狄利克雷函数的间断点可数吗？

狄利克雷函数目 录1定义2性质2.1 基本性质2.2 分析性质3函数周期4狄里克莱简介1定义实数域上的狄里克莱（Dirichlet）函数表示为：D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)2性质基本性质1、定义域为整个实数域 R2、值域为 {0, 1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像,但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积，且勒贝格积分值为 0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。3函数周期狄里克莱函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意非零有理数（周期不能为0），而非无理数。因为不存在最小正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。4狄里克莱简介狄里克莱（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克莱撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄里克莱级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克莱问题。

狄利克雷函数的公式定义：实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。扩展资料：狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。偶函数公式：1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x；2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件.例如:f(x)=x^2,x∈R，此时的f(x)为偶函数.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2<x≤2),此时的f(x)不是偶函数。参考资料来源：百度百科——狄利克雷函数

狄利克雷函数的周期性：狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数）；f(x)=0(当x为无理数）；而周期函数的定义是对任意x，若f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期为T的周期函数。显然，取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数，其周期可以是任意个有理数，所以没有最小正周期。狄利克雷函数狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数的出现，表示数学家“J对数学的理解发生了深刻的变化。数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人。并且是有意识地“以概念代替直觉”的人。在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数进行具体计算，他们不大考虑抽象问题。但狄利克雷之后，事情逐渐变化了。人们开始考虑函数的各种性质，例如(函数的)对称性、增减性、连续性等。

如下：狄利克雷函数是周期函数证明：取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。狄利克雷函数基本性质：1、定义域为整个实数域R。2、值域为{0,1}。3、函数为偶函数。4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0.显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数。容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质1、定义域为整个实数域R2、值域为{0,1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续。2、处处不可导。3、在任何区间内黎曼不可积。4、函数是可测函数。5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）。对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。

狄利克雷函数的性质是没有最小正周期的。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄里克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。

狄利克雷函数表达式在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。在常微分方程情况下，如在区间[0,1]，狄利克雷边界条件有如下形式：y(0)=α1y(1)=α2其中α1和α2是给定的数值。一个区域上的偏微分方程，如Δy+y=0(Δ表示拉普拉斯算子，狄利克雷边界条件有如下的形式这里，ν表示边界处(向外的)法向；f是给定的已知函数。在热力学中，第一类边界条件的表述为：将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。半无限大物体在导热方向上，当其边界温度一定为第一类。数学描述为：T(x,0)=T1;T(0,t)=Ts。

狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的。 狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

验证：狄利克雷函数D(x)={1,当x为有理数；0,当x为无理数。）对任何正有理数T，X+T与X同为有理数或无理数，故,D（X+T）=D（X）；所以，狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数。这个函数的周期性也告诉了我们这样一个事实：周期函数不一定具有最小正周期.因为没有最小的正有理数。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

不是周期函数，处处不连续是因为有理数是可数的，不稠密，简单理解就是任意两个有理数之间必然有距离，狄利克雷函数当然不连续，不连续的函数必然不可导。望采纳

连续如下：不是处处连续。狄利克雷函数的跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。简介：函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

狄利克雷函数的连续性是在有理数点不连续，无理数点连续。因为实数域上有理数是可列的（有理数可表示为｛N/M},N,M均为全体整数），古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的。当x不等于0时。若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0。从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。拓展材料：1、函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。2、函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。3、函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

狄利克雷函数对于指导我国社会福利改革、提高全民幸福指数、深化劳动制度创新方面，具有重要意义。这个函数的特点为：(1)没有解析式：使函数概念从解析式中解放了出来。即没有特定的解决问题的套路(2)没有图形：使函数概念从几何直观中解放了出来。即没有证据能证明所述为事实(3)没有实际背景：使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。即任何反驳都没有客观应用场景(4) 周期性：任意的非零有理数都是它的周期；但是任何的无理数都不是。即在任意周期内，一件事既可以发生，也可以不发生。狄利克雷函数在我国已经有了非常多的实际应用，其中，以西贝莜面村的“715工作制”最负盛名，但这一福报曾被很多人误解为是对劳动者的残酷剥削。假设：以F(x)=0,表示工作时间；以F(x)=1,表示休息时间，由狄利克雷函数定义可知，其定义域和值域均为实数，同时我们可以取任意有理数为其区间，且函数在这区间内不连续，且为周期函数。这里我们取24小时为其区间。

