近世代数

满足 的a称为一个n次单位根,若 ,而 时, ,则称a为n次本原单位根 一个n次本原单位根可生成所有的n次单位根 方程 在复数范围内有n个根 ,其中 令 ,则S关于复数的乘法法构成一个n阶循环群,故 是本原单位根 n元多项式 ,若 ,有 ,则称为对称多项式 对称多项式与对称群 有关 中的元 是 这n个数码的一个置换 设 为任一多项式,定义 在 上的作用： 故 是对称多项式 ,有 由任一置换都可表成一些对换的乘积,故 是对称多项式 ,有 例：n=3时, ,取 ,则 是一个对称多项式 若取 ,则也是一个对称多项式 例：在苯环上结合 ,一共可形成多少种不同的化合物 解：RSA公钥密码 成立一个密码管理中心,使用密码的每个用户都需要取密码管理中心登记,每个用户在登记时,密码管理中心为用户选取一个大整数 ,其中p和q是两个不同的大素数 中心可计算欧拉函数 ,用户选择一个小于 且与它互素的正整数e 由辗转相除法可得整数d,l使 ,即 用户将n和e公开,将d,p,q保密,仅用户与中心知道 e称为该用户的公开密钥或加密密钥,d称为该用户的秘密密钥或解密密钥 在选择n时,n要选得足够大,使得在现有的技术条件下,因子分解n是不可能的 若不知道p和q则无法计算欧拉函数 只要知道了一个用户(A)的公开密钥e,任何人(B)都可向他发送加密信息,在计算机中,一个信息都由0和1组成的数字串表示,设B要发给A的信息m为 ,利用二进制,可将m表为一个整数 ,假设 ,B可利用A的公开密钥e将信息m加密,得到密文 ,B将密文c通过公开的信道发给A,A收到密文后,利用他的秘密密钥d解密,计算 ,由欧拉定理, ,A就从密文c得到了明文m 注：假设m与n互素,实际上m为p或q的倍数的可能性很小 任何人都可从公开信道上截获密文c,但由于他不知道A的秘密密钥d,因而很难从c算出m,若秘密密钥d泄露出去,该密码就被破译了 若不知道 ,很难从已知的公开密钥e推算出秘密密钥d,若知道 ,就相当于知道n的因子分解 由 可知p和q是二次方程 的根,故RSA公钥密码的安全性与因子分解问题密切相关,若n能被分解,该密码就能破了

定义：设R是有单位元的交换环,x是一个文字,和式 称为环R上的多项式,简称x的多项式,其中每个 ,且只有有限多个 ,即 ,使 ,其中x也称为不定元 称为 的系数,所有的 都称为多项式的系数 若 ,则上述定义中的多项式简写成 若多项式f(x)的每一个系数都为0,则称为零多项式,记作 设 , 若 ,有 ,则称f(x)与g(x)相等,记作 设 为R上的非零多项式, ,其中 ,非负整数n称为f(x)的次数,记作 , 称为首项系数 当 时,对 不定义次数中定义加法和乘法 设 则 其中 两个多项式相加即对应系数相加, 是 中一个确定的多项式 若 中 , 中 ,取 若 ,则 的表达式中 ,其中 故每一项 中,或者 ,或者 故 或 ,从而 定理： 对以上定义的加法和乘法作成一个环,且若R为整环,则 也是一个整环 证明：定理：设R是一个整环, 是 中的非零多项式,则 注： 1.两个定理中 是一个整环很重要,例如 ,则 中, ,但 是一个有零因子的环,2和3都是 的零因子 2. 称为R上的多项式环 定义：设D是一个UFD, 是 中一个次数 的多项式, ,若系数 的最大公因子是D中的单位,则称f(x)是一个本原多项式 例： 中, 是本原多项式, 不是本原多项式 易知, 中的次数 的不可约多项式一定是本原多项式,反之不一定成立 例： 中, 是本原多项式, 是可约的 引理：设D是一个UFD,则 中任一次数 的多项式都可写成 ,其中 , 为 中的本原多项式,且c和 在相差一个D中的单位因子的意义下唯一确定 证明：引理：设D是一个UFD,则 中的两个本原多项式的乘积还是本原多项式 推广：有限多个本原多项式的乘积依然是一个本原多项式 引理：设D是一个UFD,F是D的分式域, ,且 ,若f(x)是D[x]中的不可约多项式,则f(x)在F[x]中也是不可约的,若 是 中的本原多项式,且 在 中是不可约的,则 在 中也是不可约的 证明：注： 1.若D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的不可约多项式只有两类：D中的不可约元和在F[x]中不可约的本原多项式 2.若取D为 ,则F为 ,即整数环上的本原多项式在整数环上不可约当且仅当它在有理数域上不可约 引理(推论)：设D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的一个次数 的多项式f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积当且仅当f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积 定理：设D是一个UFD,则 也是一个UFD 证明：例： 是一个UFD,故 是一个UFD,同时 不是一个PID 例如 就不是一个主理想 唯一分解整环不一定是主理想整环

