初三数学题，在线等

简单分析一下，答案如图所示

张角定理：在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么：sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC。扩展资料：张角定理的应用：把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以得到简捷统一的解决。参考资料来源：百度百科-张角定理

证法1：设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。证法2：由正弦定理，AD/sinB=BD/sin∠1，　(2.1)AD/sinC=CD/sin∠2，　(2.2)AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)，　(2.3)AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)；　(2.4)那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，从而BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC)　(2.5)由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。将以上两式相加，并将(2.5)代入即可。证法3：由面积和得：0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC

在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD逆定理如果 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。

简单分析一下，详情如图所示

数学问题中的"张角”是什么意思：1、从其一边逆时针旋转至另一边的角。2、两条渐进线含有曲线部分所成的角，其角的大小决定了双曲线开口的大小，在数学上俗称张角。3、张角没有固定意义，是一种通常的叫法。补充：张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD，那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。其定理是张角于公元184年提出的。应用：把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用其去解决几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式等几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题也可以得到简洁统一的解决。

张角定理其实就是面积定理，a,b,m为那个角的三条射线，a左，b右，m中（middle）。A左角正弦，B右角正弦，M左右和角的正弦。那么用边乘边乘夹角正弦的一半表示面积，就有amA+bmB=abM.然后同除三边积，就有A/b+B/a=M/m

用《分角定理》证明《张角定理》《张角定理》为中国人发现,即三角形内有一分角线,被分角正弦与分角线之比等于各分角正弦与不相邻边的比之和。用图表述；△ABC,AD内分∠BAC,则有(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= ( sin∠BAC/AD)。由AC外分∠BAD,由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)·(AD/AB) →(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠BAC/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→

最大张角定理是：米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。米勒问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。证明：设是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AB是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AB小于∠ACB，故∠ACB最大。最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

　　1、三角形中没有张角这个概念，但有张角定理。在三角形ABC中，D是BC上的一点，连结AD。张角定理指出：角BAD的正弦比角AC的正弦加角CAD的正弦比角AB的正弦等于角BAC的正弦比角AD的正弦。逆定理：如果角BAD的正弦比角AC的正弦加角CAD的正弦比角AB的正弦等于角BAC的正弦比角AD的正弦，那么B，D，C三点共线。 　　2、张角。钜鹿（治今河北平乡）人。中国东汉末年农民起义军“黄巾军”的领袖，太平道的创始人。他因得到道士于吉等人所传《太平清领书》，遂以宗教救世为己任，利用其中的某些宗

一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀.90｀圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.中线长度公式:在三角形ABC中,D为BC上的中点,设BD=DC=n,AD=m,AB=aAC=b,则有2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.由三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆,给我们解题提供了极大的便利.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切.重心定理三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),AB=c,BC=a,AC=b,内心为I,AI交BC于D,BI交AC于E,CI交AB与F由平面几何性质得BD/DC=c/b,AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1b/a*(b+c)/b*DI/IA=1DI/IA=a/(b+c)DI=IA*a/(b+c)BD=c/b*DCD((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)IXi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))这个坐标公式没有实际意义,因为a,b,c还要用距离公式代入,但训练定比分点是有用的.垂心：A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),垂心H(x0,y0)用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2Kah=y1-y0/x1-x0Kah=-1/Kbc得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)解出x0,y0即可,很麻烦,如果遇到题目,还是代数据比较好,因为公式麻烦也是一种负担外心,也很麻烦(x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2解方程即可

你说的张角估计是哪个老师自己定义的，他人的看法很有可能和你需要的看法不一样，但三角形倒是有个张角定理，如下在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 逆定理 如果 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD， 那么B,D,C三点共线。 张角定理的推论： 在定理的条件下，且∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC证明参见http://baike.baidu.com/view/1103993.htm?fr=ala0_1_1

把平面几何和三角函数紧密相连，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式，并且是一个非常有效的证明三点共线的手段。用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以得到简捷统一的解决。

一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀. 90｀圆周角所对弦是直径. (常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等. 同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2 三、垂心 三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆，给我们解题提供了极大的便利. 四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA. 三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切. 重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点 设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F 由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a 由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1 b/a*(b+c)/b*DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA*a/(b+c) BD=c/b*DC D ((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b)) (bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c) I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)] Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)] I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)) 这个坐标公式没有实际意义，因为a,b,c还要用距离公式代入，但训练定比分点是有用的。 垂心： A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0) 用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2 Kah=y1-y0/x1-x0 Kah=-1/Kbc 得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0) 同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0) 解出x0,y0即可，很麻烦，如果遇到题目，还是代数据比较好，因为公式麻烦也是一种负担 外心，也很麻烦 (x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2 解方程即可

