庞加莱猜想

因为“黎曼假设”4个汉字不断重复，200÷4=50（组）所以第200列的第一个汉字是：设；第二行是“庞加莱猜想”5个汉字不断重复，200÷5=40（组）所以200列的第二个汉字是：想；第三行则是“哥德巴赫猜想”6个汉字不断重复，200÷6=33（组）…2（个）所以200列的第三个汉字是：德答：第200列从上到下依次是：设，想，德3个汉字．

NP 完全问题， 郝治（Hodge） 猜想， 庞加莱（Poincare） 猜想， 黎曼（Rieman ）假设，杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程， BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。 最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以 下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅 中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女 士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这 样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问 题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与 此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你 可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。 不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表 面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的 数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密 相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它 对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大 约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引 进根本上的新观念。 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气 式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的 理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 “千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

我会庞加莱猜想。言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点.另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题.这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗.一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利?庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个.1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球.但1905年发现提法中有错误,并对之进行了修改,被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面.”后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”.如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子,这个空间是一个球.或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子.我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里.现在拿一个气球来,带到这个球形的房子里.随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）.这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以（对形状也有一定要求）.但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破.还要假设,这个气球的皮是无限薄的.好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹.吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙.我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理.一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终.艰难的证明之路[编辑本段]2000年5月24日,美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一,这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题,经许多年仍未解决.”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励.另外六个“千年大奖问题”分别是：NP完全问题,霍奇猜想（Hodge）,黎曼假设（Riemann）,杨－米尔斯理论（Yang-Mills）,纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes,简称NS方程）,BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）.提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它.但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来.于是,拓扑学家们开始了证明它的努力.一、早期的证明[编辑本段]20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项.但突然,英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣.他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,失之桑榆、收之东隅.但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特海流形.30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中.帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家.因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”（Papa）.在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客.帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn"s Lemma）而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰?米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力.”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上.在普林斯顿大学流传着一个故事.直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言.

庞加莱认为的三类科学假设分别举例如下：第一类假设是“隐蔽的定义”，举例为：是纯属自然的,人们难以摆脱。我们很难假设遥远物体的作用就是可以忽略，还有小规模的运动是遵循线性法则以及结果是关于起因的函数。第二类假设是中性假设，是一种能够帮助科学家计算、理解图像或是坚定信念的辅助性技巧或手段，举例为：例如我们在大多数问题的分析里也就假设在推算开始，物质要么是连续的,或者相反是由原子构成的。假设也有可能是相反的,但结果最终还是一样的，也只是相反的路走得更复杂一些，仅此而已。第三类假设是概括，是对事物之间关系的描述，举例为：是真正的归纳总结，这些就是必须要实验来验证或者证实。不管结果是对是错，都不熊说一点用都没有。关于庞加莱三类科学假设的比喻：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里，随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

黎曼假设、普安卡雷猜想、霍奇猜想、戴尔猜想、斯托克斯方程、米尔斯理论、P对NP问题（上述问题刊登在该研究所网址www.claymath.org） 英、美两家出版社不久前曾表示，谁在两年内证明哥德巴赫猜想这一“数学王冠上的明珠”，将会得到奖金100万美元。这一消息激起的波澜尚未平息，汇集了世界超一流数学头脑的美国“克莱数学所”5月24日又宣布，为7大数学难题悬赏求解。该所给这7大难题命名为“千年大奖问题”，并给每题的证明开出了100万美元的价码。 在“克莱数学所”宣布为7大难题悬赏举行的新闻发布会上，著名数学家怀尔斯教授就以一个过来人的姿态表示，希望通过将解决数学难题与奖金挂钩，能“对未来几代数学家形成激励和鼓舞”。现年45岁的怀尔斯1995年因证明悬而未决350年的“费尔马大定理”而名震一时，他自己对兴趣在一个数学家成长过程中的作用深有体会。怀尔斯回忆说，他10岁时在一本连环画上首次知道了什么是“费尔马大定理”，这成为他不懈求索的起点。 “克莱数学所”挥金如土的另一个原因，是因为此次悬赏求解的7大难题是20世纪中没被数学家啃下来的最硬的几块“骨头”。过去 100年中，地球上最优秀的大脑面对它们都无计可施。而这几道难题的破解，据认为极有可能为加密学等研究带来革命。例如，有关专家指出，7大难题中最有名的“黎曼假设”一旦被攻克，将有助于研制出提高因特网上信息传输安全性的新手段，用户的信用卡账号信息、医疗和金融资料等将得到更有效保障。而其余的“普安卡雷猜想”、“霍奇猜想”、“戴尔猜想”、“斯托克斯方程”、“米尔斯理论”以及“P对NP问题”等6大难题，据认为解决后也有可能会给航天等领域带来突破性进展，并开辟匪夷所思的全新数学研究领域。 除在巴黎举行的年会上公布上述7大待解的数学难题，“克莱数学所”还在其网址上提供了有关悬赏的详细信息。“克莱数学所”所长、美国哈佛大学贾菲教授认为，虽然悬赏无具体时间限制，但估计至少4年内都难以产生获奖者。根据“克莱数学所”的规定，任何人要想证明自己解决了其中某一难题，其成果必须首先在权威数学刊物上发表，然后需拿出两年时间，供国际数学界对其进行评议。即使得到国际数学界接受，“克莱数学所”要搞自己的评审，最终才决定是否掏出百万美元的奖金。 即使这7大难题最终无法得解，但它们的探求最终也会产生有益的“副产品”。按美国加州圣马丽学院德夫林的比喻，悬赏的7大难题好比数学领域的“珠穆朗玛峰”。在对珠峰的征服中，虽然最终登顶的仅仅是少数，但成功者登攀过程中遗留下的生存设备和技巧，却会使无数后来者受益。德夫林认为，提出悬赏的7大难题，其意义也就在此。