狄利克雷函数不可积，因为每个点都不连续，不连续的点的个数大于有理数的个数。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的，所以狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件括三方面：（1 ）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点。（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。（3）在一周期内，信号是绝对可积的。傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄利克雷才对这个问题作出了令人信服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件。

狄利克雷函数是 A.周期函数，无最小正周期 B.周期函数，有最小正周期 C.不是周期函数 正确答案：B

函数表示为： D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n} 也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

你理解错了，这里说的是f(x) = x^(n+1) D(x) 在x=0可导，而不是狄利克雷函数。f(x)在x=0处可导可以由定义得到，f"(x) =lim (f(x) -0) / x =lim x^ n D(x) = 0 ，即额f(x)在x=0处可导

如下：对任意点x0，找数列{xn1}，{xn2}。xn1=x0+1/n，xn2=x0+√2/n。则两个数列都在右端趋近与x0，且任意项与x0不等。而两个数列所对应的函数列收敛于1和0，不等；有Heine定理，在x0处右极限不存在。同理左极限也不存在。所以任意点极限不存在。介绍在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。

当然是这样啦。Dirichlet函数：当x为有理数时，d(x)=1；当x为无理数时，d(x)=0。所以无论x是有理数还是无理数，d(x)都是有理数，因为d(x)只能是1或者0。所以对任意x，d(d(x))=1。

由周期定义,对任意 x 都有 f(x+T) = f(x).狄利克雷函数用 D(x) 表示： 当 T 为任意有理数时, 1. 当 x 为有理数时,x+T 还是有理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 1 2. 当 x 为无理数时,x+T 还是无理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 0 所以任意有理数是 D(x) 的周期,所以 D(x) 也不存在最小正周期. 希望我的回答帮得到您,来自百度知道团队【周小周】,满意的话烦请采纳~O(∩_∩)O~

狄利克雷函数是：当x是有理数时，f(x)=1。当x是无理数时，f(x)=0.显然该函数是个偶函数，因为x和-x要么都是有理数，要么都是无理数。容易看出任何正的有理数都是该函数的周期，比如1，0.5都是它的周期，不过由于没有最小的正有理数，它没有最小正周期。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为的不连续函数。当自变量为有理数时，； 自变量为无理数时，。 狄利克雷函数的图像关于轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数 √2代表 根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数 p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数证明：假设命题不成立 设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数证明：假设命题不成立 设 p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数则 X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立，命题3成立 命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~~ 下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数)命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数 证明：设 p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设 p/q＜m/n 则 m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则 0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立 命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数 证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z显而易见X＜Z＜YZ为有理数，命题6成立 根据命题5、6，任意有理数都不连续，任意无理数也都不连续，根据前提3，则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续。

左导等于右导的为第一类间断点，不属于第一类间断点的均为第二类间断点，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，所以为第二类间断点

假设连续，那么对于任意e>0,总存在t>0，使得对于任意x ∈U(x0,t)，都有|f(x) - f(x0)| < e。若x0是有理点，那么U(x0,t)中总存在无理点，因此找不到这样的t。无理点类似。故该函数处处不连续

在一点a极限存在是意味着当x不管用什么方式趋向a时对应的函数值都趋向同一个常数。那么如果a是有理数时：a+1/n也是有理数, D氏函数在这些点上的值D(a+1/n)=0,当n趋向无穷时，a+1/n趋向a，对应的D氏函数趋向0。但这时a+（根号2）/n是无理数，D氏函数在这些点上的值D(a+根号（2）/n)=1，当n趋向无穷时，a+根号（2）/n趋向a， 而对应的D氏函数趋向1。说明当x趋向a时极限不存在。对a为无理数时也一样证明。

连续函数的四则运算有一个注意事项：D（x）不连续，g（x）=x^2连续，积不一定不连续。x0≠0时不连续，并没有说x0=0时不连续，与后面x0=0时可导不矛盾。证明：假设命题不成立设 p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则 p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题1成立狄利克雷函数的定义一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。函数是可测函数在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）

求教怎样证明狄利克雷函数在任一点的左右极限不存在图上(5)是答案的做法...答：在一点a极限存在是意味着当x不管用什么方式趋向a时对应的函数值都趋向同一个常数。那么如果a是有理数时：a+1/n也是有理数,D氏函数在这些点上的值D(a+1/n)=0,当n趋向无穷时，a+1/n趋向a，对应的D氏函数趋向0。但这时a+（根号2）/n是无理数，D氏