米勒定理求最大角如下：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。米勒(1436-1476)，德国著名的数学家，曾经在莱比锡大学、维也纳大学学习三角学和天文学，1468年至1471年在维也纳大学任教授。1471年定居纽伦堡，从事天文学研究。米勒对三角学做出了巨大贡献。大约在1461年至1464年间，他写了《论三角》一书。全书共分5册，前两册讲平面三角，后三册讲球面三角。书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理，计算了准确的三角函数表。这些工作使三角学脱离天文学而成为一门独立的学科，米勒也因此被誉为是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家。1471年，米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长（即在什么部位，可见角为最大）。此最大视角问题称之为“米勒问题”，其结论称之为“米勒定理”，这也是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题。

一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系:五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点.这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点.这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点.这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题. 三、垂心 三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 四、内心 三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系： 五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切. 重心定理 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

不能 只准使用数学教科书上的所有定理公理（包括初中的）以及梅涅劳斯定理 赛瓦定理 西姆松定理和斯特瓦尔特定理 张角定理和九点圆定理以及其他数学定理均需证明再使用

首先，由弦切角定理可以得到：sin∠ACR=sin∠ABCsin∠BCR=sin∠BACsin∠BAP=sin∠BCAsin∠CAP=sin∠ABCsin∠CBQ=sin∠BACsin∠ABQ=sin∠BCA所以，我们可以得到：(sin∠ACR/sin∠BCR)*(sin∠BAP/sin∠CAP)*(sin∠CBQ/sin∠ABQ)=1根据第一角元形式的梅涅劳斯定理，可知△ABC被直线PQR所截即P、Q、R三点共线

三国演义中张角张角(?--184),钜鹿(今河北宁晋县)人,黄巾起义军首领,太平道创始人,张角早年信奉黄老学说,对在汉代十分流行的谶纬之学也深有研究,对民间医术 、巫术也很熟悉。 建宁年间(168---172)， 他带着两个弟弟,首先在灾情特别严重的翼州一带开始传教活动。灵帝熹平年间(172---178),他在大量招收学生 、培养弟子 、吸收徒众的基础上,创立了太平道。 太平道为我国道教的早期教派之一,以推翻腐朽没落的东汉王朝、建立太平社会为己任。 其主要特征是以《太平经》为主要经典,以"中黄太一"为其奉祀之至尊天神。太平道的纲领、目标、教义、称号、教区组织、口号、宗教仪式、活动内容、传教方式等,皆据《太平经》而来。 他到处散布"苍天已死,黄天当立,岁在甲子,天下大吉"。 张角根据《太平经》“众星亿亿,不若一日之明也；柱天群行之言,不若国一贤良也”,自称大贤良师,为太平道的总首领;他的两个弟弟,张梁、张宝则自称大医,亦为太平道的首领之一。凡太平道成员及其信徒,若犯有过失,只要跪拜在首领面前,承认错误,保证不再犯,便给以宽恕。 张角常持九节杖,在民间传统医术的基础上,加以符水、咒语,为人治病。并以此为掩护，广泛宣传《太平经》中关于反对剥削、敛财，主张平等互爱的学说、观点,深得穷苦大众的拥护。张角又派出弟子八人,到四面八方去宣传教义。发展徒众,“以善道教化天下”。十余年间,太平道势力遍布青、徐 、幽、冀、荆、扬、兖、豫八州,徒众达数十万人。主要是穷苦农民,也有城镇手工业者.个别官吏、甚至宦官。张角将教徒划分为三十六方（教区组织），大方万余人，小方六、七千人，每方设渠帅负责。 在此基础上，张角又按《太平经》中“顺五行”的思维方法，按照五行相生相克的理论,选定于甲子年甲子日、即灵帝中平元年（184）三月五日举行大起义。张角还提出“苍天已死，黄天当立，岁在甲子，天下大吉”的响亮口号，欲说明按照万物兴衰、按照朝代演变的规律，汉王朝（苍天）大数已尽，作为土德（土色黄）、黄天的代表，太平道应当取代汉王朝。在二月初，各方首领及信徒便已着手准备。他们用石灰在洛阳的市门及州郡官府墙上书写“甲子”等标语口号。 一大方的渠帅马元义首先通知荆州、扬州的信徒数万人，到邺（河北临漳）城集中，准备起义。于是，其分管的信徒们便已开始向邺城集中。马元义还多次到京城洛阳约定宦官中常侍封 、徐奉为内应，在三月五日里应外合，一道起义。 大约在预定起义日期的前十天，即二月十五日前后，太平道的一个信徒、济南人唐周上书官府告发起义之事。于是，朝廷紧急捕捉马元义，车裂于洛阳；并紧急动员各种力量，捕捉诛杀张角信徒一千余人；又通知冀州捕捉张角及其家人。 张角等发现事已败露，即用各种方法星夜通知各方，立即起义。起义时，义军首先将抓获的贪官杀了祭天。起义时，张角军皆头裹黄巾 （ 黄天的象征 ），时人称之 “黄巾军”。起义后，张角依据《太平经》中关于“有天治、有地治、有人治，三气极，然后歧行万物治也”的理论，自称“天公将军”，其弟张宝自称地公将军，其弟张梁自称“人公将军”。 起义开始后，群众纷纷响应，或入伍为信徒，或送粮送衣，义军发展很快。义军攻克城镇后，往往烧毁官府，杀贪赃官吏，将其财产分给百姓。贪官污吏平时作威作福，一闻义军到来，便吓破了胆，如同丧家之犬，多已逃之夭夭。旬日之间，天下震动，京师震动。 但由于黄巾军的主体是农民，组织不够严密，在政策和策略上普遍掌握不够 好。他们除了攻打官府外，还普遍攻打豪强、士家及各种有钱人家。于是，豪强、士家都迅速站出来，配合官府义军。起义约十个月后，黄巾军主力败于官府、豪强的联合。不久，张角也在这期间病死。 张角领导的黄巾起义，震撼了东汉王朝的根基，直接导致了东汉末年军阀割据、混战、进而演变为三足鼎立的局面。同时，它也是我国历史上第一次由宗教领导的农民起义，具有深远的历史意义；它也奠定了道教今后主要在社会下层传播、发展的历史格局。