作为一名工科生，我很喜欢研究数学，这其中就包含了《近世代数》这门学科，那么我们今天的问题是环的真子域定义，那么我们需要从什么是《近世代数》学科？什么是“环”？什么是“环的真子域”开始。什么是《近世代数》学科？近世代数是抽象代数，代数是数学的一个分支，它大致可以分为两部分：初等代数和抽象代数。初等代数它主要研究一个代数方程（系统）是否可解，如何求代数方程的所有根（包括近似根），以及代数方程的根的性质。1832年，法国数学家伽罗瓦利用“群”的思想彻底解决了用根求解多项式方程的可能性，他是第一个提出“群”概念的数学家。他通常被称为现代代数的创始人，他把代数从解代数方程的科学转化为研究代数运算结构的科学，于是称为近世代数。什么是“环”？那么环的定义涉及两个部分，既（R,+）交换群和（R,*）半群，那么咱们需要回顾什么是群：它具有如下四个特性：封闭性、单位元、逆元和结合律。满足上述四个条件加上运算的集合可以称为群，加上一个交换律就是一个交换群（阿贝尔群），从中减去单位元素，逆元素就是一个半群。也就可以知道群、环和域是满足某些条件的集合，这些条件可以是大的，也可以是小的，可可数也可以是不可数的。一个元素可以是一个组“0”，三个元素也可以是“0,1，-1”。可数：整系数多项式（可验证为环）。不难发现，就是一步步的增加条件，最终得到的就是我们想要的答案。那么什么是“环的真子域”？对于这个问题，即可简单得出结论：若R是它一个环，然后E是R的真子环，同时又要有：U(E)=E{0}（E又必须是一个域），也就可以说这个E就是R的真子域。

