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高一数学函数,几何概念定理

2023-07-19 08:56:56
TAG: 函数
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瑞瑞爱吃桃

(一)、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念,应注意如下几点:

(1)掌握构成函数的三要素,会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系式,特别是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x)为内函数,f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤:

(1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x,y对换,得反函数的习惯表达式y=f-1(x),并注明定义域.

注意①:对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起.

②熟悉的应用,求f-1(x0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简化运算.

(二)、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型:

(1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如:

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等.

应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法.比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式.

(三)、函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下:

(1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域.

(2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元.

(3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

(4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值.

(四)、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式:

注意如下结论的运用:

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数,f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数,那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函数,f(x)·g(x)是偶函数,类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零,那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形,即y=f(a+x)为奇函数.

(五)、函数的单调性

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a,b]上任意两点x1,x2,当x1>x2时,都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立,称f(x)在[a,b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解,要注意以下三点:

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替.

(3)单调区间是定义域的子集,讨论单调性必须在定义域范围内.

(4)注意定义的两种等价形式:

设x1、x2∈[a,b],那么:

①在[a、b]上是增函数;

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上是增函数.

在[a、b]上是减函数.

需要指出的是:①的几何意义是:增(减)函数图象上任意两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数,且(或x1>x2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a,b]上的单调性,与y=f(u)在[g(a),g(b)](或g(b),g(a))上的单调性相同,则复合函数y=f[g(x)]在[a,b]上单调递增;否则,单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时,常需要先将函数化简,转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此,掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义进行证明.其步骤为:①任取x1、x2∈M且x1<x2;②讨论f(x1)>(或<)f(x2);③根据定义,得出结论.

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.

(六)、函数的图象

函数的图象是函数的直观体现,应加强对作图、识图、用图能力的培养,培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的,纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍,横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0.

①求证:f(0)=1;

②求证:y=f(x)是偶函数;

③若存在常数c,使求证对任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数,如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由.

思路分析:我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数,解决这类问题一般采用赋值法.

解答:①令x=y=0,则有2f(0)=2f2(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1.

②令x=0,则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),这说明f(x)为偶函数.

③分别用(c>0)替换x、y,有f(x+c)+f(x)=

所以,所以f(x+c)=-f(x).

两边应用中的结论,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x),

所以f(x)是周期函数,2c就是它的一个周期.

几何定理梅涅劳斯定理

一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F则 。

逆定理:一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若 ,则D,E,F三点共线。

塞瓦定理

在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 =1。

逆定理:在△ABC的边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,如果 =1,那么直线AD,BE,CF相交于同一点。

托勒密定理

ABCD为任意一个圆内接四边形,则 。

逆定理:若四边形ABCD满足 ,则A、B、C、D四点共圆

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有:   

(1)称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点,且这点在九点圆上。   (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。   

(3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角,跟P的位置无关。   

(4)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

斯特瓦尔特定理

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。

三角形旁心

1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。   

2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点

在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。   

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°,那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。   

(2)若三角形有一内角不小于120度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定(1)对于任意三角形△ABC,若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算  

(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点。

九点圆:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。通常称这个圆为九点圆(nine-point circle),

欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。

几何不等式

1托勒密不等式:任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2埃尔多斯—莫德尔不等式:设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z≥2(p+q+r)

3外森比克不等式:设△ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a2+b2+c2≥4

4欧拉不等式:设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r,则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。

圆幂

假设平面上有一点P,有一圆O,其半径为R,则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂;   可见圆外的点对圆的幂为正,圆内为负,圆上为0;

根轴

1在平面上任给两不同心的圆,则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线,这条线称为这两个圆的根轴。   

2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。

相关定理

1,平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线;   

2,若两圆相交,则两圆的根轴为公共弦所在的直线;   

3,若两圆相切,则两圆的根轴为它们的内公切线;   

4,蒙日定理(根心定理):平面上任意三个圆心不共线的圆,它们两两的根轴或者互相平行,或者交于一点,这一点叫做它们的根心;

