费马定理是什么？

费马帕斯卡定理，又称费马小定理，是由德国数学家菲利普·马尔科夫·费马于 1796 年提出的。它是有关整数的重要定理，说明了在正整数和素数之间存在着特殊的关系。如果某个正整数是一个素数的幂次，那么它将和其他正整数形成一种特殊的等式关系。费马帕斯卡定理有很多重要的应用，其中最重要的是费马平凡性定理。这个定理指出，任何一个满足高等数学中的特殊形式的方程，都可以使用费马小定理来求解。费马帕斯卡定理在研究素数性质及其产生方式上也有重要的应用。费马帕斯卡定理的本质是：对于给定的正整数 n，如果它是一个素数的幂次，那么它满足下列等式: a^n=a（mod n）其中a是整数，n是正整数，且a与n互素。费马帕斯卡定理的证明分为两步：首先，证明一个正整数n是一个素数的幂次，那么它就满足上面的等式；其次，证明一个正整数n满足上面的等式，那么它就是一个素数的幂次。费马帕斯卡定理的应用极其广泛，它被广泛应用于加密学数论、公共交通计算、素数分解等领域，并且在数学及应用数学中也有着重要的意义。

1、费马小定理(Fermats little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 2、皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求，但是这个要求实际上是不必要的。

费马小定理是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。

费尔马小定理即费马小定理。费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。具体请见http://baike.baidu.com/link?url=l1BJbo5SZBVOgbzh-cOef5daUIPR6_nNucgr5hVlTBVBS02q8mLSahOhKsTEV2H1Lbp4htqh2UquUi800w9Cxa

费马小定理：如果p是一个素数，而a是任何不能被p整除的整数，那么p能除a - 1。这个由皮埃尔·德·费马在1640年发现的数字性质，本质上是说，取任意素数p和任意不能被该素数整除的数a，假设p = 7, a = 20。通过费马小定理，我们发现：费马小定理通常用来检验一个数是否是素数，是素数的必要非充分条件。然而满足费马小定理检验的数未必是素数，这种合数叫做卡迈克尔数（Carmichael Number），最小的卡迈克尔数是561【A002997】

分类: 教育/科学 >> 科学技术 问题描述: upload.wikimedia/ *** /zh/a/a0/CapitalSigma_L.gif 解析: 费马 费马（Pierre de Fermat，公元1601年—公元1665年）是十七世纪最伟大的数学家之一。 他对数学的贡献是多方面的，包括了微分学的概念，解析几何（他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何，不过他是第一位把它应用到三维空间的人）和数论。尤其在数论方面，最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"s Last Theorem），但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"s Little Theorem，加上“小”是用来分别费马大定理的），以及费马二平方数定理（Fermat"s Two Squares Theorem），无限下降法和费马数等等，实在是多不胜数。费马大定理 ，即：不可能有满足 xn＋yn＝zn ，n ＞2的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丢番图《算术》（ 拉丁文译本，1621）第 2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 费马小定理是数论中的一个定理。定理:(费马小定理) 当p是素数时,对于任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p)。 费马最后定理 当整数 n > 2 时, 方程 x n + y n = z n 无正整数解. 勾股定理及勾股数组 勾股定理 在 ABC 中,若 C 为直角,则 a2 + b2 = c2. 留意:32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5),(5 , 12 , 13) … 等等为方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整数解. 我们称以上的整数解为「勾股数组」.

在数论方面，最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"s Last Theorem），但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"s Little Theorem，加上“小”是用来分别费马大定理的），以及费马二平方数定理（Fermat"s Two Squares Theorem），无限下降法和费马数等等，实在是多不胜数。 费马大定理 ，即：不可能有满足 xn＋yn＝zn ，n ＞2的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丢番图《算术》（ 拉丁文译本，1621）第 2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 费马小定理是数论中的一个定理。定理:(费马小定理) 当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p)。 费马最后定理 当整数 n > 2 时, 方程 x n + y n = z n 无正整数解. 勾股定理及勾股数组 勾股定理 在 ABC 中,若 C 为直角,则 a2 + b2 = c2. 留意:32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5),(5 , 12 , 13) … 等等为方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整数解. 我们称以上的整数解为「勾股数组」.

费马定理有无数个，我举几个例子：物理中的费马定理：光总是走时间最短的路径。数学中的费马小定理：在一个有限群G中，a^{Card(G)}=a。例子：a^n=a模n。三角形里的费马点：一个三角形里使得到三个顶点距离之和最短的点P。在三角形的角都小于120度时，这个点唯一并且满足角APB=角BPC=角CPA=120度。费马大定理，又名费马最后定理，又名Fermat-Wiles定理（由Wiles证处故得名）：对于任何的大于等于3的正整数n，任何的正整数a，b，c都有a^n+b^n不等于c^n。

费马小定理是数论中的一个定理,其内容为:假如a是一个整数，p是一个质数的话，那么 <math>a^p equiv a p mod</math>假如a不是p的倍数的话，那么这个定理也可以写成 <math>a^ equiv 1 p mod</math> 。（符号的应用请参见模运算） 皮埃尔u2022德u2022费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。与费马无关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当当2p=2(mod p)，p才是一个质数。 假如p是一个质数的话，则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。但反过来，假如2p = 2(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。因此整个来说这个猜想是错误的。一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。关于费马定理证明 假如a 差不能被p整除的话 ， 那么假如x>0和x和p的最 大 公约数为1的话(a,p互素) ， 则xu2022a与xu2022a 的差也不能被n整除(也就是说x.a,x.a,.....(p-1).a 不是模n同余的)。取A为所有小于p 的整数的集（A中的数都不能被p整除），B为A中所有元素除以a所获得的数集。任何两个A 的元素的差都不能被p整除而又有相同的余数，由此任何两个B中的元素的差也无法被p整除。由此 可得 而试图在p-1个元素里取p-1个不同的元素，则必定是相同的则A集合中元素的乘积，和B集合中元素的乘积一定是模p同余的即 1.a ×2.a x×3.a......(p-1).a=1×2×3×4......×（p-1)(mod p)(p-1)!=ap-1(p-1)!(mod p)在这里W=1u20222u20223u2022...u2022(p-1)。(威尔逊定理）由于gcd((p-1),p)=1,两边同除以(p-1)!,即可得到费马小定理

