绝对收敛与一致收敛的关系

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。用级数来证明

由于无穷级数的每一个函数项a^n cos(b^n pi x)的绝对值都小于常数a^n,而正项级数 sum_{n=0} ^infty a^n 是[[收敛]]的.由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛.因此,由于每一个函数项a^n cos(b^n pi x)都是{mathbb R}上的连续函数,级数和f(x) 也是{mathbb R}上的连续函数. 　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x in {mathbb R},证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(x_n) 和 (x"_n),使得 　　:lim inf frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > lim sup frac{f(x"_n) - f(x)}{x"_n - x}. 　　这与函数可导的定义矛盾,于是证明完毕

有分形特性：某些部分会和整体自相似。在数学中, 魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画[1]。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。外尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯[2]。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法[3]。构造魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：,其中0 < a < 1，b 为正的奇数，使得：这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项ancos(bnπx)的绝对值都小于常数an，而正项级数 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项ancos(bnπx)都是上的连续函数，级数和f(x) 也是上的连续函数。下面证明函数处处不可导：对一个给定的点，证明的思路是找出趋于x 的两组不同的数列(xn) 和 (x"n)，使得这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。处处不可导函数的稠密性分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。u2022在拓扑学意义上：在从[0,1] 区间射到实数上的连续函数空间C([0, 1]; R) 中，处处不可导的函数的集合是稠密的（关于一致范数的拓扑）。u2022在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ 的连续函数空间C([0, 1]; R) 中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。

是的，因为根据加减乘除运算有：(u+v)"=u+v(u-v)"=u"-v"(uv)"=u"v+uv"(u/v)"=(u"v-uv")/v^2, 但这里v不能为0。在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。在此之前，数学家认为除了少数特殊点以外，连续函数在每一点处都可导。魏尔斯特拉斯函数是第一个被发现的处处连续而处处不可导的函数，说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法，具有重要意义。

魏尔斯特拉斯逼近定理：闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。和闭区间上周期为2π的连续函数可用三角函数级数一致逼近。魏尔斯特拉斯常常同他的朋友——阿贝尔一起熬夜。当他成为世界上第一流的分析学家和欧洲最伟大的数学教师时，他对众多学生的第一个、也是最后一个忠告，就是“读阿贝尔”。魏尔斯特拉斯创造性的思想，绝大部分是他在担任一名默默无闻的中学教师时构思出来的，那里没有先进的书籍。由于付不起邮费，魏尔斯特拉斯不能进行科学通信。或许这对他倒是一件好事：他的独创性可以不受当时流行的思想的妨碍而自由发展。他在演讲中，总想从头开始按照他自己的特点进行，几乎从不提到别人的工作。魏尔斯特拉斯的数学生涯：在明斯特的高级中学担任一年见习教师以后，魏尔斯特拉斯写了一篇关于分析函数的论文。他在这篇论文中，除了其他东西以外，独立地得出了柯西的积分理论——所谓的分析学基本定理。魏尔斯特拉斯27岁时，把他所发展的方法应用到微分方程组，论述是成熟和有力的。他做这些工作，没有想到发表，仅仅是为他毕生的事业（论阿贝尔函数）打基础。德意志克罗内这个无名的小村，有幸成为魏尔斯特拉斯在1842年首次出版著作的地方，它在数学史上像一个王国的首都那样突出。

不对，它们肯定不是“处处都是极值点”。魏尔斯特拉斯函数是用级数表达的，它们不是一个初等函数，所以不能用光滑曲线的方式去理解。

解析函数analytic functionK.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若D&Eacute;D* ，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)=g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。

狄利克雷函数实数上的狄利克雷函数定义为D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。魏尔斯特拉斯函数 http://baike.baidu.com/view/8697959.htm其中0<a<1，b为正的奇数，使得：

处处不可导函数的稠密性分析分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。在测度论意义上：在配备了经典维纳测度γ的连续函数空间C([0, 1];R) 中，至少有一处可导的函数所构成的集合的测度是0，也就是说和处处不可导的函数相比是可以“忽略”的。

如图

在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。一般来说，若X是函数u0192定义域上的一点，且u0192′(X)有定义，则称u0192在X点可微。这就是说u0192的图像在(X,u0192(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。扩展资料：可微性魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若u0192在X0点可微，则u0192在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。 这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。连续可微分类函数f是连续可微（continuouslydifferentiable），如果导数f"(x)存在且是连续函数。连续可微函数被称作classC。一个函数称作classC如果函数的一阶、二阶导数存在且连续。更一般的，一个函数称作classC如果前k阶导数f′(x),f″(x),...,f(x)都存在且连续。如果对于所有正整数n，f存在，这个函数被称为光滑函数或称classC。参考资料：百度百科—可微函数