除环中非零元必有逆元

环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法（一般用‘+"表示），另外一个叫乘法，如果满足以下三个条件1） R对加法作成一个群，叫做加群（单位元称为零元，一般用"0"表示；a的逆元一般用‘-a"表示）2） R对乘法满足结合律： (ab)c=a(bc)3） 乘法对加法满足左右分配律：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca其中a,b,c为R中任意元素。则称R对这两个代数运算作成一个环。环R对乘法满足交换律，则称R为交换环（可换环）；否则称为非交换环（非可换环）。如果环R含有有限个元素，称环R为有限环；否则为无限环。有限环R元素个数称为R的阶；无限环的阶为无限。环R的阶用|R|表示。零乘环：设R是一个加群，再对R中任意元素a,b规定 ab=0。R显然是一个环，称作零乘环。定义：环R中元素e，对R中每个元素a都有ea=a，则称e是环R的一个左单位元。如果ae=a，则称e是环R的由单位元。环R中既是左单位元又是右单位元，叫做R的单位元。如果环R有单位元，则显然是唯一的，一般用‘1"表示。环中元素的一些乘法规则：1）0a=a0 (0是环R的零元，也就是加群的单位元)证： 因为 0a+0a=(0+0)a=0a，也就是 0a是0a关于加法的逆元，而加法的单位元是0(零元)，故 0a=-(0a)=0a0+a0=a(0+0)=a0，故a0=0。因此 0a=a0=0 (证毕)2) (-a)b=a(-b)=-ab证：因为 (-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0，故 (-a)b=-(ab)。a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0， 故a(-b)=-(ab)。 （证毕）3）(-a)(-b)=ab证：(-a)(-b)=a[-(-b)]=ab。 （证毕）4）c(a-b)=ca-cb,(a-b)c=ac-bc证：c(a-b)=c[a+(-b)]=ca+c(-b)=ca-cb,(a-b)c=[a+(-b)]c=ac+(-b)c=ac-bc。 （证毕）5） (∑i=1mai)(∑j=1nbj)=∑i=1m∑j=1naibj证： 当m=1,n=1时，显然成立。当m=1,n=2时,就是左分配律，显然成立。设m=1,n=q>1时成立，则 (∑i=11ai)(∑j=1qbj)=a1(∑j=1qbj)=a1(b1+...+bq)=a1b1+...a1bq则，n=q+1时， a1(b1+...+bq+bq+1)=a1[(b1+...+bq)+bq+1]=a1b1+...a1bq+a1bq+1 也成立。因此对，m=1,n大于等于1都成立。 同样可对m=2,及m大于2用数学归纳法证明。（证毕）6）(ma)(nb)=(na)(mb)=(mn)(ab)，其中m,n为任意整数证：当m,n为正整数，显然就是5）的特殊情况。当m,n中有一个为零，显然成立。当m,n中有负整数时，例如m<0,则设m=-q (q>0),则ma=-qa=q(-a)，类似可得。（证毕）环中，正整数幂， an=aa...a (n个a相乘)。规定， a0=1 。当环有单位元，并且元素a有逆元（乘法来说），即存在元素b，使得ab=ba=1,还可以对a引入负整数幂的概念au22121=(au22121)n子环：设S是环R的一个非空子集，如果S对R的加法与乘法也作成一个环，则称S是R的子环，记作 S≤R 或 R≥S 。定理：环R的非空子集S作成子环的充要条件是a,b∈Su21d2au2212b∈Sa,b∈Su21d2ab∈S证： 由环的定义显然可得。（证毕）左零因子：设 a≠0 是环R的一个元素，如果R中存在元素 b≠0 ,使得ab=0,则称a为环R的一个左零因子。右零因子：设 a≠0 是环R的一个元素，如果R中存在元素 b≠0 ,使得ba=0,则称a为环R的一个右零因子。左、右零因子，统称为零因子。只有必要时才区分。左或者右。正则元：环R中既不是左零因子也不是右零因子的元素，称为正则元。定理：环R中，若a不是左零因子，则ab=ac,a≠0u21d2b=c ;若a不是右零因子，则ba=ca,a≠0u21d2b=c证：由ab=ac得，a(b-c)=0，由于 a≠0 且不是左零因子，故b-c=0,b=c;同理可证另一结论。（证毕）整环：阶大于1，有单位元且无零因子的交换环称为整环。特征：若环R的元素对加法有最大阶n，则称n为环R的特征（或特征数）。若环R的元素对加法无最大阶，则称R的特征是无限（或零）。用char R 表示环R的特征。定理：设R是一个无零因子的环且|R|>1,则1）R中所有非零元素的阶（对加法）均相同；2）若R的特征有限，则必为素数。证：1）若R中每个元素的阶均为无限，已证。若R中存在某个元素 a≠0 的阶为n，则在R中任取 b≠0 ,有a(nb)=(na)b=0b=0。但a≠0，R又无零因子，故 a(nb)=0u21d2nb=0 ,所以 |b|≤n 。设 |b|=m,则(ma)b=a(mb)=0,ma=0, 故 n | m。从而 n≤m=|b| 。因此|b|=n。即1）得证。2）设 charR=n>1,(n=n1n2,1<ni<n) ,则R中任取 a≠0 。由于R中每个元素得阶都是n，故n1a≠0,n2a≠0 ,但， (n1a)(n2a)=n1n2a2=na2=0 ,这与R是无零因子环矛盾。故n必是素数。（证毕）定理：若环R有单位元，则单位元在加群（R，+）中得阶就是R的特征。证：若单位元1在加群中的阶是无限，则R 的特征当然是无限；若1的阶是正整数n，则R中任取 a≠0有 na=(nu22191)a=0a=0 ,即n是R中非零元素的最大阶，即char R = n。（证毕）