1AH=ABcos60 /sinCOA=OBAO=AB/2 /sin(AOB/2)角AOB/2=CAH=OA 3角OAB=(180-AOB)/2=90-C=角HACAI平分角BAC,角IAB=IAC角OAG=HAG 2AH=OA=OB=OF角OFA=OAG=HAG,AH//OF,菱形AOFH,FH=FOAI交圆O于F角BCF=CBF=OAC=AOC=30平行四边形AOCF,OA=OC菱形AOCF,角OFA=60FC=FB等边三角形OFA, 角BOC=2BOF=120FB=FOFB=FO=FH=FC四点共圆 I是内切圆心角BIC=180-IBC-ICB=180-B/2-C/2=90+A/2=120角BIC=BOC如果I不在圆心F半径FO的圆上,I在圆外,圆内,角BIC都不等于BOC所以I和BOCF共圆

向量等和线源自于平面向量基本定理的应用。1、即一个向量可以用一组不共线的向量表示出来，此时两基底的系数共同决定了第三条向量终点的位置，常用的结论是当系数之和为1时，则三条共起点的向量的终点在同一条直线上。2、常数属于数学名词，其指规定的数量与数字，如圆的周长和直径的比π﹑铁的膨胀系数为0.000012等。常数是具有一定含义的名称，用于代替数字或字符串，其值从不改变。数学上常用大写的C来表示某一个常数。3、等和线张角定理：首先先用张角定理得出cp与cmcn的关系，细想观看，利用向量等和线通过转换得知其实就是求ap的最大值，而ac为定值，则求cp最小值，这样可以顺着思路就要建立与CMcn的关系了。而张角定理给我们提供了建立三者关系的等式，于是顺利成章的把cp单独移到一边。题目已经给了CMCN关系了，那么右边式子就用一个参数表示，但是需要注意参数的定义域，剩下转换为一个函数问题。

1。同角（或等角）的余角相等。3。对顶角相等。5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。7。同位角相等，两直线平行。12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。47。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。49。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。50。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