一、可以用可微的相关知识去判断，但是如果题目不是要证明是否可微，对于某些不可微的函数是可以一眼就看出来的，而不用证明。函数可微的直观几何解释是函数图象在该点是“光滑”的，即函数图象不能是“尖点”，回忆一元函数y=|x|在x=0点的图象是一个尖点，故这个函数在x=0处不可微。本题中二元函数的图象是一个锥体，而(0,0)点对应的z是这个锥体的顶点，它是一个"尖点"，所以在该点不可微。二、按定义，f(x,y)在(0,0)点可微就是要求lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√(x^2+y^2)=0（A,B是常数），本题中这个极限表达式为lim[1-√(x^2+y^2)-1-Ax-By]/√(x^2+y^2)=1-lim(Ax+By)/√(x^2+y^2)，令y=kx，则lim(Ax+By)/√(x^2+y^2)=(A+Bk)/√(1+k^2)，极限与k有关，故这个极限不存在，因此极限lim[1-√(x^2+y^2)-1-Ax-By]/√(x^2+y^2)也就不存在，故在原点不可微。扩展资料：魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若u0192在X0点可微，则u0192在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。参考资料来源：百度百科-可微函数

存在,比如0就是他的一个极大值点,等于级数an的极限

卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯(1815年10月31日-1897年2月19日)，德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝世于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他引进了一致收敛的概念，并由此阐明了函数项级数的逐项微分和逐项积分定理。在建立分析基础的过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上的不连续函数之上。1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。

1、在解析函数方面他用幂级数来定义解析函数，并建立了一整套解析函数理论，与柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数，这是他的一项重要发现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数；还断定，若整函数不是多项式，则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果，组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。2、在椭圆函数方面椭圆函数是双周期亚纯函数，是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后，魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年，他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式，把通过“反演”的第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数，还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之，魏尔斯特拉斯把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平，进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。3、在代数领域1858年，他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法，并证明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。1868年，他已完成二次型的理论体系，并将这些结果推广到了双线性型。4、在变分学方面1879年，他证明了弱变分的3个条件，即函数取得极小值的充分条件。此后，他转向了强变分问题，并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。5、在微分几何方面魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。6、在数学分析方面在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。这种严格化的突出表现是创造了一套语言，用以重建分析体系。他批评柯西等前人采用的“无限地趋近”等说法具有明显的运动学含义，代之以更严密的 表述，用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，特别是通过引进以往被忽视的一致收敛性而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作。他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。为了说明直觉的不可靠，1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，由此一举改变了当时一直存在的“连续函数必可导”的重大误解，震惊了整个数学界！这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微，从而推动了函数论的发展。早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。另外，魏尔斯特拉斯还研究了天文学中的n体问题和光的理论。

【魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理】 有界数列必有收敛的子数列。 【魏尔斯特拉斯定理的证明方法】 对定义区间无穷分割，然后取极限。

魏尔斯特拉斯函数 Weierstrass function ,黎曼函数等，一些非初等函数很多是处处不可导的。只要不连续的都不可导

魏尔斯特拉斯（Weierstrass）德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特，1897年2月19日卒于柏林。 魏尔斯特拉斯作为现代分析之父，工作涵盖：幂级数理论、实分析、复变函数、阿贝尔函数、无穷乘积、变分学、双线型与二次型、整函数等。在数学基础上，他接受康托尔的想法（甚至因此与多年好友克罗内克绝交）。 他的论文与教学影响了整个二十世纪分析学（甚至整个数学）的风貌。魏尔斯特拉斯以其解析函数理论与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人。克莱因在比较魏尔斯特拉斯与黎曼时说：黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有时代的数学家。魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢的、系统的逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。”庞加莱评价时写到：黎曼的方法首先是一种发现方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法。此外，魏尔斯特拉斯还在椭圆函数论，变分法，代数学等诸多领域中作出了巨大的贡献。而且，他培养了大批的著名数学家，其中有Engel, Bolza, Frobenius, Hensel, Holder, Hurwitz, Klein, Killing, Lie, Minkowsky, Runge, Schwarz, Stolz等。