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2023-07-18 10:13:442

三角形的三条边有什么关系

  三角形我们初中就学过,那他们的三条边之间有什么关系呢?下面是由我为大家整理的“三角形的三条边有什么关系”,仅供参考,欢迎大家阅读。    三角形的三条边有什么关系   三角形三边关系是三角形三条边关系的定则,具体内容是在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。   三角形三边关系是三角形三条边关系的定则,具体内容是在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。   设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-b,b+c>a,b>a-c,a+c>b,c>b-a    拓展阅读:三角形三条高的交点有什么性质   三角形三条高的交点叫垂心,垂心的性质:   1.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。   2.三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))   3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。   4.垂心分每条高线的两部分乘积相等。   设△ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2   1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.   2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心;   3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上。   4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF。   5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。   6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
2023-07-18 10:14:031

三角形的定律

三角形五心定理 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称. [编辑本段]一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单.(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名) 重心的性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比. 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小. 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3. [编辑本段]二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心. 外心的性质: 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心. 2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角). 3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合. 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3.重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ). 5、外心到三顶点的距离相等 [编辑本段]三、三角形垂心定理 三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心. 垂心的性质: 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆. 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line)) 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍. 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等. 定理证明 已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB 证明: 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立! [编辑本段]四、三角形内心定理 三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心. 内心的性质: 1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心. 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一. 3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是:向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). [编辑本段]五、三角形旁心定理 三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心. 旁心的性质: 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心. 2、每个三角形都有三个旁心. 3、旁心到三边的距离相等. 如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外. 附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一. [编辑本段]有关三角形五心的诗歌 三角形五心歌(重外垂内旁) 三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混. 重 心 三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌握好. 外 心 三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点. 此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键. 垂 心 三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源; 点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”如此定义理当然.
2023-07-18 10:14:121

欧拉线及三角形的几个问题

欧拉线:任意三角形的外心,垂心,重心必在同一直线,这条直线叫欧拉线。垂心到重心距离等于重心到外心距离的2倍。重心:三边中线的交点。定点到重心距离等于重心到中点距离的2倍。外心:三边中垂线交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。内心:三内角平分线交点。内心到三边的距离相等。垂心:三边高线的交点。垂心分每条高线的两部分乘积相等。旁心:同一条边上的外角平分线交点。旁心到三边距离相等。
2023-07-18 10:14:191

欧拉线定理

方法1:(利用几何画板) 逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1 (1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。 (2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E =2。 对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2:计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和∑α 一方面,在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为: ∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 (1) 另一方面,在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·180角,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。 所以,多面体各面的内角总和: ∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =(V-2)·360度(2) 由(1)(2)得: (E-F) ·360度=(V-2)·360度 所以 V+F-E=2.方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那末 F-E+V=2。 证明 如图(图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的): (1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。 (2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。 (3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 (4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。 (5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。 (6)这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 (7)因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。 (8)如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 即F′-E′+V′=1 成立,于是欧拉公式: F-E+V=2 得证。
2023-07-18 10:14:291

等边三角形的欧拉线在哪儿?

一般三角形 的 Euler(欧拉)线是指: 三角形的 垂心H、重心G、外心O 三点共线 —— 称为Euler线 且 HG : GO = 2 : 1 用几何画板演示发现,正三角形的欧拉线是过三心(合一)且与某条边平行(有3条?)
2023-07-18 10:14:411

欧拉线的证法

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。联结OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 利用向量证明,简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,D为BC边上的中点。∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………(1)=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC;而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3(向量AB+向量AC)…………………………………………………(2)=1/3[向量OA+(向量OA+向量AB)+(向量OA+向量AC)]=1/3(向量OA+向量OB+向量OC).∴向量OG=1/3向量OH,∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 还是向量做法,设△ABC的外心,重心,垂心分别为O,G,H。作△ABC的中点三角形DEF∵OD⊥AC∴OD⊥EF同理OE⊥DF,OF⊥DE∴O是△DEF的垂心。又EF∥AC,DF∥AB,DE∥BC且△ABC∽△DEF∴向量HB=-2向量OD,向量HA=-2向量OF,向量HC=-2向量OE∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC又向量BG=2/3向量BD=1/3(向量BA+向量BC)同理向量CG=1/3(向量CA+向量CB),向量AG=1/3(向量AB+向量AC)∴向量BG+向量AG+向量CG=向量0向量HG=向量HA+向量AG=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG向量OG=向量OA+向量AG=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC,3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC∴向量HG=-2向量OG 如图所示,设AM为△ABC的中线,H、O分别是垂心和外心,连接AH、OM,则OM⊥BC,AH⊥BC∴AH∥OM连接OB、OC,易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC(R是△ABC外接圆半径)又连接BH并延长交AC於D,则BD⊥AC∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC∴AH=2OM设OH和AM交於G,则△AHG∽△MOG∴AG:GM=AH:OM=2:1∴G是△ABC的重心,即O、M、G三点共线,且GH:GO=AG:GM=2:1
2023-07-18 10:14:511