庞加莱猜想 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。 20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。 50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn"s Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。 这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。 一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。 1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。 10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。 然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。 人们在期待一个新的工具的出现。 “就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。 可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？ 工具有了 里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。 1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。” Ricci流，以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。 第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕（Witten），坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。 1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？ 在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。

有什么具体的应用，我并不清楚。所谓有助于人们对流形的认识，实在算不上什么具体的应用。但Poincare猜想是十分基本的一个命题，的确是可以看出来的。不学一点拓扑学的话，可能对Poincare猜想是什么都不大明白。首先必须指出，上面引用的百度百科的条目，把Poincare猜想的内容叙述都写错了。“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”，这是错的（这是不懂数学的人抄三联周刊的一篇文章，改动时抄错），甚至前面一句也不对；我找到的比较严格的叙述是，任一单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的 n 维流形，如果具有n维球面S^n的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S^n。非3维的情形很早已经证明，其实主要是3维的情形。Poincare讲的是三维流形的分类问题。三维流形并没有现实直观的几何例子，比如上面说的三维球面（注意并不是三维的实心球体）至少要在四维空间中才能画出来。为了直观地类比，可以考虑二维的情形。直观一点就是说，一张连通一片的、没有洞的皮，总能鼓成一个皮球，而且只能鼓成皮球一种形状。这张连通无洞的皮就是一个二维单连通闭流形（直观上的图形总是可定向的，我们忽略不可定向的情况）。无洞就是说不能像一个轮胎，也不能像一个有孔可以吹的气球。说它能鼓成皮球，就是说这张皮是方的也好，长的也好，都可以连续地形变为球面。二维的情形实际上是拓扑学中一个比较经典的定理，即闭曲面分类定理的一种分类。可以看出，这个定理说的是一件很基本的事情，就是满足最简单性质的一个曲面的形状只有一种，就是球面。增加一维，三维的情形就是Poincare猜想。把二维的皮换成三维的“皮”，把二维的球面换成三维的球“面”，就是Poincare猜想。可以看出它也是很基本的，因为它说的是最简单的低维图形的分类问题。Poincare猜想研究的是低维的图形（它可以在四维空间画出来）。现代物理学中经常遇到这样的空间，所以说Poincare猜想有助于物理学的认识的深入，应该是肯定的。

“七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，而且是中国科学家完成“最后封顶”工作———中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。数学家杨乐说，如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在50％以上，提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在25％左右。“中国科学家的贡献，包括丘成桐、朱熹平、曹怀东等，在30％左右。”扩展资料：庞加莱猜想（Poincaré conjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。参考资料来源：百度百科-庞加莱猜想

庞加莱认为的三类科学假设分别举例如下：第一类假设是“隐蔽的定义”，举例为：是纯属自然的,人们难以摆脱。我们很难假设遥远物体的作用就是可以忽略，还有小规模的运动是遵循线性法则以及结果是关于起因的函数。第二类假设是中性假设，是一种能够帮助科学家计算、理解图像或是坚定信念的辅助性技巧或手段，举例为：例如我们在大多数问题的分析里也就假设在推算开始，物质要么是连续的,或者相反是由原子构成的。假设也有可能是相反的,但结果最终还是一样的，也只是相反的路走得更复杂一些，仅此而已。第三类假设是概括，是对事物之间关系的描述，举例为：是真正的归纳总结，这些就是必须要实验来验证或者证实。不管结果是对是错，都不熊说一点用都没有。关于庞加莱三类科学假设的比喻：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里，随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利61庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。现在拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。艰难的证明之路[编辑本段]2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。 一、早期的证明[编辑本段]20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。 30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn"s Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰61米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。

