数学分析 一致连续 证明题

连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

首先根据一致连续的定义，知道不一致连续的定义： 设函数f(x)在区间I有定义，若对任意δ>0，存在ε>0,使得对任意x1,x2∈I，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|>ε，则称f(x)在区间I上一致连续。 对应到这道题来说，就是找两个点列xn"和xn""，在n->∞时，满足|xn"-xn""|<δ（δ任意小），有|f(xn")-f(xn"")|>ε(ε是某一常数)。 剩下的就是构造点列了。 令xn"=2nπ，xn""=2nπ+1/n， 此时|xn"-xn""|=1/n->0 （n->∞） 而|f(xn")-f(xn"")|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5 (n->∞) (中间过程略一下，都是演算，不过中间还是要用洛必达法则求一下极限) 取n>5ε/8π,则|f(xn")-f(xn"")|>ε 补充：“Sn-Tn|<1/n”这个其实不一定这么死，关键是找出合适的δ，只要δ可以任意小即可，这时|f(xn")-f(xn"")|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5>π,若令ε=π，这就找出了ε。

连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数在这个区间上，任意接近的两个自变量的函数也是任意接近的。从图形上看，就是不会产生陡然上升或下降的情况。（当然这样描述起来，至于他的“陡然”程度是模糊的）例子: 函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。分析：可以取区间中两个数s=nt=n+1/2n此时，t-s=1/2n<1/n，他们是可以曲线接近的那么考虑t^2-s^2t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1这就是说它们的函数值不能无限接近。根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

函数一致连续性的判别方法如下：若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f"(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，有 |f(a)-f(b)|<e。对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d。有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么：|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e 。则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。也就是对任取的e>0，存在d"=d/2，当|x-t|<d"，有 |f(x)-f(t)|<2e。即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。所以一致连续函数一定连续。相关内容解释：函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

有界闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必在[a,b]上一致连续开区间和无限区间(a,b)上的一致连续性定理若f(x)在(a,b)上连续，并且都存在，则f(x)在(a,b)上一致连续。当然对于无限区间上的函数，即使不存在，f(x)也可能是一致连续的，比如y=x。 若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。由此很容易判定y=x+sin x在上一致连续，在上非一致连续性。

一致连续和连续的区别是：1、一致连续若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0。总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。2、连续假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

一致连续是指定义域中只要两个点距离小于一个值，函数值就会小于一个值，这个ε是对任意两点，连续性是取定一个点，一致连续顾名思义是一致的，就是对所有点的ε误差，存在一个共同的δ，连续的不一定一致连续。

因为lim(x->+∞)f(x)存在所以对u2200ε>0，存在X>a，使得当x">X，x"">X时，有|f(x")-f(x"")|<ε由于f(x)在闭区间[a,X+1]上连续，即一致连续所以存在正数d"，使得当x"∈[a,X+1]，x""∈[a,X+1]，|x"-x""|<d"时，有|f(x")-f(x"")|<ε令d=min{d",1}，对任意两点x"和x""，满足x"∈[a,+∞)，x""∈[a,+∞)，|x"-x""|<d必有：x"和x""要么同时∈[a,X+1]，要么同时>X所以恒有|f(x")-f(x"")|<ε即f(x)在区间[a,+∞)上一致连续

一致连续是一个极限概念. 一致连续的概念是从连续的概念派生出来的.要了解一致连续需要先明白连续是什么意思. 一般地,我们说一个函数在某个点连续是指函数在这个点附近（分析中把这个附近的概念称为“领域”）函数值对自变量的变化不敏感,也就是说自变量的微小变化也只能引起函数值的微小变化,进而可以忽略函数值的跳跃.这就是连续性的概念要领.如果说一个函数是连续的,实际上是指这个函数在定义域上的每一点都是连续的. 而一致连续是指存在一个微小变化的界限,如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限,则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）.

