为了保证数值稳定性必须满足数值稳定条件： 其中：（对非均匀区域，应选c的最大值）〔4〕。 用差分方法对麦克斯韦方程的数值计算还会在网格中引起所模拟波模的色散，即在FDTD网格中数字波模的传播速度将随波长、在网格中的传播方向以及离散化的情况而改变。这种色散将导致非物理原因引起的脉冲波形的畸变、人为的各向异性及虚拟的绕射等，因此必须考虑数值色散问题。如果在模拟空间中采用大小不同的网格或包含不同的介质区域，这时网格尺寸与波长之比将是位置的函数，在不同网格或介质的交界面处将出现非物理的绕射和反射现象，对此也应该进行定量的研究，以保证正确估计FDTD算法的精度。在开放问题中电磁场将占据无限大空间，而由于计算机内存总是有限的，只能模拟有限空间，因此差分网格在某处必将截断，这就要求在网格截断处不引起波的明显反射，使对外传播的波就像在无限大空间中传播一样。这就是在截断处设置吸收边界条件，使传播到截断处的波被边界吸收而不产生反射，当然不可能达到完全没有反射，目前已创立的一些吸收边界条件可达到精度上的要求，如Mur所导出的吸收边界条件。 （4）复射线方法 复射线是用于求解波场传播和散射问题的一种高频近似方法。他根据几何光学理论和几何绕射理论的分析方法和计算公式，在解析延拓的复空间中求解复射线轨迹和场的振幅和相位，从而直接得出局部不均匀波（凋落波）的传播和散射规律〔5〕。复射线方法是包括复射线追踪、复射线近轴近似、复射线展开以及复绕射线等处理技术在内的一系列处理方法的统称。其共同特点在于：通过将射线参考点坐标延拓到复空间而建立了一个简单而统一的实空间中波束／射线束（Bundle ofrays）分析模型；通过费马原理及其延拓，由基于复射线追踪或复射线近轴近似的处理技术，构造了射线光学架构下有效的鞍点场描述方法等。例如，复射线追踪法将射线光学中使用的射线追踪方法和场强计算公式直接地解析延拓到复空间，利用延拓后的复费马原理进行复射线搜索，从而求出复射线轨迹和复射线场。这一方法的特点在于可以基于射线光学方法有效地描述空间中波束的传播，因此，提供了一类分析波束传播的简便方法。其不足之处是对每一个给定的观察点必须进行一次二维或四维的复射线轨迹搜索，这是一个十分花费时间的计算机迭代过程。 4 几种方法的比较和进展 将有限元法移植到电磁工程领域还是二十世纪六七十年代的事情，他比较新颖。有限元法的优点是适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问题。这种方法的各个环节可以实现标准化，得到通用的计算程序，而且有较高的计算精度。但是这种方法的计算程序复杂冗长，由于他是区域性解法，分割的元素数和节点数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方程组的元数很大，这使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。对电磁学中的许多问题，有限元产生的是带状（如果适当地给节点编号的话）、稀疏阵（许多矩阵元素是0）。但是单独采用有限元法只能解决开域问题。用有限元法进行数值分析的第一步是对目标的离散，多年来人们一直在研究这个问题，试图找到一种有效、方便的离散方法，但由于电磁场领域的特殊性，这个问题一直没有得到很好的解决。问题的关键在于一方面对复杂的结构，一般的剖分方法难于适用；另一方面，由于剖分的疏密与最终所形成的系数矩阵的存贮量密切相关，因而人们采用了许多方法来减少存储量，如多重网格法，但这些方法的实现较为困难〔6〕。 网格剖分与加密是有限元方法发展的瓶颈之一，采用自适应网格剖分和加密技术相对来说可以较好地解决这一问题。自适应网格剖分根据对场量分布求解后的结果对网格进行增加剖分密度的调整，在网格密集区采用高阶插值函数，以进一步提高精度，在场域分布变化剧烈区域，进行多次加密。 这些年有限元方法的发展日益加快，与其他理论相结合方面也有了新的进展，并取得了相当应用范围的成果，如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、开域问题、高磁性材料及具有磁滞饱和非线性特性介质的处理等，还包括一些尚处于探索阶段的工作，如拟问题、人工智能和专家系统在电磁装置优化设计中的应用、边基有限元法等，这些都使得有限元方法的发展有了质的飞跃。 矩量法将连续方程离散化为代数方程组，既适用于求解微分方程，又适用于求解积分方程。他的求解过程简单，求解步骤统一，应用起来比较方便。然而 77他需要一定的数学技巧，如离散化的程度、基函数与权函数的选取，矩阵求解过程等。另外必须指出的是，矩量法可以达到所需要的精确度，解析部分简单，可计算量很大，即使用高速大容量计算机，计算任务也很繁重。矩量法在天线分析和电磁场散射问题中有比较广泛地应用，已成功用于天线和天线阵的辐射、散射问题、微带和有耗结构分析、非均匀地球上的传播及人体中电磁吸收等。 FDTD用有限差分式替代时域麦克斯韦旋度方程中的微分式，得到关于场分量的有限差分式，针对不同的研究对象，可在不同的坐标系中建模，因而具有这几个优点，容易对复杂媒体建模，通过一次时域分析计算，借助傅里叶变换可以得到整个同带范围内的频率响应；能够实时在现场的空间分布，精确模拟各种辐射体和散射体的辐射特性和散射特性；计算时间短。但是FDTD分析方法由于受到计算机存储容量的限制，其网格空间不能无限制的增加，造成FDTD方法不能适用于较大尺寸，也不能适用于细薄结构的媒质。因为这种细薄结构的最小尺寸比FDTD网格尺寸小很多，若用网格拟和这类细薄结构只能减小网格尺寸，而这必然导致计算机存储容量的加大。因此需要将FDTD与其他技术相结合，目前这种技术正蓬勃发展，如时域积分方程／FDTD方法，FDTD／MOM等。FDTD的应用范围也很广阔，诸如手持机辐射、天线、不同建筑物结构室内的电磁干扰特性研究、微带线等〔7〕。 复射线技术具有物理模型简单、数学处理方便、计算效率高等特点，在复杂目标散射特性分析等应用领域中有重要的研究价值。典型的处理方式是首先将入射平面波离散化为一组波束指向平行的复源点场，通过特定目标情形下的射线追踪、场强计算和叠加各射线场的贡献，可以得到特定观察位置处散射场的高频渐进解。目前已运用复射线分析方法对飞行器天线和天线罩（雷达舱）、（加吸波涂层）翼身结合部和进气道以及涂层的金属平板、角形反射器等典型目标散射特性进行了成功的分析。尽管复射线技术的计算误差可以通过参数调整得到控制，但其本身是一种高频近似计算方法，由于入射波场的离散和只引入鞍点贡献，带来了不可避免的计算误差。总的来说复射线方法在目标电磁散射领域还是具有独特的优势，尤其是对复 杂目标的处理。 5 结 语 电磁学的数值计算方法远远不止以上所举，还有边界元素法、格林函数法等，在具体问题中，应该采用不同的方法，而不应拘泥于这些方法，还可以把这些方法加以综合应用，以达到最佳效果。 电磁学的数值计算是一门计算的艺术，他横跨了多个学科，是数学理论、电磁理论和计算机的有机结合。原则上讲，从直流到光的宽频带范围都属于他的研究范围。为了跟上世界科技发展的需要，应大力进行电磁场的并行计算方法的研究，不断拓广他的应用领域，如生物电磁学、复杂媒质中的电磁正问题和逆问题、医学应用、微波遥感应用、非线性电磁学中的混沌与分叉、微电子学和纳米电子学等。 参考文献 〔1〕 文舸一．计算电磁学的进展与展望〔J〕．电子学报，1995，23（10）：62-69. 〔2〕 刘圣民．电磁场的数值方法〔M〕．武汉：华中理工大学出版社，1991． 〔3〕 张成，郑宏兴．小波矩量法求解电磁场积分方程〔J〕．宁夏大学学报（自然科学版），2000，21（1）：76-79. 〔4〕 王长清．时域有限差分(FD-TD)法〔J〕．微波学报,1989,(4):8-18. 〔5〕 阮颖诤．复射线理论及其应用〔M〕．成都：电子工业出版社，1991． 〔6〕 方静，汪文秉．有限元法和矩量法结合分析背腔天线的辐射特性〔J〕．微波学报，2000，16(2):139-143. 〔7〕 杨永侠，王翠玲．电磁场的FDTD分析方法〔J〕．现代电子技术,2001,(11):73-74. 〔8〕 洪伟．计算电磁学研究进展〔J〕．东南大学学RB （自然科学版），2002，32（3）：335-339. 〔9〕 王长清，祝西里．电磁场计算中的时域有限差分法〔M〕．北京：北京大学出版社，1994． 〔10〕 楼仁海，符果行，袁敬闳．电磁理论〔M〕．成都：电子科技大学出版社，1996．

