关于热学麦克斯韦速率分布函数的最概然速率。

该气体分子平均动能的分布函数f（vx）=1/2m∫（上限vx,下限0）v^2*f(v)dv。麦克斯韦速率分布函数：这个函数称为气体分子的速率分布函数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为：扩展资料首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。这是对于大量气体分子才有的统计规律。现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在uf065附近的单位动能区间内的分子数与总分子数的比的函数)(f的表达式。并由此进一步推出与麦克斯韦分布函数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。

由英国的物理学家麦克斯韦利用概率论在1859年提出的气体分子在理想状况下(平衡状态且不考虑重力等外力的情况下),拥有不同速率的气体分子在总分子数中所占的百分比,具体数学表示形式如图麦克斯韦速率分布律 只适用于由大量分子组成的处于平衡态的气体。

不用背，能理解就好

dNv(z)/N=g(v(z))dv(z) (2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据由上式可求出粒子速率平方的平均值为 <v >=∫v *4π(α /√π)exp

数学上代表图像与x轴所围成的面积是1, 概率上是代表气体的速率在0~正无穷之间的概率是100%.

w是为了方便计算而引入的，相当于数学上的变量代换。可以不引入，计算方法如下：麦克斯韦速率分布函数为 f(v) = 4π（m/(2πkT)）^(3/2) exp(-mv^2/(2kT)) v^2 vp = (2kT/m)^(1/2)，另外上式中的v也在vp附近，所以上式可写成 f(vp) = 4/√π vp^(-3) exp(-1) vp^2 = 4/√π exp(-1) / vpΔN/N = f(vp) Δv = 4/√π exp(-1) Δv / vp = 4/√π exp(-1) 2% = 1.66 %

麦克斯韦分布是速度分布，考虑到空间各项同性，将坐标换成球坐标，把相应角度积分掉，剩下的就是速率分布，形式上在原来的高斯函数前面再乘上4pi v^2即可。

你好！得到的是v1到v2范围内的粒子的速率之和再除以总粒子数，没有任何意义如有疑问，请追问。

气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的。但对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明气体分子的速率分布遵从一定的统计规律。 大量分子的系统处于平衡态时的速率分布为麦克斯韦速率分布。 由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。1920年斯特恩（O.Stern)首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier)和库士（Kusch)测出钍蒸汽分子的速率分布。斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。 在近代气体分子速率的实验成功之前，麦克斯韦、玻尔兹曼等人已从理论（概率论、统计力学等）上确定了气体分子按速率分布的统计规律。这里有一个介绍麦克斯韦分布率的网址，可以上去看看：http://openedu.lntvu.com/CAI/cai_old/zhongyangdianda/dxwl/html/ch41-9.htm

平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。所得的方程即为麦克斯韦速率方程。

在平衡状态下，当分子的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN/N。dN/N是v的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dN/N还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数。分布函数f(v)的物理意义是：速率在v附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图，曲线下面宽度为dv的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N。我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下，温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦，但曲线下的总面积不变。随着温度的升高，速率较大的分子在分子总数中的比率增大。同一温度下，分子质量m越小，曲线越宽越平坦，在分子总数中速率较大的分子所占比率越高。

过程是分别对速率以及速度方加权积分，权值即为速率分布里的△N/N的表达式，结果是本教材都会有

是的 推导过程为：假设分子数为dN的区间内的平均速度为v（因为dN足够小，其中的分子速度近似相等）所以dN区间内分子总速率为vdN，因为dN/N=f(v)dv，所以vdN=Nvf(v)dv，将其从 v1 到 正无穷积分就是全区间内分子总速率再除以N等于 vf(v)dv 从 v1 到 正无穷积分就是速率大于v1的所有气体分子的平均速率

小矩形面积的意义：从图中可以看到小矩形的面积表示分布在v→v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比，或表示某分子速率在v→v+dv区间内的几率。速率在v1→v2区间内的分子数为　(2)整个曲线下面积的意义上式表示速率在0→∞间的气体分子总数与总分子数之比为1，即上式称为归一化条件。(3)最可几速率vpf(v)曲线极大值处所对应的速率值称为最可几速率。(4)T变化时，f(v)曲线如何变化对一定量的理想气体，不同温度有不同的形状的速率分布曲线，如图2-1-2。温度越高，速率大的分子增多，vp向速率增大的方向移动，曲线将拉宽。由归一化条件可知，曲线下总面积恒等于1，于是，曲线高度降低，变得平坦。若温度降低，则曲线极大值向左偏移，曲线变高变尖锐。