1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

庞加莱猜想就是：任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭线条都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。 这是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。 这还是中国的科学家在美国，俄罗斯等国的科学家研究的基础上破解出的呢！

法国人庞加莱（HenriPoincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。 庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。

庞加莱猜想的内容是：1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想，任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。解释：一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间，单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为高维庞加莱猜想。类比举例：如果伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。因此说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。

庞加莱猜想的内容是：1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想，任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。 解释：一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间，单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为高维庞加莱猜想。 类比举例：如果伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。因此说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。

庞加莱猜想为法国数学家庞加莱提出的一个猜想，克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。扩展资料20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。但是失之东隅、收之桑榆，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。参考资料来源：百度百科-庞加莱猜想

分类: 理工学科 解析: 法国人庞加莱（Henri Poincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。 庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。 代数拓扑是当今数学最具活力的领域之一，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，而这一猜想的陈述又是那样的简洁和明朗，因此设在波士顿的克莱数学研究所于2000年将它列为“七大千年难题”之一，并悬赏100万美金奖励这一猜想的证明者。也正因为如此，当美国媒体和互联网上关于这一猜想可能已被证明的消息传播开来之时，在整个数学界引起的轰动就可想而知了。 对此猜想作出重要贡献的是一位来自俄罗斯的中年数学家格里高利·佩雷尔曼（Grigory Perelman）。他是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员，在过去10年中一直致力于微分几何与代数拓扑的研究。2002年11月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了由美国数学家瑟斯顿（William P. Thurston）在25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”，而“庞加莱猜想”正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的“证明”随后又被推翻，因此数学界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告，介绍了证明的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。 2003年4月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三场演讲，结果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备——或者流利地应答，或者指出其属枝节末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，“即使证明有误，他也发展了一些工具和思想，足以导致对‘几何化猜想ue131的精致处理，其中有极为振奋人心的东西”，克莱研究所所长卡尔森（Jim Carlson）如是说。 数天后的 4月15日，《 *** 》首次以“俄国人报告，著名的数学问题解决了”为题向公众披露了这一消息。同日有影响的数学网站MathWorld刊出的头条文章为“庞加莱猜想被证明了，这一回是真的”。佩雷尔曼很快成了一个新闻人物，但他对此很不适应。两周后当他应邀在纽约大学柯朗研究所演讲时，报告厅里挤满了记者和慕名而来的非专业听众。佩雷尔曼演讲的热情大打折扣，他拒绝回答记者提出的“有何应用”的问题，并大声制止为他拍照的企图。对包括《自然》、《科学》这样声名显赫的杂志的电信采访他也不屑一顾。后来人们干脆找不到他了，连他在圣彼得堡的同事们都不知道他在哪里和在做什么。2003年年底在加州召开了两个以他的工作为主题的研讨会，他也没有到会。 佩雷尔曼不但生性腼腆，而且特立独行。大约10年前访问美国时，他的工作就曾引起人们的注意并因此得到在美国大学工作的机会，但是同他的许多有才华和机会的同胞相反，他很快返回俄国，过着几乎是隐士般的生活。“他需要的是数学，而不是奖赏、资金和职位”，这是今年1月刚出版的《自然》杂志（Nature 427）上一篇关于他的文章所用的提示语。 佩雷尔曼的证明目前正由几位有资格的专家进行严格的审查。田刚已经审读完第二篇报告的大部分，到目前为止还没有发现什么漏洞，他希望在今年夏天完成其余的部分。数学家们的系统审查则可能延续到2005年，到那时我们才能知道“庞加莱猜想”是否已经被证明了，以及佩雷尔曼是否会得到“千年大奖”。

“七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，而且是中国科学家完成“最后封顶”工作———中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。数学家杨乐说，如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在50％以上，提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在25％左右。“中国科学家的贡献，包括丘成桐、朱熹平、曹怀东等，在30％左右。”扩展资料：庞加莱猜想（Poincaré conjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。参考资料来源：百度百科-庞加莱猜想

就拿费马大定理所在的数论领域为例你首先需要掌握必须的初高中课本知识以及初等数论（我的能力目前仅仅局限于此，这些问题如果你感兴趣的话可以私信交流）然后学习必要的大学知识，不要因为为了数论学习就不学几何了。但是也不能全部都学，这样的话会有极大的工作量，不必学习所有前沿知识。数论方面你可以学习交换代数，同调代数，交换代数，然后可以学习代数数论，此后的我便不能对此做任何指导了，希望你不要被这些吓到。数学是有趣的，也是艰难的，也是奇妙的，生动的。希望你能在数学的道路上一直走下去

《追寻宇宙的形状：庞加莱猜想》百度网盘高清资源免费在线观看:链接:https://pan.baidu.com/s/13KlIr4p11i5ja1r-lDf7xw?pwd=majw 提取码:majw《追寻宇宙的形状：庞加莱猜想 The Spell of the Poincare Conjecture》类型: 纪录片制片国家/地区: 美国语言: 英语片长: 59分钟庞加莱猜想就是说如果有无限长的绳子抛到宇宙中，应该可以收回来，也就是说宇宙不是甜甜圈的样子。这个拓扑学难题吸引了无数数学高手，却在百年后被地青的俄罗斯青年数学家佩雷尔曼破解，而且他还拒绝见任何人！

1、蜂窝猜想 四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表.他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能...