费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。1637年，法国业余大数学家费尔马（PierredeFremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：ab=c是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。

乘法逆元的计算方法如下:1、费马小定理由费马小定理ap-1≡1，变形得 a*ap-2≡1(mod p)，答案已经很明显了：若a,p互质,因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p)，则x=ap-2(mod p)，用快速幂可快速求之。2、扩展欧几里得我们都知道模就是余数，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2。（/是程序运算中的除）那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1。把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。乘法逆元的定义：若存在正整数a,b,p, 满足ab = 1(mod p), 则称a 是b 的乘法逆元, 或称b 是a 的乘法逆元。

(a , p) = 1 说明 a 和 p 的最大公约数是 1也就是说 a 和 p 互质

费马小定理是数论中的一个定理.其内容为假如a是一个整数,p是一个质数的话,且a、p互素则a^p≡1(mod p)注意是a的p次方,不是a*p

费马费马（PierredeFermat,公元1601年—公元1665年）是十七世纪最伟大的数学家之一.他对数学的贡献是多方面的,包括了微分学的概念,解析几何（他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何,不过他是第一位把它应用到三维空间的人）和数论.尤其在数论方面,最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"sLastTheorem）,但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"sLittleTheorem,加上“小”是用来分别费马大定理的）,以及费马二平方数定理（Fermat"sTwoSquaresTheorem）,无限下降法和费马数等等,实在是多不胜数.费马大定理,即：不可能有满足xn＋yn＝zn,n＞2的正整数x、y、z、n存在.这命题他写在丢番图《算术》（拉丁文译本,1621）第2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的.费马小定理是数论中的一个定理.定理:(费马小定理)当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式ap-1≡1(modp).费马最后定理当整数n>2时,方程xn+yn=zn无正整数解.勾股定理及勾股数组勾股定理在ABC中,若C为直角,则a2+b2=c2.留意:32+42=52;52+122=132;82+152=172;72+242=252;……等等即(3,4,5),(5,12,13)…等等为方程x2+y2=z2的正整数解.我们称以上的整数解为「勾股数组」.

费尔马定律和费马定理指的是同一个费尔马大定理： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。 该定理已于1994年9月20日上午11时被彻底圆满证明。

2^5432675=(2^12)^452722*(2^11) 由费马小定理知2^12 mod 13为1,则(2^12)^452722 mod 13为1 2^12 和14 mod 13 同余,则2^11和7 mod 13 同余,说明2^11 mod 13为7 则2^5432675 mod 13为1*7=7. 前面那朋友的作法也对,不过好像不是用的费马小定理.

只考虑n是奇数即可。设p是n的最小素数因子。若n|(2^n -1)，则p|(2^n -1)，又根据费马小定理，p|(2^(p-1) -1)，设h是满足p|(2^h -1)的最小正整数，即阶数，则根据以上两个整除结论，由初等数论定理：h|n且h|(p-1)，于是h|(n, p-1)，（即最大公约数）但p是n的最小素因子，所以(n, p-1)=1，于是只能h=1，从而p=1，矛盾！证毕！

关于费马小定理数论的证明：mod的简单介绍 (Congruence) a=b(mod m) a和b除以m以后有相同的余数不失一般性地另a>b 则a=km+b比如7=1 mod 2 9=4 mod 5 简单的Congruence 计算 如果a=b mod m c=d mod m 则a=km+b c=tm+d直接可推出 a+b=c+d (mod m) a-b=c-d (mod m) ab=cd (mod m)并且可得存在正整数c 使得ac=bc (mod mc) 当然ac=bc(mod m)费马小定理 如果a,p互质 且q是质数 则a^(p-1)=1 (mod p) 考虑数列An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a假设An中有2项ma, na 被p除以后的余数是相同的.那么必然有ma=na (mod p)即a(m-n)=0(mod p) 由于a和p互质,所以m-n=0(mod p) 但是m,n属于集合{1,2,3..p-1}且m不等于n,所以m-n不可能是p的倍数.和假设产生矛盾 所以An中任意2项被p除得到的余数都是不同的, 并且对于任一个整数被p除以后的余数最多有p-1个,分别是1,2,3,….p-1 而数列An中恰好有p-1个数,所以数列中的数被p除以后的余数一定正好包含所有的1,2,3,4,5…. p-1 由此我们可以用Congruence的乘法性质,a*2a*3a*…(p-1)a=1*2*3*4..*(p-1) (mod p)对两边进行化简,即可以得到a^(p-1)=1 (mod p)Euler"s Totient function定义o(n)是所有比n小且和n互质的数的总数(包括1) 例如o(5)=4 o(10)=8我们发现引入这个以后费马小定理可以改写为a^o(p)=1 (mod p)事实上,这个结论对所有的正整数n都成立 即a^o(n)=1 (mod n)证明过程其实和前面的证明类同.只需考虑数列An=b1*a,b2*a,b3*a…bo(n)*a其中数列b1,b2…bo(n) 表示比n小且和n互质的数.其余证明皆相似掌握了a^o(n)=1 (mod n)以后,最后一个问题就是如何计算o(n)显然n是质数时 o(n)=n-1 n=p^k, p为质数,k为非负整数时 o(n)=p^k-p^(k-1)因为只有p,2p,3p..p^(k-1)p这些和p^k有共因数.这里面共有p^(k-1)个数所以o(p^k)=p^k-p^(k-1)最后证明o(mn)=o(m)*o(n)当m,n互质时考虑数列Am A1,A2,A3…Ao(m) 数列Bn B1,B2,B3…Bo(n)因为m,n互质所以我们总能找到c,d使得cm=1 (mod n) dn=1 (mod m)考虑Emn=Am*dn+Bn*cm 这里 显然cm能被m 整除, 所以Emn=Am*dn(mod m)=Am (mod m)所以Emn和m互质 同样可以证明Emn和n互质所以Emn和mn也互质而对于Emn<mn 我们可以理解Emn是比mn小且和mn互质的整数如果Emn>mn 我们可以通过减去k倍的mn(不影响其性质),同样得到比mn小和mn互质的整数 并且如果Am, Bn变换时Emn也会变换 而Am,Bn总共变化可以有o(m)*o(n)种所以o(mn)=o(m)o(n)

