张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀.90｀圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=aAC=b,则有2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆，给我们解题提供了极大的便利.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1b/a*(b+c)/b*DI/IA=1DI/IA=a/(b+c)DI=IA*a/(b+c)BD=c/b*DCD((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)IXi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))这个坐标公式没有实际意义，因为a,b,c还要用距离公式代入，但训练定比分点是有用的。垂心：A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2Kah=y1-y0/x1-x0Kah=-1/Kbc得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)解出x0,y0即可，很麻烦，如果遇到题目，还是代数据比较好，因为公式麻烦也是一种负担外心，也很麻烦(x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2解方程即可

张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。正弦和角公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, 正弦差角公式:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

简单分析一下，答案如图所示

用《分角定理》证明《张角定理》《张角定理》为中国人发现,即三角形内有一分角线,被分角正弦与分角线之比等于各分角正弦与不相邻边的比之和。用图表述；△ABC,AD内分∠BAC,则有(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= ( sin∠BAC/AD)。由AC外分∠BAD,由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)·(AD/AB) →(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠BAC/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→(BD/BC)=(sin∠BAD/ sin∠BAC)·(AD/AC) →(sin∠BAD/ AC)= (BD/BC)·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)=( sin∠BAC/AD)。证毕。

不能的，大题基本上是用课本的定理

首先，由弦切角定理可以得到：sin∠ACR=sin∠ABCsin∠BCR=sin∠BACsin∠BAP=sin∠BCAsin∠CAP=sin∠ABCsin∠CBQ=sin∠BACsin∠ABQ=sin∠BCA所以，我们可以得到：(sin∠ACR/sin∠BCR)*(sin∠BAP/sin∠CAP)*(sin∠CBQ/sin∠ABQ)=1根据第一角元形式的梅涅劳斯定理，可知△ABC被直线PQR所截即P、Q、R三点共线

不能 只准使用数学教科书上的所有定理公理（包括初中的）以及梅涅劳斯定理 赛瓦定理 西姆松定理和斯特瓦尔特定理 张角定理和九点圆定理以及其他数学定理均需证明再使用

一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题. 三、垂心 三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 四、内心 三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系： 五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切. 重心定理 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系:五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点.这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点.这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点.这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

米勒定理求最大角如下：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。米勒(1436-1476)，德国著名的数学家，曾经在莱比锡大学、维也纳大学学习三角学和天文学，1468年至1471年在维也纳大学任教授。1471年定居纽伦堡，从事天文学研究。米勒对三角学做出了巨大贡献。大约在1461年至1464年间，他写了《论三角》一书。全书共分5册，前两册讲平面三角，后三册讲球面三角。书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理，计算了准确的三角函数表。这些工作使三角学脱离天文学而成为一门独立的学科，米勒也因此被誉为是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家。1471年，米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长（即在什么部位，可见角为最大）。此最大视角问题称之为“米勒问题”，其结论称之为“米勒定理”，这也是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题。

一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀. 90｀圆周角所对弦是直径. (常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等. 同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2 三、垂心 三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆，给我们解题提供了极大的便利. 四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA. 三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切. 重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点 设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F 由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a 由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1 b/a*(b+c)/b*DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA*a/(b+c) BD=c/b*DC D ((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b)) (bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c) I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)] Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)] I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)) 这个坐标公式没有实际意义，因为a,b,c还要用距离公式代入，但训练定比分点是有用的。 垂心： A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0) 用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc 得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0) 同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0) 解出x0,y0即可，很麻烦，如果遇到题目，还是代数据比较好，因为公式麻烦也是一种负担 外心，也很麻烦 (x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2 解方程即可

把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以得到简捷统一的解决。

一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀.90｀圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.中线长度公式:在三角形ABC中,D为BC上的中点,设BD=DC=n,AD=m,AB=aAC=b,则有2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.由三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆,给我们解题提供了极大的便利.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切.重心定理三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),AB=c,BC=a,AC=b,内心为I,AI交BC于D,BI交AC于E,CI交AB与F由平面几何性质得BD/DC=c/b,AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1b/a*(b+c)/b*DI/IA=1DI/IA=a/(b+c)DI=IA*a/(b+c)BD=c/b*DCD((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)IXi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))这个坐标公式没有实际意义,因为a,b,c还要用距离公式代入,但训练定比分点是有用的.垂心：A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),垂心H(x0,y0)用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2Kah=y1-y0/x1-x0Kah=-1/Kbc得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)解出x0,y0即可,很麻烦,如果遇到题目,还是代数据比较好,因为公式麻烦也是一种负担外心,也很麻烦(x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2解方程即可

最大张角定理是：米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。米勒问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。证明：设是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AB是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AB小于∠ACB，故∠ACB最大。最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

用《分角定理》证明《张角定理》《张角定理》为中国人发现,即三角形内有一分角线,被分角正弦与分角线之比等于各分角正弦与不相邻边的比之和。用图表述；△ABC,AD内分∠BAC,则有(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= ( sin∠BAC/AD)。由AC外分∠BAD,由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)·(AD/AB) →(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠BAC/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→

张角定理其实就是面积定理，a,b,m为那个角的三条射线，a左，b右，m中（middle）。A左角正弦，B右角正弦，M左右和角的正弦。那么用边乘边乘夹角正弦的一半表示面积，就有amA+bmB=abM.然后同除三边积，就有A/b+B/a=M/m

简单分析一下，详情如图所示

证法1：设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。证法2：由正弦定理，AD/sinB=BD/sin∠1，　(2.1)AD/sinC=CD/sin∠2，　(2.2)AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)，　(2.3)AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)；　(2.4)那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，从而BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC)　(2.5)由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。将以上两式相加，并将(2.5)代入即可。证法3：由面积和得：0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC

简单分析一下，答案如图所示