黎曼假设

黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

【黎曼假设】又名【黎曼猜想】，是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ()的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为： 这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成： 其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示： 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1：Γ（s)=(s-1）！。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式： 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。黎曼猜想提出：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）>0.3474N（T）。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式： 文章 的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来No（T）=N（T），即证明了区域内的零点全部落在临界线上。C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的“黎曼猜想”。这也许是数学史上最大的冤案。

黎曼zeta函数的所有非平凡零点在一条直线上。如果只用文本写给你是什么意思，你自己都知道这是不可能的。黎曼假设和一般的数论猜想有一个不一样的地方。一般的数论的猜想没什么数学知识也可以理解，理解黎曼假设是需要一点复变函数的知识的，虽然其实也不多。黎曼zeta函数勉强可以写一下：ζ(s)=∑1/n^ss=σ+it很明显，σ>1时这个函数收敛到一个值。σ=1时发散。研究σ<1情况需要解析拓延整个复平面上，否则没什么趣味了。这里什么是“解析拓延”你可能就不清楚，实际上是使用一中函数变换使得ζ在全平面上有意义。那么什么是黎曼假设呢？我们知道（对你可能不明显，否则你不会到这里来让人用文字文本来解释了）所有负偶数时这个ζ(s)的零点，就是说ζ(s)在s取负偶数是为零（这是拓延后的事情，你先找本教科书弄清楚怎么拓延的）。但是黎曼通过一些计算发现，在σ=1/2的地方有一些分布相当不规则的零点，于是（黎曼的计算法建议去看专著，比如Edwards的一本——名字不记得了，好像叫Riemann"s Zeta Function）提出这样的零点在而且只在这条σ=1/2的线上，这条线被称为critical line这个函数，经过适当的变换，可以和数论中的几乎所有重要的数论函数（算术函数）有联系（比如它的倒数的展开式包含了莫比乌斯函数——你可以参考哈代的《数论导引》），所以Hadamard和de la Vallee Poussin使用ζ(s)在σ=1上没有零点证明了素数定理（可以看Apostol的《解析数论导论》）。并且，好像是von Koch吧，证明了在黎曼假设成立的情况下，素数定理将有最好的余项估计。我想跟你再说点别的。我在这里写的再多，也只是让你继续迷糊，你还是不知道这个问题的有多美和多深奥。你应该去读一本复分析的教科书，比如Alfors的，至少先入门。如果说哥德巴赫猜想已经成为平民化的问题——一打民间数学家说自己证明了哥德巴赫猜想，那么这个黎曼假设就是数学精英们才能研究的殿堂级问题，自从这个假设诞生以来，没有一个大数学家不为之倾心。你可以看这方面的科普书，但估计没什么帮助。在这个问题面前，没有捷径。

在数学中，我们可能会遇到许多任务，其中最常见的是边界和三角函数。多项式零是代数方程的根=0。根据基本代数理论，n-degree是代数方程n根，可以它们是真实的或根深蒂固的。因此，有两种类型的表现，即：当s是大于1的实数时，是一个收敛的无穷级数，产品处于边界状态，那么它是无限产品，而不是零形式：然而，知道黎曼延伸到整个复杂飞机并成为包含大量信息的复杂变量s并没有帮助。与许多边界一样，信息中包含的大多数信息都是从零到零的。它成为了头等大事。有两种类型的零，当s=-2-4-2时，一种是真零。一种是零复合物。黎曼的假设是，这些复杂零的真实部分，即这条线中所有复杂的零（后来被称为临界线）。这个看似简单的问题并不容易。从历史上看，从边界上找到零并不容易，尤其是代数方程的乘积。从特殊函数中找到零并不容易。85年前，哈代是第一个证明这条关键线上有许多零。十年前，我们知道五分之二的复杂零都在这条线上，到目前为止，还没有在这条线之外发现任何复杂的零。这是一个简单而特殊的函数，在数学中非常重要，这就是为什么黎曼假说总是被认为是从1到2的重要假说。如果这个假设有任何突破，就会有许多重要的结果。数论高斯在200年前提出的基本原理，通过100年前黎曼假说的重大突破得到了证明。如果黎曼假说得到充分证明，那么所有的解析数理论都将取得全面的进展。此外，许多任务和扩展被引入代数数理论、代数几何、差分几何、动态系统理论等。他们都有相应的“黎曼假说”，其中一些已经得到证明。这一分支使进步取得突破。可以想象，黎曼假说及其概括是21世纪的主要问题之一。

这个要运用黎曼函数在复平面上的解析拖延来解释. 黎曼假设： 黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2.即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上. ”Riemann 猜想漫谈“

因为“黎曼假设”4个汉字不断重复，200÷4=50（组）所以第200列的第一个汉字是：设；第二行是“庞加莱猜想”5个汉字不断重复，200÷5=40（组）所以200列的第二个汉字是：想；第三行则是“哥德巴赫猜想”6个汉字不断重复，200÷6=33（组）…2（个）所以200列的第三个汉字是：德答：第200列从上到下依次是：设，想，德3个汉字．

我会庞加莱猜想。言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点.另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题.这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗.一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利?庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个.1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球.但1905年发现提法中有错误,并对之进行了修改,被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面.”后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”.如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子,这个空间是一个球.或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子.我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里.现在拿一个气球来,带到这个球形的房子里.随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）.这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以（对形状也有一定要求）.但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破.还要假设,这个气球的皮是无限薄的.好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹.吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙.我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理.一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终.艰难的证明之路[编辑本段]2000年5月24日,美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一,这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题,经许多年仍未解决.”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励.另外六个“千年大奖问题”分别是：NP完全问题,霍奇猜想（Hodge）,黎曼假设（Riemann）,杨－米尔斯理论（Yang-Mills）,纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes,简称NS方程）,BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）.提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它.但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来.于是,拓扑学家们开始了证明它的努力.一、早期的证明[编辑本段]20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项.但突然,英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣.他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,失之桑榆、收之东隅.但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特海流形.30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中.帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家.因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”（Papa）.在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客.帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn"s Lemma）而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰?米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力.”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上.在普林斯顿大学流传着一个故事.直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言.