这里用到费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p) 2730=2*3*5*7*13n^13-n = n(n-1)(n+1)(n^4 + n^2+1)(n^6 + 1) 而n(n-1)(n+1)可以被6整除，故原式可以被2*3整除。 n^13-n = n(n^4 - 1)(n^8 + n^4 + 1) 由费马小定理知，(n^4 - 1)可以被5整除，故原式可以被5整除。 n^13-n = n(n^6 - 1)(n^6 + 1) 由费马小定理知，(n^6 - 1)可以被7整除，故原式可以被7整除。 n^13-n = n(n^12 - 1) 由费马小定理知，(n^12 - 1)可以被13整除，故原式可以被13整除。 所以，原式可以被2*3*5*7*13=2730整除。

费马小定理可以看做是Euler定理的一个推论,Euler定理中的n不要求是素数,而x的指数是φ(n).费马定理中n换成了素数p,而φ(p)=p-1,所以,就这样了. 不是素数当然不行.随便举个例子试试呗.

2^5432675=(2^12)^452722*(2^11)由费马小定理知2^12 mod 13为1，则(2^12)^452722 mod 13为12^12 和14 mod 13 同余，则2^11和7 mod 13 同余，说明2^11 mod 13为7则2^5432675 mod 13为1*7=7。 前面那朋友的作法也对，不过好像不是用的费马小定理。

定义： , ,若 ,则称a与b模m同余,记作 ,否则称a与b模m不同余,记作 利用同余,可在整数集合Z上诱导出一个关系 ,称为模m同余关系 定理： ,则模m同余关系是等价关系,即 (1) ,有 (2) (3) 注： 1.模m同余关系的商集记作 2.任一整数a所在的同余类记作 ,也称为同余类或剩余类 3.任一整数a用m除所得的余数只能为 中的一个, 为模m的完全剩余类,其中 为那些除m所得的余数为i的所有整数构成的集合 定理： , ,则 1.若 ,则2. 3. 4.若 ,d为a,b,m的任一公因数,则5.若 ,则6. 7. 证明： 3. 定义： , ,若其中任意两个数均不在模m的同一个剩余类中,则称 为模m的一个完全剩余系 若 中有某个数与m互素,则 中所有的数与m均互素,此时称 为与模m互素的一个剩余类,因而有 个与模m互素的剩余类,在与模m互素的每个剩余类中取一个数,得到 个与模m互素的数,它们组成的集合称为模m的一个缩系 定理：若 ,则 为模m的一个缩系 且 ,有 定理：若 ,且 ,则当x与y分别跑遍模m的一个完全剩余系时, 恰好跑遍模mn的一个完全剩余系 证明：定理：若 且 ,则当 分别跑遍模m,n的一个缩系时, 恰好跑遍模mn的一个缩系, 证明：推论：设 ,则定理：设 , ,则 证明：在实际应用中经常要计算 模m的值,利用欧拉定理,先计算 ,其中 ,即 ,即 ,从而简化运算 推论：若p为素数, ,则 证明：

(1)费马小定理设 是素数, 是与 互素的任一整数,则 . 费马小定理有一个变异的形式,这有时更为适用: 对任意整数 有 (在 时,两个命题等价;当 时后者显然成立.) 用归纳法不难给出费马小定理的一个证明:易知,我们只需对 证明命题. (2)欧拉定理设 为整数, 是与 互素的任一整数, 为欧拉函数,则 . 注1 当 为素数时,由于 注2 若已知 的标准分解 ,则欧拉函数 由下面公式确定: (3)中国剩余定理设 是 个两两互素的正整数, , , 为任意整数,则同余式组 有唯一解 ,其中 为满足 任意整数 .

费马小定理是数论中的一个定理.其内容为假如a是一个整数,p是一个质数的话,且a、p互素则a^p≡1(modp)注意是a的p次方,不是a*p

题主是否想询问“费马大定理什么时候学”？八年级下学期。根据查询相关课本内容显示，费马大定理八年级下学期学。1994年10月，美国普林斯顿大学数学教授安德鲁·怀尔斯，终于圆了童年的梦想，证明了费马大定理。

n^9-n^3=n^3(n^6-1)＝n^3(n^3-1)(n^3+1), 是3个连续的数相乘。显然是2的倍数显然是3的倍数针对n除以7的余数0~6分析，n^3除以7的可能余数有：0 1 -1，代入n^3(n^3-1)(n^3+1),验证，都是7的倍数。所以原数同时是2 3 7的倍数，即42的倍数。

费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。 1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a+b=c是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。 历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。 历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。1994年9月19日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。离截止期10年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3），美国国家科学家院奖（1996.6），费尔兹特别奖（1998.8）。

初等数论四大定理分别是：威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)百度百科链接：http://baike.baidu.com/view/104247.htm 欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)百度百科链接：http://baike.baidu.com/view/48903.htm剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,mn，则对任意的整数a1,a2,…,an，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,mn有公解：x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)……x≡an(mod mn)百度百科链接：http://baike.baidu.com/view/157384.htm 费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)百度百科链接：http://baike.baidu.com/view/263807.htm 希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

2^5432675=(2^12)^452722*(2^11) 由费马小定理知2^12 mod 13为1,则(2^12)^452722 mod 13为1 2^12 和14 mod 13 同余,则2^11和7 mod 13 同余,说明2^11 mod 13为7 则2^5432675 mod 13为1*7=7. 前面那朋友的作法也对,不过好像不是用的费马小定理.