落叶归根

其实这是赵凯华新概念热学上的一道习题。最概然速率v1=根号（2kT/m），之后，用麦克斯韦速度分布率（这个我不知道怎么输在这里），用速度积分即可。当然，由于两个相差很小，可以改积分为微分，运算比较方便。我用微分算的结果是1.68%，不过答案是1.66%，也许我算错了，建议拟采用答案~

书上没有错误,是你想错了.f(v)的定义用数学语言来说就是速率分布的密度函数,对f从v1到v2求定积分,求得的值的物理意义就是速率落在v1到v2之间的分子比例.另外关于你的开区间的问题,其实这不是问题,因为连续随机变量取单点的概率为0,所以这里开闭区间都没有影响.关于麦克斯韦速率分布函数的理论推导可以参照这里%E9%BA%A6%E5%85%8B%E6%96%AF%E9%9F%A6-%E7%8E%BB%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%9B%BC%E5%88%86%E5%B8%83

【答案】：D解析：速度分布函数的定义为，f（v）=dN/Ndy，其中dN表示速率在v→v+dv区间内的分子数，N为理想气体分子总数。

麦克斯韦速率分布率如下：其中m为一个气体分子的质量，k为玻尔兹曼常量，T为系统的热力学温度，e为自然对数的底。麦克斯韦速率分布律形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦速率分布律通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。分布规律：1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。

麦克斯韦速率分布函数是：在某一时刻，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。但在一定的宏观条件下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。定义分子动理论认为，气体系统内大量分子无规则热运动导致分子之间频繁地相互碰撞，分子以大小不同的速率向各个方向运动，在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使每一分子的速度不断变化。处于平衡态的气体，每个分子瞬时速度的大小、方向都在随机地变化，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。

在某一时刻，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。但在一定的宏观条件下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。麦克斯韦在1859年用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子的速度分布是有规律的，这个规律称为麦克斯韦速率分布律，并给出了它的分布函数表达式。1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。因此，它也以詹姆斯．麦克斯韦和路德维希．玻尔兹曼命名。

麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布，在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。任何(宏观)物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，在确定的温度下，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。

1.速率分布函数f(v）：一个描述分子运动速率分布状态的函数分布函数f(v)的物理意义是：速率在v附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.设速率在v到δv的分子数为δn，总分子数为n2.为什么引入速率分布函数人们研究分子运动，总想每个分子的速率，及其变化规律，想知道速率为v的分子的数目。因为分子永不停息的做无规则的热运动，任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。想研究某个具体分子的速率及其变化规律就不太现实。但对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。3.麦克斯韦-玻尔兹曼分布大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式：式中t是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。4.根据麦克斯韦速率分布速率，求最概然速率、平均速率、方根速率（1）最概然速率（2）平均速率（3）方根速率下面是平均速率，方根速率计算最后一步积分的推算过程平均速率方根速率

麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。

1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少,但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，气体分子间相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间υ～υ+dυ内的分子数与总分子数的比率。

1.速率分布函数f(v）： 一个描述分子运动速率分布状态的函数分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.设速率在 v 到Δv的分子数为ΔN，总分子数为N2.为什么引入速率分布函数人们研究分子运动，总想每个分子的速率，及其变化规律，想知道速率为v的分子的数目。因为分子永不停息的做无规则的热运动，任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。想研究某个具体分子的速率及其变化规律就不太现实。但对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。3.麦克斯韦-玻尔兹曼分布大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式： 式中T是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。4.根据麦克斯韦速率分布速率，求最概然速率、平均速率、方根速率（1）最概然速率（2）平均速率（3）方根速率下面是平均速率，方根速率计算最后一步积分的推算过程平均速率方根速率

在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N . dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比： 其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率. 分布函数f(v)满足归一化条件： 大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式： 式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律. 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞. 上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N . 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.