一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同，一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。直观上，一致连续可以理解为，当自变量x在足够小的范围内变动时，函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。

一致连续和连续的区别如下：1、连续性是局部性，一般只针对单点，而一致连续是一个整体性，要对定义域上的一个子集。2、一致性连续函数必连续，连续不一定一致连续。若函数有一致的连续性，则一定是连续的，但函数的连续性不一定是一致的连续性。3、闭合区间上连续的函数必一致连续，因此在闭合区间中二者是一致的；开区间连续的不一定一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的函数如在(0,1)上连续的函数 y=1/x。一致性连续几何意义：可以肯定的是，“一致连续性”保证了函数图像更平滑，同时避免了整个波段上的陡峭、笔直等突然变化。要注意此时一致连续性的重要性就突出了，是整个区间的性质，整个区间避免了较为突然的走势变化。连续性函数性质：我们所说的有界就是存在一个正数 M，这使它产生了| f (x)|≤ M的任意x [a, b]。证实：利用致密性定理：有界数列必有收敛子列。

函数的一致连续与不一致连续都是针对某个实数范围（通常是区间）而言的。如果对这个区间里的任何一个x，都有lim<Δx->0>f(x+Δx)=f(x)，则称函数f(x)在这个区间内连续。函数在区间内任一点x处连续，用分析的定义说就是：对于任意给定的正数ε，如果存在正数δ，只要|Δx|<δ，就有不等式|f(x+Δx)-f(x)|<ε成立，则称函数f(x)在x处连续。需要注意的是，正数δ不仅与ε有关，而且也与x有关的，即使ε不变，x换成了区间内另外的点，一般说δ也需要变动的。如果存在只与ε，而与x无关的δ，只要|Δx|<δ，对这个区间里的一切x，都有不等式|f(x+Δx)-f(x)|<ε成立，则称函数f(x)在这个区间内是一致连续的。如果找不到与x无关的δ（是不可能找到的意思），则f(x)在这个区间内就是不一致连续的。

1、范围不同：连续是局部性质，一般只对单点，而一致连续是整体性质，要对定义域上的某个子集。2、连续性不同：一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。如果一个函数具有一致连续性则一定具有连续性，而函数具有连续性并不一定具有一致连续性。 连续函数性质 有界性 所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。 证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。 最值性 所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。 介值性 这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况： 1.零点定理。也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。 2.闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

我在北航学工科，我们学的各种定义（主要说大一上学的那些）主要是用ε-δ语言说明的，然后连续的话是说，对于任意的ε>0，都存在相应的δ，使得当lx-x0l<δ时，就有l fx-fx0 l＜ε，则fx在x0处连续。 通俗点讲就是，当x变化的无限小时，fx也变的无限小，即Δx→0，Δfx→0，所以这就也说明了为什么y=1/x在（0,1）上连续但不一致连续，因为连续是对于一个确定的x0，那么该点的变化率确定，而一致连续则不依赖于x0，所以可以无限趋近于0，从而变化率可以趋近于无穷（注意区分无穷跟极大的区别，10^10000000叫极大但不无穷大）。

大致可以这样来理解（不严格），对于一致连续函数，在一段区间内，每一点的倾斜程度（斜率的绝对值）不会超过某个数值，对于一般的连续则没有这个要求。 y=x，y=√x，在定义域内都是一致连续的。 对于y=x^k，在容易有限区间内（上）都是一致连续的。 一般说来，在闭区间上的连续函数总是一致连续的。教科书上有很多一致连续函数的例子，上面也有证明。 很多连续函数并非一致连续。 对于函数f(x)=1/x （x∈(0, 1)）它就不是一直连续，在x接近0时，非常陡峭，其切线的斜率没有一个限度；y=tan x（x∈(-π/2, π/2)）在±π/2附近，斜率也是没有一个限度。一般说来，在有限区间取值可以到正（负）无穷的函数，肯定不是一致连续函数。但是非一致连续函数并不仅限于此，如函数y=arcsin(x)亦不是一致连续（在x接近1时，斜率越来越大，没有一个限度），但是他在定义域内取值范围有限【智慧中国】为你解答

李普希兹条件可以推出一致连续理论。利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数，在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。因而利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。扩展资料当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。符合利普希茨条件的函数一致连续，也连续。bi-Lipschitz函数是单射的。当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。参考资料来源：百度百科-lipschitz条件

你说的都对。连续函数在闭区间内确实是一致连续的，但开区间就不一定。连续函数的定义是每一个点都连续，而对同一个epsilon>0，每一个点所对应的delta是不同的。但一致连续要求有一个确定的delta，满足所有的点，所以更加严格。一致连续的定义：任意epsilon>0,存在delta>0，使得对于任意(x,y)，|x-y|<delta能推出|f(x)-f(y)|<epsilon。连续函数不一致连续的例子：f(x)=x^2。你可以用定义验证一下

以下证明摘自张筑生《数学分析新讲》：

摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念,目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理,通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法,以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用,使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化. 关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法 弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键.数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理,为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握,作为对教材内容的适当扩充和补充,我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法.