卡拉比。 卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实，所以比较难。卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的，在封闭的空间，有无存在没有物质分布的引力场。

____我仔细看过庞加莱猜想破解的经过，觉得楼主说得有理，作为中国人，我始终觉得朱禧明和曹怀东的成功被夸大了，感觉不对味儿！ ____贝雷尔曼的确是个心地十分纯洁的数学天才，我很敬佩这样的人，就算在大街上碰到他，我最多顺便看他两眼，但我不会去打扰他！他是一个数学天使，只为数学而生，他是人类的最纯洁的好孩子！ ____至于朱禧明和曹怀东的成就，我们当然不能否认，不管怎样，他们是我们中国的骄傲。至于头衔的给予只是相关机构的态度罢了，制度不可或缺，所以大家都不好处理这一头衔的安置，大家心里有数就行了！ ____其实大多数数学上的巨大成就的突破，都不是 一人之功，那些站在数学顶峰的人们，反而觉得头衔、金钱、地位离他们遥远而无意义，和我们普通人认为高等数学离我们遥远而无意义一样！ ____其实朱禧明和曹怀东还是很低调的，如果没有媒体，他们不会让太多人知道他们俩是干嘛的！这不是他们的错，咱们没有必要怪罪国人的人品这个层次上来了，有些事情，大家是身不由已的，或是实在不好处理才不得以而为之，再说了，这也不是什么丑事，事情经过明了啦，就行了，让数学家们安心工作吧！

丘成桐一直相信Hamilton会解决庞加莱猜想，而他们是朋友。Grigory Perelman在2002年11月11日通过电子邮件告知丘、田、Hamilton等他在x 上发表了他的证明。Grigory Perelman说：“如果我错了，有人使用我的工作得到了一个正确的证明，我将很高兴。我从来没有认为我是猜想的唯一解答人。”田刚和Grigory Perelman是多年的好友，很兴奋可以理解。于是田刚邀请Grigory Perelman在2003年4月开始到MIT讲述他的证明。普林斯顿，加州石溪分校也纷纷发出邀请。Grigory Perelman痛快接受。Hamilton和丘成桐被Grigory Perelman的声明震惊。“我们觉得没人可以找到答案。”丘成桐在北京告诉我们说：“但是2002年Grigory Perelman发表了一个东西。他只是走了一个捷径，没有如我们的详细地证明。”Grigory Perelman对Hamilton的感激难以言表。从石溪追到哥伦比亚期望得到Hamilton的意见，可小心眼的Hamilton始终未发一言。为何？丘成桐在各种会议上一直坚持认为该证明可能有大的漏洞。现在看来这种说法与其说是科学的谨慎，不如说是嫉妒。在2004年丘成桐在美国自然科学基金申请到近一百万美元，用以研究和应用Grigory Perelman的“突破”。要知道问题解决意味着众多的数学家变得没有目标。田刚是受克莱所委托对Grigory Perelman证明进行评价的科学家之一。此项评价是为其一百万美元的悬赏的根据。丘成桐被排除在外。2004年9月，田刚认定Grigory Perelman的证明正确。

证明复杂的数学定理通常需要经过多年的努力和研究，需要运用高深的数学理论和工具，需要具有极高的数学能力和创造力。以下是证明数学定理的一般步骤：熟悉相关领域的基础理论和前沿进展，理解相关概念和定理。有创造性地思考和构建问题的数学模型，找出问题的核心。利用已有的数学工具、方法和技巧，推导出一系列中间结论，并且不断优化、简化这些中间结论。利用归纳法、反证法、构造法等证明方法，将中间结论拼接成一个完整的证明。经过不断的修正和改进，最终得到正确的证明。对于复杂的数学定理，通常需要多个数学家合作进行研究和证明，这个过程可能需要数十年、数百年，也可能需要创造性地发明新的数学工具和方法。例如，费马大定理的证明历经了数百年，直到1995年才由安德鲁·怀尔斯获得证明。庞加莱猜想则在数学家们的持续努力下，于2003年被证明。

