黎曼球面的度量

黎曼球面是黎曼几何中的一种特殊情况，它是一个二维球面（类似于地球表面），并且具有与欧几里德平面不同的度量性质。而黎曼曲面则是指在任意维度上定义了一种复合结构和度量的流形。更具体地说，黎曼球面可以看作是一个特殊的黎曼曲面，因为它们都满足以下条件：1. 它们都是连通、紧致的流形。2. 它们都有复合结构，在每个切空间上定义了一个内积。3. 它们都被赋予了标量场（即“度量”），使得该场在局部范围内类似于欧几里德平面或者单位圆盘。然而，需要注意到这两者之间还存在着差异。首先，黎曼球面只能够存在于三维及以上空间中；而对于任意维数$n$来说，我们都可以将其视为一个$n$-维实数流形，并在其上定义出一种复合结构和度量从而得到一个黎曼(n-1) 曲线 。此外，在高于二维时，除了球体以外还有其他类型的 黎 曼 2 球 面 ，例如双曲球面和椭圆球面，而这些都不是黎曼球面。总之，黎曼球面是一种特殊的二维流形，在某些情况下可以被视为一个黎曼 2 曲线。但在更高维度中，我们需要使用更一般化的黎曼几何理论来研究流形的性质。

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数(holomorphic function)。黎曼曲面被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。每个黎曼曲面都是二维实解析流形(也就是曲面)，但它有更多的结构(特别是一个复结构)，因为多值函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯圈，克莱因瓶和投影平面没有。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给向其它曲线，流形或代数簇上的推广提供了直观的理解和动力。Riemann-Roch 定理就是这种影响的最佳例子。令X为一个豪斯多夫空间(Hausdorff space)。一个从开子集Uu2282X到C的子集的同胚称为图(chart). 两个有重叠区域的图f和g称为兼容，如果映射f o g-1 和g o f-1 是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图集(atlas)。当我们赋予X一个图集A,我们称(X,A)为一个黎曼曲面。如果知道有图集，我们简称X为黎曼曲面。不同的图集可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理(Zorn"s Lemma)每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f(z) = z (恒等映射)定义了C的一个图,而 是C的一个图集. 映射g(z) = z* (共轭)映射也定义了C的一个图而也是C的一个图集. 图f和g不相容，所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面X及其图集A, 共轭图集B = {f* : f ∈ A} 总是不和A相容, 因此赋予X一个不同的黎曼曲面结构。类似的，每个复平面的开子集可以自然的视为黎曼曲面。更一般的，每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。令S = C ∪ {∞} 并令f(z) = z 其中z 属于S {∞} 并且令g(z) = 1 / z 其中z属于S 以及 定义1/∞为0. 则f 和g为图，它们相容，而{ f, g }是S图集, 使S成为黎曼曲面。这个特殊的曲面称为黎曼球因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不象复平面，它是一个紧空间。埃舍尔的《画廊》也运用了黎曼曲面紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线等效。非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出两个黎曼曲面M和N之间的 函数f : M → N称为全纯(holomorphic)，如果对于M的图集中的每个图g和N的图集中的每个图h，映射h o f o g-1 在所有有定义的地方是全纯的(作为从C到C的函数) 。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面M和N称为保角等价(或共形等价conformally equivalent)，如果存在一个双射的从M到N的全纯函数并且其逆也是全纯的(最后一个条件是自动满足的所以可以略去)。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C ∪ {∞}或开圆盘{z ∈ C : |z| < 1}保角等价。这个命题称为一致化定理。每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1 的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C ∪ {∞}是这样的一个例子.对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为C/Γ,其中C是复平面而Γ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。 类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于Fuchsian 群，因而曲面可以由Fuchsian 模型H/Γ 构造，其中H是上半平面而Γ是Fuchsian 群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是4pi(g-1), 其中 g 是曲面的亏格(genus)；面积可由把Gauss-Bonnet 定理应用到基本多边形的面积上来算出。前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图f和g有变换函数h = f(g-1(z))，我们 可以认为h是从R2开集到R2的映射，在点z的雅戈比阵也就是由乘以复数h"(z)的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的行列式等于|α|^2, 所以h的雅戈比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

黎曼球面由19世纪数学家黎曼而得名。也称为复射影直线，记为 ，和 扩充复平面，记为 或者. 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。

要。黎曼曲面是复解析几何的基础，在数学分析、代数几何和物理学等领域都有广泛的应用，打算深入从事数学、物理、工程等领域的研究和应用，那么继续学习黎曼曲面是非常有必要的。

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。黎曼猜想，即素数的分布最终归结为如下所谓的黎曼ζ函数：∞ 1 ζ（z）＝ ∑ ——— ，z＝x＋iy n=1 nz 的零点问题，他做出这样的猜想：ζ（z）函数位于0≤x≤1之间的全部零点都在x＝1／2之上，即零点的实部都是1／2，这至今仍是未解决的问题。

"黎曼平面"指的是“Riemann surfaces”，即“ 黎曼球面”或“ 黎曼曲面”，是一种将复数平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式 1/0 = ∞至少在某种意义下有意义，它由19世纪数学家黎曼而得名。

解：令z=x+iy即w=1/(x+iy)w=(x-iy)/(x^2+y^2)=x/(x^2+y^2)-iy?(x^2+y^2)令u,v为w坐标系的两个坐标轴，就像x,y一样令u=x/(x^2+y^2)v=-iy/(x^2+y^2)则依据原式(x—1)^2+y^2=1有，x^2+y^2=2x将其代入所以u=x/(x^2+y^2)=x/2x=1/2内容复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

|e^z|=|e^x(cosy+isiny)|=|e^x|*|cosy+isiny|=e^x。附：e^x >0；|cosy+isiny|=1。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