有三角形abc，平面上有一点p。p在三角形三边上的投影（即由p到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, simson line）当且仅当p在三角形的外接圆上。 相关的结果有： 称三角形的垂心为h。西姆松线和ph的交点为线段ph的中点，且这点在九点圆上。 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点p对应两者的西姆松线的交角，跟p的位置无关。 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。[编辑本段]证明 证明一： △abc外接圆上有点p，且pe⊥ac于e，pf⊥ab于f，pd⊥bc于d，分别连de、df. 易证p、b、f、d及p、d、c、e和a、b、p、c分别共圆，于是∠fdp=∠acp ①，（∵都是∠abp的补角） 且∠pde=∠pce ② 而∠acp+∠pce=180° ③ ∴∠fdp+∠pde=180° ④ 即f、d、e共线. 反之，当f、d、e共线时，由④→②→③→①可见a、b、p、c共圆. 证明二： 如图，若l、m、n三点共线，连结bp，cp，则因pl垂直于bc，pm垂直于ac，pn垂直于ab，有b、p、l、n和m、p、l、c分别四点共圆，有 角 pbn = 180 - 角 pln = 角 plm = 角 pcm. 故a、b、p、c四点共圆。 若a、b、p、c四点共圆，则角 pbn = 角 pcm。因pl垂直于bc，pm垂直于ac，pn垂直于ab，有b、p、l、n和m、p、l、c四点共圆，有 角 pbn = 180 - 角 pln = 角 plm = 角 pcm. 故l、m、n三点共线。 中考和高考最好不要用，因为很多老师不搞竞赛，根本不知道有那些定理，所以可能误判！竞赛中常用的定理都可以啊。比如梅涅劳斯定理，塞瓦定理，托勒密定理，西姆松定理，九点圆定理，欧拉定理张角定理都可以啊.这些都是我知道的常用的，不过还有一些，比如清宫定理，笛沙格定理……，这些最好自己证明下，毕竟不是常用的！你看看竞赛大纲的几何部分：1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。

（一）用《分角定理》证明《张角定理》：即三角形内有一条分角线,各分角正弦与不相邻边的比之和=大角正弦与分角线之比。△ABC中,AD内分∠BAC, 则有（sin∠BAD/AC）+ (sin∠CAD/ AB) = ( sin∠BAC/AD)。证明：由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→（CD/CB）=（sin∠CAD/ sin∠CAB）·（AD/AB）→(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→（BD/BC）=（sin∠BAD/ sin∠BAC）·（AD/AC）→(sin∠BAD/ AC)=（BD/BC）·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→(sin∠BAD/ AC) +(sin∠CAD/ AB) = sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)= ( sin∠BAC/AD)。证毕。（二）用《分角定理》证明《三弦定理》：过圆上一点A任作三条弦，AB（左）、AC（右）、AD（中），则有AB·sin∠CAP +AC·sin∠BAP= AD·sin∠BAC。（AD与BC交于P）证明：由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=（CP/BC）·（AB/AP）→(AB·sin∠CAP/sin∠BAC)=（CP/BC）（AB·AB）/AP⑴，同理由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/ sin∠BAC)=（BP/BC）（AC·AC）/AP⑵，由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[（CP·AB·AB）/（AP·BC·AD）+（BP·AC·AC）/（AP·BC·AD）] = AD·sin∠BAC[（CP/AP）（AB/BC）（AB/AD）+（BP/AP）（AC/BC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC[（sin∠CAP/ sin∠ACP）（sin∠ACP/ sin∠BAC）（AB/AD）+（sin∠BAP/ sin∠ABC）（sin∠ABC/ sin∠BAC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC[（sin∠CBD/ sin∠BDC）（AB/AD）+（sin∠BCD/ sin∠BDC）（AC/AD）= AD·sin∠BAC [（CD/BC）（AB/AD）+（BD/BC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC [（CD·AB）/（BC·AD）+（BD·AC）/（BC·AD）] 由《托氏定理》，所以有(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。证毕。（三）用《分角定理》证明《全面三割线定理》：过圆外一点。任作三条割线，则有（PB·sin∠DPQ + PA·sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=（sin∠EPQ/PD + sin∠DPQ/PE）×sin∠DPE·PC。证明：连AE交PC于M，连BD交PC于N，连AC、BC、DQ、EQ。由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/ sin∠DPE)=（DN/DB）·（PB/PN）→PB sin∠DPQ= sin∠DPE（DN·PB·PB）/（DB·PN）⑴。由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/ sin∠DPE)=（EM/EA）·（PA/PM）→PA sin∠EPQ= sin∠DPE（EM·PA·PA）/（EA·PM）⑵。由⑴+⑵→PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ = sin∠DPE[（DN·PB·PB）/（DB·PN）+（EM·PA·PA）/（EA·PM）]×PC/PC=PC sin∠DPE[（DN/PN）（PB/DB）（PB/PC）+（EM/PM）（PA/EA）（PA/PC）]= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/ sin∠PDN) (sin∠PDN/ sin∠DPE) (sin∠PCB/ sin∠PBC)+ (sin∠EPQ/ sin∠PEM)(sin∠PEM/ sin∠DPE) (sin∠PCA sin∠PAC)]，两边×sin∠DPE/PQ→（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[（sin∠DPE/PQ）(sin∠DPQ/ sin∠DPE)(sin∠PEQ/ sin∠PQE)+（sin∠DPE/PQ）(sin∠EPQ/ sin∠DPE) (sin∠PDQ sin∠PQD)] →（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)（PQ/PE）+(sin∠EPQ/PQ) （PQ/PD）]∴（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+ (sin∠EPQ/PD)]证毕。