连续性是局部性质，一般只对单点讨论，说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。 一致连续性是整体性质，要对定义域上的某个子集（比如区间）来讨论，表明了整体的连续程度。 一致连续可以推出连续，反之不然。 这个一定要搞清楚，否则等学到

任给e>0,由连续函数定义,对任意[a,b]中的x,有相应的dx>0只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内,就有|f(y)-f(x)|对每个x,都能如上找到对应的开邻域,这些开邻域覆盖整个闭区间[a,b],由于[a,b]是紧集,存在有限开覆盖(x1-dx1,x1+dx1)...(xn-dxn,xn+dxn)令d=min(dx1,...,dxn),则对任意[a,b]中的x,只要y属于[a,b]且在(x-d,x+d)内,就有|f(y)-f(x)|所以一致连续

函数f(x)，如果是闭区间【a,b】，f(x)就不连续了~因为在a上无左极限，在b上无右极限连续你可以看成当->0时，f(x)在Δx是条直线如果不是，就不连续

函数f(x)在开区间(a,b)上（或无穷区间上）一致连续的充分必要条件是其在开区间（或无穷区间）上连续且f(a+0)以及f(b-0)存在有限

连续是考察函数在一个点的性质。 而一致连续是考察函数在一个区间的性质。 所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。 通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数在这个区间上，任意接近的两个自变量的函数也是任意接近的。从图形上看，就是不会产生陡然上升或下降的情况。（当然这样描述起来，至于他的“陡然”程度是模糊的） 例子: 函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。 分析： 可以取区间中两个数 s=n t=n+1/2n 此时，t-s=1/2n<1/n，他们是可以曲线接近的 那么考虑t^2-s^2 t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1 这就是说它们的函数值不能无限接近。 根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

例如f=x^2在[0，1]上是连续的，而且对于任意的s>0，只要|x-y|<s/2，就有|x^2-y^2|=|x+y||x-y|<s。因此是一致连续的。但是，开区间就不行，例如f=1/x在(0，1)上连续，但是当x、y很接近0时，即使|x-y|再小，|1/x-1/y|也可以任意地大。因此不一致连续。一致连续就是说这个函数在整个区间内震荡得不是太厉害，震荡幅度可以控制住。

定理：有界区间 (a,b) 上的函数 f 为一致连续的充要条件是 f (a+0) 与 f (b+0) 均存在 ( 有限 ) 当 (a,b) 区间为无界区间时,充分性仍然成立,但必要性不再成立

g(x）= x^(1/m), x>=0.g(x)在[0,2]上一致连续，因为[0,2]是有界闭区间，任何连续函数都在有界闭区间上一致连续。当 x1>x2>=1 时， g(x1)-g(x2) = x1^(1/m) - x^2(1/m)= (x1-x2)/ ( x1^((m-1)/m) + x1^((m-2)/m)x2^(1/m)+...+ x2^((m-1)/m)) < x1 - x2 (因为分母中每项都 >1)所以 g(x)在[1,无穷大)上一致连续. 所以 g(x) 在 x>=0 上一致连续。f在区间I上 一致连续 ==》 |f|在区间I上一致连续 ==> g(|f|) 在区间I上一致连续。

因为lim(x->-∞)f(x)存在，根据柯西收敛准则对u2200ε>0，存在正数D，使对所有x1<-D，x2<-D，有|f(x1)-f(x2)|<ε即存在正数δ，是对所有x1,x2满足|x1-x2|<δ，且x1,x2∈(-∞,-D)，有|f(x1)-f(x2)|<ε所以f(x)在(-∞,-D)上一致连续因为f(x)在闭区间[-D,b]上连续，则f(x)在[-D,b]上一致连续综上所述，f(x)在(-∞,b]上一致连续