分类: 理工学科 问题描述: 我对最近关于庞加莱猜想的新闻报道感到困惑：请在百度中分别搜索以下关键字："庞加莱 中大"和"庞加莱 俄罗斯"后请告诉我是怎样一回事? 解析: 俄国数学家彼列尔曼 丘是个宝器 近来只会捣乱 不断口出狂言 在竟外大骂北京大学 还贬低陈景润 这次竟然又如此乱来 大家要警惕啊———————————————————————————— 再说“猴子的扳手”——从《科学时报》的一篇报道说起 bbs.te/viewthread.php?tid=134329 2006年8月2日，《科学时报》登出了题为《哥德巴赫猜想、庞加莱猜想和“猴子的扳手”》的时评（cas.acDir/2006/08/02/14/26/57），该文虽然被部分网站转载，不过却并没有引起太多的关注。笔者却从中发现若干值得注意的地方。 《科学时报》是何许媒体？2006年6月3日，该报纸以《中国数学家最终证明庞加莱猜想》为题发布了一个让国人振奋不已的消息：位列世界七大数学难题之一的庞加莱猜想最终被中国人证明，并引述国际著名数学大师丘成桐先生的话：“数学的大问题都是一步步解决的，中国人完成了最后一步，他们为这幢大厦封顶。中国人做出了这么好的工作，我为中国骄傲！”成为第一时间见证这一重大新闻事件的为数不多的媒体之一，接下来“封顶”一词遍布中国各大媒体。6月5 日， 《科学时报》专访丘成桐先生，这就是《丘成桐眼中的朱熹平、曹怀东》一文，该文也不忘补上一句：“只有像朱熹平、曹怀东这样的实干数学家多了，而老数学家不打压排挤他们，中国数学才有希望”。 日子才过去不到两个月，《科学时报》登出了截然相反的一篇评论。不妨看看其中的句子： “我吃惊不是这篇文章把解决庞加莱猜想的功劳一古脑地全归于俄国数学家Perelman，甚至把中国数学家的贡献排在其他外国数学家之后，也不是吃惊Milnor教授对中国学者工作的评语居然是：Throwing ‘a monkey wrench" into the question of who gets credit。我吃惊的是：偌大的中国媒体界，上上下下这么多的研究人员怎么会卷进这样的一场‘世界性"的争执，这种局面应该发生吗？这种事情对中国科学发展产生的是何种影响？这样下去，不管大家的主观愿望是如何的纯正无邪，可客观上数学研究是否也要被无奈地‘忽悠"起来？……中国数学家的工作居然成了争名夺利的‘捣蛋"了？” “学术问题不应由媒体影响力来解决；国家的声誉，即使可能性十分小，也不应被拖入学派甚至门第之争。近来网上数学界的论争几乎成了金庸武侠小说的 ‘数学"版，这对大家饭后娱乐或许有利，可对数学的健康发展难以产生正面的影响。有时善良的出发点、正确的观点，往往导致不良甚至错误的结果，这虽不是理性数学的逻辑，但却是人性数学的必然。任何有责任的学者对此应有更深更全面的思考。” “对数学的局外人而言，这场争论所引起的哥德巴赫猜想与庞加莱猜想谁更重要之话题，似乎是社会与科学认识上错位的结果而已。” …… 上面引述的三段话，几乎是针锋相对地回应两个月前的报道。如果这仅仅是一篇网络上发表的评论，那倒没什么。需要注意的是，《科学时报》是由中国科学院主办的，中国工程院、国家自然科学基金委员会共办的全国性大型科技类主流媒体（官方解释），也就是说《科学时报》是中科院下属的带有官方性质的媒体，而它的“科技时评”也可以类比为《人民日报》的社论。这样，我们可以去揣测：8月2日的报道给了我们什么信号呢？ 首先的一个推论是：《科学时报》不惜自打耳光，也要澄清这件事情（这对于中国的官方媒体来说，是相当困难的一件事），只能说明：丘成桐的牛皮吹破了。Perelman是解决庞加莱猜想的主要人物，国际上早有公论，至此国内“皇帝的新衣”也到了点破的时候；杨院士所谓的中国人做出30％， Perelman只占25％，完全忽视佩氏杰出成就的行为也遭到了否定。 其次，我们可以进一步的考虑：从去年丘成桐先生掀起一场大风波开始，中国科学院就是作为丘的后盾出现的，特别是在国际数学中心竞争失败之后。而今，中国科学院放出这样的言论，是否表示中科院高层已经放弃了丘这个棋子？ 事实上，在明确对庞加莱猜想的解决主要是Perelman做出来的这个前提之后，丘在今年所引导的这场事件就变成了一个闹剧，国外媒体将之称之为 “a monkey wrench”，在国际学术界上是一件很丢脸的事情。