正无穷

纠正一下，这个属于反常积分，二重积分算法和这个有什么关系愿闻其详。真算起来非常麻烦，观察后发现可以变形为正态分布的概率密度函数，利用正态分布相关结论求值

这个属于含参量反常积分。在[0,1]*[0,+无穷]上考虑该广义积分的二元被积函数，该二元被积函数在[0,1]*[0,+无穷]上连续，且abs(1/(1+x^2)(1+x^α))<1/(1+x^2)，1/(1+x^2)在[0,+无穷]上收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知广义积分dx/(1+x^2)(1+x^α)在[0,+无穷]上一致收敛，然后就有一堆可交换的性质可以用，你可以随便选一个

不一定能取到正无穷，得看具体函数的值域，比如正弦函数，值域就很狭窄。