函数一致连续性的几何意义体现在哪里?如果说非一致连续性函数的斜率会有趋近于无穷的一段即会很”陡”,那么一致连续函数根号x在很接近于0时图象也极其”陡”,所以请教各路高手一致连续函数究竟有什么区别于非一致连续函数的几何意义?“很陡”强调的是“突变”,比如圆的斜率是非常非常“平滑”,也有斜率为“无穷”的时候,关键要抛开直角坐标系的限制来思考.假如在一个巨大的空间,自己爬行在曲线上测量斜率,那么斜率的“突变”会引起极大关注,一旦需要攀登陡峭的悬崖,自然说这里不光滑,就是不连续了还要注意，一致连续的话，图像一定是平滑的，即里面处处可导

依一致连续的定义，要x0属于(0,1)时对任意ε>0,有δ>0,使得当|x-x0|<δ时都有|1/x-1/x0|<ε,然而|1/x-1/x0|=|x-x0|/(xx0)<δ/(xx0),当x0趋于0时δ/(xx0)无法小于ε。所以f(x)=1/x 在（0,1）不一致连续.

我在这回答过你啊。。。http://zhidao.baidu.com/question/43659100.html难道你非要用那个什么ε－δ来说明？ 那就麻烦点啊首先 根据 康托尔定理（在有界闭区间[a,b]上有定义的连续函数f(x)在此闭区间上一致连续），得出 y＝sin√x 在[0，3] 上一致连续。再来证明 y=sin√x 在[1,+∞]上面 一致连续：在 [1,+∞]上面任取2点 X1 ,X2 .|sin√X1 －sin√X2|=|2cos[(√X1＋√X2)/2] sin[(√X1－√X2)/2]|≤2|sin[(√X1－√X2)/2]|≤2|(√X1－√X2)/2|=|√X1－√X2|=|(X1 － X2)/(√X1＋√X2)|≤|X1 － X2|/2对于 任给的 ε＞0,取 δ＝2ε. 则当 |X1 － X2|＜δ时 恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε所以y=sin√x 在[1,+∞]上面 一致连续。现在我们有了y=sin√x 在[1,+∞]，和[0,3]上面 一致连续 下面就来说明 y=sin√x 在[0,+∞]上面一致连续：对于 任给的 ε＞0 存在 δ1＞0，当X1,X2都属于[0,3],|X1－X2|＜δ1时 恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε，又存在δ2＞0,当X1,X2都属于[1,+∞],|X1－X2|＜δ2时恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε，今取δ＝min{ 1,δ2,δ1}. X1,X2都属于[0,+∞],当|X1－X2|＜δ时，则X1,X2 或同时属于[0,3]，或同时属于[1,+∞],故恒有|sin√X1 －sin√X2|＜ε。所以y＝sin√x 在[0，+∞] 上一致连续 □ε－δ。。累死。。。。

