数学史上发生过三次危机，这三次危机是怎么回事？

罗素悖论的意思是由罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素。即A∈A；A要么不是自身的元素，即Au2209A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x:xu2209x}。扩展资料：理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。参考资料来源：百度百科-罗素悖论

罗素悖论的通俗版又被称为理发师悖论。即给那些不太懂罗素悖论的人解释时起辅助理解作用的，如果从语言文字的角度看，理发师悖论本来就是虚妄的，因为那个理发师最初就给出了一个自己做不到的承诺。所以要想真正理解罗素悖论，理发师悖论只是起过渡作用的，正式理解必须要理解罗素悖论的集合论表示。罗素悖论是由罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即Au2209A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x:xu2209x}。罗素悖论的影响：十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次数学危机。

我们知道，对于每一个集合来说，都可以考虑其是否属于自身的问题，大部分集合都是不属于自身的。我们把不属于自身的集合称为正常集合，否则称为异常集合。把所有正常集合组成的新集合记为S0,即S0={X|Xue05bX}考虑S0是否属于S0根据排中律，要么S0，属于自身，要么S0，不属于自身。如果S0属于自身，则S0是异常集合，但S0，是正常集合构成的，从而S0又不属于自身，矛盾。如果S0不属于自身则S0是正常集合，由S0的构造又推出S0属于自身，矛盾。不论哪一种情况，矛盾不可避免，这就是英国著名数学家、逻辑学家和哲学家罗素于1903年提出的轰动一时的“罗素悖论”。事实上，早在罗素悖论发现以前，就已经出现了布拉里u2022福蒂(Burali-Forti)悖论和康托(Gue010Fue010Lue010Pue010Cantor)最大基数悖论。但由于这两个悖论涉及的概念较多，并没有引起人们的注意。而罗素悖论就不同了，它只涉及集合论中的几个最基本的概念：“集合”、“元素”、“属于”，其构成十分清楚明晰。另外，如果以逻辑的术语代替集合论中的术语，以逻辑定义的性质代替集合论中定义的集合的性质，则罗素悖论可在最基本的逻辑概念的形式中推出。这表明，罗素悖论不仅触及到整个数学基础的理论，而且还牵涉到逻辑推理论证。因此，这个悖论的出现引起了西方数学界、逻辑学和哲学界的极大震惊，由此导致了数学发展史上的第三次数学危机。为了解决这个悖论，20世纪初整个数学界投入了极大的精力。

对于每一个集合来说，都可以考虑其是否属于自身的问题，大部分集合都是不属于自身的。我们把不属于自身的集合称为正常集合，否则称为异常集合。把所有正常集合组成的新集合记为S0，即S0={X|X*X}，考虑S0是否属于S0根据排中律，要么S0，属于自身，要么S0，不属于自身。如果S0属于自身，则S0是异常集合，但S0，是正常集合构成的，从而S0又不属于自身，矛盾。如果S0不属于自身则S0是正常集合，由S0的构造又推出S0属于自身，矛盾。不论哪一种情况，矛盾不可避免，这就是英国著名数学家、逻辑学家和哲学家罗素于1903年提出的轰动一时的“罗素悖论”。

分类: 教育/科学 >> 学习帮助 解析: 罗素 罗素,英国数学家、逻辑学家、哲学家。1872年5月18日生于英格兰蒙茅斯郡特里莱赫的一个英国自由党贵族的家庭。1970年2月2日卒于梅里奥尼斯郡彭林德拉耶斯附近。 罗素11岁开始学习欧氏几何，18岁入剑桥大学三一学院学习，1894年毕业；1895年他在剑桥三一学院获研究员的职位；1901年他发现了著名的罗素悖论，引发了20世纪初对数学基础的危机。他与怀特海合作于1913年完成了名著《数学原理》。提出并成为逻辑主义的代表人物。 罗索还是一位蜚声国际的哲学家、政论作家和社会活动家。他的文字清新流利，受到各阶层的广泛欢迎，并于1950年获诺贝尔文学奖。1964年创立罗素和平基金会。罗素悖论： 罗素悖论 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。 因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。 但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。 如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。 这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于 *** 论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。 1874年，德国数学家康托尔创立了 *** 论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在 *** 论的基础之上了 。就在这时 ， *** 论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。 此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。