实腹式拱桥在结构重力(不计弹性压缩影响)作用下，只有悬链线拱的压力线可以与拱轴线相重合。无铰拱在恒载作用下的内力包括不考虑弹性压缩的恒载内力和弹性压缩引起的内力，则恒载下的合理拱轴线可通过这两项内力中的弯矩和为零确定，但注意到这个式子（见桥工书拱桥恒载内力计算公式）是无法求解出拱轴线方程的。其实本质是因为，在超静定拱中的内力计算与拱的变形有关，而拱的变形与拱轴方程又有关，所以在未确定拱轴线方程前不能确定截面上的弯矩，也就不能通过令弯矩为零求出拱轴方程了。一般超静定拱求合理拱轴线都是通过先假设再计算压力线，再以压力线为新的拱轴线进行计算直到截面弯矩足够小。而初步设计时，可以先假设三角拱为拱轴线。五点重合法：五点重合法是用来找“空腹式”拱桥拱轴线的。而空腹式拱桥拱圈上有拱上立柱集中力作用，有集中力作用，其真实的恒载压力线是有突变的曲线，我们拱圈不可能设计成凹凸不平的样子吧。我们设计空腹式无铰拱时调整拱轴线形状，让它的拱轴线去靠近对应的三铰拱的压力线，这样最终的无铰拱拱轴线与该无铰拱恒载压力线产生的偏差对截面受力有利。