复分析中，复平面（或者任何黎曼曲面）上的的亚纯函数是两个全纯函数f和g的比值f / g.作为到复数的映射，任何g为零的地方，它就没有定义。但是，它引出了一个全纯映射(f,g)到复射影线，甚至在g = 0处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如，紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射，但是有很多到复射影线上的全纯映射。黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中，复射影线上的点是光子极化态，自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。

a为非孤立奇点的充要条件是a为奇点且存在一个点列趋于a，例如1/（sin1/z）。z＝0为奇点，存在z＝1/2k派趋于0，即存在一个点列趋于a，则0为该函数的非孤立奇点。发展简况：复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数的参数方程化成直角方程：参数方程化为直角坐标方程的过程就是消参过程，常见方法有三种。①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，代入消去参数。②三角法：利用三角恒等式消去参数。③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。

Rez≤5/2，且z≠2。首先不等式有意义的条件是z-2不等于0即z不等于2.在此条件下，不等式可以化为设z=x+iy，其中x和y都是实数，那么上式化为即由于根号内均为两个实数的平方和，因此必定非负，可以直接平方：然后移项、合并同类项：因此最后的解为用含z的形式来表达：同时记得加上前提条件：z不等于2。扩展资料复变函数的作用为：物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复变函数极点的定义是：复变函数极点表示看洛朗展开式，函数在它的极点处的洛朗级数中只有有限个负幂项，而在本质奇点处有无限多个负幂项。以复数作为自变量和因变量的函数。 (z - 1)/z 零点是令分子为0的点，这点必须有意义。所以当z≠0时，z - 1 = 0，即z = 1为零点，奇点就是令分母为0的点，即令分式无意义的点这里，z = 0，就是极点因为（z - 1)/z = 1 - 1/z，有限项负的幂指数且阶数为1，所以z = 0是一阶极点。复变函数的运用复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

解：∵在圆丨z丨=4内，f(z)=1/[(z+2)(z+3)]有z=-2、z=-3两个一阶极点，∴原式=2πi{Res[f(z),-2]+Res[f(z),-3]}。另一方面，Res[f(z),-2]=1/（z+3)丨(z=-2)=1，Res[f(z),-3]=1/(z+2)丨(z=-3)=-1。从而，原式=0。供参考。

解：根据复数的对数计算规则，有Lnz=lnz+2kπi=ln丨z丨+iargz+i2kπ，其中，-π≤argz≤π，k=±1，±2，……。∴Ln(2)=ln2+i2kπ。Ln(-1)=ln1+iπ+i2kπ=(2k+1)πi。∵1+i=(√2)(1/√2+i/√2)=(√2)e^(πi/4)。∴ln(1+i)=(1/2)ln2+πi/4。以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。参考资料来源：百度百科——复变函数

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一的一类数，其中α，b是实数。式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。R·笛卡儿曾称之为虚数。但是随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。例如，每一个代数方程在此数域内至少有一个根，这就是代数学的基本定理。有时也称它为达朗贝尔定理，而最初的严格证明则是由C.F.高斯给出的。后来人们习惯以i表示，并且称α+bi为复数。在复数α+bi与平面上的点(α，b)之间可以建立一一对应。 L.欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式 e^ix=cosx+isinx。欧拉公式揭示了三角函数与指数函数间的联系。

函数概念的发展历史　　1.早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。　　1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。　　2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数　　1718年约翰??贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。　　1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰??贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰??贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。　　3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。　　1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。　　等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。　　4.现代函数概念──集合论下的函数　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。　　1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”　　术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。　　但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。当然，映射也只是一部分。 [编辑本段]幂函数　　幂函数的一般形式为y=x^a。　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.　　可以看到：　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。　　（6）显然幂函数无界。 [编辑本段]高斯函数　　设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。　　任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1） [编辑本段]复变函数　　复变函数是定义域为复数集合的函数。　　复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　复变函数论的发展简况　　复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。　　复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 　　upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型 　　downcase 字符型 使大写英文字母变为小写 字符型 [编辑本段]阶梯函数　　形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数. [编辑本段]反比例函数　　表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。　　反比例函数的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1　　反比例函数的特点：y=k/x→xy=k　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。　　反比例函数图像性质：　　反比例函数的图像为双曲线。　　反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。　　当 k >0时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数　　当k <0时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数　　倘若不在同一象限，则刚好相反。　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。 　　知识点：　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。　　2.对于双曲线y＝ k/x，若在分母上加减任意一个实数m (即 y＝k／x（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） [编辑本段]程序设计中的函数　　许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C语言中:　　int max(int x,int y)　　{　　return(x>y?x:y;);　　}　　就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与返回值。C++程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。　　带有（一个）参数的函数的声明：　　类型名标示符+函数名+（类型标示符+参数）　　{　　}　　不带参数的函数的声明：　　void+函数名（）　　{　　}　　花括号内为函数体。　　带参数的函数有返回值，不带参数的没有返回值。　　C++中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（实参）　　调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同。　　有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。　　#include <iostream>　　using namespace std;　　int f1(int x, inty)　　{int z;<br>　　return x+y;<br>　　}　　void main()　　{cout<<f1(50,660)<<endl<br>　　}　　C语言中的部分函数　　main（主函数）　　max（求最大数的函数）　　scanf（输入函数）　　printf（输出函数）

