哲学著名十大悖论

理发师 悖论 是罗素 悖论 中的一个典型，因为这个悖论以理发师作为例子而闻名世界，甚至引发了第三次数学危机。而这个悖论探究的终极问题是，这个理发师该不该给自己刮脸，就这样一个简单地故事，却将数学家康托尔的集合论搅和的一团糟。 世界十大悖论： 费米悖论、乌鸦悖论、黄油猫悖论、芝诺悖论、霍金悖论、理发师悖论、外祖母悖论、上帝悖论、说谎者悖论、伊壁鸠鲁悖论 罗素理发师悖论 有一位理发师在广告上声称：“将为本城所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子。”但有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，那他能不能给他自己刮胡子呢?如果他不给自己刮，他就属于“不给自己刮胡子的人”，他就要给自己刮胡子，而如果他给自己刮胡子呢?他又属于“给自己刮胡子的人”，他就不该给自己刮胡子了。 理发师悖论的解决方法 这个“悖论”的问题就出在这里了：“不给自己刮脸的人”的界定标准是什么? 1、界定标准是：如果村里的任一村民x，从出生到死亡都从来没有自己给自己刮过脸，即一生中都没有“自己给自己刮脸”的“劣迹”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。 2、界定标准是：如果村里的任一村民x，在接受该理发师刮脸服务之前从无自己给自己刮过脸，即在接受该理发师刮脸服务之前没有“自己给自己刮脸”的“劣迹”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。 很明显，界定标准1是不可能的，因为这个标准是不允许给活人刮脸的。唯一合理的界定标准为2。由界定标准2可知，理发师或者符合他制定的规则，或者不符合，二者必居其一，不存在悖论。通过上面的分析表明，“理发师悖论”是由于混淆概念引起的，是与罗素悖论完全不同的。“理发师悖论”是罗素的一个败笔和浑着，是与罗素悖论毫无类似之处的。罗素悖论是深刻的，属于无穷引起的悖论，与芝诺悖论相似，而“理发师悖论”什么也不是。 上一页 0 /2 下一页

1、一个年轻人对大发明家爱迪生说："我有一个伟大的理想，那就是我想发明一种万能溶液，它可以溶解一切物品。"爱迪生听罢，惊奇地问："什么！那你想用什么器皿来放置这种万能溶液？它不是可以溶解一切物品吗？"2、某村子里有个理发师，他规定：在本村我只给而且一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子。请问：这个理发师给不给自己刮胡子？这是数学史上著名的"理发师悖论"，请分析这里面包含的逻辑矛盾。分析：理发师给不给自己刮胡子呢？只有两种情况：不给自己刮，或者给自己刮。如果理发师不给自己刮胡子，那么按照他的规定(我一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子)，他就应该给自己刮胡子。这就是说，从理发师不给自己刮胡子出发，必然推出理发师应该给自己刮胡子的结论，这本身就构成逻辑矛盾。如果理发师给自己刮胡子，那么按照他的规定(我只给那些自己不刮胡子的人刮胡子)，他就应该不给自己刮胡子。这就是说，从理发师给自己刮胡子出发，必然推出理发师应该不给自己刮胡子的结论，这本身也是一个逻辑矛盾。3、一个卖“生发灵”的药贩正在绘声绘色地推销产品“生发灵”：“我的‘生发灵"无论怎样的秃头都可以使其长出头发来，半个月见效！”正当他将自己的产品吹捧得天花乱坠之时，突然一阵风将他的帽子吹掉了，原来他本人就是个秃头！顾客便问：“你的生发灵那么灵，你为什么不让自己的头上长出头发来呢？”一番话，把药贩问得哑口无言，瞠目结舌。4、某领导信誓旦旦地说要廉政，一日，有人送他礼物，他不收，于是别人又拿出一万元现金出来，他接了下来，说：“我怎么能收你的礼物呢，下不为例呀！”5、最著名的是广告词：今年过年不收礼，收礼只收脑白金！6、某局长自称对爱情忠贞，反对婚外情，那天他自己在二奶家里接到单位里一个同事因搞婚外恋而闹离婚的电话，他说：我们单位绝对不允许有这种情况出现。7、有人说，我从来不信迷信，不信邪，不怕鬼，一身正气，也不怕什么坏人，可是晚上回家时，他还要一个朋友送他回去。

这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

摘要：关于罗素提出的理发师悖论，主流的解释是，也就是奎因提出的解释：没有这样一位（能够遵守规则的）理发师。但这个解答，在我看来是错误的，或者起码是不到位的。事实上，维特根斯坦更早就已经给出了最终的解答。只是维氏的解答，还没有得到主流的理解和接受。 《韩非子》里有这样一个故事：楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也。”又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷于之盾，何如？”其人弗能应也。 对于这个故事，我们都很清楚地知道，之所以会出现矛盾，是因为这位楚人过分夸大他的予与盾。关于该予是否能刺穿该盾，这位楚人给出了自相矛盾的说法。因此，对于该予是否能刺穿该盾，这位楚人并没有给出定义。而对于该矛是否能刺穿其他盾，不管对与错，这位楚人给出了确定的答案。我们读完这个故事，并不会认为，楚人的矛与盾不能存在。或者认为，这位（卖这样的矛与盾的）楚人不能存在，或者更荒唐地认为，《韩非子》这本书并不存在。其实，逻辑矛盾说明的是，书中的楚人对于矛与盾给出的说明是矛盾的。 然而，到了近代，又有了一个类似的悖论，我们却给出了奇怪的答案。这就是著名的“理发师悖论”，在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。 蒯因在其《悖论的方式》(1961)给出的解悖方案，后来成为主流认同的方案。蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。通过这样的逻辑推理与概念分析，居然可以证明或者否证一个经验问题。这是十分奇怪的事情。 蒯因自己也觉得奇怪，但是他更相信概念分析的能力。然而，概念分析的能力真的这么强大吗，强大到可以帮助我们证明或者否证经验命题吗？我们想要探讨的是，逻辑推理与概念分析的能力界限在哪里，逻辑矛盾可以告诉我们什么。 反证法是借助矛盾的论证方法，首先假设前提成立，然后进行逻辑推理与概念分析，进而得到逻辑矛盾，由此证明前提不成立。然而在这个证明过程中，我们需要思考的是，逻辑矛盾是来自整个推理链条，并不是仅仅来自于前提。在这个推理链条之中，隐藏着潜在的前提与潜在的规则。错误的位置究竟在哪里，需要我们对于整个推理链条的仔细观察与反复推敲。 我们先来看一个错误使用反证法的例子。村子里有一位理发师，他声称：“他给自己理发当且仅当他不给自己理发”，由此可以得出这样一位理发师不存在。论证过程如下：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。 这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。 其实，规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。 再来看蒯因的论证过程：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。 这个论证过程同样是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。 上世纪的罗素悖论等一系列悖论，引起了对于数学基础的普遍怀疑，这就是第三次数学危机。似乎清楚简单地推理，却推导出了矛盾。“是不是整个数学都出现了问题？”，这是当时数学家普遍的担心。维特根斯坦评论道：这是一种“出于迷信的恐惧”。事实上，矛盾来自于推理链条，矛盾也只涉及推理链条所过之处。这并不是整体的问题，而只是局部的问题。 所以，矛盾并不可怕。 矛盾说明的是，我们对于一些概念和规则的使用存在一些模糊和矛盾之处。我们所要做的事情就是，看清楚这些概念和规则的错误使用，重新规定这些概念和规则的使用方法。 以下棋为例，维特根斯坦说道：“可以设想游戏中的例子，一个规则是说：在某种条件下，相关的棋子必定被吃掉。而另一个规则则是说：在这种情况下，不能吃马。如果相关的棋子恰恰就是马，规则就发生了矛盾；我不知道我该做什么。在那种情况下，我们做什么呢？很简单：我将引入新的规则，以此来解决冲突”，他又说：“我认为，如果数学的游戏规则出现了矛盾，那么补救措施就像是一件世界上最简单的事情：我们只需要对使规则陷入冲突的那种情况进行重新规定，事情就算了结。”举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=c iff a=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在这个地方重新定义一下：0不能作除数。问题就解决了。 所以，对于悖论的解决，并不需要触动整个数学基础，而只是就悖论发生之处重新制定一些规则。类似的问题，也是类似的处理方式，比如对角线方法等等。更惊爆的是，数学家科学家们使用对角线方法证明的定理，包括实数不可数，哥德尔定理，停机问题，在维特根斯坦看来都是无效的。 进一步参阅： 1、庄朝晖，基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析，第六届全国分析哲学学术研讨会，山西大学，中国，2010年8月（入选《中国分析哲学 2010》，中国现代外国哲学学会分析哲学专业委员会编，浙江大学出版社，2011年10月，67页-76页） 2、 庄朝晖，关于对角线方法和停机问题的评论，第五届两岸逻辑教学与研究学术会议，重庆西南大学，2012年4月. 3、庄朝晖，基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论，《厦门大学学报（哲社版）》，第2期，2008（并以此文获得首届洪谦哲学论文奖）