罗素悖论的提出是基于这样的一个事例：设想有这样一群理发师，他们只给不给自己理发的人理发。假设其中一个理发师符合上述的条件，不给自己理发；然而按照要求，他必须要给自己理发。但是在这个集合中没有人会给自己理发。（如果这样的话，这个理发师必定是给别人理发还要给自己理发）1901年，伯特兰u2022罗素悖论的发现打击了他其中的一个数学家同事。在19世纪后期，弗雷格尝试发展一个基本原理以便数学上能使用符号逻辑。他确立了形式表达式（如：x =2）和数学特性（如偶数）之间的联系。按照弗雷格理论的发展，我们能自由的用一个特性去定义更多更深远的特性。1903年，发表在《数学原理》上的罗素悖论从根本上揭示了弗雷格这种集合系统的局限性。就现在而言，这种类型的集合系统能很好的用俗称集的结构式来描述。例如，我们可以用 x代表整数，通过n来表示并且n大于3小于7，来表示4，5,6这样一个集合。这种集合的书写形势就是：x={n：n是整数，3<n<7}。集合中的对象并不一定是数字。我们也可让y={x：x是美国的一个男性居民}。表面上看，似乎任何一个关于x的描述都有一个符合要求的空间。但是，罗素（和策梅洛一起）发现x={a：a不再a中}导致一个矛盾，就像对一群理发师的描述一样。x它本身是在x的集合中吗？否定的答案导致了矛盾的出现。当罗素发现了悖论，弗雷格立即就发现悖论对他的理论有致命的打击。尽管这样，他还不能解决这个问题,并且上世纪有很多的尝试去解决这个问题（但没有成功）。罗素自己对这个悖论的回答促进了类型理论的形成。他解释说，悖论的问题在于我们混淆了数集和数集的集合。所以，罗素介绍了对象的分级系统：数、数集、数集的集合等等。这个系统为形式化数学的形成奠定了基础，至今它还应用于哲学研究和计算机科学分支。策梅洛对于罗素悖论的解决方法用新的公理：对于任意公式A（x）和任意集合b，都会有一个集合满足y={x：x既在b中又满足A（x）}取代了以前的公理：对于任意公式A（x），都会有一个集合满足y={x：x满足A（x）}。究竟是什么样的努力使数学逻辑基础得以发展？现在数学家认识到这个领域可以用所谓的策梅洛-弗兰克尔集合论来定义。形式化的语言包含符号，例如e表示“其中一个数”，=表示等于，□代表集合中没有任何元素。那么可以写下一个公式B（x）：如果如果y e x，而y是空集。在集的结构式中我们可以这样书写：y={x：x=□}，或者更简单y={□}。罗素悖论就成这样：y={x：x不在x中}，那么y是否在y中？罗素和弗雷格关于罗素悖论发现的通信可以在《从弗雷格到高德尔，数学逻辑起源》（1879-1931）中查看到。这本书由哈佛大学出版社 Jean Van Heijenoort 1967年编辑出版。

“理发师悖论”，又称为“罗素悖论”，是由数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）在1901年提出。悖论内容：一个城市里唯一的理发师，只会替所有不为自己理发的人理发。那他该不该为自己理发？答案：这个城市不可能存在。因为（1）如果理发师不替自己理发，他需要遵守规则，给自己理发；（2）如果理发师替自己理发，如遵守规则，他不能替自己理发。（这个悖论的出现是由于“怀素合论”对于元素的不加限制的定义。当时的集合论被称为数学理论的基础，这悖论的出现直接导致了第三次数学危机，引发现在的公理化集合论，促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性）

1、为什么罗素悖论产生一次数学危机这要从当时的数学背景说起。之前由于不严密的使用微积分导致了数学危机二。柯西，阿贝尔等人严密化了微积分。这使数学家看到了严格的数学应该是什么样子的——严格得公理化体系。皮亚诺提出了自然数论得公理。于是，自然的，希尔伯特提出一个计划，要给整个数学建立一套公理系统，使得所有数学命题都能在这个系统中表示。大多数数学命题可以通过自然数结构，及其子集的相关运算（概念）表示。例如实数可以用自然数的子集表示。更一般的，集合论被认为是极其本的（它只包含一个概念，隶属关系，其他一切命题都通过这个关系，和基本的逻辑语言，存在，任意，或，非，来表示），就是这样一个简单的结构，能够表示所有的其他数学领域的命题。费雷格等人给出了集合论的公理，也就是熟知的ZF系统。当时数学界普遍认为，集合论可以表示所有数学命题。但这时，罗素提出一个看似合理的，由集合论的语言定义的概念，“由所有不包含自身的集合构成的集合”。罗素从这个概念出发，导出了矛盾（考虑这个集合是否包含它自身，不论包含与否都有矛盾。罗素用理发师比喻，“一个给所有不给自己理发的人理发的理发师”）。罗素悖论之所以引起危机，在于，当时普遍认罗素悖论中使用的概念是合理的（这是因为集合论被看做应该包含一切的理论，因此诸如“全体集合”、罗素悖论中涉及到的集合，都被认为可以当做集合）。所以费雷格说“在我的书即将出版时，罗素发现了这个悖论，使得整个理论大厦全然崩塌”。罗素悖论现在已经得到了“解决”。解决罗素悖论的努力直接导致现代数理逻辑的奠基工作，哥德尔不完备定理。首先，冯诺依曼提出，全体集合构成的集合，不能是集合论的一个对象、元素。罗素悖论就是因为把全体集合构成的东西当做集合（集合论语言中的元素）来处理。冯诺依曼提出，全体集合构成的东西可以作为类提起，但不能作为集合参与集合论的运算（这中的区别很大，听起来有点玄，有兴趣可以参考数理逻辑基础知识），亦即不能说这个东西属于某个集合。同时有人提出，加入WF公理（不存在无穷集合降链）。这样一来，罗素悖论就“不再存在”（没有严格证明集合论不存在悖论，但自新集合论公理提出后没有人再发些悖论，数学界也普遍相信新集合论没有悖论。并且哥德尔证明了“无法本质上证明集合论无矛盾”）。但这样一来，原本被认为合理的东西，比如“全体集合构成的东西”，却也无法在集合论的体系内讨论了。也就是说，罗素悖论虽然可以避免，但代价是，这个系统不像人们当初设想的那么包罗万象。罗素悖论“解决”后，人们进一步想严格证明两个事情，一是集合论是无矛盾的（罗素悖论及其各种变种不再存在但或许有别的矛盾呢），二是所有集合论的命题（从而所有数学命题）都能从集合论的公理按逻辑演绎的法则推导出来（完备性）。如果这两件事能成，任何数学命题，要知道真假，所要做的不过是从几条公理出发，按逻辑演绎法则去推，早晚要么证明其为真，要么得到其否命题。从而，说明数学本质上是机械的。这两件事，就是著名的希尔伯特纲领。当时诸多一流数学家都曾尝试，例如冯诺依曼。至此，第三次数学危机结束。

罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|xu2209S}”。那么问题是：S属于S是否成立？首先，若S属于S，则不符合xu2209S，则S不属于S；其次，若S不属于S，则符合xu2209S，S属于S1。罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。

罗素悖论定义： M：所有包含集合自身的集合； N：所有不包含集合自身的集合； 问：N∈M还是∈N。 如果N ∈M ，说明N 具备M 的特征，根据M 的定义，N 包含集合自身， 但这和N 的定义矛盾；如果N ∈N ，说明N 具备包含自己的特征，这与N 的 定义矛盾；但M ＋N 遍历所有集合域，所以N 也不是空集。 于是，悖论产生。 对于这个悖论问题，我一直在思考其成立的依据，但就其数学定义的角度上看，这个问题是没有结果的。因为数学是最纯粹化了的逻辑模式。不过我们利用语言哲学的分析方法可以逐步看清这个问题：首先我们讨论“N“的使用，”N∈M“是说（不由其自身元素组成的集合）∈（包含其自身元素组成的集合），因此这里”N“”M“代表的是它们的子项：再来看另外一种情况”N“∈”N“ ，这里我们就要面临逻辑上所 不能表达的问题了，因为”N“除了再这里代表其子项时还代表了 另外一种含义”N“既为“N”，它不代表任何东西，它只是一种形式表达，不具备任何内涵，如果 硬要给其内涵，我们可以将它称之为“原子事实”（就是 最简单的不能再分的单位）。 鉴于后面的一种解释，“N”其实是被混用了，举个例子来说：我们定义“中国人”为所有不包含集合自身的集合，那么我们思考下“中国人”∈“中国人”，它成立吗，对于这个问题的答案与其说语言上的不如说是数学的后期带定，因为罗素悖论只要作为一个悖论存在那么这个问题就是不能回答的，所以这里的“中国人”与其代表其子项不如说是一种形式表达，“中国人”在这里是 表达了一个原子事实性的问题，如果我们不承认，那么我们就 必须说它没意义。如果 我们承认，那么罗素悖论就不存在。第二个情况就是根据具体情况而定。

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有： P={A∣A∈A} Q={A∣Au2209A} 问，Q∈P 还是 Q∈Q？ 若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有Au2209A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=u2205，所以Qu2209Q，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。 1900年前后，在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了第三次数学危机。希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

是这样的。悖论的起因是一个故事。在某个城市中有一位理发师，他的广告词写到：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎”可是，有一天，他胡子长了。如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次数学危机。罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

世界三大悖论：毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论等。悖论通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，可推导出两个对立的结论，形式为：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。1、毕达哥拉斯悖论约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。2、贝克莱悖论数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。3、罗素悖论罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于A”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x?A}”。那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 　　《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒"”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 　　人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：1－2 “我在说谎”　　如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：1－3 “这句话是错的”　　这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 1－4 理发师悖论　　在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 　　这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 　　因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。1－5 集合论悖论　　“R是所有不包含自身的集合的集合。” 　　人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。如果R包含自身的话，R又不属于R。 　　继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。2－3 “飞矢不动” 　　在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如： 　　2－4 “飞鸟之景，未尝动也” 　　这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 其他详细内容请参考百度百科。觉得请及时采纳。

一、毕达哥拉斯悖论鼎盛年约在公元前531年,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰(一切数均可表成整数或整数之比)，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。与此同时的世界著名悖论：说谎者悖论说谎者悖论是公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）说的话：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”如果这名诗人说的是真的，那么，克利特人就是说谎者，这个诗人也不能排除在外；如果这名诗人说谎，那么克利特人就不是说谎的群体，这个诗人也应该不是说谎者，这和诗人说谎矛盾。这就是悖论。二、贝克莱悖论数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。十七世纪后期，艾萨克·牛顿（Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年，大主教乔治·贝克莱(George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x＾2的导数，先取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)＾2 u2212 x，得到2xΔx + (Δx) ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。三、罗素悖论罗素悖论：设性质P(x)表示“x不属于A”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|xu2209A}”。那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论。理发师悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

1、理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 2、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

罗素悖论就是存在这样一个集合，它由完全不属于它的元素构成，那这个集合是属于自己呢还是不属于自己？这在当时是一个悖论。我们现代人看到这个悖论的时候可能会一头雾水，轻而易举的解释它犯了同一律的错误，也就是概念本身存在着间隙，但请设身处地的想想那个年代康德黑格尔也没能用理性弄清楚自身定义，整个社会都没有完全从意志和物质的对抗中解脱出来，如何能讲清楚对本身的同一性？那些觉得悖论儿科的人下结论过于武断，可以设想其未能真正体会这一危机的七寸所在，它也体会不了hipausus第一次发现"毕达哥拉斯悖论"的艰难，这里我用了一个不存在的悖论做类比，但意思一样，一些人会认为不就是对那个有理数的挑战么，世界上当然存在无理数，比如圆周率，根号2，太儿科了，但这些人不知道根号2被世人广泛接受已经到了笛卡尔的年代，距离无理数没有存在的道理被提出已经过去整两千多年，所以别利用现代思维看低古人，耍小聪明。此悖论是19世纪末数学界爆发的一场严重危机，利用当时的知识结构，数学体系出现了严重的无法覆盖的空隙，经过一大批数学家对微积分建立后发展的集合体系的重建，悖论才得以解决。总之，悖论不是错论，那些说罗素悖论错在哪里什么的，本身就大错特错，建议专业性学习一定要对照英文，汉语的劣势是太多多意字，很不利于初学者掌握。悖论的英文是antinomy而不是error，自行体会。悖论本身拓展着数学理性的边界不断外沿，同时反映哲学思维不断进化，所以才有现代的你我。