欧拉线定理的证明

设△ABC的垂心、重心、外心分别为H,G,O,则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC而向量OG=(向量OA+向量OB+向量OC)/3,向量OH=3向量OG所以O、G、H三点共线,且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半。
2023-07-18 10:15:041

设△ABC最大内角小于120度,O是它的费马点.证明三角形AOB,BOC,AOC的欧拉线共点.

先证△AOB的欧拉线过△ABC重心G:向外作等边△ABD,其中心为M,AB中点为E,则ME=DE/3,GE=CE/3,连接MG交OE于F,由O是费马点知O在CD上,故EF=OE/3,即OF/EF=2,故F为△AOB重心,而又由∠AOB=120°,∠AMB=120°,AM=MB,得M是△AOB外心,由于MFG共线得到△AOB欧拉线MF过原三角形重心G.因此三条欧拉线交于一点——原三角形重心G.(PS:其实原三角形△ABC欧拉线也经过G.)
2023-07-18 10:15:182

旁心、费马点,欧拉线都是什么?

旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点. 一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外,三角形三个旁心构成的三角形称旁心三角形.在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。  在平面三角形中:  (1).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.     (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.  (3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合  (1) 等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。  (2) 当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。   莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
2023-07-18 10:15:311

欧拉线有什么性质?

太简单了,就是欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半
2023-07-18 10:15:532

三角形中的各种心的详细介绍要全点,像内心,外心之类的。

三角形的“五心” 我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2均为0°; θ1,θ2取接近30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为34,2493,2509时,θ1=29.658°. 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等.
2023-07-18 10:16:013

关于欧拉线和欧拉公式

第一个:直接用解析几何证。省去辅助线一类烦人的东西。把各个点的坐标都设出来,比如(a,0),(0,b),(0,c),然后代公式进去算,可以把垂心重心外心的坐标都算出来,算一下距离和斜率,就ok了。第二个:用第一问的结论,R和r都可以用a、b、c的式子来表示,算一下就是了。
2023-07-18 10:16:081

正三角形有欧拉线吗 正三角形的各点都重合啊 为什么有?

有 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
2023-07-18 10:16:151

欧拉线与外接圆的交点是什么?

在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.
2023-07-18 10:16:351

已知欧拉线和三角形的两个顶点,怎么求另一个

设这两点为A(m1,n1),B(m2,n2) 求这两点所对应的一次函数y1=ax+b 求这条对角线的中点M((m1+m2)/2,(n1+n2)/2) 求点A到点M的距离为l 过点M作A的垂线,求出这条直线的一次函数关系式y2=x/a+b" 设线上一点C(x,x/a+b") MC=l 求出x 可以算出两个x,代入y2,可得两个点,即是所求点
2023-07-18 10:16:431

欧拉线的向量证明。 为什么AH=2OD??

这个是三角形的一个性质,垂心到某一顶点的距离等於外心到该顶点对边距离的二倍.而且其实你的证明有点本末倒置,因为本身这个性质的向量证明恰好是通过OH→=OA→+OB→+OC→得到的,你现在用结果推出原因简直就是胡说八道证明这个很简单作△ABC的外接圆和直径AE,连接BE,CE那麼BE⊥AB,CE⊥AC∵H是垂心,∴HB⊥AC,HC⊥AB∴有HB∥CE,HC∥BE,那麼四边形BECH是平行四边形∴BE→=HC→BE→=BO→+OE→=-OB→-OA→HC→=HO→+OC→=-OH→+OC→∴OH→=OA→+OB→+OC→
2023-07-18 10:16:571