1、“理发师悖论”，又称为“罗素悖论”，是由数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）在1901年提出。悖论内容：一个城市里唯一的理发师，只会替所有不为自己理发的人理发。那他该不该为自己理发？答案：这个城市不可能存在。因为（1）如果理发师不替自己理发，他需要遵守规则，给自己理发；（2）如果理发师替自己理发，如遵守规则，他不能替自己理发。（这个悖论的出现是由于“怀素合论”对于元素的不加限制的定义。当时的集合论被称为数学理论的基础，这悖论的出现直接导致了第三次数学危机，引发现在的公理化集合论，促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性）2、如果上帝无所不能并在造出我们之前就已经知道我们会做什么，那么我们如何才能够拥有自由意识呢？答案：这个悖论可以用上帝存在超越时间来解释——他可以知道未来，就如同他知道过去和现在。正如过去并不干涉我们的意志自由，未来也不会干涉。3、一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证，如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。那么如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，那么怎样？答案：如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就违背了诺言。如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼有违背了诺言。4、一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生；依次这个人自己也不会出生；这就意味着他自己没有机会进行时光旅行回到过去；这就意味着他的祖父依然还活着；这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。答案：当时间旅行者改变了过去的某事的瞬间，那么平行宇宙就会被切开，这个可以由量子力学来解释。5、有一堆1000000颗沙粒组成的沙堆。如果我们拿走一颗沙粒，那么还是有一堆沙粒；如果我们再拿走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一次拿走一颗沙粒，那么当我们取得只剩下一颗沙粒时，那么他还是一堆么？答案：设定一个固定的边界。如果我们说10000颗沙粒是一堆沙粒，那么少于10000颗沙粒组成的就不能称之为一堆沙粒。那么这样区分9999颗沙粒和10001颗沙粒就有点不合理。那么就有一个解决方案了——设定一个可变的边界，但是这个边界是多少，并不需要知道。6、上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？答案：如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。如果他不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的。最普遍的回答是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。

理发师悖论由著名数学家伯特兰·罗素（BertrandA.W.Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论等价理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。

就是一个悖论。悖论如下：有一村庄，里面只有一个理发师，他只给不给自己理发的人理发，问他的头发谁理。就是这个论题。手机回答真不爽

1、“我在说谎”如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。2、“这句话是错的”这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实（开始设定的）不符。这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。3、理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。扩展资料国内外有许多著名的悖论，这些悖论震惊了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知欲和精确思维，引起了从古至今许多思想家和爱好者的关注。解决悖论问题需要创造性思维。解决悖论往往会给人们带来新的想法。根据悖论形成的原因，可以将其分为六种类型，所记录的悖论都是常见且流传广泛的。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的飞速发展，出现了许多新的悖论。人们在孜孜不倦地探索。他们的成就将大大改变思维观念。悖论和悖论解是隐含在同一命题或表面推理中的两个对立的结论，二者都可以证明自己是正确的。悖论的抽象公式是：如果事件a发生，则推导出非a，推导出非a。参考资料来源：百度百科-悖论

（1）理发师悖论：1919年，罗素把他提出的集合论悖论通俗化如下：萨魏尔村有一位理发师，他给自己订下一条规则：他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子。请问他该不该给自己刮胡子？（2）苏格拉底悖论：苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”（3）纸牌悖论：纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。我们同样推不出结果来。（4）上帝万能悖论：“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？”（5）鳄鱼悖论：一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。” 请问孩子母亲该如何回答才能保住孩子的性命（6）老子悖论：“知者不言，言者不知。”是一条悖论，被白居易一语道穿。白居易在《读老子》里说道：“言者不知知者默，此语吾闻于老君。若道老君是知者，缘何自着五千文？”扩展资料：悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当做思维方式。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生，形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。所谓解悖，就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。性质悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。根源悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。用对称逻辑解“鳄鱼困境悖论”一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，就会成为所谓的“悖论”：如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就必须把孩子还给父亲，否则鳄鱼违背了诺言;如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼又违背了诺言。解悖：鳄鱼“要做什么”是一种心理状态，鳄鱼“把孩子还给父亲”是一种行为，二者在时间上是前后衔接的两个阶段。同样，这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”是鳄鱼心理状态，后来“鳄鱼将儿子还给他”是鳄鱼行为。这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”这种鳄鱼的心理状态和后来“鳄鱼将儿子还给他”这种鳄鱼行为之间同时存在并不矛盾——正是因为这个父亲猜对了鳄鱼的心理“不把儿子还给他”，所以鳄鱼为了履行诺言必须在行动上把儿子还给他。在这里对称逻辑通过限定时间范围，使语言的内容和语言的对象对称。参考资料：百度百科-悖论

一、芝诺悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；……因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。二、费米悖论从理论上讲，人类能用100万年的时间飞往银河系的各个星球，那么，外星人只要比人类早进化100万年，现在就应该来到地球了。换言之，“费米悖论”表明了这样的逻辑悖理：A.外星人是存在的——科学推论可以证明，外星人的进化要远远早于人类，他们应该已经来到地球并存在于某处了；B.外星人是不存在的——迄今为止，人类并未发现任何有关外星人存在的蛛丝马迹。三、希尔伯特旅馆悖论这是德国大数学家大卫·希尔伯特提出的著名悖论。希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间搬到 3 号房间??n 号房间搬到 n 1 号房间，你就可以住进 1 号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到 4 号，3 号搬到 6 号??n 号搬到 2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”四、理发师悖论理发师悖论是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论。罗素悖论萨维尔村唯一的理发师为自己立下一个规定:只帮那些自己不理发的人理发。于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言。这显然是两难:按照规则，因为其自己不给自己理发，所以他需要帮自己理发；但一旦理发同时又破坏了自己“不给自己理发的人理发的规则”。

罗素悖论也就是理发师悖论： 某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，现在的问题是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就必须“给自己理发”。 比古希腊的一些深奥,最适合拿来讨论的悖论