Fermat-欧拉定理a^f(n)=1 (modn)n=15=3*5 (没有必要15是素数, 3和5是素数 )f(15)=15(1-1/3)(1-1/5) =81025=127*8 93^1025=3^(8*127 9)=((3^8)^127 )*3^9 3^1025 mod15=((3^8)^127 )*3^9 mod15=1^127 *3^9 mod15=3^9 mod15=19683 mod15=33^1025 mod15=3

卡迈克尔数的科学价值：提高测试的准确性。对于合数n，如果对于所有与n互质的正整数b，都有同余式b^(n-1)≡ 1 (mod n)成立，则称合数n为Carmichael数。 2016年物流工人余建春带着自己的五项数学发现登上了浙江大学数学系的讲台，与教授和博士生们同堂论道，最具价值的发现是一组“卡迈克尔数”的判别准则。定理介绍每个Carmichael至少是三个不同素数的乘积。如561=3*11*17。费马小定理(Fermat theorem)：设p为一素数，对于任意整数a，有a(p-1)≡ 1 (mod p)。假如p是质数，且gcd(a，p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

一定要采纳，找的我很辛苦！！！！！！！！！！！！！！费马大定理：方程xm+ym=zm，其中x、y、z、m不等于0，且均为整数，m≥3，则方程没有整数解。解：下面讨论xyz均为正整数，且幂指数为2n+1时的情况。（1）根据二项式定理则有：（x+y）2n+1=x2n+1+ y 2n+1+C2n+12n x2n y+ C2n+12n-1 x2n-1 y2 +。。。。。。+ C2n+12 x2 y2n-1+ C2n+11 x y2n= x2n+1+ y 2n+1+（C2n+12n x2n y+ C2n+11 x y2n）+(C2n+12n-1x2n-1y2+C2n+11 x y2n)+……(C2n+1n+1 xn+1 y n+C2n+1n xny n+1)（注：括号共有n对，含2n项，还有组合Ca2n+1无论a为取限定范围内的什么数值，组合数中均是2n+1（后注：前提是2n+1为素数）的自然数倍。）根据上式，括号内提取公因式后，括号内还剩x2n－1+ y 2n－1，x2n－3+ y2n－3 ，x2n－5+ y 2n－5，。。。。。x+y。接下来，再把x2n－1+ y 2n－1，x2n－3+ y 2n－3。。。。等按上面方法化解，可以得出这些项式均是x+y的倍数。举例如33＋53＝27＋125＝152，152/（3+5）=19.上面化解方法比较费力,我们可以反证法证明.设x2m－1+ y 2m－1（0＜2m-1＜2n-1）且在x2n－1+ y 2n－1 ，x2n－3+ y2n－3。。。。。等项式中是最小的幂指数不是x+y的倍数。那么它以下的如x2m－3+ y 2m－3等皆是x+y的倍数，根据上面方法把x2m－1+ y 2m－1展开后,根据假设推出的结果，得出x2m－1+ y 2m－1为x+y的倍数的结论.由此反证出‘x2m－1+ y 2m－1（0＜2m-1＜2n-1）不是x+y的倍数"这一假设与结论相逆，故假设不成立，即x2m－1+ y 2m－1亦是x+y的倍数。（注：这里省略了x1+y1，x3+y3的证明，因为这两数是基础数，故必须要证明，不然上述反证法是不完备的。）所以我们可以得出x2n+1+ y 2n+1亦是x+y的倍数。根据上面，可以得到两个结论：结论一：两个整数xy，则有x2n-1+y2n-1（n属于自然数）是x+y的整数倍，且x≠ -y时，此整数倍也不为0。结论二：两个整数xy，则有x4n-2-y4n-2（n属于自然数）是（x+y）（x-y）的整数倍，且x≠y时，此整数倍也不为0.（注：这里不限制x，y是正整数还是负整数。）（注：结论一二可以推出费马小定理来：若b为素数，ab互质，则ab-a必为b整除；方法很简便：即把a拆分两个数（a-1）和1，然后根据上述结论展开，刨去b的倍数项，同时1也可以通过加减号约去。就这样一直拆分下去，知道最后得到1b-1=0。这样整个过程中我们只是刨去b的倍数和约去1。而约去的1又不影响式子。故费马小定理得证，但是这里需要注意的是b与Cbn是有关系的，如果b为素数，则Cbn无论n在取值范围内取何值肯定能被b整除；而b为合数时，则不能。读者自己可以参看杨辉三角。）（同时笔者猜测费马当时肯定发现了这两个结论，但是其肯定没想到，即使发现这两个结论，费马大定理也不是很容易证明的，所以笔者一直怀疑费马是否真的证明了费马大定理。笔者是在八年前发现这两个结论,当时证明了一下,后来不久就发现证明过程中有严重漏洞,直到2007年11月份后,笔者有了充足的时间,才重新花费了近半年的时间来重新证明.不过这半年来,笔者不但研究了此定理,而且还针对其他的数学问题进行了摸索,结果还算自我满意.）（弦外之音：关于勾股公式a2+b2=c2，0<a<b<c，abc属于自然数，且两两互素，则有：①a为奇数，有（c-a）/2必为完全平方数。②a为偶数，有（c-a）必为完全平方数。且把a换成b，亦可。（注：用这个结论或上面的结论二来证明费马大定理n=4时，很容易证明的。）另有：a2+b2=｛（a+b）2+（a-b）2｝/2，这个公式对于计算从a到b的连续数值的平方之和好用，比如32+52+72+92+112+132=｛（3+9）2+（9-3）2｝/2+｛（5+11）2+（11-5）2｝/2+｛（7+13）2+（13-7）2｝/2=（3+9）2/2+（5+11）2/2+（7+13）2/2+3*62/2或=｛（3+13）2+（13-3）2｝/2+｛（5+11）2+（11-5）2｝/2+｛（7+9）2+（9-7）2｝/2，蓝色字体的数值相同。由此可见，可以省下一半的计算步骤。若ab同为正整数，a>b，则有：a3+b3=｛（a+b）3+（a-b）3｝/4+（a-b）2*（2b+a）/23次幂的情况皆如此，但是如果推广到5、7次幂的情况下，就很复杂了，笔者怎么推广也没推广出来。这大概与组合数Cmn有关，3次幂比较有规律的。