在极限理论方面，魏尔斯特拉斯反对“让一个变量趋于一个常量”这种模糊不清的说法，而改用现在通用的“ε-δ”语言来描述极限，使极限理论严格化，进而可以用类似的手段严格定义函数的连续性，魏尔斯特拉斯还提出了“有界数列必存在收敛子列”这一实数系基本定理，加深了人们对实数系的认识，柯西没有给出基本序列一定收敛的证明就是因为他不清楚实数系的构造，用这个定理可以很容易证明柯西收敛准则的充分性。在微分领域，魏尔斯特拉斯给出一个处处连续函数却处处不可导的函数的例子，从而更正了前人认为“连续函数只能在个别点不可导”的错误认识，使人们对连续和可微的关系有了更深的理解。在无穷级数领域，前人很随意地使用一些发散的级数，导致某些谬误的出现，魏尔斯特拉斯严格表述了一致收敛的概念，并给出级数逐项积分和逐项求导的条件，从而使级数的使用严密化。

好像是利用1=((1+x)-x)^m=C0+C1+...+Cm(其中Ci项为按二项式展开后的项，包含1+x和x的若干次幂)，然后设g(m,r)表示f在区间[a,b]内等分点的函数值，则令p(x)=g(m,0)*C0+g(m,1)*C1+...+g(m,m)*Cm由于上式中的每一项都是关于x的多项式（m次），用该多项式逼近f(x),然后证明max | f(x)-p(x) |<n当然要求m的取值和n有关，你可以看看数学分析，有这个证明，呵呵

牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格第1章牛顿广义二项展开式逆级数《分析学》中求面积的法则牛顿的正弦级数推导参考文献第2章莱布尼茨变换定理莱布尼茨级数参考文献第3章伯努利兄弟雅各布和调和级数雅各布和他的垛积级数约翰和xx参考文献第4章欧拉欧拉的一个微分欧拉的一个积分π的欧拉估值.引人注目的求和伽玛函数参考文献第5章第一次波折参考文献第6章柯西极限、连续性和导数介值定理中值定理积分和微积分基本定理两个收敛判别法参考文献第7章黎曼狄利克雷函数黎曼积分黎曼病态函数黎曼重排定理参考文献第8章刘维尔代数数与超越数刘维尔不等式刘维尔超越数参考文献第9章魏尔斯特拉斯回到基本问题四个重要定理魏尔斯特拉斯病态函数参考文献第10章第二次波折参考文献第11章康托尔实数的完备性区间的不可数性再论超越数的存在参考文献第12章沃尔泰拉沃尔泰拉病态函数汉克尔的函数分类病态函数的限度参考文献第13章贝尔无处稠密集贝尔分类定理若干应用贝尔的函数分类参考文献第14章勒贝格回归黎曼积分零测度集合的测度勒贝格积分

因为是闭区间，所以是有限区间设为[a,b]那么只要构造一个周期为b-a的三角级数就可以了。傅里叶级数学了吧？

函数的幂级数展开是一个古老而重要的数学研究领域，涉及到函数的解析性质、微积分、数学物理等多个领域。以下是该领域的一些现状：1. 基本理论：幂级数展开的基本理论已经很成熟，包括幂级数的收敛性、收敛半径、唯一性等问题。其中最著名的是Weierstrass M-test和Abel定理。2. 应用领域：幂级数展开在各种数学和物理问题中都有广泛应用。比如在微积分中，幂级数可以用来表示函数的Taylor级数，从而进行近似计算和分析。在数学物理中，幂级数展开也被用来描述物理系统的行为，比如在量子场论和统计物理学中，幂级数展开被用来计算各种物理量。3. 近年研究：近年来，幂级数展开的研究重点已经从基本理论转向了更加应用的问题，如多复变量幂级数展开、特殊函数的幂级数表示、非线性偏微分方程中的幂级数方法等等。此外，幂级数展开的计算方法也得到了大幅改进，比如自适应网格方法、边界元法等数值方法已经广泛应用于幂级数展开计算中。4. 未解决问题：虽然幂级数展开的基本理论已经很成熟，但是仍有很多有趣的问题等待解决。比如如何对非解析函数进行幂级数展开、如何将幂级数展开应用到高维问题中、如何将幂级数展开与其他数学方法进行结合等等。这些问题的解决将推动幂级数展开研究向更加深入的方向发展。