正三角形有欧拉线吗

有莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
2023-07-18 10:17:041

三角形的五心、四圆、三点、一线是什么

                      五心重心:三角形三条中线(顶点到对边中点的连线)的交点。垂心:三角形三条高(顶点到对边的垂线)的交点。内心:三角形三条内角平分线的交点。外心:三角形三边中垂线(垂直平分线)的交点。旁心:三角形一内角平分线和另两角的外角平分线的交点。(三角形只有五种心,当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心。)                      四圆内切圆:以内心为圆心,以内心到边的距离为半径的圆,与三角形三边都相切。外接圆:以外心为圆心,以外心到顶点的距离为半径的圆,三角形三个顶点都在圆周上。旁切圆:以旁心为圆心,以旁心到边的距离为半径的圆,与三角形一边及另两边延长线相切。欧拉圆:以垂心与外心连线的中点为圆心,以外接圆半径之半为半径的圆,与三角形的内切圆、三个旁切圆均相切。又称“九点圆”,即三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点九点共圆。                      三点勒莫恩点:三条顶点与内切圆切点连线的交点,又称类似重心。奈格尔点:三条顶点与旁切圆切点连线的交点,又称界心。欧拉点:三个顶点与垂心连线的中点,又称费尔巴哈点。                      一线欧拉线:外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线上,即外心、重心、九点圆圆心、垂心四点共线,这条直线称为欧拉线。(欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离之半)
2023-07-18 10:17:131

三角形ABC中线为DEF,交点为O,则六块面等。

三角形ABC 中线为DEF,交点为O,则六块面等。证明过程如下:∵BOD和△COD等底等∴S△BOD=S△COD同理,S△AOE=S△COE,S△AOF=S△BOF∵EF∥BC,△BFC和△BEC同底等高∴S△BFC=S△BEC∵S△BOF=S△BFC-S△BOC,S△BOF=S△BEC-S△BOC∴S△BOF=S△BOF同理,S△AOE=S△BOD,S△AOF=S△COD所以S△BOD=S△COD=S△AOE=S△COE=S△AOF=S△BOF中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论,可由斯台沃特定理直接得出,但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四种比较容易理解的方法。特殊点、线:五心、四圆、三点、一线:这些是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心;“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆;“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点;“一线”即欧拉线。三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形,有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构,如:埃菲尔铁塔,埃及金字塔等等。
2023-07-18 10:17:321

求解释向量证欧拉线中的一段

这道题比较复杂,工具所限我就不画图了~~D是做CD垂直于BC在圆O上的交点,容易知道∠BOD=2∠BCD=180°,即BOD共线;因为A、B、C、D都在圆O上,所以∠ACD=∠ABD=∠ABO=∠BAO,∠CAD=∠CBD=∠CBO=∠OCB,∠OCA=∠OAC。于是∠BCD=∠ACD+∠OCB+∠OCA=∠BAO+∠CAD+∠OAC=∠BAD=90°。则DA垂直于AB,于是DA和CH平行。又DC垂直于BC,所以DC与AH平行。所以AHCD为平行四边形~~向量AH=DC。第二问则是早就知道了的,DO=OB。基本就是这样,不知是否满意~~
2023-07-18 10:17:481

关于三角形的四心共线

任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线;三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉线的证明(请看“参考资料”的图)作△ABC的外接圆(圆心为O,垂心为H),连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G"∵BD是直径;∴∠BAD、∠BCD是直角;∴AD⊥AB,DC⊥BC∵CH⊥AB,AH⊥BC;∴DA‖CH,DC‖AH;∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC.∵M是BC的中点,O是BD的中点;∴OM=DC;∴OM=AH∵OM‖AH;∴△OMG"∽△HAG";∴G"是△ABC的重心∴G与G"重合;∴O、G、H三点在同一条直线上假设CH为∠ACB的角平分线,则等腰ΔBOC≌等腰ΔAOC∴CB=CA.∴四心共线(内、外、垂、重心)的三角形为等腰三角形参考资料:http://baike.baidu.com/view/145768.htm
2023-07-18 10:17:561

已知三角形ABC的顶点是A(2,0),B(0,4),三角形的欧拉线方程是x-y+2=0,则顶点C的坐标是多少?