悖论[汉语拼音] bèilùn[英文]paradox[简要解释] 逻辑学和数学中的“矛盾命题”[其他详尽解释]也可叫“逆论”，或“反论”，是指一种导致矛盾的命题。悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有以下几类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

1、关于理发师悖论 在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。这就是著名的“理发师悖论”。 当前主流的解悖方案是蒯因的方案。 蒯因的论证过程：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。 这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，理发师给出的规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。这才是矛盾的根源。 所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。如何解决呢？很简单，关于“理发师是否给自己理发”，理发师可以再制定一个新规则。 2、维氏对于数学基础：数学家更多是在发明 从罗素时代至今，很多学者会认为数学家的工作是在发现真理。但在维氏看来，数学家的工作更多的是在发明。 维特根斯坦反复强调：“数学家不是发现者，而是发明者。”，又说“数学家一直在发明新的描述形式。有的人受实际需要的刺激，另一些人出自审美需要，还有些人以其他种种方式。” 数学家的工作与纯逻辑家的工作不同，他们并不只是进行分析与推理，更重要的是进行综合与创造，欧氏几何与非欧氏几何的公理都是综合与创造。当数学家在概念框架内推演定理，他们是在进行分析与推理，这时候比较接近于“发现”。当数学家在给出定义、公理与概念框架的时候，他们是在综合与创造，这时候比较适用于“发明”。 所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。 3、关于罗素悖论 理发师悖论可以表达成集合论的形式，就是罗素悖论。 R={x | x不属于x }，然后现在问R是否属于R。如果R不属于R，那么根据定义，R属于R；如果R属于R，那么根据定义，R不属于R。 基于这两种不同的数学哲学基础，面对悖论问题时，可以得出很不相同的分析方式和解决方式。 一百年前出现罗素悖论的时候，数学家们普通接受“发现”的数学哲学观点，当数学出现悖论的时候，就觉得天塌下来了：我的上帝，是不是客观真理出问题了，或者上帝旨意出问题了？如果是以维氏“发明”的数学哲学观点，就觉得没有什么大不了的，根本不是客观真理出问题了，而是数学家主观观念出问题了。数学家构造的规则矛盾了，在矛盾的地方再构造一个新规则就是了。 举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=c iff a=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在矛盾的地方重新定义一下：0不能作除数。瞧，问题就解决了。 那么，具体到罗素悖论，如何分析和解决呢？很简单，R是数学家发明构造的，数学家给出的规则对于“R是否属于R” 给出了一个矛盾式的规则，相当于没有定义。 没有定义起码有三种可能性：缺少定义，重言定义，矛盾定义。 例如对于变量x没有任何定义，这是缺少定义；对于x定义为x，这是重言定义；对于x定义为（x=0 if x=1 and x=1 if x=0），这是矛盾定义。这三种定义，都没有给出正确的定义。 那么，如何解决罗素悖论呢？很简单，对于“R是否属于R”此处进行重新定义，属于不属于都可以，或者说此处没有意义也可以。数学家构造的理论出现矛盾了，就像人们讲话出现了矛盾了一样，解决的方法很简单：“对不起，我没有注意到这里有矛盾，我重新说明一下，此处应该是如此如此。。。” 如果你认为数学家是在发现客观真理，那么你就不会接受维氏的分析和解决。如果你认为数学家是在发明主观理论，那么维氏的分析和解决再清楚再简单再合理不过了。 爱因斯坦说：“我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。” 有时候，数学的问题，应该在数学之外得到解决。 进一步参阅： 1、庄朝晖，基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析，第六届全国分析哲学学术研讨会，山西大学，中国，2010年8月（入选《中国分析哲学 2010》，中国现代外国哲学学会分析哲学专业委员会编，浙江大学出版社，2011年10月，67页-76页） 2、 庄朝晖，关于对角线方法和停机问题的评论，第五届两岸逻辑教学与研究学术会议，重庆西南大学，2012年4月. 3、庄朝晖，基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论，《厦门大学学报（哲社版）》，第2期，2008（并以此文获得首届洪谦哲学论文奖）

理发师悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。扩展资料：理发师悖论是罗素悖论的通俗举例，是由伯特兰·罗素在1901年提出的。罗素悖论的出现是由于朴素集合论对于元素的不加限制的定义。由于当时集合论已成为数学理论的基础，这一悖论的出现直接导致了第三次数学危机，也引发了众多的数学家对这一问题的补救，最终形成了现在的公理化集合论。同时，罗素悖论的出现促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性。罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x u2209 S}”。所谓罗素悖论指的是由罗素发现的一个集合论悖论。设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x u2209 S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合xu2209S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合xu2209S，S包含于S。参考资料：百度百科-理发师悖论

1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。4、匹诺曹悖论如果匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”结果会怎样?当匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”，匹诺曹悖论属于谎言悖论的一种。匹诺曹悖论不同于传统谎言悖论的地方在于，悖论本身没有做出语义上的预测，例如“我的句子是假的。”匹诺曹悖论和匹诺曹本身没有关系，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但是匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪，我们无法得知匹诺曹的鼻子到底会不会变长。5、生日问题。这么几个人里就有两个人同天生日，怎么可能？生日问题提出了一种可能性：随机挑选一组人，其中会有两人同天生日。用抽屉原理来计算，只要人群样本达到367，存在两人同天生日的可能性就能达到100%(一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日)。然而，如果只是达到99%的概率，只需要57个人；达到50%只需要23个人。这种结论 的前提是一年中每天(除去2月29日)生日的概率相等。