　　节选自“http://www.vckbase.com/document/viewdoc/?id=1593#Braess_悖论”引号内为网址　　Braess 悖论　　现在来看看 Braess 悖论。我的例子使用了一个传统场景——汽车交通，但是我描述了这个悖论是怎样扩展到软件测试和其他情况的。关于 Braess 悖论的原始工作是 Dietrich Braess 的“ über ein Paradox der Verkerhsplannung ”（ 1968 ）。而我的例子，是基于我发现的几个例子，这几个例子对 Mark Wainwright 的工作作出了贡献。当时我不能亲自参加到 Wainwright 的原始工作中。　　Braess 悖论相当复杂，所以这里我给一个简化的、离散近似。假设象图 5 中显示的一样有四个城镇——城镇 A ，城镇 B ，城镇 C 和城镇 D 。　　连接任意两个城镇之间的每一条路都有一个关联成本，由图中与路相邻的方程给出。成本是陆上汽车数的函数。你能想象成本代表了在这条路上行驶所需要的时间，或者所需要的汽油，或者你们想要最小化的某些因素。现在假设某一个早晨，有 6 辆车从城镇 A 离开，每次一辆，目的都是城镇 D 。汽车 1 离开的时候，路上完全是空的。该车可以从两条路径中选择： A-B-D 和 A-C-D 。 A-B-D 的成本是 [4(1) + 1] + [1 + 16] = 22 。由于该图的对称性，路径 A-C-D 的成本也是 22 。假设汽车 1 选择了路径 A-B-D 。　　图5 公路网络： Braess 悖论　　现在汽车 2 准备离开了。他看到汽车 1 在路径 A-B-D 上，因此知道了现在 A-B-D 上的成本是 [4(2) + 1] + [2 + 16] = 27 ，所以他选择了成本只有 22 的路径 A-C-D 。汽车 3 看到每条路径上都有一辆车，所以选择了成本是 27 的路径 A-B-D 。汽车 4 选择了成本是 27 的路径 A-C-D 。汽车 5 看到四辆车是均匀分布的，他选择了路径 A-B-C ，成本是 [4(3) + 1] + [3 + 16] = 32 。最后，汽车 6 选择了成本是 32 的路径 A-C-D 。现在所有六辆车都在从城镇 A 到城镇 D 的某一条路径上。因为每一条路径上有三辆车，而两条路径是对称的，每辆车的成本是 32 。　　这是 Braess 悖论出现的地方。如果在城镇 B 和城镇 C 之间增加一条新的、有效的路径，你认为会出现怎样的结果？常识是，增加道路容量会降低司机们的成本。但是既然这种现象被叫做“ Braess 悖论”而不是“ Braess 常识”，你应该猜到实际发生的并不是如此。　　假设修改图 5 中的地图，在城镇 B 和城镇 C 之间增加了一条高效快捷路径，它的成本函数是一个常数 1 。在加入了快捷路径的第一个早晨，汽车 1 准备离开城镇 A 。他有四种可能路径选择，各条路经的关连成本如下：　　A-B-D cost = [4(1) + 1] + [1 + 16] = 22　　A-C-D cost = [1 + 16] + [4(1) + 1] = 22　　A-B-C-D cost = [4(1) + 1] + 1 + [4(1) + 1] = 11　　A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35　　这是很有希望的。汽车 1 选择了路径 A-B-C-D ，通过快捷路径来显著降低他的交通成本——至少暂时如此。汽车 2 准备离开了。他看到汽车 1 选择了路径 A-B-C-D ，于是分析他的可能成本：　　A-B-D cost = [4(2) + 1] + [1 + 16] = 26　　A-C-D cost = [1 + 16] + [4(2) + 1] = 26　　A-B-C-D cost = [4(2) + 1] + 1 + [4(2) + 1] = 19　　A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35　　经过快速数学计算之后，汽车2页选择了路径 A-B-C-D 。尽管汽车 1 已经在这条路径上了，快捷路径的有效性仍然使得它是汽车 2 的最好选择。　　现在汽车 3 准备离开了，他的选择是：　　A-B-D cost = [4(3) + 1] + [1 + 16] = 30　　A-C-D cost = [1 + 16] + [4(3) + 1] = 30　　A-B-C-D cost = [4(3) + 1] + 1 + [4(3) + 1] = 27　　A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35　　再次，这个快捷路径 A-B-C-D 是最好的选择。汽车 4 准备离开城镇 A ，观察了钱三个司机的决定，算出了他自己的成本：　　A-B-D cost = [4(4) + 1] + [1 + 16] = 34　　A-C-D cost = [1 + 16] + [4(4) + 1] = 34　　A-B-C-D cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35　　A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [1 + 16] = 35　　快捷路径上目前的交通使得 A-B-C-D 比路径 A-B-D 和 A-C-D 的成本要高。假设汽车 4 选择了路径 A-B-C （如果汽车 4 选择了 A-C-D ，细节会有一点不同，但是总的结果是一样的）。　　汽车 5 现在准备离开了，他分析了他的选择：　　A-B-D cost = [4(5) + 1] + [2 + 16] = 39　　A-C-D cost = [1 + 16] + [4(4) + 1] = 34　　A-B-C-D cost = [4(5) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 39　　A-C-B-D cost = [1 + 16] + 1 + [2 + 16] = 36　　因此汽车 5 决定选择路径 A-C-D 。最后一辆车，汽车 6 ，现在准备离开了，他观察了前面 5 个司机的决定，做出了他自己的分析：　　A-B-D cost = [4(5) + 1] + [2 + 16] = 39　　A-C-D cost = [2 + 16] + [4(5) + 1] = 39　　A-B-C-D cost = [4(5) + 1] + 1 + [4(5) + 1] = 43　　A-C-B-D cost = [2 + 16] + 1 + [2 + 16] = 37　　汽车 6 选择了路径 A-C-B-D ，因为这是成本最低的。现在 6 辆车都在路上了，你可以算出每辆车的成本。　　Car 1 route A-B-C-D, cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35　　Car 2 route A-B-C-D, cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35　　Car 3 route A-B-C-D, cost = [4(4) + 1] + 1 + [4(4) + 1] = 35　　Car 4 route A-B-D, cost = [4(4) + 1] + [1 + 16] = 34　　Car 5 route A-C-D, cost = [2 + 16] + [4(4) + 1] = 35　　Car 6 route A-C-B-D, cost = [2 + 16] + 1 + [1 + 16] = 36　　回忆一下，如果没有这条快速路，每辆车的成本是 32 。现在增加了额外公路容量，我们却增加每个司机的成本！　　这个例子提供了一个对 Braess 悖论的实际接触。因为这和网络系统上所传输的数据包有明显的关系， Braess 悖论受到了研究人员的深入研究。你能非正式的总结这个悖论：有时候增加节点之间的路径数反而会增加网络拥塞。从软件测试角度来说， Braess 悖论会在进行网络性能测试的时候出现。老实说，你碰到 Braess 悖论的机会很少。但是这个现象确实存在。启示是，你不应该假设增加网络容量就会提高性能。如果你增加了容量但是没有看到你所期望的性能提高， Braess 悖论就是应该去调查的。

悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。 悖论有三种主要形式。 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论有以下几类： 逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。 历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 回答你的问题： 1、不是 2、可以

希帕索斯悖论与第一次数学危机 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 欧多克索斯 二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 贝克莱悖论与第二次数学危机 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 贝克莱主教 1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 牛顿与莱布尼兹 针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？ “向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。 无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？ 当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到 1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x) 后，令 x = －1，得出 S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！ 由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 柯西 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。 柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。 罗素悖论与第三次数学危机 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 康托尔 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。 罗素 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。 以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。 悖论一览 1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不"，对不对？用‘是"或‘不是"来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 4． 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？ 7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！” 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ 8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？ 9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； …… 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； …… 10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？累死我拉!!