　　1900年德国数学家大卫·希尔伯特（Hilbert）提出23个值得数学家思考的问题，其中第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。这些问题和解决的现状是：　　（1）康托的连续统基数问题。　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。　　（2）算术公理系统的无矛盾性。　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。　　问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德思（M.Dehn）在1900年已解决。　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐平（Zippin）共同解决[4] 。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。　　（7）某些数的超越性的证明。　　需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α^β一定是超越数或至少是无理数（例如，2^√2和exp(π)）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未获最终解决，其最佳结果分别属于中国数学家陈景润和张益唐。　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的。虽然得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。　　（11）一般代数数域内的二次型论。　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。　　（12）类域的构成问题。　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c）。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3）可写成形式∑hi（ξi(x1,x2）,x3）(i=1--9），这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3）可写成形式∑hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）)(i=1--7）这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。　　（14）某些完备函数系的有限的证明。　　即域K上的以x1,x2，…，xn为自变量的多项式fi（i=1，…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。　　（15）建立代数几何学的基础。　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。　　注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N（2）≥1；1952年鲍廷得到N（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。　　（17）半正定形式的平方和表示。　　实系数有理函数f(x1，…，xn）对任意数组（x1，…，xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。　　（18）用全等多面体构造空间。　　德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。　　（20）研究一般边值问题。　　此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支，目前还在继读发展。　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。　　（22）用自守函数将解析函数单值化。　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。　　（23）发展变分学方法的研究。 　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。 　以上资料摘自百度百科

没有直接的函数，请自己写。专门用mathematica来讲复分析一本书上有很好的论述。

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。将系统中独立变量是复频率s的范围，称为s域，也称复频域。扩展资料：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。参考资料来源：百度百科-复变函数

z=-2=2(cosπ+isinπ)所以，z=-2的幅角主值为π在复平面上，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角成为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在2113区间（-π，π]内的只有一个，这个辐角就是该向量的辐角主值，也称主辐角，记为argz。复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素，复数所对应的向量长度称为复数的幅值，该向量与实轴正方5261向的夹角为复数的辐角。辐角的大小有无穷多，但是辐角主值唯一确定。扩展资料：复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。参考资料来源：百度百科-复变函数

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，z2是复平面上的复变函数。但√z在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,ƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像，记为ƒ(A)。函数ƒ规定了A与ƒ(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果ƒ(A)∈A*，称ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，则称ƒ把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ，如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异，则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为ƒ的反函数，记为z=ƒ-1(w)设ƒ(z)是A上的复变函数,α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。

外尔是20世纪上半叶最重要的数学家之一。他的早期工作在分析学方面。其博士论文中把希尔伯特及其学生关于积分方程的工作推广到积分上限为无穷的情形，其后研究奇异特征值问题。外尔在1913年发表的著作《黎曼曲面的概念》，第一次给黎曼曲面奠定了严格的拓扑基础。1915─1933年，他研究与物理有关的数学问题，企图解决引力场与电磁场的统一理论问题，他的工作对以后发展起来的各种场论和广义微分几何学有深远影响。20世纪20年代初，他从一般空间问题进而研究连续群的表示，导致他在1925─1927年最出色的工作，其中包括运用大范围方法研究半单李群的线性表示等。他还把经典有限群的结果扩张到紧群上去，又通过「酉技巧」扩张到非紧的半单群上。他引进的外尔群是数学中的重要工具。量子力学产生后，他首先把群论应用到量子力学中。外尔对哲学始终有浓厚的兴趣。在关于数学基础问题的论战中，他赞同布劳威尔的直觉主义，反对非构造性的存在证明，反对康托的超限数。外尔的主要著作还有《空间，时间，物质》、《连续统》、《群论与量子力学》、《经典群》、《对称》、《数学哲学和自然科学》等。1968年，施普林格出版社出版了《外尔全集》，共4卷 。

复变函数论主要作用是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。积分变换最根本的可以用他们来解决数理方程。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。扩展资料：复变函数的内容：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

波恩哈德·黎曼(公元1826—1866年)，是德国著名的数学家，他在数学分析和微分几何方面作出过重要贡献，他开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。他是个安静多病而且害羞的人，终生喜欢独处。他的同事戴德金（Dedekind）是少数了解他的人之一。据戴德金说，除了黎曼真正糟糕的身体状况之外，他还是黎曼图册(3张)一名疑病症患者。1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。1842年，祖母去世后，他搬到吕内堡（Lüneburg）的约翰纽姆（Johanneum）。1846年，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。在大学期间有两年去柏林大学就读 ，受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。1851年，在柏林大学获博士学位 。1851年，论证了复变函数可导的必要充分条件( 即柯西-黎曼方程) 。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ，成为函数的几何理论的基础。1853年，定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。1854年，发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1854年，成为格丁根大学的讲师，1857年，初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯黎曼之墓坦的广义相对论提供了数学基础。1857年，发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念 ，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。1857年，升为哥廷根大学的编外教授。1859年，接替狄利克雷成为教授。并发表论文《论小于某给定值的素数的个数》，提出黎曼假设。1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。1866年7月20日，他在第三次去意大利修养的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。主要贡献1859年，发表的关于素数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》中，研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，他指出素数的分布与黎曼ζ函数之间存在深刻联系。这一关联的核心就是J(x)的积分表达式。1854年，黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的演说，创立了黎曼几何学。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。另外，他对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献。甚至对物理学本身，如对热学、电磁非超距作用和激波理论等也作出重要贡献。黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。黎曼首先提出用复变函数论特别是用ζ函数研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响 。他是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空间，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。人物评价埃丁顿(Eddington)爵士曾说：“一个像黎曼这样的几何学者几乎可以预见到现实世界的更重要的特征。”高斯说：“黎曼……具有创造性的、活跃的、真正数学家的头脑，具有灿烂丰富的创造力。”近代数学史家贝尔认为：“作为一个数学家，黎曼的伟大在于他给纯数学和应用数学揭示的方法和新观点的有力的普遍性和无限的范围。”德国数学家克莱因说：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。”

部分分式分解即可：f(z)=1/3*[1/(z-2)-1/(z+1)]=-1/3*[ 0.5/(1-z/2)+1/(1+z)]=-1/3*[ 0.5(1+z/2+z^2/4+.)+(1-z+z^2-z^3+...)]=-1/3*[(1/2+z/4+z^2/8+...+z^n/2^(n+1)+...)+(1-z+z^2-...)]=-1/3*[3/2-3z/4+.+z^n(1/2^(n+1)+(-1)^n)+.]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1] （Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵中。