悖论是指按普遍认可的逻辑推理方式，推导的结论超出“通常可接受的见解”的一种命题。悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。谬误悖论的推理过程是有谬误的，但据此确立的命题不但似乎是荒谬的，而且确实是错误的，归类于谬误。而真实性悖论是一个无矛盾的命题，其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现。

　　时间大概是19世纪下半叶吧。　　十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。　　1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

解决悖论的意义 　　虽然不能说逻辑类型论已经完全解决了上述悖论，但却可以说它极大地促进了逻辑的发展。因为在一定意义上，它正确地反映了客观外界的无限多样性。这种多样性可以以一种多层性的形式反映在人们思维中。作为人类思维的外在表现形式的语言势必在某种程度上间接反映着这种客观的多样性或多层性。当人们的语言层次或思维层次与客观外界的层次不协调时，就可能出现悖论，而通过对语言和思维的层次分析，可以帮助我们了解事物的各种规定性。当然，我们应当指出：客观世界的所谓“多层性”绝不像罗素的逻辑层次那样壁垒分明，而是呈现出极复杂的状态，而且，命题的层次说只是从思维的形式和结构方面来讲的，它仍是一种有待进一步检验的假说。 　　那么，人们试图解决悖论的种种努力究竟有什么意义呢？简单概括起来大概有以下三个方面：（1）从数学上看，悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究，这种努力正是企图给数学以相对更加牢靠的基础；（2）从逻辑上看，单以二值逻辑来说，它的值必须或真或假，即不能即真又假，然而，逻辑悖论却破坏了矛盾律和排中律，使命题的值即真又假，无法确定，解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律；（3）从哲学上看，人们在解决悖论的努力使自己的认识不断深化，从而对相对静止的思维形式和结构，以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。此外，上述努力对于反对诡辩论和相对主义也有一定的意义。

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。这就是悖论啊 楼上的不懂

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻， 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。 其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。

小城里的理发师放出豪言：他要为城里所有不为自己刮脸的人刮脸，而且只为那些不为自己刮脸的人刮脸。罗素的火鸡说的是英国哲学家伯特兰·罗素有一个关于归纳主义者火鸡的故事，在火鸡饲养场里，有一只火鸡发现，第一天上午9点钟主人给它喂食。然而作为一个卓越的归纳主义者，它并不马上作出结论。它一直等到已收集了有关上午9点给它喂食这一经验事实的大量观察；而且，它是在多种情况下进行这些观察的：雨天和晴天，热天和冷天，星期三和星期四……它每天都在自己的记录表中加进新的观察陈述。最后，它的归纳主义良心感到满意，它进行归纳推理，得出了下面的结论：“主人总是在上午9点钟给我喂食。”可是，事情并不像它所想像的那样简单和乐观。在圣诞节前夕，当主人没有给它喂食，而是把它宰杀的时候，它通过归纳概括而得到的结论终于被无情地推翻了。大概火鸡临终前也会因此而感到深深遗憾。

罗素悖论在集合论中被以分离公理的形式解决了。罗素悖论是驳斥朴素集合论的集合构造方式，而随后康托将集合论改造了为更严密的公理化集合论，而原本的构造方法被定义为了“类”，集合则需要符合更严格的构造规则

1.这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。 　　推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找到的答案使强盗的前提互不相容。2.在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 　　这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 　　因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 希望采纳，谢谢

罗素悖论看似消除了，然而，尽管悖论可以消除，但数学的确定性却在慢慢丧失。现代公理集合论的许多公理，简直难说孰真孰假，但又不能把他们全部消除掉，因为它们跟整个数学是血肉相连的。因此，由罗素悖论所引起的第三次数学危机只是在表面上消除了，但它仍然在以其他形式更深刻地延续着。