大学。狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意正有理数。在大学的高数学习该函数，是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续。

你得先知道它是个什么函数，狄利克雷函数函数是x取无理数时，为0，x取有理数时，为1；有理数和无理数在数轴上的点是基本没法区分开的，

在解椭圆型偏微分方程的边值问题时，把它转化为在某些函数类中求某些泛函的极小值的变分问题的一种方法。根据狄利克雷原理：存在着一个边界上取给定值的函数u0，使重积分达极小值，这个极小化函数u0同时是拉普拉斯方程△u＝0的满足同一边界条件的解。狄利克雷原理最早出现在英国数学家格林关于位势理论的著作中，稍后又为高斯和狄利克雷独立提出。狄利克雷在一次讲演中，对函数本身及其诸偏导数都连续的函数类的狄利克雷原理，给出十分确切和完全的叙述，并在1876年由他的一个学生发表。黎曼首先以狄利克雷的名字命名这一原理并应用于复变函数，从而使其得到广泛的关注。然而狄利克雷给出的证明是不完善的。1870年，外尔斯特拉斯以其特有的严格化精神批评了狄利克雷原理在逻辑上的缺陷。他指出：连续函数的下界存在且可达到，但此性质不能随意推广到自变量本身为函数的情形，即在给定边界条件下使积分极小化的函数未必存在。他的非议迫使数学家们放弃狄利克雷原理，但事实上数学物理中的许多结果都依赖于此原理而建立。在19世纪末20世纪初，希尔伯特采取完全不同的思路来处理这一难题。他通过边界条件的光滑化来保证极小函数的存在，从而恢复了狄利克雷原理的功效。他的工作不仅“挽救”了有广泛应用价值的狄利克雷原理，也丰富了变分法的经典理论。狄利克雷原理的进一步发展由原苏联数学家索伯列夫完成，他对于多重调和方程，包括区域的边界由不同维数流形组成的情形进行了叙述，并证明了狄利克雷原理的正确性

x=空集 因为f(X)的值不是1就是0f(1) 或者f(0)都是1所以是空集

根据是收敛定理，也称狄里克雷收敛定理；定理结论是：在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x);在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0))/2。1827年在波兰布雷斯劳大学任讲师。1829年任柏林大学讲师，1839年升为教授。1855年，高斯逝世后，他作为高斯的继任者被哥廷根大学聘任为教授，直至逝世。1831年，他被选为普鲁士科学院院士，1855年被选为英国皇家学会会员。人物介绍狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆。1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

狄里克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.B.J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1833年狄里克莱撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄里克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克雷问题。

狄利克雷函数是：D（x）=0（x是无理数）；（x是有理数）这个函数定义域是全体实数，这个函数在定义域内处处不连续，所以也就处处不可导。是这个函数在x=0这点也不可导，当然也就没有导数值。

该函数在有理数点不连续，无理数点连续。证明思路：因为实数域上有理数是可列的（有理数可表示为｛N/M},N,M均为全体整数），古有理数点都是离散的点，故函数值为1的点（有理数点）均离散。根据实数的连续性，任意两个相邻的有理数间有无穷多个无理数，这些无理数对应的函数值均为0，故在该函数无理数点连续。（1）当x=0时，f(x)=0，在R上是连续的。（2）当x不等于0时。若x为有理数，则f(x)=x，若x是无理数，则f(x)=0。从而由极限定义易得，f(x)在x处无极限，从而不连续。学数学的小窍门1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。5、数学80%的分数来源于基础知识，20%的分数属于难点，所以考120分并不难。6、数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