如图1,在z平面中取单位圆|z|<1,在其周界上按反时针向依次任取三点A，B，C,并作一圆弧三角形ABC，其每边均与|z|=1正交，构成一区域D0（图中斜线区）。在w平面中实轴上取定三点α(=0)，β(=1)，γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理，存在一单叶解析函数w =φ(z)，把D0映到w 的上半平面，并使A，B，C分别映到α，β，у。根据对称性原理，w=φ(z)可解析开拓到圆弧三角形Dó中，这里Dó是D0关于AB 弧的对称反演区域(C点反演成圆周|z|=1上另一点C┡)，而函数值则取在w 的下半平面，此下半平面与原上半平面沿线段αβ相粘连。同理，w=φ(z)又可分别解析开拓到D0的关于CA弧和BC弧的对称圆弧三角形中，其函数值也在w 的下半平面中，它们分别与上半平面沿半直线 γα 和 βγ 相粘连。这样，得到了|z|<1中的一圆弧六边形区域，w=φ(z)在其中解析，取值于整个w平面中如上粘连的一个上半平面和三个下半平面。再以此六边形的各边进行反演，则w=φ(z)又可再次解析开拓到|z|<1中边数更多的圆弧形区域中(仍在|z|<1内)，取值又回到w 的上半平面，并与上面已取得的下半平面分别沿αβ，βу，уα之一相粘连。如此无限继续下去，则w=φ(z)就开拓成为整个|z|<1内的解析函数，其所取之值在w平面上形成一无限层的黎曼曲面。w=φ(z)称为模函数。其反函数z=φ(w)是整个w平面除0，1，∞外的多值解析函数，或者可说成是上述黎曼曲面上的单值解析函数。模函数w=φ(z)单值解析于|z|<1内，显然不取值0，1,∞，且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时，不可能有确定的极限值，因此|z|=1是其自然边界，即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。也可用一分式线性变换t=ω(z)，|z|<1,把z变到t平面的上半平面，使A,B,C 分别变成实轴的α，b以及с=∞，而D0变成区域墹 0(图2)，当D0关于其一边界圆弧作对称反演时，相应地墹 0也关于其相应边作对称反演。设t=ω(z)的反函数为z=λ(t)，则w=f(z)=f(λ(t))=φ(t)就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也称为模函数，其性质本质上与ω(z)相类似。如果把构成模函数w=f(z)过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为T1，T2,…，则对于任何Tj，f(z)与？f(Tjz)互为共轭。因此，对任何两个Tj,Tk，恒有f(z)=f(TjTkz)，即当z经过两次这类反演后，其函数值f(z)不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素，它们生成一变换群G，则当z经G任一元变换后，函数值f(z)不变。称G为模函数w=f(z)的不变群，也称f(z)为关于群G 的自守函数(见椭圆函数)。

黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。他的具体成就有：一、复变函数论黎曼和柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人。而黎曼：1．通过复变函数的导数定义，建立复变函数论的基础。2．对多值函数定义黎曼曲面。3．黎曼曲面的拓扑（黎曼是第一个研究曲面拓扑的人，他引进横剖线的方法来研究曲面的连通性质）。4．黎曼曲面上的函数论（黎曼研究的基本问题是黎曼曲面上函数的存在性及唯一性问题。他比以前数学家的先进之处在于，函数的存在不必通过构造出解析表达式来证明，黎曼可以通过其奇点来定义，这对后世数学有重要影响。）。5．狄利克雷原理（黎曼给出其证明并有效地表述及运用狄利克雷原理，这个原理是他从狄利克雷的课程中学来的）。二、阿贝尔函数论关于阿贝尔函数，黎曼发表过两篇文章：一是《阿贝尔函数论》，一是《论函数的零点》。1．阿贝尔积分的表示及分类（黎曼对由定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类。第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界。线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数，这p个阿贝尔积分称为基本积分。第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点。第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数奇点。每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和。2．黎曼－洛赫定理（这是代数函数论及代数几何学最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形态）。3．黎曼矩阵，黎曼点集和阿贝尔函数。4．函数及雅可比反演问题（为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比函数，引进了黎曼函数）。5．双有理变换的概念和参模。三、超几何级数和常微分方程超几何微分方程有3个奇点0，1，α，它作为二阶微分方程有两个独立特解y1和y2，其他解均为这两解的线形组合。黎曼的思想是当y1，y2沿绕奇点的路径变化时必经历线形变换。对于所有绕奇点的路径，这些变换组成群。他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形，他证明给定线形变换后，这n个独立函数满足一个n阶线形微分方程，但他没有证明这些奇点（支点）和这些变换可以任意选取，从而留下了著名的黎曼问题。希尔伯特把他列入23个问题中的第21个问题。四、解析理论黎曼是现代意义下解析数论的奠基者，生前他只在1859年发表过一篇论文《论给定数以内的素数数目》。五、实分析——函数观念，黎曼积分，傅立叶级数，连续不可微函数黎曼积分是数学特别是物理应用的主要分析工具；黎曼还是最早认识到连续性及可微性的区别的数学家之一。六、几何学黎曼的空间观念使数学及物理发生空前的变革。黎曼的几何论文有两篇，一篇是他的授课资格的演讲，另一篇是所谓《巴黎之作》，即《论热传导问题》。

　　闭曲面是指没有边界点的紧致连通2维实流形（曲面）。它分为可定向曲面与不可定向曲面。　　性质　　1. 可定向闭曲面必定同胚于亏格g黎曼曲面∑_g, 也就在球面上挖g个洞，然后分别粘合g个环柄而得到的闭曲面。这里g称为亏格。　　2. 不可定向曲面必定同胚于gP^2, 就是在球面上挖g个洞， 然后分别粘合g个莫比乌斯带的边缘而得到的曲面。　　上述两条结论统称为闭曲面分类定理， 是组合拓扑学中最经典的定理之一。