而中国诸媒体相信所谓权威的一面之辞，推波助澜，搞到现在不可收拾；如果是一般媒体倒也罢了，可是《科学时报》作为中国科学院的官方报纸，也出现这样的错误，就说不过去了。 据笔者了解，对世纪七大数学难题给出百万美元奖金的美国Clay数学研究所，在了解到Perelman给出的证明方法以后，交由两拨人马进行审查，其中一拨就是田刚和Man。这两组人马都已经做出了结果，Man-Tian的论文长达400多页，已经交给了Clay研究所，而且早于曹 -朱的论文发表。这两拨人马做出的结果都非常谨慎的交付审查，根据Clay研究所的说法，七大难题是否得到彻底解决，百万美元该奖励给谁，一个必要的条件是必须经过至少两年的同行审查。对于田刚来讲，做出这个结论不过是“帮帮忙”，对Perelman的证明方法做出解释，让学术界了解佩氏的成果是多么的重要，完全没有争功的念头；而曹-朱却在丘成桐先生的一手操纵下，在丘主编的杂志上抢先发表论文，审查时间不过几个月。凑巧的是，丘先生宣布庞加莱猜想被中国人“封顶”的时间，恰好是中国科学院院士大会举办之前，这仅仅是巧合？ 而这一事件，在不明内情的普通民众心中，自然是中国科学界的大事，前有丘大师的权威说法，后有杨院士的贡献划分，再加上《科学时报》这样的主流媒体的推动，国人当然拍手称庆，网上的愤青们对于一些保持谨慎的言论则大加斥责，说是嫉妒。笔者所见一个blog上甚至有“朱熹平的成就超过了华罗庚、陈景润”的说法，未免可笑。 这场风波另一个不可收拾的局面是：丘先生为了表明曹-朱的成果是多么的重要，不惜对中国数学界神话般的人物陈景润先生加以否定，由此又掀起了一场大的争论。或许庞加莱猜想的重要性确实大于哥德巴赫猜想，但是对于中国科技界来说，陈景润先生代表了一个时代的精神；而且陈先生对于哥德巴赫猜想的成果达到了目前国际数学界的顶峰，而曹-朱的成果不过是“临门一脚”（或许“临门一脚”都算不上，球场上谁射进了球是要登上射手榜的）。如果说去年丘先生全盘否定北大数学科学学院院士还只是挑战了一所大学而已，那这次丘对于陈老先生的贬抑则严重挑动了国内数学界的情绪。 在国际上沦为笑柄，在国内又不得人心，这场（我姑且将之称为）“风波”是该到了结束的时候，丘先生以一个美籍华人数学家身份，让中国学术界沦为国际上的“a monkey wrench”，丘先生自然可以逍遥事外，中国学术界却是不可承受之重。中国科学院官方媒体来将之收场，也算给自己找了一个台阶下。 再说“猴子的扳手”——从《科学时报》的一篇报道说起(续) 回顾2005年的另一场丘先生挑起的风波，最后以教育部封杀BBS言论为终点。一份网络上流传的封杀令是这么说的：“一段时间以来， *** 相继报道国际数学界知名人士丘成桐先生批评北大田刚教授及北大教学质量的系列文章，引发国内外数学界以及广大网民的广泛争论，并影响到国内数学界的团结”，按照中国官方传统，这句话当是对这一事件的最后定性：盖棺定论就是丘先生“影响国内数学界团结”。丘先生接下来接受采访的时候声称以后回中国将持护照，免得被抓，将矛头直指中国 *** ；丘先生也明白，到此时批评北大已经没有意义，大势已去，至少在教育部系统已没有翻案的可能。 丘先生想借06年院士大会之机，咸鱼翻身，因而抢先让曹-朱发表论文（根据《丘成桐眼中的朱熹平、曹怀东》一文，曹-朱的论文是由丘先生全程指示的），并且在他以为又重获发言权的时候，再次炮制北大海归造假之言论，再次掀起轩然 *** 。殊不知两个月之后事情就到了不可收拾的地步，1962年菲尔兹奖得主Milnor教授将之斥为“破坏性地挑起了成果之争”，使得科学院不得不出面来为此收场。这篇评论的刊出，虽然没有点名，却实际上表明中国科学院宣告了与丘的分道扬镳。 再加上浙江大学校长换届，1978年后首位浙大外调校长、原国务院学位办公室主任、清华大学教授杨卫接替潘云鹤，杨卫校长是否还会秉持其前任全力支持丘的方针，则拭目以待。如果杨校长也放弃的话，则丘成桐先生在国内苦心经营的两大据点全部报废。 笔者并不否认曹-朱在庞加莱猜想上的成就，但是莫明其妙被丘当枪使就有点无辜了。丘先生一方面指责国内有老数学家打压年轻人，殊不知对年轻学者的捧杀，乃至使两位优秀的年轻数学家陷入“抢功”的丑闻之中，又该不该呢？