对于一元函数,可微和可导是等价的,即导数在此点连续左导数等于右导数，且等于该点导数（如果该点由定义）则可导！对于二元函数,若可导且导函数在该点连续则可微!。

用魏尔斯特拉斯判别法判断函数ΣUn一致收敛，则该函数ΣUn必定是绝对收敛。一致收敛性是函数列或函数项级数的一种性质。一致收敛函数的判别方法有很多种，最常见的有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。一致收敛函数具有连续性、可积性、可微性的特点。柯西准则判别法和魏尔斯特拉斯判别法是较为实用和方便的一致收敛判别法，一般要首先考虑使用。如果能用魏尔斯特拉斯判别法判ΣUn一致收敛，则ΣUn必定是绝对收敛，从而魏尔斯特拉斯判别法对条件收敛的函数项级数失效。扩展资料由条件收敛级数重排后所得的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。而且，条件收敛级数适当排列后，可得到发散级数，或收敛于事先任意指定的数。在无穷级数的研究中，绝对收敛性是一项足够强的条件，许多有限项级数具有的性质，在一般的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛的无穷级数也会具有该性质。两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积。参考资料来源：百度百科-一致收敛性

导数和偏导没有本质区别,都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。一元函数，一个y对应一个x，导数只有一个。二元函数，一个z对应一个x和一个y，那就有两个导数了，一个是z对x的导数，一个是z对y的导数,称之为偏导。一、导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即导数第一定义二、导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即导数第二定义三、导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y", f"(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。扩展资料一.早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f"(A)。二.17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。三.19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。四.实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能 微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。参考资料：导数的百度百科偏导数的百度百科

柯西积分公式如下：柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数。从而证明了A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积分定理柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。柯西积分公式就是柯西中值定理。如果函数f(x)及F(x)满足：在闭区间[a，b]上连续；在开区间(a，b)内可导；对任一x∈(a，b)，F"(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f"(ζ)/F"(ζ)成立。设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D上连续，那么有：f(z)对曲线的闭合积分值为零。注：f(z）为复函数柯西积分公式对于无界区域也成立:如果无界区域D(包含∞在内，D的边界是有限条简单闭曲线C，函数在内除了点∞外是解析的。其中C的方向取负方向ζ是一个记号，仅为了与z区分。柯西积分公式说明:如果一个函数在简单闭合曲线C的内部解析，在C上连续则函数在C内部的值完全可由C上的值而定。柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值由边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。

在上述条件下 ，若 L=L0+…+L即D由L0，，…，L所围成，作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续 ，在D内解析的充要条件是。柯西积分定理指出，如果全纯函数的闭合积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ，从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性 ，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链 积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式. 简单的说，定义如下：设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，那么有:f(z)对曲线的闭合积分值为零。 （注:f(z）为复函数）（上述定义直接证明是比较困难的 在加上f(z)的导数在c上连续这个条件后，黎曼于1851年运用格林公式给出了简明的证明过程 1900年古萨给出了正式的证明）U是单连通的条件，意味着U没有“洞”，例如任何一个开圆盘U= {z: |zu2212z0 | <r}都符合条件，这个条件是很重要的，考虑以下路径它是一个单位圆，则路径积分不等于零；这里不能使用柯西积分定理，因为f(z) = 1/z在z = 0处没有定义。

极限常用公式：limf(x)=A ，x→+∞。公式描述：表示当n趋近于无穷大时，Xn收敛于a，Xn的极限为a。设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A ，x→+∞。极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。参考资料清华大学数学科学系《微积分》编写组.《微积分》.北京：清华大学出版社，2003百度百科.百度百科[引用时间2017-12-20]

魏尔斯特拉斯判别法（WeierstrassDiscriminance）是分析学中一条十分重要的判定法则，主要用于判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。

以上是其中一个。威尔斯特拉斯函数是一类函数。一种处处连续却处处不可导的函数。

您好，答案如图所示：魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。而且该函数的每一点的斜率也是不存在的。

魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：其中0<a<1，b为正的奇数，使得：这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项的绝对值都小于常数，而正项级数是收敛的。由Weierstrass判别法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项都是 R 上的连续函数，级数和 f(x) 也是 R 上的连续函数。下面证明函数处处不可导：对一个给定的点 x∈R，证明的思路是找出趋于 x 的两组不同的数列() 和()，使得lim inf> lim sup这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨条件的函数图像。魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

sin2x的导数：2cos2x。f(g(x))的导数=f"(g(x))g"(x)本题中f(x)看成sinxg(x)看成2x即可(sin2x)"=2cos2x在具体一点，这个函数求导先看最外层的基本函数sin想象成sinysiny的导数是cosy所以最外层函数的导数为cosy再看内层函数y=2x连续不可导的曲线：因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897）。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。