定理1 (Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立) 定理2点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．定理3 (Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 AZ/ZB*BX/XC*CY/YA=1定理4 (Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是 AZ/ZB*BX/XC*CY/YA=1=1．定理5 (蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．定理6 张角定理：从一点出发三条线段长分别为a、b、t、(t在a、b之间)，则sin(αβ)/t=sinα/b+sinβ/a定理7 (Simson line) P是ΔABC的外接圆⊙O上的任意一点，PX⊥AB，PY⊥BC，PZ⊥CA，垂足为X、Y、Z，求证： X、Y、Z三点共线．定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半．定理9 (Nine point round)三角形的三条高的垂足、三条边的中点以及三个顶点与垂心连线的中点，共计九点共圆．定理10(三角形的内心的一个重要性质)设I、Ia分别为⊿ABC的内心及DA内的旁心，而DA平分线与⊿ABC的外接圆交于点P，则PB=PC=PI=PIa．定理11 (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．定理15 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心．定理16 (Polya问题)两端点在给定圆周上且把圆面积二等分的所有线中，以直径最短． 定理17．(等周问题)这是由一系列的结果组成的问题： 1° 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大． 2° 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大． 3° 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 4° 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。定理18布利安松定理连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点定理19帕斯卡定理：圆内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。这条直线称为该六边形的帕斯卡线。因法国数学家帕斯卡发现而得名。本定理可推广为：圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。 定理 21、 四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点定理22、 间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的定理23、 三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上定理24、 、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，且半径为三角形半径的一半。定理25、 欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上定理26、 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 定理27、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 定理28、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 定理29、 以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形定理30爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 定理31、 爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形定理32、 塞瓦定理的逆定理的应用：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。 定理35、 一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点定理36、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 定理37、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。定理38、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形定理40、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 定理41、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 41

斯坦纳-雷米欧司定理:　　设在三角形abc中，有b、c的角平分线cf、be交于o　　be是角平分线推出：bc/ce=ab/ae，同理：bc/bd=ac/ad，因为bd=ce，所以等量代换得出：　　ab/ae=ac/ad，角a是公共角，所以三角形acd与abe相似，所以lacd=labe，同理lbdc=lbec，再加上bd=ce，所以三角形bod全等于三角形oec，所以ob=oc且ldbe=lecd，ob=oc推出lobc=locb，再等量代换得到labc=lacb，所以ab=ac　　注:"l"为角的符号

斯坦纳定理：“如果三角形中两内角平分线长度相等，则必为等腰三角形”。这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—莱默斯定理。扩展资料：证明：在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y根据张角定理，有2cosx/BD=1/AB+1/BC2cosy/CE=1/AC+1/BC则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)若AB>AC，则上式左端为正，右端为负若AB<AC，则上式左端为负，右端为正故AB=AC参考资料来源：百度百科-斯坦纳定理

斯坦纳-雷米欧司定理:　　设在三角形abc中，有b、c的角平分线cf、be交于o　　be是角平分线推出：bc/ce=ab/ae，同理：bc/bd=ac/ad，因为bd=ce，所以等量代换得出：　　ab/ae=ac/ad，角a是公共角，所以三角形acd与abe相似，所以lacd=labe，同理lbdc=lbec，再加上bd=ce，所以三角形bod全等于三角形oec，所以ob=oc且ldbe=lecd，ob=oc推出lobc=locb，再等量代换得到labc=lacb，所以ab=ac　　注:"l"为角的符号