代数拓扑在物理中的应用一般都很浅，大多数情况只是使用到概念层面，很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群，同调群和上同调群。在场论中，这三个概念有各自常用的使用语境。同伦群：常见于刻画规范场位形的拓扑结构，最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类，分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群，比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。同调群：同调群用得相对较少，用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞，或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞，就可以讨论非平凡的拓扑荷（拓扑通量）。比如的，就可以讨论磁单极子的整数磁通量，或者电荷慈磁荷量子化。利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系，还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛，或者更复杂的 gerbe（高级线丛）。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型，target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构，从而 target space 上定义了一个 gerbe。在2维拓扑非线性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射，就用映射所属同调类。上同调群：物理中用得最多的代数拓扑对象。1）规范场中，刻画相应矢量丛的拓扑通常是会用示性类，这些示性类都是空间流形上的上同调类。比如计算欧拉示性数用欧拉类，瞬子数用陈特性，涡旋数用第一陈类。2）2维拓扑 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代数对应到目标流形的 de Rham 上同调，或者，超对称算符，,变成外微分算子，Dolbeault 算符，BPS 算符的关联函数变成目标流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 则是联系 Mirror-对偶的 Calabi-Yau 目标流形对应的 A-twist 和 B-twist 模型，两个目标流形有对调的上同调群。3）许多时候物理问题需要研究某些算符的上同调群。最常见就是超对称量子力学中超对称算符的上同调群，这个上同调群的生成元与系统的基态（即的调和态）一一对应。算符的 Witten index 定义为复形的欧拉示性数，是超对称物理中比较重要的数。指标定理：作为重要的计算工具，指标定理也出现在不少物理问题中（当然本质上都是数学家早就熟知的数学问题）。1）比如计算某些带拓扑荷的规范场位形的模空间，包括涡旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓扑弦中黎曼曲面的复结构模空间维度；2）计算各类反常，比如手征反常，规范反常使用 Dirac 算子的指标；3）有时某些算符的指标直接就是计算目标，比如 Witten index 4）有时需要计算算符的superdeterminant，可以找与之交换的微分算符 ，并通过计算的（等变）指标来获得的波色、费米本征谱之间的不完全抵消关系，然后写下superdeterminant

世界上最难的三年级数学题 世界上最难的三年级数学题三年级，数学的高深莫测很多时候不是我们用常人思维能够解开的，数学的研究人类一直都在进行着，我们不妨看看这世界上最难的三年级数学题是怎么样的。 世界上最难的三年级数学题1 哥德巴赫猜想（GoldbachConjecture）大致可以分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）： 每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和； 2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命 题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年，陈景润证明了"1+2"，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。离猜想成立即"1+1"仅一步之遥。 第三题，考查学生读题的严密性，注意“往返”二字。 第四题，涉及价格比较问题，要把两个自助餐厅所花餐费计算出来，再比较，很多孩子落下最后的比较，即684>552这步不能少。 第五题，仍然是考查读题能力，要注意第二个条件是“后两个班共捐了543本”，和第一个条件意思不一样。 