狄利克雷函数（Dirichlet function）狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter Gustav Lejeune德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在格丁根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。 应该说狄利克雷是现代数学的真正远祖，他是头一个在数学中重视概念，并有意识地“以概念来代替运算”的人．函数是分析学中的基本概念，“函数”一词首先是莱布尼兹使用的，他只是用来叙述依赖于曲线的几何量，而第一个不受几何意义约束的函数定义来自雅各·伯努利(1698)：“由变量x和常数所构成的式子叫做x 的函数．”1748年，欧拉将函数定义为由一个变量和一些常量，通过任何方式形成的解析表达式．1775年，他又给出了“一个变量依赖于另一个变量”的定义．以后，柯西、拉格朗日、罗巴切夫斯基又给予了推广．但函数更确切的定义是由狄利克雷给出的．1829年他给出了狄利克雷函数：（即你写的那个函数。）这个函数虽不复杂，但不能用解析式表示．这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端，所以意义很大．1837年他给出函数定义：如果对于给定区间上的每一个x的值，有唯一的一个y值与它对应，那么y是x的一个函数．他接着说，至于整个区间上的y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表示，无关紧要．狄利克雷的函数定义成了我们现在仍沿用的传统定义．在数学中还有许多概念和原理都与狄利克雷的名字联系在一起，如狄利克雷级数，狄利克雷原理，狄利克雷问题，狄利克雷条件等.

x属于R的任意点的时候，x的某邻域一定是无理数，那么在这一邻域f(x)=x^0=1所以fx在除去1有理数上的值为f(x)=x不等于1，即fx在除去1的所有有理数上间断，在1与所有无理数几何上连续。由上问可知fx在1与无理数上连续可导，且导数为0，在除去1的有理数上间断且不可导

狄利克雷函数 　　实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是 　　这是一个处处不连续的可测函数。 　　狄利克雷函数的性质 　　1. 定义在整个数轴上。 　　2. 无法画出图像。 　　3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 　　4. 处处无极限、不连续、不可导。 　　5. 在任何区间上不黎曼可积。 　　6. 是偶函数。 　　7.它在[0,1]上勒贝格可积 　　狄利克雷狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。　在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。　在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。　在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。其实这就是一个数学游戏，关键是这个函数的性质：处处无极限，不可导，不连续，不黎曼可积

实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是 这是一个处处不连续的可测函数。 狄利克雷函数的性质 1. 定义在整个数轴上。 2. 无法画出图像。 3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 4. 处处无极限、不连续、不可导。 5. 在任何区间上不黎曼可积。 6. 是偶函数。 例如当x为有理数时，f(x)=1当x为无理数时，f(x)=0那么f(x)就可以说是一个狄利克雷函数 ，具有上述性质

实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是这是一个处处不连续的可测函数.狄利克雷函数的性质1.定义在整个数轴上.2.无法画出图像.3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.4.处处无极限、不连续、不可导.5.在任何区间上不黎曼可积.6.是偶函数.7.它在[0,1]上勒贝格可积在很多时候,只是为了来说明某些问题的.这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.

如下：狄利克雷函数是周期函数证明：取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。狄利克雷函数基本性质：1、定义域为整个实数域R。2、值域为{0,1}。3、函数为偶函数。4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。 狄利克雷函数和周期函数的定义 狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 狄利克雷函数 额 基本性质 1、定义域为整个实数域R。 2、值域为{0,1}。 3、函数为偶函数。 4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。 5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

实数上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义是 这是一个处处不连续的可测函数。 狄利克雷函数的性质 1. 定义在整个数轴上。 2. 无法画出图像。 3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。 4. 处处无极限、不连续、不可导。 5. 在任何区间上不黎曼可积。 6. 是偶函数。 7.它在[0,1]上勒贝格可积在很多时候，只是为了来说明某些问题的。这个函数挺特殊，作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数），同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。

狄利克雷函数处处不连续，不是初等函数。狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质1、定义域为整个实数域R。2、值域为｛0,1}。3、函数为偶函数。4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

基本性质1、定义域为整个实数域R2、值域为{0,1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。

狄利克雷函数当x为有理数时，函数值为1；当x是无理数时，函数值为0这个函数处处不连续，所以在x=1处也不连续。

是的，因为狄利克雷函数点点不连续，所以处处不可导。其函数图像理论上客观存在，但无法画出确切图形。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。基本性质1、定义域为整个实数域R2、值域为{0,1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）[1]。函数周期狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

狄利克雷函数没有振荡间断点因为：狄利克雷函数的间断点不是震荡间断点。第二类间断点，左极限和右极限至少一个不存在。第一类间断点：跳跃间断点，左极限不等于右极限。第三类间断点：可去间断点，左极限等于右极限，但不等于f(x)。狄利克雷函数的间断点是第二类间断点，处处极限不存在。函数周期狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

在[0,1]上勒贝格可积 在很多时候,只是为了来说明某些问题的. 这个函数挺特殊,作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数）,同时这个函数在积分上也有应用,该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的.