21世纪人类发明的科技成就：火星发现有水、人类基因组序列图完成、细胞重新编程技术、证实宇宙暗物质存在、干细胞研究成果、人类探测器创最远纪录等。除此还有庞加莱猜想被证明，2006年6月3日，经过美国、俄罗斯和中国数学家30多年的共同努力，中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学兼职教授曹怀东，最终证明了百年数学难题庞加莱猜想。

是俄罗斯的数学家证实的，我国的两位只是查漏补缺而已，意思是俄罗斯数学家证实了大部分并给与了明确的方向，国内的两位在这个思路上补充了一点，这些世界数学难题，要完整的验证以及补充需要好多年，就像我们普通人高中做题时，思路最重要。我国也是自卑几百年了，科学界顶级的世界难题一个成果都没有，感觉国内教育制度问题太大，如数学经常能拿到奥赛，但是像菲尔兹等数学大奖国内就一个拿不到。感觉我们教育出来的学生就是会做题会考试，但是独立思考创新性问题就不行了。国内还是欠缺太多，就比如对世界科技贡献的学科排名国内连两百都排不到，问题一大堆，社会上对理论科学方面的投入也不够，太急功近利了投入的都是能快速产生收益的，就连电影电视方面亦是如此，看看美国导演能十多年拍一部电影。。。。国内各行各业都显得很急功近利

　2006年6月3日，数学大师、菲尔兹奖得主丘成桐教授在北京宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了庞加莱猜想。大师说：“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶"工作是由中国人来完成的。”为了让普通人了解这一猜想的重要性，大师进一步解释道，“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。”大师此说的根据何在？何以哥氏就不如庞氏？不得而知。但是只证明了1＋2的陈景润身材无疑是越发的见矮了。 　　由于丘大师的特殊声望，没有人怀疑这一消息的正确性。各大中文报纸网站纷纷登出振奋人心的醒目标题：悬赏百万美金求解的数学世纪难题被中山大学教授朱熹平和旅美数学家曹怀东彻底证明！ 　　然而，与喜气洋洋的中文媒体形成鲜明对比的是，对这样一条惊天动地的新闻，国际数学界的反应冷淡到了不可思议的地步。消息传出之后许多天里，用Google查询Poincaré　Conjecture，只能查到这些中文消息的英文翻译。对中国数学家的惊世之作，国际数学界的集体失语，令人有山雨欲来的不祥之感。难道真如丘大师所说，前人只是给大楼打了个基础，而中国数学家完成了最后的“封顶”工作？大家知道，任何一个现代数学难题的最终解决，无不是站在前人的肩膀上完成的。十年前，普林斯顿大学教授瓦尔斯（Andrew　Wiles）寒窗枯坐多年所完成的费尔马大定理的证明，正是这样的一次“封顶”。 　　直到《华尔街日报》7月21日登载了一篇关于庞加莱猜想的专题报导，所谓的“封顶”才被揭开了神秘的面纱。这里只摘要介绍其中与“封顶”有关的信息供读者评估。 　　2002年和2003年，俄国数学家佩瑞曼（Grigori　Perelman）在一个存档网站上贴了两篇论文，给出了庞加莱猜想的证明草稿。他甚至都没有提及庞加莱猜想，因为他认为他证明的是一个更广泛的命题，庞加莱猜想不过是其中的一个推论而已。他的论文不是用期刊发表所要求的严谨格式写成的，因而十分晦涩难懂。正当数学界期待他给出更详细正规的证明时，不按常理出牌的佩瑞曼却如隐士一般从人间蒸发，不再回应。 　　也许论文的潦草正反应了天才是如何与常人交流的。佩瑞曼可能认为他根本不需要为那些在他看来显然的结论详加解说，读者如果愚笨到不能填补他的证明空白，那不是他的问题，与其耗费时间纠缠于那些烦人的细节，不如去做些更重要的事。 　　数学家们于是试图去填补佩瑞曼论文留下的空白。佩瑞曼2003年的论文只有22页，2002年的是39页，可是由密西根大学的克莱纳（Kleiner）和劳特（Lott）逐行加以详解的《佩瑞曼论文注释》（Notes　on　Perelman"s　Papers）却达192页之长。另一本将要出版的关于佩瑞曼论文的书有三百页之多。 　　文章也提到了两位中国数学家的论文：发表在上个月的《亚洲数学期刊》上、根据佩瑞曼博士的突破（写成的）庞加莱猜想的一个“完整证明”长达328页。米尔诺教授称此文是向功劳归属的问题扔了一个“猴子的扳手”。 　　“猴子的扳手”是一句美国俚语，相当于中文里的“搅局”。米尔诺教授可能只是认为，这篇“完整证明”的仓促发表，意在争夺填补佩瑞曼证明空缺的首功，破坏了游戏规则。专家们对庞加莱猜想的归属已有公论，不会想到“完整证明”对于传媒和社会大众还可以有另外一种解释。因为“完整证明”本身就在暗示此前所有的包括佩瑞曼的证明都是“不完整证明”（incomplete　proofs），一面不完整的镜子也就是支离破碎的镜子是不能行使镜子的功能的。 　　顺便说一句，丘成桐教授正是《亚洲数学期刊》的主编。米尔诺（John　Milnor）是纽约大学石溪分校的教授，杨振宁教授的同事，1962年的菲尔兹奖得主。 　　文章继续说，奇怪的是，这本书（注：不是指朱－曹的证明）或克莱纳－劳特的注释却可以作为克莱数学研究院颁奖所需要的参考资料。如此一来，我们陷入了一个怪圈，写出符合颁奖条件的论文作者们却不是发现证明的人，他们的努力只不过将帮助佩瑞曼获得一百万美元的奖金。 　　这篇文章明白无误地告诉我们，佩瑞曼不但造好了大楼，而且封了顶。包括朱、曹在内的数学家们不过给佩瑞曼的大楼铺平了门前的道路，好让克莱数学研究院的专家前来验收时不至于不得其门而入。 　　如果没有确凿的证据，请不要用“种族歧视”或“妖魔化”做幌子来转移视线。陈省声“统治”美国数学界几十年，丘成桐获菲尔兹奖，都是有力的反证。个人愚见，这篇文章浅显易懂，用幽默风趣的语言叙述了庞加莱猜想及佩瑞曼证明的来龙去脉，可读性极强。诸君不妨一读。 　　让我们回顾一下中国数学界的说法。著名数学家杨乐如此评价道：“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。”且不说这个“第一次”需要佐证，即朱、曹二位的论文确实是率先发表并经专家检验无误，而且杨院士的结论显然有严重的误导之嫌。读者不会由此想到朱、曹二位只不过是在解读佩瑞曼的证明。杨院士进一步将庞加莱猜想这块大饼切成了三块，50％送了汉弥尔顿，佩瑞曼25％，中国数学家得了30％。多出来的5％可能是杨院士自掏腰包送丘院士的。根据杨教授的评价，我们只能得出中国数学家的贡献比佩瑞曼高，克莱数学研究院的100万美元奖金非朱曹二位莫属的封顶结论。 　　大家知道，数学是超越意识形态、没有国界人种之别、放之宇宙皆准的学问。在学科分类中，数学是独立于科学（science）之外的。数学证明的对与错，只有黑白之分，没有模糊不清的灰色地带。除非佩瑞曼的证明有错，而且朱、曹二位在他们的“完整证明”中改正了他的错误，否则克莱数学研究院是不大可能将100万美元的奖金颁给他们的。 　　再以刚刚结束的足球世界杯为例。在电视机前观看比赛的观众包括许多铁杆球迷，看到的只是封顶的临门一脚，至于球星背景、攻防转换、战略战术甚至比赛规则其实不甚了了。因此电视解说员的讲解和点评是足球盛宴上不可或缺的一味佐料。但无论解说员如何鼓动如簧巧舌，球场上的风