蝴蝶定理的证明 定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OUuf05eAD，OVuf05eBC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于 uf0d0EUOuf03duf0d0EMOuf03d90uf0b0 uf0d0FVOuf03duf0d0FMOuf03d90uf0b0 得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则uf0d0AUM=uf0d0EOM，uf0d0MOFuf03duf0d0MVC 又uf03aMADuf03auf03aMCB，U、V为AD、BC的中点，从而uf044MUAuf03auf044MVC，uf0d0AUMuf03duf0d0MVC 则 uf0d0EOMuf03duf0d0MOF，于是ME=MF。 证法2 过D作关于直线OM的对称点D"，如图3所示，则 uf0d0FMD"uf03duf0d0EMD，MD=MD" 1 ○ 联结D"M交圆O于C"，则C与C"关于OM对称，即 PC"uf03dCQ。又 111uf0d0CFP=QB+PC）=QB+CC"+CQ）=BC"=uf0d0BD"C" 222 故M、F、B、D"四点共圆，即uf0d0MBFuf03duf0d0MD"F 而 uf0d0MBFuf03duf0d0EDM ○2 由○1、○2知，uf044DMEuf040uf044D"MF，故ME=MF。 图 2 证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对uf044NEF及截线AMB，uf044NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有 FMEANBFMEDNC uf0d7uf0d7uf03d1，uf0d7uf0d7uf03d1 MEANBFMEDNCF 由上述两式相乘，并注意到 NAuf0d7NDuf03dNCuf0d7NB 得 图 3 FMANNDBFCFBFuf0d7CF uf03duf0d7uf0d7uf0d7uf03d 2 MEAEEDBNCNAEuf0d7ED 2 uf03d uf028PM+MFuf029uf028MQ-MFuf029uf03dPMuf02dMF PM-MEMQ+MEPM2uf02dME2 2 2 [2] 化简上式后得ME=MF。2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 4 证法 4 （Steven给出）如图5，并令 uf0d0DAB=uf0d0DCBuf03duf061uf0d0ADC=uf0d0ABCuf03duf062 uf0d0DMP=uf0d0CMQuf03duf067 uf0d0AMP=uf0d0BMQuf03duf064PMuf03dMQuf03da MEuf03dx，MFuf03dy Suf044AMESuf044FCMSuf044EDMSuf044FMB uf0d7uf0d7uf0d7uf03d1即 由 Suf044FCMSuf044EDMSuf044FMBSuf044AME ， AMuf0d7AEuf0d7sinuf061FMuf0d7CMuf0d7sinuf067EDuf0d7MDuf0d7sinuf062MFuf0d7MBuf0d7sinuf064 uf0d7uf0d7uf0d7uf03d1 MCuf0d7CFuf0d7sinuf061EMuf0d7MDuf0d7sinuf067FBuf0d7BMuf0d7sinuf062MAuf0d7MEuf0d7sinuf064 图 5 MF2CFuf0d7FBQFuf0d7FPuf028auf02dyuf029uf028auf02byuf029a2uf02dy2 化简得 uf03duf03duf03duf03d2 22MEAEuf0d7EDPEuf0d7EQauf02dxauf02bxauf02dx y2a2uf02dy2 即 2uf03d2从而 xuf03dy,MEuf03dMF。 2 xauf02dx， 证法 5 令uf0d0PMDuf03duf0d0QMCuf03duf061，uf0d0QMBuf03duf0d0AMPuf03duf062，以点M为视点，对uf044MBC和uf044MAD分别应用张角定理，有 sinuf028uf061uf02buf062uf029sinuf062sinuf061sinuf028uf061uf02buf062uf029sinuf062sinuf061 uf03duf02buf03duf02b MFMCMBMEMDMA 上述两式相减，得 1uf0f6sinuf062sinuf061uf0e61 sinuf028uf061uf02buf062uf029uf0e7uf02duf03dMCuf02dMDuf02duf028uf029uf028MBuf02dMAuf029 uf0f7 MFMEMCuf0d7MDMAuf0d7MBuf0e8uf0f8 设G、H分别为CD、AB的中点，由OMuf05ePQ，有 MBuf02dMAuf03d2MHuf03d2OMcosuf02890uf0b0uf02duf062uf029uf03d2OMsinuf062MDuf02dMCuf03d2MGuf03d2OMcosuf02890uf0b0uf02duf061uf029uf03d2OMsinuf061 于是 sinuf028uf061uf02buf062uf029uf0e7故ME=MF。 1uf0f6uf0e61 uf02duf0f7uf03d0而uf061uf02buf062uf0b9180uf0b0，知sinuf028uf061uf02buf062uf029uf0b90，MFMEuf0e8uf0f8， （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证 明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。 证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为 x2uf02buf028yuf02bauf029uf03dR2 2 。 直线AB的方程为yuf03dk1x，直线CD的方程为yuf03dk2x 。 由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 uf06duf0e9x2uf02buf028yuf02bauf029uf02dR2uf0f9uf02buf06cuf0e9uf0ebuf028yuf02dk1xuf029uf028yuf02dk2xuf029uf0f9uf0fbuf03d0 uf0eb uf0fb 222 令yuf03d0，知点E和点F的横坐标满足二次方程uf028uf06duf02buf06ck1k2uf029xuf02buf06dauf02dRuf03d0 2 uf028uf029 ， 由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1uf03duf02dx2，故ME=MF。 证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为 [5] uf028xuf02dauf029 2 uf02by2uf03dr2 。 则x1、x4分别是二次方 直线AB、CD的方程可写为yuf03dk1x,yuf03dk2x 又设A、B、C、D的坐标为uf028xi,yiuf029,iuf03d1,2,3,4程 ， uf028xuf02dauf029 2 22 uf02bk12x2uf03dr2,uf028xuf02dauf029uf02bk2xuf03dr2的一根。AD在y轴上的截距为 2 k2x4uf02dk1x1uf029x1uf028k1uf02dk2uf029x1x4uf028y4uf02dy1 y1uf02duf0d7x1uf03dk1x1uf02duf03d x2uf02dx1x4uf02dx1x4uf02dx1。 同理，BC在y轴上的截距为 uf028k1uf02dk2uf029x2x3 x3uf02dx2 两 根 。， 注意到x1、x2是方程 uf0281uf02bkuf029x 21 2 uf02d2axuf02ba2uf02dr2uf03d0x2uf02d2 auf02bx2 的 x3、x4 是方程 uf0281uf02bkuf029 22 xuf02bxx1uf02bx22a uf02da20uf03dr的两根，所以uf03d22uf03d34从而易 x1x2auf02drx3x4， 图 8 得 xxx1x2 uf02b34uf03d0即MEuf03dMF。 x1uf02dx2x3uf02dx4 ， 证法 8 如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，令 uf070uf0f6uf0e6uf0e6uf070uf0f6 uf0d0BMxuf03duf061，uf0d0CMxuf03duf062，则uf072Cuf072Fsinuf0e7uf062uf02duf0f7uf02buf072Fuf072Bsinuf0e7uf02duf061uf0f7uf03duf072Cuf072Bsinuf028uf062uf02duf061uf029 2uf0f8uf0e8uf0e82uf0f8 即 uf072Fuf03d uf072Cuf072Bsinuf028uf062uf02duf061uf029uf072Auf072Dsinuf028uf062uf02duf061uf029 ○1 uf072Euf03d ○2 uf072Bcosuf061uf02duf072Ccosuf062uf072Acosuf061uf02duf072Dcosuf062 作OUuf05eCD于U，作OVuf05eAB于V。注意到uf072Auf072Buf03duf072Cuf072D ○3 由Rtuf044OUM与Rtuf044OVM可得 uf072Buf02duf072Auf072Duf02duf072C ○4 uf03d cosuf061uf02dcosuf062 将○3○4代入○1○2可得uf072Euf03duf072F，即ME=MF。 二 蝴蝶定理的推广和猜想 （一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF 和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM . 推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM. 证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ; ∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ; 记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4. 则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ② 又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2. 由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM. [3] （二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM . 推论 2 已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K . 连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) . 又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④ 从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ. 又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM. （三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们 可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM . 推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF. 在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。 [4]