但是并不一定说5、7次幂除了二项式定理外，就不存在其他的关系式。其可能也有的，不过较复杂。）由假设x2n+1+y2n+1=z2n+1成立，可以推出z2n+1亦是x+y的倍数，即推出x+y与z有公因数。（但此公因数不能是1，因为是1的话，很容易证出假设不成立。同样-1的情况也使假设不成立。除了这两种情况以外，任何一个整数均可以。下面提到的各数间的公因数情况与此类似，均不能为+1，否则很容易证假设不成立。以后没有特殊提到，‘公因数"皆指大于1的整数，或绝对值不等于1的整数。）由上面方法可得出：z－y与x有公因数；z－x与y有公因数。设x+y－z＝k，k为不为0的整数（注：k为0的话，很容易证明方程无整数解。而k为1时，亦可易证方程无整数解，故这里只讨论k的绝对值大于1的情况。）则可推出：k与x有公因数，与y有公因数，与z有公因数，与x+y，与z－y与z－x有公因数，且经过演算还推出k 是(2n+1)的倍数。（注：k与这些数有公因数，但并不表示这些数之间一定也有公因数，如x+y与z－y之间根据下面的前提条件就没有公因数，但是如果是k、z－y、x，三者之间必有公因数。）下面讨论费马大定理一个最基本的情况假设：即x2n+1+y2n+1=z2n+1，其中xyz互质，且均为大于0的整数，n≥1，且2n＋1为素数。方程有正整数解。这个基本命题证明了，那么在整个整数范围内的，是可以推导出来的，故这里只证明这种最基本的情况。由（x+y－k）2n+1＝z2n+1，根据二项式定理和上面的方法（注：二项式定理（x+y）2n+1=x2n+1+ y 2n+1+C2n+12n x2n y+ C2n+12n-1 x2n-1 y2 +。。。。。。+ C2n+12 x2 y2n-1+ C2n+11 x y2n= x2n+1+ y 2n+1+（C2n+12n x2n y+ C2n+11 x y2n）+(C2n+12n-1x2n-1y2+C2n+11 x y2n)+……(C2n+1n+1 xn+1 y n+C2n+1n xny n+1)中，如y为负整数时亦成立，故有下面的式子）=>(x+y)2n+1-k2n+1-(2n+1)(x+y)k(x+y-k)D= z2n+1 (注:D为代指后面提取(2n+1)(x+y)k(x+y-k)后运算的式子，式子的结果为某整数) => k2n+1中含有(x+y)（注：因为z2n+1中亦含有x＋y）同理得出：k2n+1中含有(z-y)和（z-x）。注意的是这里k是小于xyz三种的任何一个数的，此易证。总结一下：如果假设成立，我们可以得到如下情况：1、 k与x、y、z分别有大于1的公因数，这些公因数间互质。2、 k与x+y、z-y、z-x分别有大于1的公因数，且x+y、z-y、z-x间互质，这些公因数间互质。3、 z与x+y、x与z-y、y与z-x分别有大于1的公因数，这些公因数间互质。4、 前面提到公因数如果是指最大公因数的话，那么上三条提到的最大公因数对应相等或相同。5、 z2n+1可以被x+y=z+k整除，x2n+1可以被z-y =x-k整除，y2n+1可以被z-x =y-k整除。6、 k2n+1可以被x+y=z+k整除，可以被z-y =x-k整除，可以被z-x =y-k整除。7、（z-k）2n+1可以被x+y=z+k整除；(x+k) 2n+1可以被x-k=z-y整除；(y+k) 2n+1可以被y-k=z-x整除（推导：[（z+k）-（z-k）] 2n+1=（z+k）2n+1-（z-k）2n+1-(2n+1)（z-k）（z+k）[（z+k）-（z-k）]F,因为[（z+k）-（z-k）] 2n+1=(2k)2n+1中含有(x+y=z+k),观察方程,很容易判断出（z-k）2n+1中亦含有(x+y=z+k)；[(x+k)-(x-k)] 2n+1=(2k) 2n+1 =(x+k) 2n+1- (x-k) 2n+1-(2n+1)（x-k）（x+k）[（x+k）-(x-k）] E,推得(x+k) 2n+1可以被x-k=z-y整除；同理y的方法亦如此。)8、 （z+k）2n+1可以被x+y=z+k整除；（x-k）2n+1可以被z-y=x-k整除；（y-k）2n+1可以被z-x=y-k整除。 首先明确一些问题：二项式定理（a+b）2n+1=a2n+1+ b2n+1+C2n+12n a2n b+ C2n+12n-1 a2n-1 b2 +。。。。。。+ C2n+12 a2 b2n-1+ C2n+11 a b2n= a2n+1+ b 2n+1+（C2n+12n a2n b+ C2n+11 a b2n）+(C2n+12n-1a2n-1b2+C2n+11 a b2n)+……(C2n+1n+1 an+1 b n+C2n+1n anb n+1)上式提取公因数后= a2n+1+ b 2n+1+（2n+1）ab（a+b）A(以下凡涉及到大写字母的情况,其大写字母类同于A,是提取公因数后一个代表.)其中A的展开式为：（a2n-1 + b2n-1）/（a+b）+ C2n+12ab（a2n-3+b2n-3）/（2n+1）（a+b） +C2n+13a2b2（a2n-5+b2n-5) /（2n+1）（a+b）+……+C2n+1n+2 an+1 b n+1（a3+b 3) /（2n+1）（a+b）+C2n+1n+1 an-1 b n-1/（2n+1）注意红字部分与蓝字部分的不同。下面就是用到红字部分来证明的。设x=x1+k，y=y1+k，z=z1+k，因为x与k有最大公因数r，故x1与k有最大公因数r；因为y与k有最大公因数s，故y1与k有最大公因数s；因为z与k有最大公因数t，故z1与k有最大公因数t。（以上皆易证）又因为x+y-z=k，故推得x1+y1=z1；z=y+x1=x+y1=x1+y1+k.故x2n+1+y2n+1=z2n+1=（y+x1）2n+1（注：由这个等式还可以推出：x2n+1-x12n+1中含有y，同理推得：y2n+1-y12n+1中含有x。）