左迁 -
蝴蝶定理的证明
定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作OUuf05eAD，OVuf05eBC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于 uf0d0EUOuf03duf0d0EMOuf03d90uf0b0 uf0d0FVOuf03duf0d0FMOuf03d90uf0b0
得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则uf0d0AUM=uf0d0EOM，uf0d0MOFuf03duf0d0MVC
又uf03aMADuf03auf03aMCB，U、V为AD、BC的中点，从而uf044MUAuf03auf044MVC，uf0d0AUMuf03duf0d0MVC 则 uf0d0EOMuf03duf0d0MOF，于是ME=MF。
证法2 过D作关于直线OM的对称点D"，如图3所示，则 uf0d0FMD"uf03duf0d0EMD，MD=MD" 1 ○
联结D"M交圆O于C"，则C与C"关于OM对称，即
PC"uf03dCQ。又
111uf0d0CFP=QB+PC）=QB+CC"+CQ）=BC"=uf0d0BD"C"
222
故M、F、B、D"四点共圆，即uf0d0MBFuf03duf0d0MD"F
而 uf0d0MBFuf03duf0d0EDM ○2 由○1、○2知，uf044DMEuf040uf044D"MF，故ME=MF。
图 2
证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对uf044NEF及截线AMB，uf044NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有
FMEANBFMEDNC
uf0d7uf0d7uf03d1，uf0d7uf0d7uf03d1 MEANBFMEDNCF
由上述两式相乘，并注意到
NAuf0d7NDuf03dNCuf0d7NB 得
图 3
FMANNDBFCFBFuf0d7CF
uf03duf0d7uf0d7uf0d7uf03d 2
MEAEEDBNCNAEuf0d7ED
2
uf03d
uf028PM+MFuf029uf028MQ-MFuf029uf03dPMuf02dMF
PM-MEMQ+MEPM2uf02dME2
2
2
[2]
化简上式后得ME=MF。2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
图
4
证法 4 （Steven给出）如图5，并令
uf0d0DAB=uf0d0DCBuf03duf061uf0d0ADC=uf0d0ABCuf03duf062
uf0d0DMP=uf0d0CMQuf03duf067 uf0d0AMP=uf0d0BMQuf03duf064PMuf03dMQuf03da
MEuf03dx，MFuf03dy
Suf044AMESuf044FCMSuf044EDMSuf044FMB
uf0d7uf0d7uf0d7uf03d1即 由
Suf044FCMSuf044EDMSuf044FMBSuf044AME
，
AMuf0d7AEuf0d7sinuf061FMuf0d7CMuf0d7sinuf067EDuf0d7MDuf0d7sinuf062MFuf0d7MBuf0d7sinuf064
uf0d7uf0d7uf0d7uf03d1
MCuf0d7CFuf0d7sinuf061EMuf0d7MDuf0d7sinuf067FBuf0d7BMuf0d7sinuf062MAuf0d7MEuf0d7sinuf064
图 5
MF2CFuf0d7FBQFuf0d7FPuf028auf02dyuf029uf028auf02byuf029a2uf02dy2
化简得 uf03duf03duf03duf03d2
22MEAEuf0d7EDPEuf0d7EQauf02dxauf02bxauf02dx
y2a2uf02dy2
即 2uf03d2从而 xuf03dy,MEuf03dMF。 2
xauf02dx，
证法 5 令uf0d0PMDuf03duf0d0QMCuf03duf061，uf0d0QMBuf03duf0d0AMPuf03duf062，以点M为视点，对uf044MBC和uf044MAD分别应用张角定理，有
sinuf028uf061uf02buf062uf029sinuf062sinuf061sinuf028uf061uf02buf062uf029sinuf062sinuf061
uf03duf02buf03duf02b
MFMCMBMEMDMA
上述两式相减，得
1uf0f6sinuf062sinuf061uf0e61
sinuf028uf061uf02buf062uf029uf0e7uf02duf03dMCuf02dMDuf02duf028uf029uf028MBuf02dMAuf029 uf0f7
MFMEMCuf0d7MDMAuf0d7MBuf0e8uf0f8
设G、H分别为CD、AB的中点，由OMuf05ePQ，有
MBuf02dMAuf03d2MHuf03d2OMcosuf02890uf0b0uf02duf062uf029uf03d2OMsinuf062MDuf02dMCuf03d2MGuf03d2OMcosuf02890uf0b0uf02duf061uf029uf03d2OMsinuf061
于是 sinuf028uf061uf02buf062uf029uf0e7故ME=MF。
1uf0f6uf0e61
uf02duf0f7uf03d0而uf061uf02buf062uf0b9180uf0b0，知sinuf028uf061uf02buf062uf029uf0b90，MFMEuf0e8uf0f8，
（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证