第六题，除了比价问题，还涉及买票方案，逻辑思维强的孩子可以设计出四套方案，一套方案是往返都坐火车，第二套是往返都坐飞机，第三套方案是去时坐火车（飞机），回来时坐飞机（火车），经过计算只有往返都坐飞机的票价，超过了3500元。 第七题，平移与旋转现象表述要准确。 第八、九题，“和倍问题”，知道总和，知道总倍数，先求出一倍数，即先画线段图，理清倍数与和的关系，再套用“总和/总倍数＝1倍数”，求出一倍数，再根据条件算出相应的答案。 第十题，“归一问题”，即先求了单一量，再比较。 第十一题，考查孩子的读题、理解题意的能力，中间的长句所表达的意思要读懂才能做对题。 第十二题，“等量代换问题”，要引导孩子画线段图或者写分析式：3笔记本+1练习本＝14元，1笔记本＝2练习本。因此将“3笔记本”代换为“3*2练习本”，就有了7本练习本＝14元，即可求出1个练习本的单价。 第十三、十四题，和九十题一样，都是“和倍问题”。 第十五题，分配问题，先求出总数，再重新分配。 第十六题，赚钱问题，要让孩子知道“售价－进价＝利润”。 第十七题，涉及理解除法的含义，即被除数是除数的几倍，商就是几，被除数是商的.几倍，除数就是几。商乘以除数就等于被除数。 第十八题，有两种做法，一种是按竖式迷类题型来推算，另一种则用“差倍问题”来对待。一个数末尾添一个0，相当于此数扩大了10倍，因此得到的数与原数的差就是9倍的数，因此801除以9，就是原数一倍的数。 第十九题，考查读题能力，特别是最后问的是大约能发电多少度，求近似值，很多同学因求成“准确数”而减分。第二十一题也是求“约数”。 第二十二题，分析过程有些繁琐，但题目难度不大，考查用数学说明问题的能力。 第二十三题，“差倍问题”此题全班无一人做对。要根据“同加同减差不变”的原理，推知田强和刘伟存进同样多的钱后，两人的存款差依然是（828－200），而此时田强是刘伟存款的2倍，说明此时两人钱数差是2倍，由此可求出一倍数。 此类题和“和倍问题”一样，要引导孩子画线段图，理清差与倍数的关系，求出1倍数。 第二十四题，和二十三题一样，都是“差倍问题”，是上一个题的再巩固。 第二十五、二十六题，考查孩子的读题，理解题意的能力，也可以引导孩子画图，理清题意。 第二十七题，考查孩子运用数学分析问题的能力，通过计算出不同买票所花钱数后再比较。 第二十八题，“倒推法”，用错误算法得到的结果倒推回去，求出未知数，再正确计算出正确结果。 第二十九题，理解除法的含义，被除数减少的数，除以商少的数，就是除数，求出除数，再按正确数算出正确的商即可。 第三十题和第三十一题，都是打折问题，算节省了多少钱，即用未打折时所花钱数－打折后所花钱数。两种算法，都要让孩子理解。 第三十二题，依然是比价问题，要计算出不同方案所花钱数再比较。 第三十三、三十四、三十五题都是“和倍问题”，总和数除以总倍数＝1倍数。 第三十六题，引导孩子画图理清题意。 第三十七、三十八题，涉及“差倍问题”，第三十八题，不够整倍数的，要通过“多退少补”的方法来凑成整倍数。即“4倍少3”，要给“差数+3”凑成4倍数。 第三十九题，“等量代换”问题，即“甲数的3倍与乙数的5倍之和”＝3倍的（甲+乙）+2个乙数。 第四十题，“植树问题”，两端都种要加1。 总之，自从高考改革以后，近两年从小学到初中，数学越来越重视孩子的思维能力培养，越来越重视运用数学思维解决实际问题的能力，关键是理清解题思路，多让孩子做一下思维训练题，有利于培养孩子的逻辑思维能力。 世界上最难的三年级数学题2 1、史上最坑爹的数学题，添加直线 下面这个是中国小学四年级的奥数题，据说99人都答错了或者根本觉得不可能完成，在下面这个图形里，你只能添加一条直线，使这个图形划分为两个三角形。 你先花点时间慢慢思考解答，记住要用非常规思维去看待这个世上最坑爹的数学题，答案在第二页。 2、史上最坑爹的数学题，火柴棍 看下图，这是由8跟火柴棍组成的2个四边形，要求是在只移动两根火柴棍的情况天，让其变成一个四方形，火柴棍不能折断。也不能弯曲，同上面第一题，要不按常理出牌哦！ 先研究一下，实在不行的话，去第二页查看答案。 3、史上最坑爹的数学题，走格子 下面这幅图里是由16个格子组成，问题是：从起点到终点，不重复走完所有的格子，不能斜着走，更不能走出方格，该怎么走？ 世界上最难的三年级数学题3 时间单位的换算，只要牢记两个进率，基本上不会出错。 7时等于多少分？先根据一小时等于六十分，再去推想七小时就是七个六十分，七个六是四十二，那么相应的，七个六十就是四百二十。 除了简单的时分秒换算，比较难的一类题目是既有时又有分。 像这类题目，就需要使用加法进行计算，先把时换算成分，再把两部分相加。这道题目，需要先把2时换算成120分，然后加上后面的30分，最后结果是150分。 从三年级小同学开学的数学作业来看，整体比较差，难道是假期综合症吗？一个假期疯狂地玩，开学后进入不了状态，导致书写也乱，错题也多。 要避免假期综合症的影响，就得引导小学生尽快收心，回归到课堂上。不能因为假期养成的坏习惯，影响到开学以后的学习。这就需要家长引导孩子，明确学习目标，及时进入状态。 小学的知识都比较简单，但是对于粗心的孩子来说，错题还是很多的。最好能及时消化所学，如果出现了问题，马上进行纠正，补漏。 小学生的学习习惯是非常重要的，如果养成散漫不认真的习惯，势必会影响到学习成绩，家长需要帮助孩子养成规范书写、独立思考的好习惯，一旦养成良好的学习习惯，家长基本上就不用再操心孩子的学习了。