可导，说明原函数连续，但并不表示导函数连续。所以，如果二阶可导，说明函数本身连续，并且一阶导数也连续。有二阶连续导数”是指二阶导数在闭区间的两个端点连续啊。“二阶可导”在端点处不一定连续。扩展资料：1、可导性与连续性：如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。2、魏尔斯特拉斯函数：魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。3、复函数的可导性：在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程4、流形上函数的可导性流形上的函数f称为可导的，如果在任意的局部坐标系下，f的局部表示是可导函数。

可导，说明原函数连续，但并不表示导函数连续。所以，如果二阶可导，说明函数本身连续，并且一阶导数也连续。有二阶连续导数”是指二阶导数在闭区间的两个端点连续啊。“二阶可导”在端点处不一定连续。扩展资料：1、可导性与连续性：如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。2、魏尔斯特拉斯函数：魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。3、复函数的可导性：在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程4、流形上函数的可导性流形上的函数f称为可导的，如果在任意的局部坐标系下，f的局部表示是可导函数。

级数　证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项<math>a^n cos(b^n pi x)</math>的绝对值都小于常数<math>a^n</math>，而正项级数 <math> sum_{n=0} ^infty a^n</math> 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项<math>a^n cos(b^n pi x)</math>都是<math>{mathbb R}</math>上的连续函数，级数和<math>f(x)</math> 也是<math>{mathbb R}</math>上的连续函数。 　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点<math>x in {mathbb R}</math>，证明的思路是找出趋于<math>x</math> 的两组不同的数列<math>(x_n)</math> 和 <math>(x"_n)</math>，使得 　　:<math>lim inf frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > lim sup frac{f(x"_n) - f(x)}{x"_n - x}.</math> 　　这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

首先看其是否连续。对于初等函数，不连续点不可微。比如分母为0点，分段函数不连续点。其他点处一般都可微。特殊函数比如狄利克雷函数在所有点都不连续，当然也不可微。再看特殊点是否可微。对于非初等函数，先尽量化成初等函数，再观察特殊点处的可微情况。比如|x|，化成分段函数后，x=0是特殊点，左导数=-1，右导数=1，故不可微。

不可跨就是要求x0点的导数，但是式子中没有x0，这样就跨掉了。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。可导函数在微积分学中,一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数：魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

有处处连续但处处不可导的函数。皮亚诺函数。f(x) = ∑[1-->∞] a^n sin(b^n * x)。其中0 < a<1<b。f(x)极限存在，导数不存在。可导性连续性如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

函数可微是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。 扩展资料 　　魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若?在X0点可微，则?在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立，一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。 　　实践中运用的"函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。

函数可导定义：若f(x)在x0处连续，则当a趋向于0时，／a存在极限，则称f(x)在x0处可导。微积分是在17世纪末由英国物理学家、数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨建立起来的。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。简介如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。魏尔斯特拉斯函数是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

具体回答如下：不是所有的函数都可以求导；可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导（如y=|x|在y=0处不可导）。扩展资料：如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数。函数y=f（x）在x0点的导数f"（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

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卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯，德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他引进了一致收敛的概念，并由此阐明了函数项级数的逐项微分和逐项积分定理。在建立分析基础的过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上的不连续函数之上。1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。

函数在一点解析，解析意味着在一点及它的邻域内可导。函数在一个开区域解析，意味着在这个开区域上可导。图片来自：http://wenku.baidu.com/link?url=-wX60HlpM2OriIi1yqTD6n5DrSjo95rNqlEjUjSGMk58A1HnQgv3ksh5OiUnSkS3I2EpVVzvkfbyfF7TcmOvz7rhtCgc4vjQ-m5HWhsAjxm第9页。

建立了严格的实数理论的是魏尔斯特拉斯。知识扩展：一、魏尔斯特拉斯简介卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔斯特拉斯（1815年10月31日-1897年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。生于威斯特法伦的欧斯腾费尔德，逝世于柏林。魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析的严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。在建立分析基础的过程中，引进了实数轴和n维欧氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎曼积分推广到在一个可数集上的不连续函数之上。1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处连续但处处不可微函数的例子，使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。二、魏尔斯特拉斯简介魏尔斯特拉斯（Weierstrass）德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特，1897年2月19日卒于柏林。魏尔斯特拉斯作为现代分析之父，工作涵盖：幂级数理论、实分析、复变函数、阿贝尔函数、无穷乘积、变分学、双线型与二次型、整函数等。在数学基础上，他接受康托尔的想法（甚至因此与多年好友克罗内克绝交）。