首先求出AB的中垂线方程,它与欧拉线的交点即为外心(-1,1)。由此可写出外接圆方程。c必在外接圆上,设C点坐标(Xo,Yo),然后可得AC与AB中点m、n坐标,求出BM、CN方程,建立可得重心坐标X=(Xo+2)/3;Y=(Yo+4)/3代入欧拉线方程得方程1,与圆之方程2联立,可得C(-4,0).即得。
2023-07-18 10:18:112

初三数学竞赛可能用到的课外定理和重要结论

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 小学都应该掌握的重要定理2、射影定理(欧几里得定理) 重要3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分 重要4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点学习中位线时的一个常见问题,中考不需要,初中竞赛需要5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。完全没有意义,学习解析几何后显然的结论,不用知道6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。重要7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点重要8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL中考不需要,竞赛中很显然的结论9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。 高中竞赛中非常重要的定理,称为欧拉线10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,高中竞赛中的常用定理11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上高中竞赛中会用,不常用12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 高中竞赛的题目,不用掌握13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 重要14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 重要15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中竞赛需要,重要16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中竞赛需要,重要17、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 显然的结论,不需要掌握18、阿波罗尼斯定理:到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上高中竞赛需要,重要19、托勒密定理:设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC 初中竞赛需要,重要20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,学习复数后是显然的结论,不需要掌握21、爱尔可斯定理1:若△ABC和三角形△都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要掌握22、爱尔可斯定理2:若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 不需要掌握23、梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要,重要24、梅涅劳斯定理的逆定理:(略) 初中竞赛需要,重要25、梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R,、∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线。 不用掌握26、梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线 不用掌握27、塞瓦定理:设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R,则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 初中竞赛需要,重要28、塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中心M 不用掌握29、塞瓦定理的逆定理:(略) 初中竞赛需要,重要30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感,应该用中位线证明才漂亮31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。 不用掌握32、西摩松定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线) 初中竞赛的常用定理33、西摩松定理的逆定理:(略)初中竞赛的常用定理34、史坦纳定理:设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 不用掌握35、史坦纳定理的应用定理:△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。 不用掌握36、波朗杰、腾下定理:设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏). 不用掌握37、波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点,若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点,则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点不用掌握38、波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 不用掌握39、波朗杰、腾下定理推论3:考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦,则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点不用掌握40、波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线,设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上,这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。 不用掌握41、关于西摩松线的定理1:△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上。不用掌握42、关于西摩松线的定理2(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点。 不用掌握43、卡诺定理:通过△ABC的外接圆的一点P,引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线。 不用掌握44、奥倍尔定理:通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在△ABC的外接圆取一点P,则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线 不用掌握45、清宫定理:设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点,P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线 不用掌握46、他拿定理:设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点,点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F,则D、E、F三点共线。(反点:P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点,如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点) 不用掌握47、朗古来定理:在同一圆同上有A1B1C1D14点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上。 不用掌握48、九点圆定理:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆. 上面已经有了49、一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 不用掌握50、康托尔定理1:一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 不用掌握51、康托尔定理2:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。不用掌握52、康托尔定理3:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 不用掌握53、康托尔定理4:一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 不用掌握54、费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 不用掌握55、莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 这是我认为的平面几何中最漂亮最神奇的几个定理之一,但不用掌握56、牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 高中竞赛中常用57、牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。 不用掌握58、笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。 高中竞赛中偶尔会用59、笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。 60、布利安松定理:连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线共点。 高中竞赛中偶尔会用60、巴斯加定理:圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。高中竞赛中重要,一般称做帕斯卡定理,而且是圆锥曲线内接六边形
2023-07-18 10:18:222

求证锐角三角形垂心,重心,外心三点共线

垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线.欧拉线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.莱昂哈德?65年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在...
2023-07-18 10:18:301

急!我想知道三角型的性质。概念

稳定性
2023-07-18 10:18:392

欧拉线定理

欧拉线定理:三角形的外心、垂心和重心在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。内容:三角形的外心、垂心和重心在一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明:设△ABC的垂心、重心、外心分别为H,G,O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=(向量OA+向量OB+向量OC)/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线,且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。欧拉定理指出:如果产品市场和要素市场都是完全竞争的,而且厂商生产的规模报酬不变,那么在市场均衡的条件下,所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。
2023-07-18 10:19:091