展开上面的式子x2n+1+y2n+1=y2n+1+x12n+1+（2n+1）yx1（y+x1）A推得：x2n+1=x12n+1+（2n+1）yx1（y+x1）A推得：（x1+k）2n+1=x12n+1+（2n+1）yx1（y+x1）A推得：x12n+1+k2n+1+（2n+1）x1 k（k+x1）B=x12n+1+（2n+1）yx1（y+x1）A推得：k2n+1+（2n+1）x1 k（k+x1）B=（2n+1）yx1（y+x1）A推得：k2n+1/（2n+1）x1+ k（k+x1）B=y（y+x1）A分析此等式：如果k2n+1/（2n+1）x1与x1还含有大于1的因数（设为a1）的话，显然推得A中还有a1。（注：这里y（y+x1）与x1互素，且考虑到了x、y、z的奇偶性，且这里我们可以容易推得k必须为偶数。以上结论易证故在此不做证明。）但我们展开A,发现除了（y2n+1+x12n+1）/（y+x1）这项外，其余的项皆含有x1,而这一项显然不可能含有x1或x1的一些大于1的因数。故推得y（y+x1）A不含有x1或x1的一些大于1的因数。也就是说k2n+1/（2n+1）x1与x1互素。根据上面的设，我们再设：k=a1r，x1=b1r，a1b1互素。我们可以推得k2n+1/（2n+1）x1= a12n+1r2n+1/（2n+1）b1r=某整数，进而推得r2n+1中含有b1r，r与b1有公因数。但是如果r2n+1/（2n+1）b1r≠1或r2n+1/br≠1的话，即r2n+1>（2n+1）b1r的话（注：小于的情况不可能存在，这也易证），则推得r2n+1/（2n+1）b1r与r还有大于1的公因数，进而又推到了前面那个‘如果"上了。所以我们最终推得r2n+1/（2n+1）b1r=1或r2n+1/b1r=1，即（2n+1）x1= r2n+1或x1= r2n+1。同理推得：（2n+1）y1= s2n+1或y1= s2n+1。备注:以上（2n+1）x1= r2n+1与（2n+1）y1= s2n+1这两种情况,皆可以用x2n+1可以被z-y =x-k整除，y2n+1可以被z-x =y-k整除,来排除,此易证.先假设y1=s2n+1，则有y1=z-x=s2n+1，x＝z－s2n+1。由x2n+1+y2n+1=z2n+1推得：（z-s2n+1）2n+1+y2n+1=z2n+1推得：-s2n+1-（2n+1）zs2n+1（z-s2n+1）A+y2n+1=0(备注:这里的正负号是关键,读者可以自己推导一下.如果笔者这里错误的话,那么下面的证明的结论也将错误,但是证明的思路无误.也就说第二个方框内的符号是加是减,皆不影响证明的最终结果,读者自己可以将其换成正号,然后按下面的思路推导一下,还是可以推出悖论的. 即k中必须含有z或是z的倍数)设y=bs，上式两边除以s2n+1后，推得：-1-（2n+1）z（z-s2n+1）A+b2n+1=0推得：b2n+1-1=（2n+1）z（z-s2n+1）A……①同理先假设: x1=r2n+1，则有x1=z-y=r2n+1,设x=ar,用上述方法推得:a2n+1-1=（2n+1）z（z-r2n+1）B……②由z2n+1=(x+y1)2n+1= x2n+1+y2n+1,推得: x2n+1+y12n+1+(2n+1)xy1 (x+y1)C= x2n+1+y2n+1推得: y12n+1+(2n+1)xy1 (x+y1)C= y2n+1上式两边均除以y1=s2n+1，推得: y12n+(2n+1)x (x+y1)C=b2n+1…….③同理:由z2n+1=(x1+y)2n+1= x2n+1+y2n+1推得: x12n+(2n+1)y(x1+y)D=a2n+1…….④①③联立合并推得: y12n+(2n+1)x (x+y1)C -1=（2n+1）z（z-s2n+1）A看上式: x+y1=z, z-s2n+1=x，所以推得：y12n -1中含有（2n+1）zx……⑤注意这里ab均为正整数同理②④联立推得：x12n -1中含有（2n+1）zy……⑥,也就是说⑤⑥中含有z,也就意味着含有t.如果我们依据上面的方法,把（2n+1）y1= s2n+1和（2n+1）x1= r2n+1代换进去的话,则发现:如果x1或y1是2n+1的倍数的话,⑤⑥两个式子根本不可能成立.当然:其实这个也可以用x2n+1可以被z-y整除来判断出x1=z-y≠r2n+1/(2n+1)。即先设x=ar与z-y=r2n+1/（2n+1）的最大公约数为r（注意：r中含有2n+1）,这样求出x2n+1/[r2n+1/(2n+1)]后,剩余的式子里还应该含有一个2n+1,进而推出r不是最大公约数.所以x1与y1只能是某整数的2n+1次幂.（注意这里2n+1是素数，所以才有这个结论的）（后注：这里还是证明出来吧：设x=ar，x1= r2n+1/（2n+1），两者之间最大公因数为r，且r中含有2n+1，a与r互质。x2n+1可以被x1=z-y整除，所以x2n+1/[r2n+1/(2n+1)]必然要等于一个数（这个数中含有2n+1）的2n+1次方，这样推得a2n+1中含有（2n+1）2n，因为2n+1是素数，故推得a中含有2n+1，又推得a与r不互质，悖论出现，故排除了x1= r2n+1/（2n+1）成立的可能性。）因为:y1=z-x,所以y12n -1=（z-x）2n-1中含有zx，推得：z2n-1中含有x……⑦x2n-1中含有z……⑧.同理:由x1=z-y推得: z2n-1中含有y……⑨;y2n-1中含有z……⑩.由z2n+1-z=z(z2n-1),依据⑦⑨和费马小定理推得: z2n+1-z中含有(2n+1)xyz……⑾由⑧⑩⑾和费马小定理及x+y-z=k得出: z2n+1-z= (x2n+1-x)+(y2n+1-y)+k推得:k中必须含有z或是z的倍数(注:画蓝线部分皆含有z).而我们又知道k必须小于z,（在题意要求下， k小于xyz三者间中的任何一个数，且四者均大于零，此易证。）所以悖论出现.进而我们可以逆推得假设错误,即费马大定理成立.（注意这里只是证明了费马大定理的核心部分：费马方程没有正整数解，如果扩大到非零整数解的范围的话，总的来说就是核心部分的加减号和正负号的变化，所以证明了核心部分，也就等于证明了费马大定理）