1． 连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 　　2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 　　1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 　　3． 两个等底等高四面体的体积相等问题 　　问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 　　4． 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 　　《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 　　5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 　　6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。 　　7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。 　　8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。 　　9．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。 　　10． 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。 　　11． 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。 　　12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。 　　13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。 　　14． 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。 　　15． 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。 　　16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。 　　17． 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。 　　18． 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。 　　19． 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。 　　20． 一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。 　　21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。 　　22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。 　　23． 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。 摘自百度百科

阿基米德简介阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史 家贝尔(E．T．Bell，1883---1960)说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中， 必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比， 拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．”阿基米德的名字在他同时代的 人们中成为贤明的象征，他会用简单的方法解最难的问题．古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔 克(Plutarch，公元前1 世纪)说：把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到 过，假如有谁尝试一下自己解这些题目，他会什么也得不到．但是，如果他熟悉了阿基米德的解 法，那么他就会立刻得出这样的印象，这个解法他自己也会找到．阿基米德用如此容易和简明的 方法把我们引向目的． 阿基米德出生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，他的父亲是天文学家，曾撰写过有关太 阳和月球直径的文章．阿基米德早年在亚历山大学习，以后和亚历山大的学者一直保持联系． 阿基米德终生倾心对科学的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普鲁塔克曾写道：阿基米德 废寝忘食，完全忽视关心自己的身体．经常要强迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在 这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形．古罗马建筑师维脱罗卫(Vitruvius，公元 世纪)记述的阿基米德发现浮体规律的情景，令人感叹不已．有一次叙拉古的亥厄洛(Hieron)王让人制造纯金的皇冠．做成后国王怀疑是否完全用纯金制成，便请素称多能的阿基米德来鉴 定．阿基米德曾长时间地思考解决的方法，正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的 浴盆中时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻．于是，他忽然想到不同质料的东西，虽然重量 相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而 且知道偷去黄金的重量．这次成功的发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊： “我找到了”．经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿基米德原理”--- 物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量． 在阿基米德一生的最后几年中，表现出了真挚的爱国热情．他为祖国的安危献出了自己全部 力量和智慧．当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙拉古时，阿基米德发挥了自己的聪明才智， 制造新的机械对抗罗马当时先进的军事设施．他制造了许多武器，做好在任何情况下击退敌人的 准备．若敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的“重炮弹”和“火箭”阿基米德简介，击 败敌人的战船．当阿基米德发觉炮弹落得太远，不能击中船只时，便使用了适合较小距离的投射 机器．这样，使罗马军队胆战心惊，以致他们无力再向前推进．希腊文献记载，当罗马兵船靠近 城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧．另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹 出去，烧毁敌人的战船．总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式器械，给罗马军队以沉重的打 击，为保卫祖国作出了重大贡献．后来，终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了．一种说法是阿基米 德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形．当一个罗马士兵冲到他面前 时，阿基米德严肃地说：“走开，不要动我的图．”罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺死 了阿基米德．终年75 岁．根据阿基米德生前遗嘱，在墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征着 他特别珍视的发明． 阿基米德在数学中做出很多贡献，他的许多著作的手稿一直保存到现在．一些数学史家都把 他的原著译成现代文字．例如，希思的英译本，兹瓦利那的德译本，维尔埃斯克(P．Ver．Ee －cke)的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯(E．J．Dijksterhuis)的名著《阿基米德》．其著作涉 及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识．保存下来的阿基米德著作 多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作．主要是《论球与圆柱》(On Cylinder)，《论抛物线求积法》(On Quadrature Parabola)，《圆的度量》(Measurement Circle)，《论螺线》(OnSpirals)，《论平板的平衡》(OnPlane ConoidsSpheroids)，《砂粒计算》(The Sand Reckoner)，《论方法》(On Method)(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理)， 《论浮体》(On Floating Bodies)，《引理》．在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平 面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究．在这些研究中，他预见到了极微分割 的概念，这个观念在17 世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限 概念．阿基米德的求积法蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，发现了定理 阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并且用穷竭法建立了这样的结果：“任何由直线和直 角圆锥体的截面所包围的弓形(即抛物线)， 下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法．AQ 是一抛物线弓形，抛物线顶点为A(如图3．14)．Q 处平分，作图中所示的各线段就可完成图形．现在，Q ＝3AC．采用同样方法重复把Q 平分就可证明(1)式的右方加上等．在这些线上不断这样做下去，就可证明抛物线弓形面积是 这里是指AQ 然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的．这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积S，它就一定同时大于它又小于它．而这是不合理的，由此，推知 抛物线弓形的面积等于 阿基米德在《圆的度量》(Measurement acircle)一文中，利用外切与内接96边形求得 圆周率π 史上最早给出的关于圆周率的误差估计．在进行证明时，阿基米德避免了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所怀疑 的．他考虑了内接多边形和外切多边形．他确立这个基本原理的方法是说明并证明：“给定二不 等量，则不论大量与小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出两条直线，使得较长的与较短的之 比更小(大于1)；(2)作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面 积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比”．然后就像欧几里得所做过的那样，他证明 如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小．阿基米德对 此做了一点补充，即指出若把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积 之差，小于任何给定的面积． 阿基米德还研究了螺线，撰写了《论螺线》一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米 德对数学的全部贡献中最出色的部分．许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方 法．值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一 动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线．这种螺线后来称为“阿基米德 螺线”．螺线有一个基本性质，把矢径的长度和初始线从初始位置旋转时所通过的角度联系起来．此 基本性质是以命题14 出现的，现在都以r＝aθ 这个方程来表示之．阿基米德然后证明了，在第 一个周转和初始线之间所包围的面积，亦即在矢径O 一直线在螺线的末端与螺线相切"并从固定端另作一直线垂直于旋转一周后返回到原处的直线，以致与切线相遇，我认为这样做成的与切线相遇的直线，就等于这个圆的圆周”．此即为《论螺 线》一书中命题24． 阿基米德在《砂粒计算》(论数砂)著作中，设计出了一种表示大数的计数系统，能表示超出 当时希腊计数系统所能表示的数．在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000，并将 10000 叫做无数之多．阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出 了更高位的单位．据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题”．实质上要从7 个方程 中，得出8 个正整数解，最后归结为一个二次不定方程 这个方程的解的位数相当大．《引理》(Liber Assumptorum)一书是阿基米德最早的著作阿基米德简介，其中含有15 个命题，例如： 命题2，如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍． 命题3，如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4 条线段的平方和等于直径 的平方． 在《论浮体》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先给出了比重比流体小的物体、相 同的物体、大的物体浮力的法则，这确实是一部具有时代意义的杰作． 阿基米德在数学的创作中，运用了很多独到的方法．尤其他根据力学的原理发现问题之法， 被整理成《阿基米德方法》(The Method L．Heiberg)在君士坦丁堡(Constantinople，现称伊斯坦布尔(lstanbul)，土耳其最大城市)发现阿基米德写给 厄拉托塞(Eratosthenes，约公元前274---194 年)的信以及阿基米德其他著作的传抄本，记述 了阿塞米德结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问 题．其要点是：体积是由面积构成，面积是由彼此平行的直线构成．每条直线都有重量，而且与 它们的长度成正比．因而可以把问题归结于使未知的几何图形与已知的几何图形相互平衡以求重 心，其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积，球和球冠面积，旋转双曲体体积就是例证．实际上， 这是通往积分的较快的迂回之路．阿基米德信心百倍地预言：“一旦这种方法确立之后，有些人 或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是 我所预想不到的．”阿基米德为了能在数学中确立发现问题的方法，并给出了逻辑证明．阿基米 德的预言，终于在近2000 年之后，得以实现．18 世纪，丹尼尔伯努利(Da－niel Bernoulli) 由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解．19 世纪中叶黎曼 (G．F．B．Riemann)由电学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数函数． 阿基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，使证明的过程颇为复杂，但 他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具 体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段． 由于阿基米德在科学研究中，注意在实践中洞察事物的各种现象，并透过现象认清本质，然 后通过严格的论证，使经验事实上升为系统的理论，因此，阿基米德在天文学、力学等方面也作 出了重大贡献． 阿基米德一生酷爱天文学，但遗憾的是他关于天文学的著作没有保留下来，根据希达克斯 (Syntaxis)的记载，为了进行天文观测，阿基 比较精确的．并用仪器测量太阳的视角直径等，据说阿基米德撰写过《天文仪器的制作》(On spheres)一书，现已失传．总之，阿基米德的所有名著都以精确和严谨著称．正如数学史家希思所说，“这些论著毫无 例外地都是数学论文的纪念碑．解题计划的逐步启示，命题次序的巧妙排列，严格排除与目的没 有直接关联的一切东西，对整体的润饰---其完美性所给人的印象是如此之深，以致在读者心中能 产生一种近乎敬畏的感情”．