欧拉线的性质

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。 欧拉线的证明: 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G"。 ∵ BD是直径, ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB,AH⊥BC, ∴ DA‖CH,DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形, ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点,O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH, ∴ △OMG" ∽△HAG"。 ∴ 。 ∴ G"是△ABC的重心。 ∴ G与G"重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。在平面几何中,欧拉线(图中的红线)是指过三角形的垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 [编辑]证明如图,H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心,连AH,作△ABC的外接圆直径BOD,再连DB、DA,则DC⊥BC…①,DA⊥AB…② ∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③,CH⊥AB…④ 由①、③可知DC‖AH,由②、④可知DA‖CH,故四边形ADCH为平行四边形,∴AH=DC。∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM,即AH=2OM。作BC边上的中线AM,连OM、OH;设OH交AM与点G" ∵OM⊥BC,△AHG"∽△MOG",∴AG"=2G"M,因此G"即△ABC重心G。 故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线,直线HGO即欧拉线。 [
2023-07-18 10:19:302

什么是欧拉线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。欧拉线的证明:作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点Gu2019。∵BD是直径,u2234u2220BAD、u2220BCD是直角。u2234ADu22a5AB,DCu22a5BC。∵CHu22a5AB,AHu22a5BC,u2234DA‖CH,DC‖AH。u2234四边形ADCH是平行四边形,u2234AH=DC。∵M是BC的中点,O是BD的中点。u2234OM=DC。u2234OM=AH。∵OM‖AH,u2234△OMGu2019∽△HAGu2019。u2234。u2234Gu2019是△ABC的重心。u2234G与Gu2019重合。
2023-07-18 10:19:391

欧拉线如何证明?

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。   莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。  欧拉线的证明:   作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G"  ∵ BD是直径   ∴ ∠BAD、∠BCD是直角  ∴ AD⊥AB,DC⊥BC  ∵ CH⊥AB,AH⊥BC  ∴ DA‖CH,DC‖AH  ∴ 四边形ADCH是平行四边形  ∴ AH=DC  ∵ M是BC的中点,O是BD的中点  ∴ OM= 1/2DC  ∴ OM= 1/2AH  ∵ OM‖AH  ∴ △OMG" ∽△HAG"  ∴AG/GM=2/1  ∴ G"是△ABC的重心  ∴ G与G"重合  ∴ O、G、H三点在同一条直线上   如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
2023-07-18 10:19:461

欧拉线如何证明?

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。   莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。  欧拉线的证明:   作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G"  ∵ BD是直径   ∴ ∠BAD、∠BCD是直角  ∴ AD⊥AB,DC⊥BC  ∵ CH⊥AB,AH⊥BC  ∴ DA‖CH,DC‖AH  ∴ 四边形ADCH是平行四边形  ∴ AH=DC  ∵ M是BC的中点,O是BD的中点  ∴ OM= 1/2DC  ∴ OM= 1/2AH  ∵ OM‖AH  ∴ △OMG" ∽△HAG"  ∴AG/GM=2/1  ∴ G"是△ABC的重心  ∴ G与G"重合  ∴ O、G、H三点在同一条直线上   如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
2023-07-18 10:19:541

什么是欧拉线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。 欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。 欧拉线的证明:作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G"。 ∵ BD是直径, ∴ ∠BAD、∠BCD是直角。 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC。 ∵ CH⊥AB,AH⊥BC, ∴ DA‖CH,DC‖AH。 ∴ 四边形ADCH是平行四边形, ∴ AH=DC。 ∵ M是BC的中点,O是BD的中点。 ∴ OM= DC。 ∴ OM= AH。 ∵ OM‖AH, ∴ △OMG" ∽△HAG"。 ∴ 。 ∴ G"是△ABC的重心。 ∴ G与G"重合。 ∴ O、G、H三点在同一条直线上。
2023-07-18 10:20:031

欧拉线超过三种证法

欧拉线  三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。   莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。  欧拉线的证明:   作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G"  ∵ BD是直径   ∴ ∠BAD、∠BCD是直角  ∴ AD⊥AB,DC⊥BC  ∵ CH⊥AB,AH⊥BC  ∴ DA‖CH,DC‖AH  ∴ 四边形ADCH是平行四边形  ∴ AH=DC  ∵ M是BC的中点,O是BD的中点  ∴ OM= 1/2DC  ∴ OM= 1/2AH  ∵ OM‖AH  ∴ △OMG" ∽△HAG"  ∴AG/GM=2/1  ∴ G"是△ABC的重心  ∴ G与G"重合  ∴ O、G、H三点在同一条直线上   如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.  欧拉线的另证:  设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。  连接OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。  连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF  连接FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1  又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。  
2023-07-18 10:20:221

欧拉线有什么性质?