明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
x2uf02buf028yuf02bauf029uf03dR2
2
。
直线AB的方程为yuf03dk1x，直线CD的方程为yuf03dk2x
。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
uf06duf0e9x2uf02buf028yuf02bauf029uf02dR2uf0f9uf02buf06cuf0e9uf0ebuf028yuf02dk1xuf029uf028yuf02dk2xuf029uf0f9uf0fbuf03d0
uf0eb
uf0fb
222
令yuf03d0，知点E和点F的横坐标满足二次方程uf028uf06duf02buf06ck1k2uf029xuf02buf06dauf02dRuf03d0
2
uf028uf029
，
由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1uf03duf02dx2，故ME=MF。
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为
[5]
uf028xuf02dauf029
2
uf02by2uf03dr2
。
则x1、x4分别是二次方
直线AB、CD的方程可写为yuf03dk1x,yuf03dk2x
又设A、B、C、D的坐标为uf028xi,yiuf029,iuf03d1,2,3,4程
，
uf028xuf02dauf029
2
22
uf02bk12x2uf03dr2,uf028xuf02dauf029uf02bk2xuf03dr2的一根。AD在y轴上的截距为
2
k2x4uf02dk1x1uf029x1uf028k1uf02dk2uf029x1x4uf028y4uf02dy1
y1uf02duf0d7x1uf03dk1x1uf02duf03d
x2uf02dx1x4uf02dx1x4uf02dx1。
同理，BC在y轴上的截距为
uf028k1uf02dk2uf029x2x3
x3uf02dx2
两
根
。，
注意到x1、x2是方程
uf0281uf02bkuf029x
21
2
uf02d2axuf02ba2uf02dr2uf03d0x2uf02d2
auf02bx2
的
x3、x4
是方程
uf0281uf02bkuf029
22
xuf02bxx1uf02bx22a
uf02da20uf03dr的两根，所以uf03d22uf03d34从而易
x1x2auf02drx3x4，
图 8
得
xxx1x2
uf02b34uf03d0即MEuf03dMF。
x1uf02dx2x3uf02dx4
，
证法 8 如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，令
uf070uf0f6uf0e6uf0e6uf070uf0f6
uf0d0BMxuf03duf061，uf0d0CMxuf03duf062，则uf072Cuf072Fsinuf0e7uf062uf02duf0f7uf02buf072Fuf072Bsinuf0e7uf02duf061uf0f7uf03duf072Cuf072Bsinuf028uf062uf02duf061uf029
2uf0f8uf0e8uf0e82uf0f8
即 uf072Fuf03d
uf072Cuf072Bsinuf028uf062uf02duf061uf029uf072Auf072Dsinuf028uf062uf02duf061uf029
○1 uf072Euf03d ○2
uf072Bcosuf061uf02duf072Ccosuf062uf072Acosuf061uf02duf072Dcosuf062
作OUuf05eCD于U，作OVuf05eAB于V。注意到uf072Auf072Buf03duf072Cuf072D ○3 由Rtuf044OUM与Rtuf044OVM可得
uf072Buf02duf072Auf072Duf02duf072C
○4 uf03d
cosuf061uf02dcosuf062
将○3○4代入○1○2可得uf072Euf03duf072F，即ME=MF。
二 蝴蝶定理的推广和猜想
（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF
和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .
推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②
又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.
[3]
（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2 已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K .
连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.
又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.
（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们
可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .
推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.
在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。
[4]