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1]，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。中文名复变函数外文名complex function产生时间十八世纪又名解析函数论定义以复数作为自变量和因变量的函数快速导航发展简况 内容 定义 极限与连续性 复变函数的导数起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。[1]发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[1]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算

解：根据复数的对数计算规则，有Lnz=lnz+2kπi=ln丨z丨+iargz+i2kπ，其中，-π≤argz≤π，k=±1，±2，……。∴Ln(2)=ln2+i2kπ。Ln(-1)=ln1+iπ+i2kπ=(2k+1)πi。∵1+i=(√2)(1/√2+i/√2)=(√2)e^(πi/4)。∴ln(1+i)=(1/2)ln2+πi/4。以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。参考资料来源：百度百科——复变函数

如图所示：主要还是看负幂项的情况分析，所以可以看出这个z=0是极点。内容介绍：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1]，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。中文名复变函数外文名complex function产生时间十八世纪又名解析函数论定义以复数作为自变量和因变量的函数快速导航发展简况内容定义极限与连续性复变函数的导数起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。[1]发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[1]内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算

　复变函数与积分用途：复变函数的用处还是很大的。比如一个解析函数的实部和虚部对应的是一个平面场。果是静电场的话实部相当于场强，虚部相当于电势。再比如留数定理可以用来计算实积分，很多广义积分在实变函数范围内是根本积不出来的，而应用留数定理你就找找边界算算奇点很容易就积出来了。各种变换的应用就更多了很多，最最根本的可以用他们来解决数理方程。

应该是的。虚部恒为0，实部是个分段的二元函数，而且还不连续，所以复变函数不连续，因为复变函数连续当且仅当实部和虚部都连续。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

解：根据复数的对数计算规则，有Lnz=lnz+2kπi=ln丨z丨+iargz+i2kπ，其中，-π≤argz≤π，k=±1，±2，……。∴Ln(2)=ln2+i2kπ。Ln(-1)=ln1+iπ+i2kπ=(2k+1)πi。∵1+i=(√2)(1/√2+i/√2)=(√2)e^(πi/4)。∴ln(1+i)=(1/2)ln2+πi/4。以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。参考资料来源：百度百科——复变函数

难，只能说会者不难，难者不会，因人而异，只能说 学通就好。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

判断零点。如果第一次求导就得常数0那么就是一阶的，第二次求导得到常数0那么就是二阶的。后面的类似。第n次求导得到常数0那么就是n阶。判断极点。就是看使分母为零的数，比如，sinz/z这道题0就是他的极点。再比如，sinz/z的4次幂，0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶。所以，0是分式的3阶极点。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。参考资料：百度百科-复变函数

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫作黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。

与逻辑运算里面的非运算类似，就是不包括D的那部分区域。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。扩展资料：w=u0192(z)。这个记号表示，u0192(z)是z通过规则u0192而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=u0192(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=u0192(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数。即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z) 是复平面上的复变函数。但f(z)在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。

函数概念的发展历史　　1.早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。　　1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。　　2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数　　1718年约翰61贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。　　1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰61贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰61贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。　　3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。　　1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。　　等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。　　4.现代函数概念──集合论下的函数　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。　　1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”　　术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。　　但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。当然，映射也只是一部分。 [编辑本段]幂函数　　幂函数的一般形式为y=x^a。　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.　　可以看到：　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。　　（6）显然幂函数无界。 [编辑本段]高斯函数　　设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。　　任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1） [编辑本段]复变函数　　复变函数是定义域为复数集合的函数。　　复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。　　复变函数论的发展简况　　复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。　　复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 　　upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型 　　downcase 字符型 使大写英文字母变为小写 字符型 [编辑本段]阶梯函数　　形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数. [编辑本段]反比例函数　　表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。　　反比例函数的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1　　反比例函数的特点：y=k/x→xy=k　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。　　反比例函数图像性质：　　反比例函数的图像为双曲线。　　反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。　　当 k >０时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数　　当k <０时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数　　倘若不在同一象限，则刚好相反。　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。 　　知识点：　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。　　2.对于双曲线y＝ k/x，若在分母上加减任意一个实数m (即 y＝k／x（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） [编辑本段]程序设计中的函数　　许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C语言中:　　int max(int x,int y)　　{　　return(x>y?x:y;);　　}　　就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与返回值。C++程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。　　带有（一个）参数的函数的声明：　　类型名标示符+函数名+（类型标示符+参数）　　{　　}　　不带参数的函数的声明：　　void+函数名（）　　{　　}　　花括号内为函数体。　　带参数的函数有返回值，不带参数的没有返回值。　　C++中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（实参）　　调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同。　　有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。　　#include <iostream>　　using namespace std;　　int f1(int x, inty)　　{int z;<br>　　return x+y;<br>　　}　　void main()　　{cout<<f1(50,660)<<endl<br>　　}　　C语言中的部分函数　　main（主函数）　　max（求最大数的函数）　　scanf（输入函数）　　printf（输出函数）

判断零点。如果第一次求导就得常数0那么就是一阶的，第二次求导得到常数0那么就是二阶的。后面的类似。第n次求导得到常数0那么就是n阶。判断极点。就是看使分母为零的数，比如，sinz/z这道题0就是他的极点。再比如，sinz/z的4次幂，0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶。所以，0是分式的3阶极点。扩展资料：如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面。参考资料：百度百科-复变函数

　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。[编辑本段]复变函数论的内容　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。　　复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。