作为一名工科生，我很喜欢研究数学，这其中就包含了《近世代数》这门学科，那么我们今天的问题是环的真子域定义，那么我们需要从什么是《近世代数》学科？什么是“环”？什么是“环的真子域”开始。什么是《近世代数》学科？近世代数是抽象代数，代数是数学的一个分支，它大致可以分为两部分：初等代数和抽象代数。初等代数它主要研究一个代数方程（系统）是否可解，如何求代数方程的所有根（包括近似根），以及代数方程的根的性质。1832年，法国数学家伽罗瓦利用“群”的思想彻底解决了用根求解多项式方程的可能性，他是第一个提出“群”概念的数学家。他通常被称为现代代数的创始人，他把代数从解代数方程的科学转化为研究代数运算结构的科学，于是称为近世代数。什么是“环”？那么环的定义涉及两个部分，既（R,+）交换群和（R,*）半群，那么咱们需要回顾什么是群：它具有如下四个特性：封闭性、单位元、逆元和结合律。满足上述四个条件加上运算的集合可以称为群，加上一个交换律就是一个交换群（阿贝尔群），从中减去单位元素，逆元素就是一个半群。也就可以知道群、环和域是满足某些条件的集合，这些条件可以是大的，也可以是小的，可可数也可以是不可数的。一个元素可以是一个组“0”，三个元素也可以是“0,1，-1”。可数：整系数多项式（可验证为环）。不难发现，就是一步步的增加条件，最终得到的就是我们想要的答案。那么什么是“环的真子域”？对于这个问题，即可简单得出结论：若R是它一个环，然后E是R的真子环，同时又要有：U(E)=E{0}（E又必须是一个域），也就可以说这个E就是R的真子域。

看来你是数学读研的朋友，这几门课都比较麻烦。 个人认为数学物理方程最麻烦，其实就是偏微分方程，单单数学专业，建立方程及定解条件的过程一般可以省掉，但如果是偏物理学专业课程，这个过程对于数学专业来说那就麻烦了。 另外个人觉得矩阵分析最简单，需要线性代数的知识； 近世代数学的是群、环、域等知识，比较抽象，其实就是一些研究对象加上运算满足一定运算率的运算后组成的集合，需要线性代数和一点微积分知识。其他几门课得看你是学什么专业，你最好是去咨询你的导师，只有他最清楚将来要你做哪一方面的东西，所以只有他能告诉你必须学什么，哪些可以略知一二。

定义：设E是F的扩域, 为域的扩张, 为E的自同构,若 ,有 ,即 在F上是恒等映射,则称 为E相对于F的自同构,所有E相对于F的自同构组成一个群,称为扩张E/F的伽罗瓦群,记作 例： 1.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 的所有根为 ,故 是 在 上的分裂域 定义 相对 的自同构 , 在 上为恒等映射,且 在任一 相对 的自同构下, 一定映射为 的某一个根,故 是 的所有相对 的自同构,即 ,故 显然 群 与模p乘法群 同构,后者是循环群,任一模p的原根g是它的生成元,故伽罗瓦群 也是循环群 当g为模p的原根时, 即 的生成元 伽罗瓦群 中任一相对自同构可看作多项式 所有根的一个置换 注：将求解代数方程转化为研究方程所有根的一个置换群(伽罗瓦群) 2.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 , 是 上的一个n次不可约多项式 的根 的所有根为 ,故 是 的正规扩张 域 相对 的任一自同构必将 映射为 的某一个根 令 为 相对 的自同构 ,有 ,则 是由 生成的n阶循环群,其中 引理：设 为有限扩张,则 证明：定义：域的可分正规扩张称为伽罗瓦扩张,域的有限可分正规扩张称为有限伽罗瓦扩张 注： 为交换群或循环群时, 分别称为交换扩张(阿贝尔扩张)或循环扩张 定理：若 是有限伽罗瓦扩张,则 证明：注：若K为F和E的中间域( ),E/F为伽罗瓦扩张,E为F的可分正规扩张,则E也是K上的可分正规扩张,故E/K也是伽罗瓦扩张,此时K是F上的可分扩张,但不一定是正规扩张 例： 1.设p为素数,p次本原单位根 , 是伽罗瓦扩张 2.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张, 是伽罗瓦扩张 定义：设 为域F上的多项式,E为 在F上的分裂域,则称 为多项式 或方程 在F上的伽罗瓦群 例：设 , ,E为 在 上的分裂域,故 是伽罗瓦扩张 在 上的极小多项式为 , 在 上的极小多项式为 故 又 故 ,以 表示 中6个相对 的自同构, 在 和 上的作用分别为