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。
2023-07-18 10:20:301

求证锐角三角形垂心,重心,外心三点共线

垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线. 欧拉线 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线. 莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半. 欧拉线的证明: 作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G" ∵ BD是直径 ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ∴ AD⊥AB,DC⊥BC ∵ CH⊥AB,AH⊥BC ∴ DA‖CH,DC‖AH ∴ 四边形ADCH是平行四边形 ∴ AH=DC ∵ M是BC的中点,O是BD的中点 ∴ OM= DC ∴ OM= AH ∵ OM‖AH ∴ △OMG" ∽△HAG" ∴ G"是△ABC的重心 ∴ G与G"重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上 顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线
2023-07-18 10:21:061

用几何法求证:三角形外心、重心、垂心三点共线

垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线。欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线。莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证明:作△abc的外接圆,连结并延长bo,交外接圆于点d。连结ad、cd、ah、ch、oh。作中线am,设am交oh于点g"∵bd是直径∴∠bad、∠bcd是直角∴ad⊥ab,dc⊥bc∵ch⊥ab,ah⊥bc∴da‖ch,dc‖ah∴四边形adch是平行四边形∴ah=dc∵m是bc的中点,o是bd的中点∴om=dc∴om=ah∵om‖ah∴△omg"∽△hag"∴g"是△abc的重心∴g与g"重合∴o、g、h三点在同一条直线上顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线
2023-07-18 10:21:131

三角形的三条高为什么?

垂心定理啊!三角形的“五心”我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质: 一是"欧拉线",即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质. 二是"九点圆",即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.九点圆又称"费尔巴哈圆","欧拉圆". 经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质: 一,是任意三角形有三条"九点线",九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边. 二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角形(以下简称"旁心三角形")的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为"十二点圆".第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1. 三,是一条"九心线",三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称"中点三角形")垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心. 四,是一些线段和的不等关系: 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称"分角三角形")的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分角三角形也是正三角形. 五,是两个面积不等关系: 1,三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4,当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形. 2,分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立, 此时分角三角形也是正三角形. 六,是两个夹角范围,由于尚未给出严格的证明,故作为猜想提出: 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是: 当三角形为等腰三角形时,θ1,θ2均为0°; θ1,θ2取接近30°值时,三角形不可能是等腰三角形或直角三角形. 一个典型的实例是当三角形的三边为34,2493,2509时,θ1=29.658°. 七,是其它一些性质: 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合. 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合,且两质心重合,中点三角形的垂心与原三角形的外心重合,两条欧拉线上的垂心,质心,外心排列方向相反. 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2. 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形(以下简称"垂足三角形")的第一九点圆半径之比为2:1. 三角形内接于它的旁心三角形*. 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角,且垂直与旁心三角形的一边,从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*. 作为特殊三角形的等腰三角形,它的九心线与欧拉线重合,并且是等腰三角形的对称轴,该线经过与三角形有关的无数"颗"心.例如:它经过三角形本身的垂心,质心,外心,内心和一个旁心等"五心",经过三角形的旁心三角形的五心,旁心三角形的旁心三角形的五心……,三角形的中点三角形的五心,中点三角形的中点三角形的五心……,三角形的分角三角形的五心,分角三角形的分角三角形的五心……,三角形的垂足三角形的五心,垂足三角形的垂足三角形的五心……,以及各三角形的复合三角形的一些心,等等.
2023-07-18 10:21:2310

三角形的中线怎么求

简单分析一下,答案如图所示
2023-07-18 10:21:502

三角形的中线怎么求

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。即,对任意三角形△ABC,设是I线段BC的中点,AI为中线,则有如下关系:AB2+AC2=2BI2+2AI2或作AB2+AC2=(BC)2+2AI2
2023-07-18 10:22:431

三角形中线定理怎么证明?