指平衡状态下理想气体分子速度分布的统计规律。1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少,但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，当气体分子间相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间υ～υ+dυ内的分子数与总分子数的比率为 即速率分布函数为 式中T是气体的温度,m是分子的质量，k是玻耳兹曼常数。图中的曲线叫速率分布曲线，它描绘出气体分子按速率的分布情况。中任一区间 υ～υ+dυ内曲线下的窄条面积与总面积的比表示速率分布在这个区间内的分子数的比率。由看出，速率很大和很小的分子所占的比率都很小。1920年O.斯特恩最先用原子束（分子束）实验直接验证了麦克斯韦速率分布律的正确性。 　　从麦克斯韦速率分布函数出发，可以求出气体分子的最可几速率、均方根速率和平均速率。 　　① 最可几速率υm。定义为概率最大的速率。即在这速率下，分布函数f(υ)具有极大值。此时 　　② 均方根速率υr。定义为速率平方平均的平方根值。可得 　　③ 平均速率尌。定义为速率的算术平均值。有 　　考虑到气体分子速度方向以后，就可以得出气体分子速度的分布律。用v表示气体分子的速度矢量,υx、υy、υz分别表示 v沿直角坐标轴x、y、z的分量。从理论上可推出：在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时,速度分量υx在υx～υx+dυx内,υy在υy～υy+dυy内,υz在υz～υz+dυz内的分子数的比率为 。这个结论叫做麦克斯韦速度分布律。 　　1872年，玻耳兹曼创立了系统的气体输运理论，从研究非平衡态分布函数着手,建立了H定理（见统计物理学）。玻耳兹曼根据H定理证明，在达到平衡状态时,气体分子的速度分布趋于麦克斯韦分布。

1、x=∫∞-∞vx2f(vx)dvx=2∫∞0vx2(u2002)e-vx2dvx=v-1p∫∞0vx2e-vx2dvx查《热学》附录3-1表得：x=Vp-1(u2002)3/2=u2002同理可得：y=u2002x=u20022、分子总的平动能：2=u20022==u2002mu2002x=u2002同理得：=u2002=u2002可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于KT。扩展资料：麦克斯韦速率分布律形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦速率分布律通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。麦克斯韦速率分布律可以用统计力学来推导（参见麦克斯韦-玻尔兹曼统计）。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦速率分布律提供了气体状态的非常好的近似。参考资料来源：百度百科-麦克斯韦速度分布律u2002u2002u2002

分布律的表达形式是：对一个离散型随机变量X，其取值为k的概率为pk。分布律的介绍：分布律全称麦克斯韦速率分布律，在某一时刻，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。但在一定的宏观条件下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。麦克斯韦在1859年用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子的速度分布是有规律的，这个规律称为麦克斯韦速率分布律，并给出了它的分布函数表达式。1859年，麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。因此，它也以詹姆斯.麦克斯韦和路德维希.玻尔兹曼命名。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，气体分子间相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ～υ+dυ内的分子数与总分子数的比率。

在平衡状态下，当分子的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N 。 dN / N是v 的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dN / N 还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数。分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。 分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式： 式中T是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图，曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N 。 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下，温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦，但曲线下的总面积不变。随着温度的升高，速率较大的分子在分子总数中的比率增大。同一温度下，分子质量m越小，曲线越宽越平坦，在分子总数中速率较大的分子所占比率越高。

1.速率分布函数f(v）：一个描述分子运动速率分布状态的函数分布函数f(v)的物理意义是：速率在v附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.设速率在v到Δv的分子数为ΔN，总分子数为N2.为什么引入速率分布函数人们研究分子运动，总想每个分子的速率，及其变化规律，想知道速率为v的分子的数目。因为分子永不停息的做无规则的热运动，任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。想研究某个具体分子的速率及其变化规律就不太现实。但对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。3.麦克斯韦-玻尔兹曼分布大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。4.根据麦克斯韦速率分布速率，求最概然速率、平均速率、方根速率（1）最概然速率（2）平均速率（3）方根速率下面是平均速率，方根速率计算最后一步积分的推算过程平均速率方根速率

从0至正无穷f(v)对v的积分为1.即整体的面积为1.你若求左右面积相等的点，则设v0处左右面积相等，将f(v)从0至v0求定积分，积分值为0.5，解出v0就行了，可以用matlab算一下.

如有数据，直接可以用plot()绘出。 v=[......] %速度值 fv=[......] %速率分布函数值 f(v) plot(v,fv,"r-"),xlabel("v"),ylabel("f(v)");grid on

分子速率分布图像面积代表范围分布。分子的运动速率一般情况都有一个范围分布，而在外条件稳定的条件下，速率的分布是不变的，也就是说某一种速率的分子总和在所有分子中占的比例是不变的。速率分布统计图就是表达这种比率的关系图，横轴是速率范围，纵轴是概率密度分布。定义分子动理论认为，气体系统内大量分子无规则热运动导致分子之间频繁地相互碰撞，分子以大小不同的速率向各个方向运动，在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使每一分子的速度不断变化。处于平衡态的气体，每个分子瞬时速度的大小、方向都在随机地变化，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。

在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N . dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比： 其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率. 分布函数f(v)满足归一化条件： 大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式： 式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律. 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞. 上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N . 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.

