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热学研究（论文）
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z三个方向上的分量为,,xyzvvv。处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，在速度区间xxxv~vdvuf02b，yyyv~vdvuf02b，zzzv~vdvuf02b内的分子数dN显然与总分子数N和速度间隔体元xyzvvvddd成正比
即2xyz()vvvdNNFUddduf03d （2222
xyzUvvvuf03duf02buf02b） （1）
这里比例系数 2()FUuf03dxyz
dNNdvdvdv (2 )
为速度分布函数
由于速度分布函数的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量无关，故可设
2
()()()()xyzFUfvfvfvuf03duf02buf02b （3）
对上式两边取对数的
2
ln()ln()ln()ln()xyzFUfvfvfvuf03duf02buf02b
上式分别对,,xyzvvv求偏导 先对xv
x2
2
)1
12v())dF
UUFUdU
uf0b6uf0b6uf0b6uf0d7
uf0d7
uf03d
uf0d7
uf03duf0b6uf0b6uf0b6xxxxx
f(v 且
vf(vvv
整理后可得
2
2
xd)1
1
1
()2v)ddF
FUdUuf0d7
uf03d
uf0d7
uf0d7
xxxf(vf(vv
同理有
2
2
yd)1
11
()2v)
ddF
FUdU
uf0d7
uf03d
uf0d7
uf0d7
yyy
f(vf(vv
2
2
zd)1
1
1
()2v)
ddF
FUdU
uf0d7
uf03d
uf0d7
uf0d7
zzz
f(vf(vv
以上三式左边相同，故右边也相等 可令
xyzd)d)d)1
1
1
1
1
1
2v)
d2v)
d2v)
duf06cuf0d7
uf03d
uf0d7
uf0d7uf03d
uf0d7
uf0d7
uf03dyxzxx
yy
zz
f(vf(vf(vf(vvf(vvf(vv
对上式积分得2
2
2
y
x
z
vvvyzfAe
fAe
fAe
uf06cuf06cuf06cx（v）=（v）=（v）=
将其带入（3）式有 2
2
2
xyzv+v+v2
3F(U)=Ae
uf06c（）
（5）
考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故uf06c应为负值
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令2auf06cuf03duf02d， 有归一条件有：
22
2222
y
x
z
vvv2
3
F(U
)A
e
e
e
1aa
axyzx
y
zdvdvdvdvdvdvuf02buf0a5
uf02buf0a5
uf02buf0a5
uf02duf02duf02duf02duf0a5
uf02duf0a5
uf02duf0a5
uf03duf03duf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2
由积分公式
22
e
ax
dxauf070uf02buf0a5
uf02duf02duf0a5uf03d
uf0f2
可知
上式33
A()1a
uf070
uf03d 得a
A=
uf070
于是 222
xyzv+v+v2
3
a
F(U)=()e
uf070
2-a（）
（6）
在利用分子平均动能等于3
2
kT
2
13
22mU
kT
uf03d
则 23kTUm
uf03d
即 223(U)F(U)xyzkTdvdvdvm
uf03d
uf0f2uf0f2uf0f2 （7）
222
xyz2
2
2
222
222
xyzxyzxyzv+v+v2223
v+v+vv+v+vv+v+v3
22
2
a
()()e
a
(
)
[e
e
e
]x
yz
xyz
x
yzxyz
v
vvdvdvdvv
vvdvdvdvuf070
uf070
uf02buf02buf03duf02buf02buf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f222
22-a（）
-a（）
-a（）
-a（）
仅取上积分式中一项22
2
xyzv+v+v2e
xxyz
vdvdvdvuf0f2uf0f2uf0f22-a（）
2
2
2
2
2
2
2x
2x
ve
v
e
y
x
z
y
x
z
avavavxyz
avavavxyz
e
e
dvdvdvdve
dve
dvuf02duf02duf02duf02duf02duf02duf03d
uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2
由积分公式22
23
1
2ax
xe
dxa
uf070
uf02duf03d
uf0f2 2
2
ax
e
dxa
uf070
uf02duf03d
uf0f2
可得 原式3
23