外表上看，悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到与达·芬奇的时代时隔170年后，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。雅各布与这道题持续搏斗了整整一年，还是没有结果。最终雅各布的弟弟约翰·伯努利仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间成功地解出了这道难题。法国著名昆虫学家法布尔在其《昆虫记》一书中有一段文字这样讲：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了。当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线。这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状；这就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的那条线条，这就是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线。”法布尔（J. H. Fabre, 1823-915）的《昆虫记》“在一个浓雾弥漫的清晨，让我们检视一下夜间刚刚织好的蜘蛛网吧。粘性的蜘蛛丝，负著水滴的重量，弯曲成一条条悬链线，水滴随著曲线的弯曲排成精致的念珠，整整齐齐，晶莹剔透。当阳光穿过雾气，整张带著念珠的网映出彩虹般的亮光，就像一丛灿烂的宝石。”带水滴的蜘蛛网可见，大自然中处处可见悬链线，并且从中透露着醉人的自然之美。科学家们发现，在诸多形式的悬链线中有一种“等强度悬链线”可以保持结构在不同位置受力一致。那么，它施加到光上的“力”是否也一致呢？在这种奇特的力学特性启发下，中国科学院光电技术研究所团队用粒子束在厚度仅百纳米的平面金属薄膜表面，刻下纳米尺寸的“亚波长悬链线”连续结构，并证实了刻有这种悬链线“花瓣”的金属膜，在光束照射后，可产生稳定可控的折射、反射等光学现象。等强度悬链线模型在国家973项目“波的衍射极限关键科学问题”课题支持下，光电所微细加工光学技术国家重点实验室在国际上首次研究证实：利用光子的自旋角动量和轨道角动量相互作用的物理原理，“悬链线”可以对光产生稳定、可控的“扳手”作用。就是说用“悬链线”结构制造的光学器件，可不借助任何凹凸透镜，仅在“二维”平面上便可实现光的折射、反射，甚至让光旋转成任意姿态。悬链线光学—完美轨道角动量传统光学元件其厚度远大于波长，这就是为何天文望远镜、相机镜头需要不同大小的镜头组。但悬链线光学器件，可通过操作纳米级超薄结构的平移、缩放、旋转等，实现光的相位变化，其厚度远小于波长。未来基于悬链线构建的新型光学元器件，具有轻薄的特点，可广泛应用于飞行器、卫星等空间科学探测领域，手机、相机镜头等成像领域，有望成为下一代集成光子学的核心。

悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)。悬链线 (Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状。例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。发展从外表上看，悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题。解决问题与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。

指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。解决问题：与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。

悬链线 (Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。标准方程编辑定义右开口抛物线：左开口抛物线：上开口抛物线：下开口抛物线：