我用MathType写的：

在平衡状态下，当分子的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N 。 dN / N是v 的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dN / N 还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数。分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。 分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式： 式中T是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图，曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N 。 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下，温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦，但曲线下的总面积不变。随着温度的升高，速率较大的分子在分子总数中的比率增大。同一温度下，分子质量m越小，曲线越宽越平坦，在分子总数中速率较大的分子所占比率越高。

数学上代表图像与x轴所围成的面积是1，概率上是代表气体的速率在0~正无穷之间的概率是100%。在某一时刻，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。但在一定的宏观条件下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。麦克斯韦在1859年用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子的速度分布是有规律的，这个规律称为麦克斯韦速率分布律，并给出了它的分布函数表达式。定义分子动理论认为，气体系统内大量分子无规则热运动导致分子之间频繁地相互碰撞，分子以大小不同的速率向各个方向运动，在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使每一分子的速度不断变化。处于平衡态的气体，每个分子瞬时速度的大小、方向都在随机地变化，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。以上内容参考：百度百科-麦克斯韦速度分布律

麦克斯韦分布： P(x)=4x^2/(α^3*√π)exp{-x^2/α^2} 在dx附近的概率是 df=P(x)dx 由于 y= 1/2 mx^2,dy=mxdx 代入上式 df=P(x)/mx dy 令P(y)=P(x)/mx ,他便是动能的概率密度分布函数. 进一步化 P(y)=4√2/(α^3*√(πm^3)) *√y *exp(-2y/(mα^2))

关于麦克斯韦速率分布律中的最概然速率的说法正确的是 A.是气体分子中大部分分子所具有的速率B.是气体分子的最大速率C.是麦克斯韦速率分布函数的最大值D.速率大小在最概然速率附近的分子所占总数的百分比最大正确答案：速率大小在最概然速率附近的分子所占总数的百分比最大

dv 速度区间的分子数：dN = N f(v) dvv1 到 v2 速度区间的分子数：ΔN = ∫（v1, v2）N f(v) dv

在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N . dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比： 其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率. 分布函数f(v)满足归一化条件： 大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式： 式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律. 麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞. 上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N . 我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.

（1）表示分子运动速率 v ≥ vp 的分子数占总分子数的百分比，也表示任意一个分子的运动速率在（vp，∞）范围内的概率。（2）表示分子的平均平动动能。

速率分布曲线从坐标原点出发，经过一极大值后，随速率的增大而趋近于横坐标轴。这说明气体分子的速率可以取0到∞之间的一切数值；速率很大和很小的分子所占的比率都很小，而具有中等速率的分子所占的比率却很大。由速率分布函数的定义式f（v）=dN/Ndv。可知，任一速率间隔v~v+dv内曲线下的狭条面积等于f（v）dv=dN/N，它表示分布在这个速率间隔内的分子数占总分子数的比率。而任一有限区间v1~v2内曲线下的面积等于表示分布在这个速率区间内分子数的比率。现在进一步考虑速率分布曲线下的总面积等于多少。由以上讨论可知，曲线下的总面积为它表示速率分布在0到∞整个速率范围r内的分子数占总分子数的比率，它显然应等于1。即这个结论是由速率分布函数的物理意义所决定的，它是速率分布函数所必须满足的条件。扩展资料1859年，J.C.麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为L玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度U的分子数是多少，但可知道速度在U1与U2之间的分子数是多少。表明：气体在宏观上达到平衡时，虽然个别分子的速度一般都不相同，并且由于相互碰撞而不断发生变化，但平均来说，速度在某一范围内的分子数在总分子数中所占的百分比总是一定的；该比值只与气体的种类及温度有关。参考资料来源：百度百科-麦克斯韦速度分布定律参考资料来源：百度百科-最概然速率

过程是分别对速率以及速度方加权积分,权值即为速率分布里的△N/N的表达式,结果是本教材都会有

f(v)dv 表示 v ~ v+dv 之间的 分子数 的相对比例，积分（本质是求和）以后，就是速度v 的加权平均， 也叫按比例平均，即，平均速度。f(v)叫分布函数，数学上也叫概率密度（不是概率是密度）函数。这个问题，更多的是数学问题而不是物理问题。