2
5
1
122a
a
a
uf070
uf070uf070uf03d
uf0d7
uf03d
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则
2222
2222
3
2()
253
2()
25
1212xyzxyzavvvy
yavvvz
zve
dvav
e
dva
uf070uf070uf02duf02buf02buf02duf02buf02buf03d
uf03d
uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2uf0f2
代入（7）式有3
23
5
13(
)(3)2a
kTa
m
uf070uf070
uf0d7uf0b4
uf03d
得 2makT
uf03d
代入（6）式有
222
3
()
2
22()(
)2xyzmvvvkT
mFUe
kT
uf070uf02duf02buf02buf03d （8）
通常说的速率分函数，f（u）指的是不论速度方向如何，只考虑速度的大小点的分布，在这种情况下，自然应该用球坐标系表示速度区间
2rsinvsin{dddrvdddv
uf071uf06auf071uf071uf06auf071uf06auf074uf071uf071uf06a2
球坐标空间 、、 dV=r
球速度空间 、、 d=
则 xyz2
x
y
z
vdddsin{vvvvvv
vdddv
uf071uf06a
uf071uf071uf06auf0aeuf0ae、、、、
2
3
2/22
20
0
(
)sin2mvkT
dNme
vdddvN
kT
uf070uf070uf071uf071uf06auf070uf02duf03d
uf0f2uf0f2
2
3
/22
24(
)2mvkT
me
vdvkT
uf070uf070uf02duf03d
可得： 2
3
/22
2()4(
)2mvkT
dNmfue
vNdV
kT
uf070uf070uf02duf03d
uf03d
四． 实验验证
在麦克斯韦从理论推导速度分布律后的近半个世纪，由于当时的技术条件，主要是高真空技术和测量技术的限制，要从实验上来验证麦克斯韦速度分布律是非常困难的，直到1920年，英国物理学家斯特恩才做了第一次的尝试。虽然实验技术曾经有许多物理工作者做了进一步的改进，但直到1955年才由哥伦比亚大学的密勒和库士提出了这个定律的高精确的实验证明。
1、实验装置简介
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（1）、o为分子或原子射线源
（2）、R是用铝合金制成的圆柱体，圆柱体上均匀地刻制了一些螺旋形的细槽，细槽的入口狭缝与出口狭缝之间的夹角o4.8uf06auf03d
（3）、D是根据电离计原理制成的检测器，用来接收原子射线，并测定其强度
（4）、整个装置都放在抽成真空的容器内 2、实验原理
实验时，圆柱体R以一定的角速度uf077转动，由于不同的速率的分子通过细槽所需的时间不同，各种速率的分子射入入口狭缝后，只有速率严格限定的分子才能通过这些细槽，而不和细槽壁碰撞。分子沿细槽前进所需的时间为tvluf06auf077
uf03d
uf03d
，从而有lvuf077
uf06a
uf03d
只有速率满足上述关系的分子才能通过细槽，其它速率的分子将沉积在细槽的内壁上。因此旋转主体起到了速率选择器的作用，改变角速度uf077，就可以使不同的分子通过。 3、实验过程与结果
改变圆柱体转动的角速度uf077，依次测定相应分子射线的强度，就可以确定分子射线的速率分布情况。
试验表明，射线强度确为速率v的函数，强度大，表明分布在该速率区间内的分子数所占的比率较大，反之亦然。
实验还表明，在相同条件下，各相等速率区间内的分子数比率不同，多次实验得到同一速率区间内的分子数比率大致相同。这就说明分子速率确实存在一个恒定的分布律。
1955年密勒与库士测定了从加热炉内发射出来的铊原子速率分布，实验温度为1400K,并由实验数据会出了铊原子速率分布的试验曲线（见下图）。
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由试验曲线可知：
（1）、()fv值两头小，中间大，()fv有一极大值
（2）、可认为大量原子（或分子）的速率是连续分布的，当vuf044取得很小
时，则有 ()dNfvdv
N
uf03d
()fv这一函数，麦克斯韦首先从理论上找到了
密勒与库士于1955年在实验上比较精确的证明了麦克斯韦速度分布律。
总结：
应用麦克斯韦速率分布律可以求与速度有关的函数的各种平均值；可以计算速率在~vvdvuf02b内的分子数dN；可以计算速率在有限间隔12~vv内的分子数Nuf044或者百分数/NNuf044；也可以推导理想气体的压强公式、温度公式、状态方程及几个实验定律；还可以推导能量均分定理。
麦克斯韦速度分布律对于研究气体无规则热运动有重要意义，找到了微观量求统计平均值的途径，为气体分子运动论奠定了基础。
参考文献：
（1）、张兰知著，热学，哈尔滨工业大学出版社，1998、11
（2）、言经柳，麦克斯韦速率分布律的推导，南宁师范高等专科学校校报，1999年第2期 （3）、吴瑞贤 章立源著，热学研究，四川大学出版社，1987、4