bèilùn （paradox，也称逆论，反论） 在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。 悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。 那么命题B就是一个悖论。 当然非B也是一个悖论。 我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？ 自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。 不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。无限集合本身就是一个模糊不清的概念规定，有限是可以称为集合，无限是不能称为集合的。 集合是指表示在某一个范围内，无限则是指范围为无限大的，否则就不应该称为无限而称有限。 无限不应该成为一个任意性选择或适用的范围，一个数量当超过人类所能达到或认识的程度便进入无限的范围之中。 到现在为止，人类还没有完全清楚地知道我们所能认识到的半径有多大，所以无法准确精确地规定无限与有限它们之间的界限究竟在那里。集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。 超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。 除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。 另外集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。罗素悖论在当它们还没有进行相互联系时是有效的，当它们进行相互联系时即它们已经成为一个类或一个整体，那么一个类或一个整体中是不允许或无法执行两种衡量标准或规定的，自我否定是和没说一个样，或等于没有规定一样。哥德尔关于一阶逻辑完全性定理与不完全性定理的本身就是悖论，已经暴露出逻辑导致发生的问题。 哥德尔不完全性定理是缺乏评判，以决定的主导方面为衡量标准，或衡量标准过多而引起的悖论。 所谓的标准也是一种规定。 失效以后还可以根据实际需要再次进行新的规则规定，反正原来的规则也是规定，为什么出现发生悖论以后不可以再次重新进行规定规则，以满足实际应用的目的的需要呢？明明是自己的规定，可是自己又制造新的规定来破坏原来的规定，如果这样来干活，那么将永远有活干了，永远有干不完的活。类是人为区分出来的，但类是根据需要人为任意性制造的，若分类，故类有所不同。 在整体上却不存在类同与不同，由于类不同，故数也有所不同，有些不同相悖是很正常必然的。 然而人们又想进行类与数之间变换，那么又不得不重新再作新的规定。证明也只是按照预先所设置和认为的规定去操作，必然会符合规定，我们只管按规定操作执行好了，证明又有什么作用或意义呢？类的悖论问题不是通过进行证明就所能解决得了的。悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。 这就是说它带有强烈的游戏色彩。 然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。 欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。 莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。 希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。 冯·纽曼奠基了博弈论。 最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。 爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。 这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。 即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。 解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论". 编辑本段原理 同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。 具体地说，作为客观世界的一个部分或侧面，认识或理论(数学理论、语义学理论)的研究对象在本质上往往是辩证的，即是诸对立环节的统一体；然而，由于主观思维方法上的形而上学或形式逻辑化的方法的限制，客观对象的这种辩证性在认识过程中常常遭到了歪曲：对立统一的环节被绝对地割裂开来，并被片面地夸大，以致达到了绝对、僵化的程度，从而辩证的统一就变成了绝对的对立；而如果再把它们机械地重新联结起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了，而这就是悖论。形式 悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。类型 悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。 但是，罗素悖论并不是头一个悖论。 老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。 罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。 这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。 即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。 这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。 这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。 可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。 这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。 这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。 有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。 法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。 这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。 不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。经典数学悖论 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。 解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论 （一）由自指引发的悖论 以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。1－1 谎言者悖论 公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒"”（《提多书》第一章）。 可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是： 1－2 “我在说谎” 如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。 矛盾不可避免。 它的一个翻版： 1－3 “这句话是错的” 这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。 拓扑学中的单面体是一个形像的表达。哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。 他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。 这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。 在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的"。 事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。 只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上） 罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。 “1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上） 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。 但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。 但是在集合论里，问题并不这么简单。1－4 理发师悖论 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。 有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。 这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。 这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。 显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。1－5 集合论悖论 “R是所有不包含自身的集合的集合。” 人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。 如果R包含自身的话，R又不属于R。继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。 这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。 例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。1－6 书目悖论 一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。 那么它列不列出自己的书名？ 这个悖论与理发师悖论基本一致。1－7 苏格拉底悖论 有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。 他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。 但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。 在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” 这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。 古代中国也有一个类似的例子： 1－7 “言尽悖” 这是《庄子·齐物论》里庄子说的。 后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说： 1－7 “世界上没有绝对的真理” 我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。1－8 “荒谬的真实” 有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。 悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。 有没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。（二）引进无限带来的悖论 《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。

1、罗素悖论和理发师悖论，是数学与逻辑学，使用的一种研究学术的方法。2、佛法是实践，在佛法的角度，不存在罗素悖论问题，或者说佛法与罗素悖论没啥关系。3、佛学是理论，在佛学的角度，佛学里面的“金刚能断”论，确有辩论的内容，也确有使用与罗素论悖和理发师论悖相似的逻辑推理方法，但也只是相似而已。罗素论悖和理发师论悖，推理的是理论上的矛盾冲突，侧重于冲突；“金刚能断”论，推理的是破除错误，侧重于破除。

为什么会产生悖论？这里只考虑“逻辑、哲学和语言上的悖论”，至于其他的比如投票悖论、费米悖论、外祖母悖论等等这里不讨论。因为它们涉及到的东西太多太杂了，而逻辑、哲学和语言上的悖论不需要任何其他的知识背景，属于“纯粹”的悖论，对它们的讨论更能揭示悖论的本质。什么是悖论？悖论首先是一个论证。（别跟我扯说谎者悖论就只是一句话，你不论证能知道它有矛盾么？）广义上的悖论指的是，直观上为真的前提，经由有效的论证形式推导，得出了直观上为假的结论。狭义上的悖论指的是推出了矛盾式。1. 前提看起来是真的但实际上是假的。这样的悖论就是大多数人认为的悖论，也就是狭义上的悖论，罗素悖论就是经典类型，罗素悖论表明了看起来完全正确的“概括原则”——任意性质 P 都有一个集合与之对应，此集合由满足 P 的那些元素构成——是错的。。这类悖论揭示的其实就是直观真的前提其实不真，也就是人类直观的局限性和错误。2. 结论看起来是假的但实际上是真的，结果推出了一个假结论就不奇怪了。比如巴拿赫 - 塔斯基悖论（一个球分成两个球那个）。再比如当年发现自然数集和有理数集一样大，发现一根实数轴和复平面上的点一样多，都曾被认为是悖论，后来才知道，这些悖论恰好揭示了人类的本能认知在涉及到无穷概念的时候会出错。这种悖论得出的结论实际上并不假，但是我们就觉得很假，很怪，因此对这种悖论的分析有助于澄清我们的一些不易发现的直观错误。（说到这里其实可以看出，不论 1 还是 2 类型的悖论，最终都揭示了人类认知和语言的局限性和可错性，对一个个悖论的分析最终都是要告诉人类：别被直觉的认知所误导，直觉是需要澄清的；也别太依赖自然语言，自然语言是有缺陷的。因此不要太纠结于狭义和广义的悖论，反正既然最终目标是一样的，为什么不把广义悖论也纳入悖论？）3. 有效的论证形式是有问题的。长期的实践中发现，经典逻辑里有效的论证形式在现实中并不适用逻辑的根本在于，如果你想要有一个说下去的可能，就必须事先承认一点什么东西。但现实世界只有存在和不存在之分，而没有对错之别，因此逻辑世界永远不可能复述现实。悖论也就从逻辑的盲点中诞生。

罗素悖论的意思是由罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素。即A∈A；A要么不是自身的元素，即Au2209A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x:xu2209x}。扩展资料：理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。参考资料来源：百度百科-罗素悖论

罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel）的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