热学研究（论文） - 2 - z三个方向上的分量为,,xyzvvv。处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，在速度区间xxxv~vdvuf02b，yyyv~vdvuf02b，zzzv~vdvuf02b内的分子数dN显然与总分子数N和速度间隔体元xyzvvvddd成正比 即2xyz()vvvdNNFUddduf03d （2222xyzUvvvuf03duf02buf02b） （1） 这里比例系数 2()FUuf03dxyzdNNdvdvdv (2 ) 为速度分布函数 由于速度分布函数的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量无关，故可设 2()()()()xyzFUfvfvfvuf03duf02buf02b （3） 对上式两边取对数的 2ln()ln()ln()ln()xyzFUfvfvfvuf03duf02buf02b 上式分别对,,xyzvvv求偏导 先对xv x22)112v())dFUUFUdUuf0b6uf0b6uf0b6uf0d7uf0d7uf03duf0d7uf03duf0b6uf0b6uf0b6xxxxxf(v 且vf(vvv 整理后可得 22xd)111()2v)ddFFUdUuf0d7uf03duf0d7uf0d7xxxf(vf(vv 同理有 22yd)111()2v)ddFFUdUuf0d7uf03duf0d7uf0d7yyyf(vf(vv 22zd)111()2v)ddFFUdUuf0d7uf03duf0d7uf0d7zzzf(vf(vv 以上三式左边相同，故右边也相等 可令 xyzd)d)d)1111112v)d2v)d2v)duf06cuf0d7uf03duf0d7uf0d7uf03duf0d7uf0d7uf03dyxzxxyyzzf(vf(vf(vf(vvf(vvf(vv 对上式积分得222yxzvvvyzfAe fAe fAeuf06cuf06cuf06cx（v）=（v）=（v）= 将其带入（3）式有 222xyzv+v+v23F(U)=Aeuf06c（） （5） 考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故uf06c应为负值 热学研究（论文） - 3 - 令2auf06cuf03duf02d， 有归一条件有： 222222yxzvvv23F(U)Aeee1aaaxyzxyzdvdvdvdvdvdvuf02buf0a5uf02buf0a5uf02buf0a5uf02duf02duf02duf02duf0a5uf02duf0a5uf02duf0a5uf03duf03duf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2 由积分公式22eaxdxauf070uf02buf0a5uf02duf02duf0a5uf03duf0f2 可知 上式33A()1auf070uf03d 得aA=uf070 于是 222xyzv+v+v23aF(U)=()euf0702-a（） （6） 在利用分子平均动能等于32kT 21322mUkTuf03d 则 23kTUmuf03d 即 223(U)F(U)xyzkTdvdvdvmuf03duf0f2uf0f2uf0f2 （7） 222xyz222222222xyzxyzxyzv+v+v2223v+v+vv+v+vv+v+v3222a()()ea()[eee]xyzxyzxyzxyzvvvdvdvdvvvvdvdvdvuf070uf070uf02buf02buf03duf02buf02buf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f22222-a（）-a（）-a（）-a（） 仅取上积分式中一项222xyzv+v+v2exxyzvdvdvdvuf0f2uf0f2uf0f22-a（） 2222222x2xveveyxzyxzavavavxyzavavavxyzeedvdvdvdvedvedvuf02duf02duf02duf02duf02duf02duf03duf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2 由积分公式222312axxedxauf070uf02duf03duf0f2 22axedxauf070uf02duf03duf0f2 可得 原式323251122aaauf070uf070uf070uf03duf0d7uf03d热学研究（论文） - 4 - 则 2222222232()2532()251212xyzxyzavvvyyavvvzzvedvavedvauf070uf070uf02duf02buf02buf02duf02buf02buf03duf03duf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2 