斯库顿定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点P，则有AB2·PC+AC2·BP-AP2·BC=BC·PC·BP。该定理是由Stewart提出的，在初高中数学竞赛中十分常见，特别是其推论，也就是能够直接写出三角形中线长和角平分线长的公式，以及平行四边形四条边平方和等于对角线平方和重要定理。斯库顿定理还有推论：在△ABC中，点D是线段BC上的一点，连接AD。1、若AB=AC，则AD2=AB2-BD·DC；2、若AD为BC中线，则AD2=1/2(AB2+AC2)-1/4BC2（即中线定理）；3、若AD为∠BAC内角平分线，则AD2=AB·AC﹣BD·DC（即角平分线长公式）；4、若AD为∠BAC外角平分线，则AD2=﹣AB·AC+BD·DC；5、若BD/BC=λ，则AD2=λ·(λ﹣1)·BC2+(1﹣λ)·AB2+λ·AC2。并且斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化。

三点共线定理：若OC=λOA+uOB，且入+μ=1，则A、B、C三点共线。共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为alb，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。证明方法方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。方法二：设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。方法四：用梅涅劳斯定理。方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”，可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”，其实就是同一法。方法七：证明其夹角为180°。方法八：设A、B、C，证明△ABC面积为0。方法九：帕普斯定理。方法十：利用坐标证明，即证明x1y2=x2y1。方法十一：位似图形性质。方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC三点共线。方法十三：张角定理。

不能的，大题基本上是用课本的定理

广西中考数学不会用到塞瓦定理。根据查询相关公开信息显示：梅氏定理，斯氏定理，塞瓦定理，燕尾定理，张角定理是优等学校和奥赛班的老师会给学生扩展这些知识，如果有兴趣的话学生可以自学，凭借初中的数学能力是可以学会这些的。