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

这里主要介绍一下二阶非齐次微分方程特解的设法(非齐次为多项式形式的)请见下图

抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线. 抛物线不可以说成是一条弧.因为抛物线的线长是无限的.而弧是一个有限的量. 因为弧的概念是：圆周或曲线上任意的一段. 悬链线：是一种曲线,它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数,其公式为： y = a*cosh(x/a) 其中 a 是一个常数. 这个悬链线高中以前似乎都没有要求的.如果LZ是高中生或还要小.就没必要知道了

首先建立坐标系（两绳连线为X轴）然后看看绳的曲线是不是特殊的 ，如直线 抛物线等 若是特殊的就取几点求出方程，再验证若不是特殊的（不规则的）就分段求

其中 a是常数。 如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，AB段绳子的质量为m,显然B点受力平衡，进行受力分析有： ……（1）m=σs ，其中s是右段AB绳子的长度，σ是绳子线密度，即单位长度绳子的质量。代入得微分方程 ……（2）再利用勾股定理得到： ……（3）将（3）式代入（2）式得： ……（4）不妨做一次变量替换，令： ，得到如下方程： 为了将积分符号去掉，对上式两边对x求导：接下来变量分离并两端进行积分：由于 ，所以上面的积分的解为： ……（5）（注意，指数-1表示的是反函数，而不是倒数。）下面确定C的值。显然，当x=0时，y"=0，即p=0，所以将该初值条件代入我们得到的解，因为 ,解得C=0.下面给出反双曲正弦的图像以加强直观认识。然后利用反函数的性质，在（5）式的两边取双曲正弦：对上式变量分析并积分：于是得到最终的解：上式中的C一般保留，它会随着坐标系选择的不同而取不同的值。

这里主要介绍一下二阶非齐次微分方程特解的设法(非齐次为多项式形式的)请见下图

y""=e^x，积分：，y"=∫ e^x dx，y"=e^x+C，积分：y=∫ (e^x+C)dx，y=e^x+Cx+K,C和K为任意常数。微分方程来源及发展微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y"=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。以上内容参考：百度百科-微分方程

　　正态分布没有微分方程,你要问的是概率密度函数吧?正态分布的概率密度函数为：f(x)=1/(√(2π)*σ)e^[-(x-μ）＾2/(2σ^2)](－∞＜x＜＋∞,σ＞0）其分布函数是：F(x)=∫(－∞,x]f(x)dx 其图像关于x=μ对称的钟形。　　大致与微积分同时产生。事实上，求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。

常微分方程和偏微分方程的总称。大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题

二阶微分方程 要知道什么是二阶微分方程首先要了解的是什么是微分方程。 微分方程大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。而如果在该方程中y连续求两次导数的话就是二阶微分方程。 I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布u2022贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

只能是C2x-cosx是对应的齐次微分方程的解，原方程的通解为C(2x-cosx)+cosx

要型美义美，

含有未知函数的导数，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4都是微分方程。一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。定义式：f(x,y",y"",……y(n))=0。微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=?(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。大致与微积分同时产生。事实上，求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程。而在中国，《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？。”之后的丢番图（古代希腊数学家），欧几里德（古代希腊数学家），赵爽，张遂，杨辉对一元二次方程的贡献更大贝祖（Bezout Etienne 1730.3.31~1783.9.27）法国数学家。少年时酷爱数学，主要从事方程论研究。他是最先认识到行列式价值的数学家之一。最早证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。他在其第一篇论文《几种类型的方程》中用消元法将只含一个未知数的n次方程问题与解联立方程组问题联系起来，提供了某些n次方程的解法。他还用消元法解次数高于1的两个二元方程，并证明了关于方程次数的贝祖定理。1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。 十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。 十一世纪，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》。 十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。 十一世纪中叶，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。 1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。 1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。 1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。 1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。 1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。 1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。 1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。 十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘。 1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。 1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。 1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。 1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。 1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。 1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。 1614年，英国的耐普尔制定了对数。 1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。 1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。 1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。 1638年，意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。 1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。 1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。 1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。 1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。 1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。 1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。 1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。 1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。 1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。 1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。 1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。 1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。 1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。 1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。 1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。 1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。 1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。 1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。 1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。 1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。 1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。 1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。 1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。 1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。 1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。 1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。 1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。 1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。 1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。 1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。 1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。 1794年，德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。 1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。 1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。 1799年，德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。 微分方程:大致与微积分同时产生 。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布u2022贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。