文、编辑 | 云雀儿 来源 | 布谷听听（iBookgood） “为什么要喝酒？” “为了忘却。” “忘却什么？” “忘却我的羞愧。” “为什么羞愧呢？” “为喝酒而羞愧。” 如果你看过《小王子》，一定会记得上面的句子吧。像这样对话一步步仿佛陷入了死循环，其实就是一种悖论。 所谓的悖论，就是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。 在生活中处处都充满了悖论，我们总以为任何问题都会有答案，但是有时候问题会以悖论的方式呈现出来。 而现在，这些悖论似乎已经成为了语言形式的思维魔方，既能激发孩子参加智力挑战的成就感，也能让孩子养成思考的习惯，锻炼思维的智慧。 今天，我们为大家准备了10个经典悖论，和孩子一起思考、一起烧脑吧！ 一、时间旅行悖论 考虑一下这样的情况，一个时间旅行者买了一份《罗密欧和朱丽叶》的副本，然后通过时间旅行的方式回到了过去，并交给了年轻的莎士比亚。 随后莎士比亚把它抄写下来并发表了出来。这些东西随着 历史 的发展一直流传到时间旅行者的年代，然后被旅行者买了下来，接着送回到过去。 那么问题来了： 到底是谁写了《罗密欧和朱丽叶》？ 脑洞时间： 如果一定要给这道题一个答案， 那么我们可以设定时间旅行的世界是两个平行世界， 在第一个世界莎士比亚写下了这本书流传到旅行者的年代，随后旅行者穿越时空来到了第二个平行世界里的莎士比亚年代，之后传给第二世界的旅行者…… 如果不考虑平行世界，那么这道题只能是没有答案的悖论，就像鸡生蛋、蛋生鸡一样没有尽头。 你可以带孩子这样做： 这个关于时间旅行也出现在了诺兰导演的《星际穿越》中。带孩子一起看看，能帮助孩子理解的更透彻哦。 如果孩子对时间旅行很好奇，这就是激发孩子天文兴趣的好时机哦， 可以带孩子看看关于宇宙、黑洞、时间等话题的纪录片哦，我们之前也有介绍。 二、独一无二悖论 这首从抖音红到大街小巷的《我们不一样》，大家肯定都听过吧。其中一句歌词是这么唱的“我们不一样，每个人都有不同的境遇”。 那么问题来了： 其实这句歌词就包含了一个悖论，你知道是什么吗？ 脑洞时间： 说是我们不一样，可 如果我们每个人都是独一无二的话，那么就意味着没有人是独一无二的啦。 你可以带孩子这样做： 和孩子一起找找，在其它的歌词中有没有包含悖论呢？ 除此之外，也可以看看我们生活中最常见的口语，是否是悖论呢，怎样说一句话才是最严谨的呢，和孩子练习一下吧。 三、银行家悖论 假如你是个银行家，有一笔可供借贷的款项，如果你把钱借给信用记录差的人，你冒的风险就很大，他们可能还不了钱，甚至搞得你破产。 那么问题来了： 这笔钱能借出去吗？ 脑洞时间： 这其实形成了一个矛盾的局面，最需要钱的人，信用风险都很大，因此得不到贷款；而最不需要钱的人，信用记录最好，能得到贷款却不需要贷款。 所以我们才说：投资有风险，理财需谨慎！ 至于能不能借出去就看你的理财观念了。 你可以带孩子这样做： 借着这个问题和孩子谈谈什么是正确的理财观念，帮孩子提升一下财商。 除此之外，可以和孩子计划设想一下，想要成为一个银行家，需要具备哪些素质和条件呢，怎样努力才能存下一大笔钱呢？ 四、桑丘悖论 《唐吉诃德》中有这样一个故事，唐吉诃德的仆人桑丘跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。 他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题，“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，如果答错了，就要把他绞死。一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题。 那么问题来了： 他要怎样回答才能幸免于难呢? 脑洞时间： 这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。” 如果让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。但如果把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死。 故事的最后，小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。 你可以带孩子这样做： 其实这也是一个很常见的悖论，那么想创造出这样悖论的关键点在哪里呢？和孩子一起找找规律吧。 还可以让孩子想想看过的书或者绘本中有没有哪些悖论呢，总结一下！ 五、理发师悖论 小城的理发师放出豪言：“我帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。” 那么问题来了： 理发师给自己刮脸么？ 脑洞时间： 看起来这是一个矛盾的悖论，但你也可以尝试带孩子发散一下思维，跳出问题来看。 假如理发师是女性……是不是就成立了呢？或者理发师其实是个童工？或者脑洞再大一点，理发师也有可能是个人妖呢？ 你可以带孩子这样做： 其实这条悖论就是赫赫有名的罗素悖论，它证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。 你可以带孩子具体了解一下这条悖论背后都经历了，什么让孩子了解一下那些有名的数学家的故事。 六、节俭悖论 当人们害怕经济大萧条会到来时，他们开始降低他们的消费来增加自己的存储，希望这样来抗争风险。 那么问题来了： 这样做会有用吗？ 脑洞时间： 正是因为大家都这么做，才最终引发了经济大萧条。 这是经济学中的一个现象，让人细思恐极，而在我们的人生中，很多地方这个悖论也是适用的。 你可以带孩子这样做： 和孩子谈一谈为什么物价会不时地上涨下调，给孩子科普一下宏观调控的意义。 告诉孩子怎样是合理的消费，培养孩子正确的消费观，梳理孩子的理财意识。 七、顾客悖论 老板告诉店员：顾客就是上帝，不管顾客说什么他们都是对的。 那么问题来了： 这个原则能成立吗？ 脑洞时间： 肯定是不能啦，如果顾客说：我说的是错的。那么就已经陷入了一种悖论。 除了这种情况，如果是多个顾客吵起来了，每人各执一词，相互对立，那么谁才是对的呢？ 你可以带孩子这样做： 和孩子一起玩模拟 游戏 ，孩子扮演店员，家长扮演顾客刁难，让孩子想想用什么办法才能破解这些难搞的客人。 游戏 中也可以多增加收款环节，让孩子在 游戏 中锻炼计算能力。 八、毕业生悖论 大学毕业就该找工作了，但是大家往往面对这样一个非常著名的悖论：“你需要工作经验才能获得一份工作，但是你需要一份工作才能获得工作经验”。这个悖论是每年千千万万毕业生都会面临的问题。 那么问题来了： 已经工作的人是怎么找到工作的？ 脑洞时间： 从结果上来看，这个悖论其实已经被破解了，而且每个人破解的方法都不同。 不论怎样，拥有一个名校的背景，都会是一个优势条件，正因为如此，孩子们才要努力学习，培养各种面向未来的能力，如果 “少壮不努力”，也许真的会被这样的悖论陷住吧。 你可以带孩子这样做： 和孩子谈谈对未来工作的看法，让他建立一个梦想。 让孩子想想怎样才能实现他的梦想，他要学习什么？要付出什么？实现建立一个小小的规划。 九、秃子悖论 一个人脑袋上长有10000根头发不是秃子，去掉一根头发也不能使他成为秃子。 那么问题来了： 通过9999次减少，只剩一根头发的人是秃子吗？ 脑洞时间： 其实这是一个不成立的推理，因为前提中“一个人脑袋上长有10000根头发不是秃子”不一定正确。 首先是由于“秃子”这个概念的含混性，秃子和非秃子之间没有明显界限，如果一个人一万根头发都集中在脑袋周围，难道能说他不是秃子吗？ 所以，一个人脑袋上长有一万根头发可以不是秃子，也可以是秃子。依赖于含混的前提进行推理所得到的的结论也是含混的。 你可以带孩子这样做： 让孩子回忆一下，也可以去试着观察，秃子都有哪几种秃法，用这条悖论锻炼一下孩子的观察力。 让孩子数数自己每天会掉多少头发，和孩子讲讲为什么他一直掉发却还没有秃头。 十、上帝悖论 几个世纪前，罗马教廷出了一本书，书中用当时最流行的数学推论，导出“上帝是万能的”。 那么问题来了： 一位智者当场就坐不住了，起来问“他能造一个自己都举不起来的石头吗？” 脑洞时间： 如果他造不出来这样的石头，那么他就不是万能的，如果他造出来了，那么就存在了一个他举不起来的石头，那么就说明他不是万能的。 说到这里，孩子可能会疑惑，既然上帝不是万能的，为什么大家还要信仰他呢？ 在宗教徒中，最普遍，也最被认同的观点是： “不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答中，大致指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。 你可以带孩子这样做： 和孩子讲讲为何宗教会盛行，讨论一下为什么即使证实了天空之上没有上帝也没有佛祖，很多人还依然有着虔诚的宗教信仰。 和孩子科普我国的宗教分别有什么，他们都有什么特色。 怎么样，这10个悖论其实也不难理解吧。 去思考这些悖论，除了能锻炼逻辑思维，也能锻炼孩子的口才，提升孩子的辩论能力。 这些悖论也可以让孩子知道，其实事物不是片面的，当你换一个角度看世界，世界也会从此不同，孩子的视野会变得宽阔全面，可以学会多角度去看问题。 在去理解的同时，别忘了和孩子一起多思考怎样可以破解这些悖论。 当一件事物变得绝对化的时候，就一定会出现漏洞，所以“悖论是无解的”也是一个伪命题。 和孩子一起去开动脑筋吧，这些悖论一定会被你们解开的！