这个行吗。。

图不好画出来，不大方便分析啊

如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。证法①：（斯坦纳原证) 如图1，假设AB>AC．　　则∠BEC>∠BDC (1)　　在△BCE与△CBD中，∵BD=CE，　　BC公共，∠BCE>∠CBD，　　∴BE>CD．　　作平行四边形BDCF，连接EF．　　∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．　　∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．　　∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)　　(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．　　同理AC≯AB．故 AB=AC．证法②：(海塞证法，德国数学家（L.O.Hesse,1811-1874）)作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC∵BD=EC，∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180°-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CDF，∵2α+2β<180°,∴α+β<90°，∴∠FBC=∠CDF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC.证法③设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证法④用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β 可推出AB>AC矛盾！若α<β 可推出AB <AC矛盾！所以AB=AC

用《分角定理》证明《张角定理》《张角定理》为中国人发现,即三角形内有一分角线,被分角正弦与分角线之比等于各分角正弦与不相邻边的比之和。用图表述；△ABC,AD内分∠BAC,则有(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= ( sin∠BAC/AD)。由AC外分∠BAD,由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)·(AD/AB) →(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠BAC/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→(BD/BC)=(sin∠BAD/ sin∠BAC)·(AD/AC) →(sin∠BAD/ AC)= (BD/BC)·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)=( sin∠BAC/AD)。证毕。

简单分析一下，答案如图所示

张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。正弦和角公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, 正弦差角公式:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

1、从其一边逆时针旋转至另一边的角； 2、两条渐进线含有曲线部分所成的角，其角的大小决定了双曲线开口的大小，在数学上俗称张角； 3、张角没有固定意义，是一种通常的叫法。 补充：张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD，那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD； 其定理是张角于公元184年提出的。

　　1、从其一边逆时针旋转至另一边的角； 　　2、两条渐进线含有曲线部分所成的角，其角的大小决定了双曲线开口的大小，在数学上俗称张角； 　　3、张角没有固定意义，是一种通常的叫法。 　　补充：张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD，那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD； 　　其定理是张角于公元184年提出的。

1、从其一边逆时针旋转至另一边的角； 2、两条渐进线含有曲线部分所成的角，其角的大小决定了双曲线开口的大小，在数学上俗称张角； 3、张角没有固定意义，是一种通常的叫法。 补充：张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD，那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD； 其定理是张角于公元184年提出的。

1.从其一边逆时针旋转至另一边的角。 2.两条渐进线含有曲线部分所成的角，其角的大小决定了双曲线开口的大小，在数学上俗称张角。 3.张角没有固定意义，是一种通常的叫法。 4.补充：张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD，那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。 5.其定理是张角于公元184年提出的。

一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90｀.90｀圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90｀圆周角,作其所对弦,即直径.)圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=aAC=b,则有2（m2+n2)=a2+b2三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆，给我们解题提供了极大的便利.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．在三角形内心坐标中也要用到定比分点设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1b/a*(b+c)/b*DI/IA=1DI/IA=a/(b+c)DI=IA*a/(b+c)BD=c/b*DCD((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)IXi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))这个坐标公式没有实际意义，因为a,b,c还要用距离公式代入，但训练定比分点是有用的。垂心：A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2Kah=y1-y0/x1-x0Kah=-1/Kbc得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)解出x0,y0即可，很麻烦，如果遇到题目，还是代数据比较好，因为公式麻烦也是一种负担外心，也很麻烦(x0-x1)2+(y0-y1)2=(x0-x2)2+(y0-y2)2=(x0-x3)2+(y0-y3)2解方程即可

在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

斯坦纳定理：“如果三角形中两内角平分线长度相等，则必为等腰三角形”。这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—莱默斯定理。扩展资料：证明：在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y根据张角定理，有2cosx/BD=1/AB+1/BC2cosy/CE=1/AC+1/BC则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)若AB>AC，则上式左端为正，右端为负若AB<AC，则上式左端为负，右端为正故AB=AC参考资料来源：百度百科-斯坦纳定理

你好！在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y根据张角定理，有2cosx/BD=1/AB+1/BC2cosy/CE=1/AC+1/BC则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)若AB>AC，则上式左端为正，右端为负若AB<AC，则上式左端为负，右端为正故AB=AC

如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由_______．分析：利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y根据张角定理，有2cosx/BD=1/AB+1/BC2cosy/CE=1/AC+1/BC则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)若AB>AC，则上式左端为正，右端为负若AB<AC，则上式左端为负，右端为正故AB=AC# 四面体的斯坦纳定理：在四面体ABCD中,体积为V,设AB与CD所成的角为（AB,CD），距离为d(AB,CD)，则有 考虑四面体的伴随平行六面体AEBF-GDHC显然，所求的V为六面体体积的三分之一由V=Sh=1/2 AB*CD*sin（AB,CD） *d（AB,CD），即可推得结论