三角形ABC 中线为DEF,交点为O,则六块面等。证明过程如下:∵BOD和△COD等底等∴S△BOD=S△COD同理,S△AOE=S△COE,S△AOF=S△BOF∵EF∥BC,△BFC和△BEC同底等高∴S△BFC=S△BEC∵S△BOF=S△BFC-S△BOC,S△BOF=S△BEC-S△BOC∴S△BOF=S△BOF同理,S△AOE=S△BOD,S△AOF=S△COD所以S△BOD=S△COD=S△AOE=S△COE=S△AOF=S△BOF中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论,可由斯台沃特定理直接得出,但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四种比较容易理解的方法。特殊点、线:五心、四圆、三点、一线:这些是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心;“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆;“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点;“一线”即欧拉线。三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形,有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构,如:埃菲尔铁塔,埃及金字塔等等。
2023-07-18 10:23:011

求各种三角形的定义以及定理

1. 三角不等式: 三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边.如果两者相等,则是退化三角形. 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角. 1. 勾股定理(毕氏定理)及其逆定理: 设三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c,则$ a^2+b^2=c^2 $等价于角C=90°. 1. 正弦定理(R为三角形外接圆半径): $ frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(eta)} = frac{c}{sin(gamma)}=2R $ 1. 余弦定理: $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cdot cos (alpha) $ $ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cdot cos (eta) $ $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos (gamma) $ [编辑] 2.2 角度 三角形两只内角之和,等于剩下的一只的外角. 在欧几里德平面内,三角形的内角和等于180°. [编辑] 3 分类 [编辑] 3.1 锐角、钝角三角形 钝角三角形是其中一角为钝角(大于90°)的三角形,其余两角均小于90°. 锐角三角形的所有内角均为锐角(小于90°). [编辑] 3.2 直角三角形 有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形. 成直角的两条边称为直角边,直角所对的边是斜边(hypotenuse);或最长的边称为弦,底部的一边称作勾(又作句),另一边称为股. 可以透过不同角度的直角三角形各边的比求得锐角三角函数. [编辑] 3.3 等边三角形 等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形.其三个内角相等,均为60°.它是锐角三角形的一种.设其边长是a,则其面积公式为$ frac{sqrt 3}{4}a^2 $. 等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状.六个等边三角形可以拼成一个正六边形. [编辑] 3.4 等腰三角形 等腰三角形是三条边中有两条边相等(或是其中两只内角相等)的三角形.等腰三角形中的两条相等的边被称为腰,而另一条边被称为底边,两条腰交叉组成的那个点被称为顶点,它们组成的角被称为顶角.等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上. 等腰三角形的底的垂直平分线,刚好又是对应角的角平分线,同时又是 等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式. 等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度. 等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度. [编辑] 3.5 退化三角形 面积为零的三角形. [编辑] 4 特性 三角形是具有稳定性:当三角形的三边确定后,它的形状、大小就不会改变. [编辑] 5 面积 [编辑] 5.1 已知两边及其夹角 设a、b为所知的两边,C为该夹角,三角形面积为$ frac{1}{2} $ab sin C. [编辑] 5.2 已知底和高 $ frac{1}{2} $底x高.因为两个相同的三角形叠合可成平行四边形. [编辑] 6 参考文献 [编辑] 6.1 已知三边长 希罗公式: 设p等于三角形三边和的一半: $ p=frac{a+b+c}{2} $ 则 $ S = sqrt{pleft(p-a ight)left(p-b ight)left(p-c ight)} $ 化简后就是: $ S = frac{1}{4} sqrt{left(a+b+c ight)left(a+b-c ight)left(a+c-b ight)left(b+c-a ight)} $ 秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法: $ sqrt{frac{1}{4} {(c^2a^2-(frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}} $ 基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法.设a ≥ b ≥ c,三角形面积为$ frac{1}{4} sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))} $ [编辑] 7 其他三角形有关的定理 * 拿破仑三角形 * 费马点 * 欧拉线 * 梅涅劳斯定理 [编辑] 8 三角形的五心 名称 定义 图示 备注 内心 三个内角的角平分线的交点三角形内接圆的圆心 外心 三条边的垂直平分线的交点三角形外接圆的圆心 垂心 三条高的交点重心 三条中线的交点被交点划分的线段比例为1:2 (靠近角的一段较长) 旁心 外角的角平分线的交点有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心 垂心(蓝)、重心(黄)和外心(绿)能连成一线,称为欧拉线.
2023-07-18 10:23:181