全世界最烧脑的十大悖论包括：二分法悖论、飞矢不动、忒修斯之船、托里拆利小号、有趣数悖论、球与花瓶、土豆悖论、饮酒悖论、理发师悖论、祖父悖论。①二分法悖论概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。古希腊哲学家芝诺提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。那么我们究竟是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。②飞矢不动概述：一根箭是不可能移动的。飞行过程中的任何瞬间，它都有一个暂时的位置，由此可知一枝动的箭是所有不动的集合。芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。咳咳，飞矢不动，我没心动。③忒修斯之船概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes）、约翰·洛克（John Locke）也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。④托里拆利小号概述：体积有限的物体，表面积却可以无限。17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注：上图只显示了一部分图形）。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是 π。脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。⑤有趣数悖论概述：1是非零的自然数，2是最小的质数，3是第一个奇质数，4是最小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。于是，量子计算领域的研究猿纳撒尼尔·约翰斯（Nathaniel Johnston）把这些有趣的整数定义为一个整体，并将这些整体排成序列，像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义，约翰斯在2009年6月的博客里提出，第一个没有出现在序列里的数字是11630。2013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的无趣数。脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？⑥球与花瓶概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？答案千奇百怪。最直接的是无限个，也有数学家认为，每个球都会被取出来。逻辑学家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托马斯·泰马祖科（Thomas Tymoczko）提出花瓶里的球最终可以是任意数目，甚至有具体的构造方法。1976 年谢尔登·罗斯（Sheldon Ross）在他的《概率论第一课》（A First Course in Probability）介绍了这个问题，所以它被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”（Ross-Littlewood Paradox）。脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。⑦土豆悖论概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出了2%，还剩98%的水分，它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质（dry material），当还剩98%的水分时，1克将对应2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。脑洞：理科生们笑到内伤。⑧饮酒悖论概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件（material conditional），对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。“饮酒悖论”由于雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）的书而出名，这本书的名字就叫《这本书叫什么名字》（What Is the Name of this Book?）。⑨理发师悖论概述：小城的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。”那么问题来了，理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺。如果他不给自己刮脸，就必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都说不通。赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。⑩祖父悖论概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？祖父悖论看似杜绝了人为操纵命运的可能，过去无法改变，爷爷一定会在孙子的谋杀中幸存下来；还有种可能是，你进入了另一个平行宇宙，这是你从未生活过的世界，但你的爷爷奶奶却也在这里。这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。脑洞：如果你重返二战前，杀死希特勒，成功阻止了二战的爆发。然而，如果没有发生二战，回去刺杀希特勒的理由是什么？时间旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在质疑本身。

1、白马非马说到悖论，绝对少不了的就是我国战国时期公孙龙的那条著名悖论：白马非马。公孙龙认为，白马并不是马，因为“马”强调的是一种生命，而“白马”强调的是一种颜色，二者的定义不同。有人问公孙龙：如果现在有一匹白马，那么我们就不能说没有马。既然有白马就是有马的意思，为什么还说白马不是马呢？公孙龙说：如果说想要找一匹马，那么即使是拉来一匹黄马或者黑马，都是可以的。如果你想要一匹白马，那么黄马或者黑马就不行了。如果说白马就是马，那么找一匹白马就等于找一匹马的意思。如果我说我要一匹白马，你却拉来一匹黄马或者黑马，这显然是不对的。由此可见，白马不是马。又有人问：天底下的马都有各自的颜色，照你这么说，难道世界上就没有马了么？公孙龙又说：马本来就有颜色，所以才有白马。如果马没有颜色，只有它自己，又哪来的白马一说呢？所以，说到白就不是说马了，白马的要求是：既要是马还必须要是白色的，所以白马不是马。后面还有很多双方讨论的问题，但限于篇幅我们就不赘言了，相信大家也从这一段里体会到了公孙龙大概的主旨。到了今天，仍然有很多人从逻辑学角度甚至是数学的角度来思考这个问题。2、绞刑悖论在著名的小说《堂·吉诃德》中，作者描述了一个非常奇怪的国家。这个国家有一条非常奇葩的规定，他们要求来到这里的旅行者必须说明他们来这里要做什么，如果说错就要处以绞刑。不论旅行者说什么，都可能会遭到这个国家的阻挠，导致他做不成，最终以绞刑告终。但是，有一个旅行者非常聪明。在被问到这个问题的时候，他想了想说：我是来受绞刑的。这句话一说出来，连士兵也傻眼了。如果说这个人说对了，那么按照规定，他们是不可以给他处以绞刑的；但是，如果他说错了，那么他来到这里就不是受绞刑的，那么就更没有理由绞死他了。就这样，这个人保全了自己的性命。3、理发师悖论其实说起来，理发师悖论和说谎者悖论有点类似。这个悖论是说有一个理发师非常奇怪，他定下了一个很有意思的规定，那就是要给当地不为自己理发的人理发。这个规定就是一个悖论：他要不要给自己理发呢？如果如果他不给自己理发，那么他就是当地不给自己理发的人，他就是自己应该理发的对象；如果他给自己理发了，那么他就打破了自己的规定，因为他不为那些能给自己理发的人理发。4、忒修斯之船忒修斯之船最早来自于公元1世纪的古希腊哲学家普鲁塔克，他提出了一个著名的思想实验：假设有一只大船，随着时间的推移在不断地老化，人们不得不持续地给它更换甲板、零件、设备。最开始的时候，它只更换了一块甲板。随着时间的推移，更换的部分越来越多，直到某一天，连最后一块原始的甲板都已经被更换掉了。那么，这艘船还是原来的船吗？如果说这艘特修斯之船是一艘新船，那么问题来了：这艘船从来没有消失过，何来新船一说呢？如果说它还是原来的那艘船，这也说不通，因为老船上所有的物件都不在了，凭什么说它还是当初那艘船呢？5、电车难题所有的悖论之中，没有一个比电车难题更加备受争议了，因为这里涉及到了伦理问题。这个悖论假设：有一辆火车（或者有轨电车）在轨道上行驶，突然发现有一个丧心病狂的人在前方轨道上绑了5个人。此时列车已经来不及刹车了，眼看着5个无辜的人危在旦夕。这个时候，驾驶员发现轨道有一条岔路，可以紧急转弯。然而令人绝望的是，在那条岔路上，也有一个人被绑在了轨道上。那么，他该不该转向呢？乍看之下，转向是一个比较好的选择，毕竟谁都知道5＞1的道理，这样可以多挽救四条性命。可是，岔路上的那个人难道就不是活生生的人命吗？他为何就要倒霉呢？而且，如果司机主动选择转弯，那么他就从一个原本无奈之人变成了一个主动的杀人犯，这样真的合适吗？