罗素悖论是由罗素发现的一个集合论悖论。任意非空集x，里面肯定包含了一个元素y，使得x和y没有公共元素。

我们知道，对于每一个集合来说，都可以考虑其是否属于自身的问题，大部分集合都是不属于自身的。我们把不属于自身的集合称为正常集合，否则称为异常集合。把所有正常集合组成的新集合记为S0,即S0={X|X?X}考虑S0是否属于S0根据排中律，要么S0，属于自身，要么S0，不属于自身。如果S0属于自身，则S0是异常集合，但S0，是正常集合构成的，从而S0又不属于自身，矛盾。如果S0不属于自身则S0是正常集合，由S0的构造又推出S0属于自身，矛盾。不论哪一种情况，矛盾不可避免，这就是英国著名数学家、逻辑学家和哲学家罗素于1903年提出的轰动一时的“罗素悖论”。事实上，早在罗素悖论发现以前，就已经出现了布拉里?福蒂(Burali-Forti)悖论和康托(G?F?L?P?Cantor)最大基数悖论。但由于这两个悖论涉及的概念较多，并没有引起人们的注意。而罗素悖论就不同了，它只涉及集合论中的几个最基本的概念：“集合”、“元素”、“属于”，其构成十分清楚明晰。另外，如果以逻辑的术语代替集合论中的术语，以逻辑定义的性质代替集合论中定义的集合的性质，则罗素悖论可在最基本的逻辑概念的形式中推出。这表明，罗素悖论不仅触及到整个数学基础的理论，而且还牵涉到逻辑推理论证。因此，这个悖论的出现引起了西方数学界、逻辑学和哲学界的极大震惊，由此导致了数学发展史上的第三次数学危机。为了解决这个悖论，20世纪初整个数学界投入了极大的精力。

一天，萨维尔村理发师挂一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他们理，我也只给这些人理发。于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属自己给自己理发的那类人，但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此他应该自己理。由此可见，不管怎样推论，理发师的话都自相矛盾。这就是著名的“罗素悖论”，它是由英国哲学家罗素提出来的。他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表达出来。1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了避免这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。

罗素悖论的提出是基于这样的一个事例：设想有这样一群理发师，他们只给不给自己理发的人理发。假设其中一个理发师符合上述的条件，不给自己理发；然而按照要求，他必须要给自己理发。但是在这个集合中没有人会给自己理发。（如果这样的话，这个理发师必定是给别人理发还要给自己理发）1901年，伯特兰u2022罗素悖论的发现打击了他其中的一个数学家同事。在19世纪后期，弗雷格尝试发展一个基本原理以便数学上能使用符号逻辑。他确立了形式表达式（如：x =2）和数学特性（如偶数）之间的联系。按照弗雷格理论的发展，我们能自由的用一个特性去定义更多更深远的特性。1903年，发表在《数学原理》上的罗素悖论从根本上揭示了弗雷格这种集合系统的局限性。就现在而言，这种类型的集合系统能很好的用俗称集的结构式来描述。例如，我们可以用 x代表整数，通过n来表示并且n大于3小于7，来表示4，5,6这样一个集合。这种集合的书写形势就是：x={n：n是整数，3<n<7}。集合中的对象并不一定是数字。我们也可让y={x：x是美国的一个男性居民}。表面上看，似乎任何一个关于x的描述都有一个符合要求的空间。但是，罗素（和策梅洛一起）发现x={a：a不再a中}导致一个矛盾，就像对一群理发师的描述一样。x它本身是在x的集合中吗？否定的答案导致了矛盾的出现。当罗素发现了悖论，弗雷格立即就发现悖论对他的理论有致命的打击。尽管这样，他还不能解决这个问题,并且上世纪有很多的尝试去解决这个问题（但没有成功）。罗素自己对这个悖论的回答促进了类型理论的形成。他解释说，悖论的问题在于我们混淆了数集和数集的集合。所以，罗素介绍了对象的分级系统：数、数集、数集的集合等等。这个系统为形式化数学的形成奠定了基础，至今它还应用于哲学研究和计算机科学分支。策梅洛对于罗素悖论的解决方法用新的公理：对于任意公式A（x）和任意集合b，都会有一个集合满足y={x：x既在b中又满足A（x）}取代了以前的公理：对于任意公式A（x），都会有一个集合满足y={x：x满足A（x）}。究竟是什么样的努力使数学逻辑基础得以发展？现在数学家认识到这个领域可以用所谓的策梅洛-弗兰克尔集合论来定义。形式化的语言包含符号，例如e表示“其中一个数”，=表示等于，□代表集合中没有任何元素。那么可以写下一个公式B（x）：如果如果y e x，而y是空集。在集的结构式中我们可以这样书写：y={x：x=□}，或者更简单y={□}。罗素悖论就成这样：y={x：x不在x中}，那么y是否在y中？罗素和弗雷格关于罗素悖论发现的通信可以在《从弗雷格到高德尔，数学逻辑起源》（1879-1931）中查看到。这本书由哈佛大学出版社 Jean Van Heijenoort 1967年编辑出版。

1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论让我们先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。罗素悖论定义： M：所有包含集合自身的集合； N：所有不包含集合自身的集合； 问：N∈M还是∈N。 如果N ∈M ，说明N 具备M 的特征，根据M 的定义，N 包含集合自身， 但这和N 的定义矛盾；如果N ∈N ，说明N 具备包含自己的特征，这与N 的 定义矛盾；但M ＋N 遍历所有集合域，所以N 也不是空集。 于是，悖论产生。 罗素悖论例子：世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事： 唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。由著名数学家伯特兰·罗素（Russel，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的。因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。影响十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）： 1、理查德悖论 2、培里悖论 3．格瑞林和纳尔逊悖论。解决罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。　　 以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。