证明：先具体说一下Lipschitz条件（我没学过，才从网上查到的，来自于百度百科）：利普希茨连续条件（Lipschitz continuity)的定义：若存在常数K（非负）,使得对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：∣f(x1)-f(x2)∣≤K∣x1-x2∣成立，则称f(x)在D上满足利普希茨条件。下面证明原命题。分两步。第一步，首先证明函数f(x)/x在任何闭区间[a,b]上一致连续。为此我们又先证明函数f(x)在任何闭区间[a,b]上一致连续。对任给的ε＞0，我们说当x1,x2∈[a,b],且∣x1-x2∣＜ε/K时，必有∣f(x1)-f(x2)∣≤K∣x1-x2∣＜ε这便证明了函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续，当然函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。从而它和闭区间[a,b]上的连续函数y=1/x的积f(x)/x也在闭区间[a,b]上连续，所以函数f(x)/x在闭区间[a,b]上一致连续。第二步，我们证明若区间[c,+∞)中的c足够大时，函数f(x)/x在区间[c,+∞)上一致连续。因为对于x∈[a,+∞),有∣f(x)∣-∣f(a)∣≤∣f(x)-f(a)∣≤K∣x-a∣从而有∣f(x)∣≤∣f(a)∣+K∣x-a∣设x1,x2∈[c,+∞)现在我们先把∣x1-x2∣取得小于1，即∣x1-x2∣＜1；把c取得大于1，即c＞1，又设ε为任一正数，则我们有,当c＞max{1,3∣f(a)∣/ε}=η1时，∣x1-x2∣∣f(a)∣/x1x2＜∣f(a)∣/x1x2＜∣f(a)∣/x1≤∣f(a)∣/c＜ε/3 ①当c＞max{1,3K/ε}=η2时，有K∣x2-x1∣∣x1-a∣/x1x2＜K∣x1-a∣/x1x2＜K/x2≤K/c＜ε/3 ②还有∣f(x1)-f(x2)∣/x2≤K∣x1-x2∣/x2＜K/x2≤K/c＜ε/3 ③令η=max{η1,η2},并取c＞η则对任给的ε＞0，当∣x1-x2∣＜1时，∣f(x1)/x1 -f(x2)/x2∣=∣[x2f(x1)-x1f(x2)]/x1x2∣=∣[x2f(x1)-x1f(x1)]+[x1f(x1)-x1f(x2)]∣/x1x2≤(∣x2f(x1)-x1f(x1)∣+∣x1f(x1)-x1f(x2)∣)/x1x2=∣x2-x1∣∣f(x1)∣/x1x2 +x1∣f(x1)-f(x2)∣/x1x2=∣x2-x1∣∣f(x1)∣/x1x2 +∣f(x1)-f(x2)∣/x2≤∣x2-x1∣(∣f(a)∣+K∣x1-a∣)/x1x2 +∣f(x1)-f(x2)∣/x2=∣x1-x2∣∣f(a)∣/x1x2+K∣x2-x1∣∣x1-a∣/x1x2+∣f(x1)-f(x2)∣/x2＜ε/3 +ε/3 +ε/3=ε这便证明了函数f(x)/x在区间[c,+∞)上一致连续。最后，我们取b=c+2,便有函数f(x)/x在闭区间[a,c+2]上一致连续，我们设对上面所任给的ε＞0，存在θ＞0，使当x1,x2∈[a,c+2],且∣x1-x2∣＜θ时，∣f(x1)/x1 -f(x2)/x2∣＜ε现取ξ=min{1,θ},则有对任给的ε＞0，当∣x1-x2∣＜ξ时，函数f(x)/x在闭区间[a,c+2]上一致连续，也在区间[c,+∞)上一致连续。并且当∣x1-x2∣＜ξ＜1时，必有x1,x2或同属于闭区间[a,c+2]，或同属于区间[c,+∞)。这是因为若设x1＜x2当x2∈[a,c+2],当然有x1∈[a,c+2]；当x2不属于[a,c+2]时，必有x2＞c+2，此时x1＞x2- 1＞c+2-1=c+1这便说明x1,x2同是属于[c,+∞)。这样，我们便证明了函数f(x)/x在在[a,+∞)上一致连续. 证完。

(a) f(x)=(1/x)sin(2π/x)，则lim {n->∞} f(1/n) =0，lim {n->∞} f(4/(4n+1)) -> ∞∴lim {x->0} f(x) ≠ 0(b) 不一定 bounded，counterexample 在 (a) 中已给出(c) lim {x->0} g(x) = lim {x->0} f(x) = 0 =g(0)，∴g(x)∈C[0,1]由闭区间上的连续函数一致连续知g(x)在[0,1]上一致连续，∴f(x)=g(x)|x∈(0,1]也是一致连续的(d) ∵f(x)一致连续，∴对任意ε/2>0，存在δ>0，当x,y∈(0,δ)时，有|f(x)-f(y)|<ε/2又f(1/n)->0，n->∞，∴存在N>0，当n>N时，有|f(1/n)|<ε/2取n>max{N,1/δ}，则0<x<δ时，|f(x)|≤|f(x)-f(1/n)|+|f(1/n)|<ε/2+ε/2=ε即证lim {x->0} f(x) = 0