理发师给那些无法给自己理发的人理发，那么理发师应不应该给自己理发。本质上，红蓝眼的悖论和这个是一样的。给自己理发和有办法给自己理发，也是两回事儿。

有这么一条理发师悖论：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问:理发师给不给自己理发? 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定;如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 其实，所谓“无解的悖论”，只是大师们提出来给大家锻炼思考能力自己给自己出的难题，相当于头脑的“训练器械”——这就好比小时候数学卷里那个边放水边注水的浴缸，没有实际意义但是能让人提高思维能力，也好比撸铁用的哑铃，两个铁疙瘩不能拧螺丝钉钉子也不好使但是能让人变强壮。 如果想要锻炼思维，当然可以琢磨琢磨如何应对存在悖论的问题；如果想要破解悖论的话其实特别容易，那就是——打破它的规则即可，理发师可以给任何人理发，浴缸注水的时候就别再放水，不锻炼的时候别用哑铃干别的… 所以，抛开规则，悖论是不成立的，理论世界里因为规则的限定所以有解答不了的问题，而现实世界里没有解决不了的事情。如果有，那回头看看规则吧！ 生活中遇到困难止步不前的时候，我们不妨回想一下到底是哪条“规则”挡住了自己，如果这自己设定的“规则”不触及“原则”，打破它又何妨？

这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己剃胡子，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己剃胡子。 反之，如果这个理发师给他自己剃胡子，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人剃胡子，他不能给自己剃胡子。 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 据说罗素发现他的集合论中存在一个悖论，通俗地表达为“理发师悖论”，即“一个乡村理发师宣布，他给且只给不能为自己刮胡子的人刮胡子。问：理发师是否为自己刮胡子。” 大话伤形，空话失信，假话损誉，粗话缺理，废话无用，狠话丧友，绝话不立。虽说由于历史的原因，以及时代的限制，我们不必要求传统哲学对事物的论述能够达到和谐哲学所要求的清楚、完整和准确的标准，但如果传统哲学居然会认为上述悖论严格成立，那未免也太缺少最基本的生活常识了。 事实上，该乡村理发师可能有许多种原因不为自己刮胡子。例如，该乡村理发师是用剪刀修剪自己的长胡子，或者用镊子拔自己的胡子，或者他的胡子长得很短、很稀疏，根本不需要刮胡子，或者他的胡子一直被自己精心保留着，根本就不刮等等。 和谐哲学认为：以下的论述构成了一个严格的“理发师悖论”，即： 一个自己给自己刮胡子乡村理发师宣布，他只给自己不刮胡子的人刮胡子。

流行最广的是祖父悖论/又称祖母悖论/外祖母悖论某人回到过去，在自己父亲出生前杀害了自己的祖父。既然祖父已死，就不会有其父亲，也不会有他；既然他不存在，又怎么能回到过去，杀死自己的祖父呢？ 芝诺悖论阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯前面，则阿基里斯永远赶不上海龟。因为阿基里斯必须首先跑到海龟的出发点，而当他到达海龟的出发点时，海龟又向前了一段到达某一点A，阿基里斯跑到A点时，海龟又向前了一段到某一点B……如此一直追赶下去，所以阿基里斯永远不可能追上海龟。 　　芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。它们错在哪儿？谎言者悖论西元前6世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。他们中间的一个诗人这么说。”这句话有名是因为它没有答案。因为如果艾皮米尼地斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的艾皮米尼地斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；又假设此言为假，那么也就是说所有克利特人都不说谎，自己也是克利特人的爱皮米尼地斯就不是在说谎，就是说这句话是真的，但如果这句话是真的，又会产生矛盾。因此这句话是没有解释的。理发师悖论/又称罗素悖论/集合论悖论一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。 　　因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。乔丹真值（Jourdain Truth－Value）悖论下面这句话是对的，上面这句话是错的。（这两句话没发论证）全能者悖论全能的创造者可以创造出比他更了不起的事物吗？“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？”这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。 此外还有纽卡（Newcombs）悖论等

两种答案1：应该。因为理发一般都是理发师给你理的，而他就是个理发师。那么如果把他看成双重身份（理发者与被理发者），就应该给自己理发。2：不该。他说是“自己不能理发的人”，他是个理发师，会理发，当然不是这类人。所以不该。

以下 仅供参考!,支持就给分,谢谢!!!历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

是理发师悖论,由1901年罗素提出的集合学悖论的通俗化翻版,你可以上网查查. 大致是解释说,理发师只给不给自己理发的人理发,所以他应该给自己理发；可是,若他给自己理发了,理论上他不应该给自己理发的人理发,所以他又不该给自己理发. 这样的解释明白了么

悖论也可叫“逆论”，或“反论”，是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有以下几类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就遣蛔约汗瘟车娜恕5牵恼信扑邓姓饫嗳斯瘟场R虼似渌魏稳艘膊荒芨瘟场？蠢矗挥腥魏稳四芨馕焕矸⑹瘟沉耍?NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不"，对不对？用‘是"或‘不是"来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 4． 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？ 7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！” 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ 8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？ 罗素悖论（理发师悖论）让人们发现了数学这座辉煌大厦的基础部分存在的一条巨大的裂缝。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。 9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； …… 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； …… 10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？因此，1000000粒谷子不是堆。

1、一个年轻人对大发明家爱迪生说："我有一个伟大的理想，那就是我想发明一种万能溶液，它可以溶解一切物品。"爱迪生听罢，惊奇地问："什么！那你想用什么器皿来放置这种万能溶液？它不是可以溶解一切物品吗？"2、某村子里有个理发师，他规定：在本村我只给而且一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子。请问：这个理发师给不给自己刮胡子？这是数学史上著名的"理发师悖论"，请分析这里面包含的逻辑矛盾。分析：理发师给不给自己刮胡子呢？只有两种情况：不给自己刮，或者给自己刮。如果理发师不给自己刮胡子，那么按照他的规定(我一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子)，他就应该给自己刮胡子。这就是说，从理发师不给自己刮胡子出发，必然推出理发师应该给自己刮胡子的结论，这本身就构成逻辑矛盾。如果理发师给自己刮胡子，那么按照他的规定(我只给那些自己不刮胡子的人刮胡子)，他就应该不给自己刮胡子。这就是说，从理发师给自己刮胡子出发，必然推出理发师应该不给自己刮胡子的结论，这本身也是一个逻辑矛盾。3、一个卖“生发灵”的药贩正在绘声绘色地推销产品“生发灵”：“我的‘生发灵"无论怎样的秃头都可以使其长出头发来，半个月见效！”正当他将自己的产品吹捧得天花乱坠之时，突然一阵风将他的帽子吹掉了，原来他本人就是个秃头！顾客便问：“你的生发灵那么灵，你为什么不让自己的头上长出头发来呢？”一番话，把药贩问得哑口无言，瞠目结舌。4、某领导信誓旦旦地说要廉政，一日，有人送他礼物，他不收，于是别人又拿出一万元现金出来，他接了下来，说：“我怎么能收你的礼物呢，下不为例呀！”5、最著名的是广告词：今年过年不收礼，收礼只收脑白金！6、某局长自称对爱情忠贞，反对婚外情，那天他自己在二奶家里接到单位里一个同事因搞婚外恋而闹离婚的电话，他说：我们单位绝对不允许有这种情况出现。7、有人说，我从来不信迷信，不信邪，不怕鬼，一身正气，也不怕什么坏人，可是晚上回家时，他还要一个朋友送他回去。

1、“我在说谎” 如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。 矛盾不可避免。 2、“这句话是错的” 这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实（开始设定的）不符。 这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。 3、理发师悖论 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。 有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 扩展资料 国内外有许多著名的悖论，这些悖论震惊了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知欲和精确思维，引起了从古至今许多思想家和爱好者的关注。 解决悖论问题需要创造性思维。 解决悖论往往会给人们带来新的想法。 根据悖论形成的原因，可以将其分为六种类型，所记录的悖论都是常见且流传广泛的。 随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的飞速发展，出现了许多新的悖论。 人们在孜孜不倦地探索。 他们的成就将大大改变思维观念。 悖论和悖论解是隐含在同一命题或表面推理中的两个对立的结论，二者都可以证明自己是正确的。 悖论的抽象公式是：如果事件a发生，则推导出非a，推导出非a。