　　费马点发现者　　费马　　费马(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。”费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。 图卢兹　　费马点定义　　在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。　　编辑本段费马点的判定　　（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。 费马点的计算　　（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。　　编辑本段证明　　我们要如何证明费马点呢： 费马点证明图形　　(1)费马点对边的张角为120度。 △CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P 由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120度，∠APC=120度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度 又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短 在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。 平面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 （1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。 费马点　　（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。　　编辑本段费马点性质：　　费马点　　（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。 特殊三角形中： (2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合！！！

费尔马小定理即费马小定理. 费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为：假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p）.即：假如p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1.

洪殊明的费马小定理具体如下：费马小定理(Fermat"s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求，但是这个要求实际上是不必要的。当成立时，p是素数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而，这一假说的前设是错的：例如，341，而341= 11×31是一个伪素数。所有的伪素数都是此假说的反例。如上所述，中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。设m是一个整数且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系，则b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也构成模m的一个完全剩余系。

[编辑本段]费马小定理 费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）[编辑本段]费马小定理的历史 皮埃尔u2022德u2022费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p)，p是一个质数。 假如p是一个质数的话，则2^(p-1)≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。但反过来，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。因此整个来说这个猜想是错误的。一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。[编辑本段]费马小定理的证明 一、准备知识： 引理1．剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm) 证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m) 引理2．剩余系定理5 若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。 证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。令(1)：a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m)(顺序可以不同),因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}对m构成完全剩余系。 引理3．剩余系定理7 设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。 证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。 引理4．同余定理6 如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m) 证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bc(mod m) 二、证明过程： 构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2可知A中所有元素必然满足a≡1(mod p),2a≡2(modp),…(p-1)a≡p–1(mod p)。由引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp)[编辑本段]费马小定理在数论中的地位 费马小定理是数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理(数论中的欧拉定理，即欧拉函数)，中国剩余定理和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（见于词条“欧拉函数”）。[编辑本段]费马小定理的实际应用 如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。 对于中国猜测稍作改动，即得到判断一个数是否为质数的一个方法： 如果对于任意满足1 < b < p的b下式都成立： b^(p-1)≡1(mod p) 则p必定是一个质数。 实际上，没有必要测试所有的小于p的自然数，只要测试所有的小于p的质数就可以了。 这个算法的缺点是它非常慢，运算率高；但是它很适合在计算机上面运行程序进行验算一个数是否是质数。

费马定理有无数个，我举几个例子：物理中的费马定理：光总是走时间最短的路径。数学中的费马小定理：在一个有限群G中，a^{Card(G)}=a。例子：a^n=a模n。三角形里的费马点：一个三角形里使得到三个顶点距离之和最短的点P。在三角形的角都小于120度时，这个点唯一并且满足角APB=角BPC=角CPA=120度。费马大定理，又名费马最后定理，又名Fermat-Wiles定理（由Wiles证处故得名）：对于任何的大于等于3的正整数n，任何的正整数a，b，c都有a^n+b^n不等于c^n。希望能够帮到你，祝你学习愉快!!

在数论方面，最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"s Last Theorem），但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"s Little Theorem，加上“小”是用来分别费马大定理的），以及费马二平方数定理（Fermat"s Two Squares Theorem），无限下降法和费马数等等，实在是多不胜数。 费马大定理 ，即：不可能有满足 xn＋yn＝zn ，n ＞2的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丢番图《算术》（ 拉丁文译本，1621）第 2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 费马小定理是数论中的一个定理。定理:(费马小定理) 当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p)。 费马最后定理 当整数 n > 2 时, 方程 x n + y n = z n 无正整数解. 勾股定理及勾股数组 勾股定理 在 ABC 中,若 C 为直角,则 a2 + b2 = c2. 留意:32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5),(5 , 12 , 13) … 等等为方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整数解. 我们称以上的整数解为「勾股数组」.

费马定理有无数个,我举几个例子： 物理中的费马定理：光总是走时间最短的路径. 数学中的费马小定理：在一个有限群G中,a^{Card(G)}=a.例子：a^n=a模n. 三角形里的费马点：一个三角形里使得到三个顶点距离之和最短的点P.在三角形的角都小于120度时,这个点唯一并且满足角APB=角BPC=角CPA=120度. 费马大定理,又名费马最后定理,又名Fermat-Wiles定理（由Wiles证处故得名）：对于任何的大于等于3的正整数n,任何的正整数a,b,c都有a^n+b^n不等于c^n.

光学基础知识：光的反射、折射、衍射光的传播可以归结为三个实验定律：直线传播定律、反射定律和折射定律。【光的直线传播定律】：光在均匀介质中沿直线传播。在非均匀介质种光线将因折射而弯曲，这种现象经常发生在大气中，比如海市蜃楼现象，就是由于光线在密度不均匀的大气中折射而引起的。【费马定律】：当一束光线在真空或空气中传播时，由介质1投射到与介质2的分界面上时，在一般情况下将分解成两束光线：反射(reflection)光线和折射(refraction)光线。光线的反射光线的反射取决于物体的表面性质。如果物体表面(反射面)是均匀的，类似镜面一样(称为理想的反射面)，那么就是全反射，将遵循下列的反射定律，也称“镜面反射”。入射光线、反射光线和折射光线与界面法线在同一平面里，所形成的夹角分别称为入射角、反射角和折射角。【反射定律】：反射角等于入射角。i = i"对于理想的反射面而言，镜面表面亮度取决于视点，观察角度不同，表面亮度也不同。当反射面不均匀时，将发生漫反射。其特点是入射光线与反射光线不满足反射定律。一个理想的漫射面将入射光线在各个方向做均匀反射，其亮度与视点无关，是个常量。光线的折射一些透明/半透明物体允许光线全部/部分地穿透它们，这种光线称为透射光线。当光线从一种介质(比如空气)以某个角度(垂直情形除外)入射到另外一种具有不同光学性质的介质(比如玻璃镜片)中时，其界面方向会改变，就是会产生光线的折射现象。光的折射是由于光在不同介质的传播速度不同而引起的。光线折射满足下列折射定律：入射角的正弦与折射角的正弦之比与两个角度无关，仅取决于两种不同介质的性质和光的波长，【折射定律】：n1 sin i = n2 sin r任何介质相对于真空的折射率，称为该介质的绝对折射率，简称折射率(Index of refraction)。对于一般光学玻璃，可以近似地认为以空气的折射率来代替绝对折射率。公式中n1和n2分别表示两种介质的折射率。当n1 = -n2时，折射定律就是变成反射定律了，所以反射定律可以看成是折射定律的特例。折射率：光在两种介质种的传播速度之比，即n2/n1 = v1/v2一种介质的绝对折射率为n = c/v式中c是真空中光的速度，v为该介质中光的速度。可以看出：在折射率较大的介质中，光的速度比较低；在折射率较小的介质中，光的速度比较高。作为实验规律，上述几何光学三定律只是在波长λ很小的条件下才近似成立的。在摄影中，用几何光学来描述已经足够精确了。