一致连续通俗解释是：1、一致连续：某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x和x，当满足|x-x|<δ时，|f(x)-f(x)|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。2、对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续，一致连续的函数必定是连续函数。从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x"和x"，当满足|x"-x"|<δ时，|f(x")-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。

一致连续若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0，总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。连续假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

一致连续是一个极限概念。一致连续的概念是从连续的概念派生出来的。要了解一致连续需要先明白连续是什么意思。一般地，我们说一个函数在某个点连续是指函数在这个点附近（分析中把这个附近的概念称为“领域”）函数值对自变量的变化不敏感，也就是说自变量的微小变化也只能引起函数值的微小变化，进而可以忽略函数值的跳跃。这就是连续性的概念要领。如果说一个函数是连续的，实际上是指这个函数在定义域上的每一点都是连续的。而一致连续是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）。

1、一致连续：某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x和x，当满足|x-x|<δ时，|f(x)-f(x)|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。 2、对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续，一致连续的函数必定是连续函数。从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。

连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数在这个区间上，任意接近的两个自变量的函数也是任意接近的。从图形上看，就是不会产生陡然上升或下降的情况。（当然这样描述起来，至于他的“陡然”程度是模糊的）例子: 函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。分析：可以取区间中两个数s=nt=n+1/2n此时，t-s=1/2n<1/n，他们是可以曲线接近的那么考虑t^2-s^2t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1这就是说它们的函数值不能无限接近。根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

一致连续和连续的区别是：1、一致连续若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0。总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。2、连续假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。参考资料来源：百度百科－连续

用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。扩展资料：某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x"和x"，当满足|x"-x"|<δ时，|f(x")-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。参考资料来源：百度百科——一致连续

一致连续是一个极限概念。一致连续的概念是从连续的概念派生出来的。要了解一致连续需要先明白连续是什么意思。一般地，我们说一个函数在某个点连续是指函数在这个点附近（分析中把这个附近的概念称为“领域”）函数值对自变量的变化不敏感，也就是说自变量的微小变化也只能引起函数值的微小变化，进而可以忽略函数值的跳跃。这就是连续性的概念要领。如果说一个函数是连续的，实际上是指这个函数在定义域上的每一点都是连续的。而一致连续是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）。满意请采纳。

已知定义在区间A上的函数f(x)，如果 对于任意给定的正数ε>0，存在一个实数ζ>0 使得对任意A上的x1,x2且x1,x2满足|x1-x2|<ζ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε。 一致连续性表示,无论在连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(ζ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε) 这个接近程度ε不随自变量x的位置而变. 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I。f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，有 |f(a)-f(b)|<e。对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d。有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| 。由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么：|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e 。则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e。也就是对任取的e>0，存在d"=d/2，当|x-t|<d"，有 |f(x)-f(t)|<2e。即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。所以一致连续函数一定连续。相关内容解释：函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

对定义域中的每一点,若左右极限都存在且相等则函数连续.所有初等函数及其复合都是连续的.可微函数是连续的.希望对你有帮助，祝你学习愉快!!亲，你的点赞或者采纳是我们回答的动力哦！

某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x"和x"，当满足|x"-x"|<δ时，|f(x")-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。扩展资料一直连续性保证的是函数图像更加平滑，而在整个区间上避免了突然出现陡、笔直等尖锐的变化。注意此刻一致连续性的重要性就凸显了，是整个区间的性质，整个区间避免比较突兀的走势变化。利普希茨条件往往结合导数有界应用, 但是要知道导数无界不一定不一致连续, 例如 x^{12} 在 [0,+∞) 的导数虽然无界, 但是仍然是一致连续的. 关于导数有界证明一致连续与无界证明不一致连续。参考资料来源：百度百科-一致连续

一致连续和连续的区别是：1、一致连续若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0。总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。2、连续假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。扩展资料：某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x"和x"，当满足|x"-x"|<δ时，|f(x")-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。参考资料来源：百度百科——一致连续

连续性是局部性质，一般只对单点讨论，说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。一致连续性是整体性质，要对定义域上的某个子集（比如区间）来讨论，表明了整体的连续程度。一致连续可以推出连续，反之不然。

这个一致，连续性，我认为实际上就是。一直都没有间断的意思一直都是连续下去的。