1、“理发师悖论”，又称为“罗素悖论”，是由数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）在1901年提出。悖论内容：一个城市里唯一的理发师，只会替所有不为自己理发的人理发。那他该不该为自己理发？答案：这个城市不可能存在。因为（1）如果理发师不替自己理发，他需要遵守规则，给自己理发；（2）如果理发师替自己理发，如遵守规则，他不能替自己理发。（这个悖论的出现是由于“怀素合论”对于元素的不加限制的定义。当时的集合论被称为数学理论的基础，这悖论的出现直接导致了第三次数学危机，引发现在的公理化集合论，促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性）2、如果上帝无所不能并在造出我们之前就已经知道我们会做什么，那么我们如何才能够拥有自由意识呢？答案：这个悖论可以用上帝存在超越时间来解释——他可以知道未来，就如同他知道过去和现在。正如过去并不干涉我们的意志自由，未来也不会干涉。3、一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证，如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。那么如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，那么怎样？答案：如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就违背了诺言。如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼有违背了诺言。4、一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生；依次这个人自己也不会出生；这就意味着他自己没有机会进行时光旅行回到过去；这就意味着他的祖父依然还活着；这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。答案：当时间旅行者改变了过去的某事的瞬间，那么平行宇宙就会被切开，这个可以由量子力学来解释。5、有一堆1000000颗沙粒组成的沙堆。如果我们拿走一颗沙粒，那么还是有一堆沙粒；如果我们再拿走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一次拿走一颗沙粒，那么当我们取得只剩下一颗沙粒时，那么他还是一堆么？答案：设定一个固定的边界。如果我们说10000颗沙粒是一堆沙粒，那么少于10000颗沙粒组成的就不能称之为一堆沙粒。那么这样区分9999颗沙粒和10001颗沙粒就有点不合理。那么就有一个解决方案了——设定一个可变的边界，但是这个边界是多少，并不需要知道。6、上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？答案：如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。如果他不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的。最普遍的回答是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。其他的回答指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。

1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不"，对不对？用‘是"或‘不是"来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 4． 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？ 7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！” 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ 8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？ 罗素悖论（理发师悖论）让人们发现了数学这座辉煌大厦的基础部分存在的一条巨大的裂缝。于是，数学家们开始探索数学结论在什么情况下才具有真理性，数学推理在什么情况下才是有效的……，从而产生了一门新的数学分支——数学基础论。 9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； …… 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； …… 10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？因此，1000000粒谷子不是堆。

1、一个年轻人对大发明家爱迪生说："我有一个伟大的理想，那就是我想发明一种万能溶液，它可以溶解一切物品。"爱迪生听罢，惊奇地问："什么！那你想用什么器皿来放置这种万能溶液？它不是可以溶解一切物品吗？"2、某村子里有个理发师，他规定：在本村我只给而且一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子。请问：这个理发师给不给自己刮胡子？这是数学史上著名的"理发师悖论"，请分析这里面包含的逻辑矛盾。分析：理发师给不给自己刮胡子呢？只有两种情况：不给自己刮，或者给自己刮。如果理发师不给自己刮胡子，那么按照他的规定(我一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子)，他就应该给自己刮胡子。这就是说，从理发师不给自己刮胡子出发，必然推出理发师应该给自己刮胡子的结论，这本身就构成逻辑矛盾。如果理发师给自己刮胡子，那么按照他的规定(我只给那些自己不刮胡子的人刮胡子)，他就应该不给自己刮胡子。这就是说，从理发师给自己刮胡子出发，必然推出理发师应该不给自己刮胡子的结论，这本身也是一个逻辑矛盾。3、一个卖“生发灵”的药贩正在绘声绘色地推销产品“生发灵”：“我的‘生发灵"无论怎样的秃头都可以使其长出头发来，半个月见效！”正当他将自己的产品吹捧得天花乱坠之时，突然一阵风将他的帽子吹掉了，原来他本人就是个秃头！顾客便问：“你的生发灵那么灵，你为什么不让自己的头上长出头发来呢？”一番话，把药贩问得哑口无言，瞠目结舌。4、某领导信誓旦旦地说要廉政，一日，有人送他礼物，他不收，于是别人又拿出一万元现金出来，他接了下来，说：“我怎么能收你的礼物呢，下不为例呀！”5、最著名的是广告词：今年过年不收礼，收礼只收脑白金！6、某局长自称对爱情忠贞，反对婚外情，那天他自己在二奶家里接到单位里一个同事因搞婚外恋而闹离婚的电话，他说：我们单位绝对不允许有这种情况出现。7、有人说，我从来不信迷信，不信邪，不怕鬼，一身正气，也不怕什么坏人，可是晚上回家时，他还要一个朋友送他回去。

表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。所谓解悖，就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。例如：一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，就会成为所谓的“悖论”：如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就必须把孩子还给父亲，否则鳄鱼违背了诺言；如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼又违背了诺言。解悖：鳄鱼“要做什么”是一种心理状态，鳄鱼“把孩子还给父亲”是一种行为，二者在时间上是前后衔接的两个阶段。同样，这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”是鳄鱼心理状态，后来“鳄鱼将儿子还给他”是鳄鱼行为。这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”这种鳄鱼的心理状态和后来“鳄鱼将儿子还给他”这种鳄鱼行为之间同时存在并不矛盾——正是因为这个父亲猜对了鳄鱼的心理“不把儿子还给他”，所以鳄鱼为了履行诺言必须在行动上把儿子还给他。在这里对称逻辑通过限定时间范围，使语言的内容和语言的对象对称。理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九〇二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。

一、芝诺悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；……因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。二、费米悖论从理论上讲，人类能用100万年的时间飞往银河系的各个星球，那么，外星人只要比人类早进化100万年，现在就应该来到地球了。换言之，“费米悖论”表明了这样的逻辑悖理：A.外星人是存在的——科学推论可以证明，外星人的进化要远远早于人类，他们应该已经来到地球并存在于某处了；B.外星人是不存在的——迄今为止，人类并未发现任何有关外星人存在的蛛丝马迹。三、希尔伯特旅馆悖论这是德国大数学家大卫·希尔伯特提出的著名悖论。希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间搬到 3 号房间??n 号房间搬到 n 1 号房间，你就可以住进 1 号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到 4 号，3 号搬到 6 号??n 号搬到 2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”四、理发师悖论理发师悖论是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论。罗素悖论萨维尔村唯一的理发师为自己立下一个规定:只帮那些自己不理发的人理发。于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言。这显然是两难:按照规则，因为其自己不给自己理发，所以他需要帮自己理发；但一旦理发同时又破坏了自己“不给自己理发的人理发的规则”。

也可叫“逆论”，或“反论”，是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有以下几类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

希帕索斯悖论与第一次数学危机 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 欧多克索斯 二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 贝克莱悖论与第二次数学危机 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 贝克莱主教 1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 牛顿与莱布尼兹 针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？ “向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。 无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？ 当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到 1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x) 后，令 x = －1，得出 S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！ 由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 柯西 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。 柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。 罗素悖论与第三次数学危机 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 康托尔 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。 罗素 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。 以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。 悖论一览 1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不"，对不对？用‘是"或‘不是"来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 4． 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？ 7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！” 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ 8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？ 9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； …… 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； …… 10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？累死我拉!!