庞加莱在一篇论文中提出了拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”

难题的提出 20世纪是数学大发展的世纪。数学的许多重大难题得到完满解决， 如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成等， 从而使数学的基本理论得到空前发展。 计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首20世纪数学的发展， 数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。 效法希尔伯特， 许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希冀为新世纪数学的发展指明方向。 这些数学家知名度是高的， 但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。 2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。克雷数学所“千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向， 而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。 2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，98年费尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖. 世界七大数学难题 这七个“千年大奖问题”是： NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。 其中，庞加莱猜想，已被我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东破解了。 “千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。“千禧难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。 “千禧难题”之二：霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千禧难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 6月3日，新华社报道，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东破解了国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想。 “千禧难题”之四：黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千禧难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 “千禧难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 “千禧难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

楼主，我这里的版本表述好像和你的不一样，不过意思一样，“收缩成一点”大概就是“同胚于”吧，具体我也不太懂。楼主真厉害啊，还研究这么高深的问题。法国数学家亨利·庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。

庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。 庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。 庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。 庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行。 庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。 庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。 1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。为了了解时局，他很快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。 1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。 1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。 1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。 庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。 1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。 庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。 1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。 庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。 庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。 庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。 庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。 庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。 庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。 庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。 1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。 1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。 1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁! 庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。 罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是昂利·庞加莱。阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

庞加莱猜想。卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的：在封闭的空间，有无存在没有物质分布的引力场。卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实，包括卡拉比自己。这个猜想的陈类为负和零的情况被美籍华人数学家丘成桐证明，并因此在1982年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖，是第一个获得该奖的华人数学家。庞加莱猜想（Poincaréconjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。