引理：设p为素数, 为p次本原单位根, 是p次循环扩张,则有 ,使 ,故 是根式扩张 证明：引理：设 为域扩张,则 再K上的伽罗瓦群同构于 在F上的伽罗瓦群的子群 证明：引理：设 为有限可分扩张,N为包含E的F上的最小正规扩张(称为E在F上的正规闭包),若 有根式扩张序列,则 也有根式扩张序列 证明：定理：F的特征为0, 且为首1多项式, ,则 在F上根式可解当且仅当 在F上的伽罗瓦群为可解群 证明：

　　伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。　　抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的概念的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。　　抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。

设 为伽罗瓦扩张, 为它的伽罗瓦群, 为 的子群 令 ,即 是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有 例： 的6个元中, 是恒等映射 它对应的固定子域 故 , 是2阶子群 易知 类似地, 也都是2阶子群故 易知 故 是一个3阶循环群,且 方程 的3个根为 方程的伽罗瓦群 是这3个根的置换群 若用循环置换表示,并1代表 ,2代表 ,3代表 ,则 , , , , 即 中的偶置换群 易知 的固定子域为 定理：若 是伽罗瓦扩张, ,则 证明：定理：设 为伽罗瓦扩张, , ,则 和 互为逆映射,给出了 和 之间的反序一一对应 注：反序指：若 ,则 ,若 ,则 证明：例： 1.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 是由 相对 的自同构 生成的n阶循环群 其中 G的任一子群 ,r为n的因子 ,故 当且仅当 ,即子群 对应的固定子域是 2.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 g为模p的原根, 是由相对 的自同构 生成的p-1阶循环群G的任一子群 ,其中e是p-1的因子 推论：设 , ,则 , 其中 为由 和 生成的G的子群, 表示域 生成的子域 证明：

定义： , ,若 ,则称a与b模m同余,记作 ,否则称a与b模m不同余,记作 利用同余,可在整数集合Z上诱导出一个关系 ,称为模m同余关系 定理： ,则模m同余关系是等价关系,即 (1) ,有 (2) (3) 注： 1.模m同余关系的商集记作 2.任一整数a所在的同余类记作 ,也称为同余类或剩余类 3.任一整数a用m除所得的余数只能为 中的一个, 为模m的完全剩余类,其中 为那些除m所得的余数为i的所有整数构成的集合 定理： , ,则 1.若 ,则2. 3. 4.若 ,d为a,b,m的任一公因数,则5.若 ,则6. 7. 证明： 3. 定义： , ,若其中任意两个数均不在模m的同一个剩余类中,则称 为模m的一个完全剩余系 若 中有某个数与m互素,则 中所有的数与m均互素,此时称 为与模m互素的一个剩余类,因而有 个与模m互素的剩余类,在与模m互素的每个剩余类中取一个数,得到 个与模m互素的数,它们组成的集合称为模m的一个缩系 定理：若 ,则 为模m的一个缩系 且 ,有 定理：若 ,且 ,则当x与y分别跑遍模m的一个完全剩余系时, 恰好跑遍模mn的一个完全剩余系 证明：定理：若 且 ,则当 分别跑遍模m,n的一个缩系时, 恰好跑遍模mn的一个缩系, 证明：推论：设 ,则定理：设 , ,则 证明：在实际应用中经常要计算 模m的值,利用欧拉定理,先计算 ,其中 ,即 ,即 ,从而简化运算 推论：若p为素数, ,则 证明：

(1)G"是G中所有换位子[a,b]=a-1b-1ab所生成的群，题目定义是不对的。证明正规性利用性质[a,b]-1=[b,a]和g[a,b]g-1=[gag-1,gbg-1]（2）设G"=H，则G/H可交换就是要证aHbH=bHaH等价于abH=baH,等价于(ab)-1ba=b-1a-1ba=[b,a]∈H。（3）和（2）类似，因为[a,b]∈N，所以G"含于N，故G"<=N