代入（7）式有323513()(3)2akTamuf070uf070uf0d7uf0b4uf03d 得 2makTuf03d 代入（6）式有 2223()222()()2xyzmvvvkTmFUekTuf070uf02duf02buf02buf03d （8） 通常说的速率分函数，f（u）指的是不论速度方向如何，只考虑速度的大小点的分布，在这种情况下，自然应该用球坐标系表示速度区间 2rsinvsin{dddrvdddvuf071uf06auf071uf071uf06auf071uf06auf074uf071uf071uf06a2球坐标空间 、、 dV=r 球速度空间 、、 d= 则 xyz2xyzvdddsin{vvvvvvvdddvuf071uf06auf071uf071uf06auf0aeuf0ae、、、、 232/22200()sin2mvkTdNmevdddvNkTuf070uf070uf071uf071uf06auf070uf02duf03duf0f2uf0f2 23/2224()2mvkTmevdvkTuf070uf070uf02duf03d 可得： 23/222()4()2mvkTdNmfuevNdVkTuf070uf070uf02duf03duf03d 四． 实验验证 在麦克斯韦从理论推导速度分布律后的近半个世纪，由于当时的技术条件，主要是高真空技术和测量技术的限制，要从实验上来验证麦克斯韦速度分布律是非常困难的，直到1920年，英国物理学家斯特恩才做了第一次的尝试。虽然实验技术曾经有许多物理工作者做了进一步的改进，但直到1955年才由哥伦比亚大学的密勒和库士提出了这个定律的高精确的实验证明。 1、实验装置简介 热学研究（论文） - 5 - （1）、o为分子或原子射线源 （2）、R是用铝合金制成的圆柱体，圆柱体上均匀地刻制了一些螺旋形的细槽，细槽的入口狭缝与出口狭缝之间的夹角o4.8uf06auf03d （3）、D是根据电离计原理制成的检测器，用来接收原子射线，并测定其强度 （4）、整个装置都放在抽成真空的容器内 2、实验原理 实验时，圆柱体R以一定的角速度uf077转动，由于不同的速率的分子通过细槽所需的时间不同，各种速率的分子射入入口狭缝后，只有速率严格限定的分子才能通过这些细槽，而不和细槽壁碰撞。分子沿细槽前进所需的时间为tvluf06auf077uf03duf03d，从而有lvuf077uf06auf03d 只有速率满足上述关系的分子才能通过细槽，其它速率的分子将沉积在细槽的内壁上。因此旋转主体起到了速率选择器的作用，改变角速度uf077，就可以使不同的分子通过。 3、实验过程与结果 改变圆柱体转动的角速度uf077，依次测定相应分子射线的强度，就可以确定分子射线的速率分布情况。 试验表明，射线强度确为速率v的函数，强度大，表明分布在该速率区间内的分子数所占的比率较大，反之亦然。 实验还表明，在相同条件下，各相等速率区间内的分子数比率不同，多次实验得到同一速率区间内的分子数比率大致相同。这就说明分子速率确实存在一个恒定的分布律。 1955年密勒与库士测定了从加热炉内发射出来的铊原子速率分布，实验温度为1400K,并由实验数据会出了铊原子速率分布的试验曲线（见下图）。 热学研究（论文） - 6 - 由试验曲线可知： （1）、()fv值两头小，中间大，()fv有一极大值 （2）、可认为大量原子（或分子）的速率是连续分布的，当vuf044取得很小时，则有 ()dNfvdvNuf03d ()fv这一函数，麦克斯韦首先从理论上找到了 密勒与库士于1955年在实验上比较精确的证明了麦克斯韦速度分布律。 总结： 应用麦克斯韦速率分布律可以求与速度有关的函数的各种平均值；可以计算速率在~vvdvuf02b内的分子数dN；可以计算速率在有限间隔12~vv内的分子数Nuf044或者百分数/NNuf044；也可以推导理想气体的压强公式、温度公式、状态方程及几个实验定律；还可以推导能量均分定理。 麦克斯韦速度分布律对于研究气体无规则热运动有重要意义，找到了微观量求统计平均值的途径，为气体分子运动论奠定了基础。 参考文献： （1）、张兰知著，热学，哈尔滨工业大学出版社，1998、11 （2）、言经柳，麦克斯韦速率分布律的推导，南宁师范高等专科学校校报，1999年第2期 （3）、吴瑞贤 章立源著，热学研究，四川大学出版社，1987、4

【答案】：C

我也在做这个题我想的是可以让4π（m/2πkT）^(3/2)e^(-mv^2/2kT)*v^2=2(m/2πkT)^(1/2)e^(-mv^2/2kT)-[2(m/2πkT)^(1/2)e^(-mv^2/2kT)-4π（m/2πkT）^(3/2)e^(-mv^2/2kT)*v^2]，然后求2(m/2πkT)^(1/2)e^(-mv^2/2kT)的原函数。似乎就可以用什么∫e^(t^2)dt=[π^(1/2)/2]*erfi(x)代入了。