罗素罗素,英国数学家、逻辑学家、哲学家。1872年5月18日生于英格兰蒙茅斯郡特里莱赫的一个英国自由党贵族的家庭。1970年2月2日卒于梅里奥尼斯郡彭林德拉耶斯附近。 罗素11岁开始学习欧氏几何，18岁入剑桥大学三一学院学习，1894年毕业；1895年他在剑桥三一学院获研究员的职位；1901年他发现了著名的罗素悖论，引发了20世纪初对数学基础的危机。他与怀特海合作于1913年完成了名著《数学原理》。提出并成为逻辑主义的代表人物。 罗索还是一位蜚声国际的哲学家、政论作家和社会活动家。他的文字清新流利，受到各阶层的广泛欢迎，并于1950年获诺贝尔文学奖。1964年创立罗素和平基金会。罗素悖论：罗素悖论 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。 因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。 但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。 如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。 这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。 1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了 。就在这时 ，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。 此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。

罗素悖论定义把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）问，Q∈P 还是 Q∈Q？这就是著名的“罗素悖论”罗素悖论例子世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事： 唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。由著名数学家伯特兰·罗素（Russel，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为其元素，假设令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，则有：P={A∣A∈A} ，Q={A∣Au2209A} 。问题：Q∈P 还是 Qu2209P？ 若Q∈P，则根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有Au2209A的性质，因为Q∈Q，所以Qu2209Q，引出矛盾。若Qu2209P，根据第二类集合的定义，Au2209A，而P中的任何集合都有A∈A的性质，所以Q∈P，不是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”（Russell"s paradox）。罗素悖论还有一些较为通俗的解释，如理发师悖论等。 为消除该悖论，集合论中规定：所有集合不能以自己为元素。

理发师悖论 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸. 你看看这个是否有助于你的理解,还有下面的 一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书.那么它列不列出自己的书名? 这个悖论与理发师悖论基本一致.

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论,但表面上又能自圆其说的命题或理论体系. 公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说.”这就是这个著名悖论的来源.　　《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒"”（《提多书》第一章）.可见这个悖论很出名,但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣.　　人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是： 1－2 “我在说谎” 　　如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话；但是如果这是实话,他又在说谎.矛盾不可避免.它的一个翻版： 1－3 “这句话是错的” 　　这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环.拓扑学中的单面体是一个形像的表达. 1－4 理发师悖论 　　在萨维尔村,理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发.”有人问他：“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对.　　这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人.有言在先,他应该给自己理发.反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发.　　因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾.这个悖论是罗素在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”.这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述.显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题. 1－5 集合论悖论 　　“R是所有不包含自身的集合的集合.” 　　人们同样会问：“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R.如果R包含自身的话,R又不属于R.　　继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔（Kurt Godel ,1906－1978,捷克人）提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想.这个定理指出：任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题.例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备. 2－3 “飞矢不动” 　　在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别.那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如：　　2－4 “飞鸟之景,未尝动也” 　　这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲.这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突. 其他详细内容请参考百度百科.觉得请及时采纳.

罗素悖论的通俗版又被称为理发师悖论。罗素悖论：设性质P（x）表示“x不属于x”，现假设由性质P确定了一个类A--也就是说“A={x|xu2209A}”。那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：”本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

　　一个函项不能成为它自身的主目，因为函项的标记已经包含着它自身的主目的原型，而且它不能包含自身。比如说，如果我们假设函项F（fx）可以成为它自身的主目，那么这时就会有一个命题“F（F（fx））”，其中的外函项F和内函项F必定有不同的指谓；因为内函项具有Φ（fx）的形式，外函项具有Ψ（Φ（fx））的形式。对于两个函项来说，只有本身不标示任何东西的字母“F”是共同的。如果我们把“F（F（u））”写成“(u2203Φ)：F(Φu).Φu = Fu”，这一点马上就清楚了。这样罗素的悖论就消除了。

悖论 （paradox，也称逆论，反论），是指一种导致矛盾的命题。悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论".原理同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。形式悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。类型悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。

康托尔最大基数悖论与罗素悖论的共同特征是：自指性。（） A.正确 B.错误 正确答案：A

1919年，著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”大家听了直发笑。有人问他：“理发师先生，您给不给自己刮胡子呢？”“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。原来，这个爱吹牛的理发师，已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子，那就不符合他声明的前一半，这样，他就不应当给自己刮胡子；但是，如果他不给自己刮胡子，那又不符合他声明的后一半，所以，他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮，横竖都不对。像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗素编的这则笑话，就是数学史上著名的“理发师悖论”。理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。罗素悖论震撼了世界数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现，在数学这座辉煌大厦的基础部分，存在着一条巨大的裂缝，如不加以修补，整座大厦随时都有倒塌的危险。数学家们勇敢地接受了挑战。他们认真考察了产生罗素悖论的原因。原来，之所以出现罗素悖论这样的怪物，是由于在集合论中，“集合的集合”这句话不能随便说。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。在这个领域里，由于数学家的观点不同，产生了3个著名的学派。以罗素为主要代表的数学家叫逻辑主义学派，他们认为，只要不允许使用“集合的集合”这种非逻辑语言，罗素悖论就不会发生；以布劳威尔为主要代表的数学家叫直觉主义学派，他们认为，“集合的集合”是不能用直觉理解的，不承认它的合理性，罗素悖论自然也就不会产生了；以希尔伯特为主要代表的数学家叫形式主义学派，他们认为，悖论是一种不相容的表现。三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。现在，修补数学基础的工作尚未取得令人完全满意的结果，数学家们仍在顽强拼搏。