物理中的费马定理：光总是走时间最短的路径. 数学中的费马小定理：在一个有限群G中,a^{Card(G)}=a.例子：a^n=a模n. 扩展资料 　　三角形里的.费马点：一个三角形里使得到三个顶点距离之和最短的点P.在三角形的角都小于120度时,这个点唯一并且满足角APB=角BPC=角CPA=120度. 　　费马大定理,又名费马最后定理,又名Fermat-Wiles定理（由Wiles证处故得名）：对于任何的大于等于3的正整数n,任何的正整数a,b,c都有a^n+b^n不等于c^n.

要用到的知识点：费马小定理.（费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为：假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1）用在该题中就是54^(17-...

费马 费马（Pierre de Fermat，公元1601年—公元1665年）是十七世纪最伟大的数学家之一。 他对数学的贡献是多方面的，包括了微分学的概念，解析几何（他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何，不过他是第一位把它应用到三维空间的人）和数论。尤其在数论方面，最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"s Last Theorem），但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"s Little Theorem，加上“小”是用来分别费马大定理的），以及费马二平方数定理（Fermat"s Two Squares Theorem），无限下降法和费马数等等，实在是多不胜数。费马大定理 ，即：不可能有满足 xn＋yn＝zn ，n ＞2的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丢番图《算术》（ 拉丁文译本，1621）第 2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。费马小定理是数论中的一个定理。定理:(费马小定理) 当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p)。 费马最后定理当整数 n > 2 时,方程 x n + y n = z n 无正整数解.勾股定理及勾股数组勾股定理 在 ABC 中,若 C 为直角,则 a2 + b2 = c2.留意:32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132;82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等即 (3 , 4 , 5),(5 , 12 , 13) … 等等为方程x 2 + y 2 = z 2 的正整数解.我们称以上的整数解为「勾股数组」.

【说明】这要看具体情况，对于university student来说，他们不同；对于中学的童鞋们，就可以认为他们相同。你得确认你能读懂下面的说明材料，严格来讲，是不同的。【材料】费马（Pierre de Fermat，公元1601年—公元1665年）是十七世纪最伟大的数学家之一。 他对数学的贡献是多方面的，包括了微分学的概念，解析几何（他和笛卡儿可说是独立地发明解析几何，不过他是第一位把它应用到三维空间的人）和数论。尤其在数论方面，最为世人熟识的当然是费马最后定理（Fermat"s Last Theorem），但其实还有很重要的费马小定理（Fermat"s Little Theorem，加上“小”是用来分别费马大定理的），以及费马二平方数定理（Fermat"s Two Squares Theorem），无限下降法和费马数等等，实在是多不胜数。 费马大定理 ，即：不可能有满足 xn＋yn＝zn ，n ＞2的正整数x、y、z、n存在。这命题他写在丢番图《算术》（ 拉丁文译本，1621）第 2卷的空白处：“……将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 费马小定理是数论中的一个定理。定理:(费马小定理) 当p是素数时,对於任意一个整数a不是p的倍数时,有以下的等式 ap-1≡1 (mod p)。 费马最后定理 当整数 n > 2 时, 方程 x n + y n = z n 无正整数解. 勾股定理及勾股数组 勾股定理 在 ABC 中,若 C 为直角,则 a2 + b2 = c2. 留意:32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5),(5 , 12 , 13) … 等等为方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整数解. 我们称以上的整数解为「勾股数组」.

费马小定理，欧拉定理，中国剩余定理等相关数论定理是小学生学的。在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

（m,c)是求m和c的最大公约数，最大公约数等于1就是说这两个数互质。

在这里你可以知道什么叫伪素数，什么叫卡米切尔数，什么是费马小定理http://zhidao.baidu.com/question/450949.html总结一下：伪素数其实就是不是素数被误认为是素数的数卡米切尔数就是使用费马小定理判定素数时例外的那种数费马小定理：设p为一素数，而a与p互素，则 a^p - a 必为p的倍数费马猜想（费马大定理，已由英国数学家证明）： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 的整数解都是平凡解，即 当n是偶数时，方程的解只能为：(0,±m,±m)或(±m,0,±m) 当n是奇数时，方程的解只能为：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

首先你要知道费马小定理.------------------费马小定理，若p是素数且a是整数则a^p≡a(modp)，特别的若a不能被p整除，则a^(p-1)≡1(modp)。这可以用数学归纳法证明。a=1显然成立。假设对a成立，就是a^p≡a(modp)，则对a+1，(a+1)^p,由二项式定理，除了第一项a^p和1以外，其他各项系数都能被p整除，所以(a+1)^p≡a^p+1(modp)，而a^p≡a(modp)，所以(a+1)^p≡a+1(modp)。所以费马小定理得证。小弟弟是我！！

只需证明在Ip中[a^p]=[a]。如果[a]=[0],则[a^p]=[a]^p=[0]=[a].如果[a]!=[0],[a]属于Ip*,它是Ip中非零元素的乘法群。因|Ip*|=p-1,由拉格朗日定理的推论：如果G是有限群，a属于G，则a的阶是|G|的因数。[a]^(p-1)=[1].乘[a]可得要求证明的结果[a^p]=[a]^p=[a].所以a^p和a关于p同余。