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。有名的哲学悖论【1】我知我无知苏格拉底有句名言：“我只知道一件事，那就是我一无所知。”这个说法本身就是悖论，展现了自我参照的表述（self-referential statement）的复杂性。而这也是西方哲学先贤带给我们的重要启示：你得问你以为你知道的一切。越是问东问西问长问短打破砂锅问到底，越会发现身边正有一大波悖论呼啸而过。【2】二分法悖论（dichotomy paradox）概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。那么究竟我们是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。【3】飞矢不动（arrow paradox）概述：一根箭是不可能移动的。飞行过程中的任何瞬间，它都有一个暂时的位置，由此可知一枝动的箭是所有不动的集合。芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。咳咳，飞矢不动，我没心动。【4】忒修斯之船（Ship of Theseus paradox）概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes）、约翰·洛克（John Locke）也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。【5】上帝无所不能？概述：无所不能的上帝，能不能创造出他自己搬不动的石头？关于上帝无所不能的逻辑悖论不胜枚举。教徒们有无数理由证明上帝的神圣，而在他们看来，这些悖论的理由根本无关紧要。脑洞：装备此逻辑，与自称为上帝的自恋狂魔们大战几百回合不掉血。【6】托里拆利小号（Gabriel"s Horn）概述：体积有限的物体，表面积却可以无限。17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注：上图只显示了一部分图形）。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是 π。 脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。【7】理发师悖论（Russell"s Paradox的别称）概述：小城的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。”那么问题来了，理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺；如果他不给自己刮脸，就必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都说不通。赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。【8】第二十二条军规（Catch-22）概述：疯子才能获准免于飞行，但必须由本人提出申请；凡能意识到飞行有危险而提出免飞申请的，属头脑清醒者，应继续执行飞行任务。即“如果你能证明自己发疯，那就说明你没疯”，诸如此类。《第二十二条军规》由约瑟夫·海勒（Joseph Heller）根据自己在二战中的亲身经历创作。该书的主角为了逃避危险的作战任务而装疯，可逃避的愿望本身又证明了他的神志清醒。Catch-22已成为英语词典中的常用词汇，用来形容自相矛盾的死循环，或是人们处于荒谬的两难之中。 脑洞：“一等奖：iPhone6 Plus”，但是“本商场拥有本次活动的最终解释权”。【9】有趣数悖论（Interesting Number Paradox）概述：1是非零的自然数，2是最小的质数，3是第一个奇质数,4是最小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。于是，量子计算领域的研究猿纳撒尼尔·约翰斯（Nathaniel Johnston）把这些有趣的整数定义为一个整体，并将这些整体排成序列，像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义，约翰斯在2009年6月的博客里提出，第一个没有出现在序列里的数字是11630。2013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的无趣数。 脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？【10】饮酒悖论（drinking paradox）概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件（material conditional），对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。实质条件的示意图如下：“饮酒悖论”由于雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）的书而出名，这本书的名字就叫《这本书叫什么名字》（What Is the Name of this Book?）。【11】球与花瓶（Balls and Vase Problem）概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？答案千奇百怪。最直接的是无限个，也有数学家认为，每个球都会被取出来。逻辑学家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托马斯·泰马祖科（Thomas Tymoczko）提出花瓶里的球最终可以是任意数目，甚至有具体的构造方法。1976 年谢尔登·罗斯（Sheldon Ross）在他的《概率论第一课》（A First Course in Probability）介绍了这个问题，所以它被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”（Ross-Littlewood Paradox）。 脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。【12】土豆悖论（potato paradox）概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出了2%，还剩98%的水分，它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质（dry material），当还剩98%的水分时，1克将对应2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。脑洞：理科生们笑到内伤。【13】生日悖论（birthday paradox）概述：随机挑选一组人，其中就会有两人同一天生日。用抽屉原理来计算，只要人群样本达到367，存在两人同天生日的可能性就能达到100%（一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日）。然而，如果只是达到99%的概率，只需要57个人；达到50%只需要23个人。这种结论的前提是一年中每天生日的概率相等，可怜的2月29日除外。 脑洞：颤抖吧人类，该方法已应用于常见的黑客密码攻击：生日攻击。【14】朋友悖论（friendship paradox）概述：你的基友总是比你拥有更多基友。这都是数学惹的祸，诡异的统计学能证明你的好基友拥有更多朋友，身材更棒，学习更好，工资更高……而你就是个杯具。 脑洞：这类似于，问：长这么大你遇到过的最优秀的人是？答：别人家的孩子【15】祖父悖论（bootstrap paradox）概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？祖父悖论看似杜绝了人为操纵命运的可能，过去无法改变，爷爷一定会在孙子的谋杀中幸存下来；还有种可能是，你进入了另一个平行宇宙，这是你从未生活过的世界，但你的爷爷奶奶却也在这里。这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。 脑洞：如果你重返二战前，杀死希特勒，成功阻止了二战的爆发。然而，如果没有发生二战，回去刺杀希特勒的理由是什么？时间旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在质疑本身。【16】外星文明概述：天文学的基本假设是，苍茫宇宙间，地球是一颗在平常不过的星球。NASA（美国宇航局）的开普勒卫星发现，银河系内很可能存在着110亿个类似地球的星球。我们的文明是有声的，广播电视和无线电信号都是人为的。如果确实存在与地球相像的文明，我们应该有能力找到证据。目前，因为错综复杂的原因，我们无法切实证明宇宙有其他文明。庞大的宇宙空间使沟通变得困难。尽管我们使用电磁波和外星联系，但由于电磁频谱极宽，我们无法确定外星人使用哪种频谱。再加上那些星球的文明发展度可能过高、过低，抑或是生活着与人类不同的生命形式，又大大降低了准确交流的可能。

你这只是“悖论”，且很凑巧的刚好是最著名的逻辑悖论：伯特纳德·罗素提出的理发师悖论：一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。谁给这位理发师刮脸呢？如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。悖论（paradox，也称逆论，反论），是指一种导致矛盾的命题。悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。最早的悖论被认为是古希腊的"说谎者悖论".

悖论 也可叫“逆论”,或“反论”,是指一种导致矛盾的命题.悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”.这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比.悖论是自相矛盾的命题.即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立；反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的；如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的.古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力.解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念. 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师,一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子.这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子?如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的原则,他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子,他就是不自己刮胡子的人,按照他的原则,他就应该给自己刮胡子.这就产生了矛盾. 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论,理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论.这些悖论特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动.触发了数学的第三次危机. 悖论有三种主要形式. 1．一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的（佯谬）. 2．一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了（似是而非的理论）. 3．一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾. 悖论有以下几类： 逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等. 历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论.公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一.是关于“我正在撒谎”的悖论.具体为：如果他的确正在撒谎,那么这句话是真的,所以伊壁孟德不在撤谎,如果他不在撒谎,那么这句话是假的,因而伊壁孟德正在撒谎. NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论.由古希腊斯多亚学派提出.它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人. 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥. 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥. 站在她面前的人是奥列期特. 所以,伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥. NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的.一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸. M：谁给这位理发师刮脸呢? M：如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人.但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮. M：如果另外一个人来给他刮脸,那他就遣蛔约汗瘟车娜恕5?恼信扑邓?姓饫嗳斯瘟场R虼似渌?魏稳艘膊荒芨?瘟场?蠢矗?挥腥魏稳四芨?馕焕矸⑹?瘟沉耍? NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题. 问,你来这里做什么? M：如果旅游者回答对了.一切都好办.如果回答错了,他就要被绞死. M：一天,有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死. M：这时,卫兵也和鳄鱼一样慌了神,如果他们不把这人绞死,他就说错了,就得受绞刑.可是,如果他们绞死他,他就说对了,就不应该绞死他.

贝克莱悖论、罗素悖论、意料不到悖论、鳄鱼悖论、分球悖论等等。悖论：指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。（悖：混乱，相冲突；论：言论，言语。）历史上出现过的数学悖论很多，数理逻辑是数学的研究方法，于是很多逻辑上的悖论，也归在数学门下，以下就是几个有趣的数学悖论：贝克莱悖论在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论（本质是反科学），指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来：关于第二次数学危机的解决，直到19世纪后，由众多数学家，比如波尔查、柯西、阿贝尔和康托尔等等，建立了更严密的数学定义后，才得到彻底解决。罗素悖论大名鼎鼎的罗素悖论（也称理发师悖论），直接导致了第三次数学危机的出现。19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：罗素悖论的通俗解释：城市中的所有人，都在一位技艺高超的理发师那刮脸，这位理发师说到：“我只为本城市中，不给自己刮脸的人刮脸”！于是，其他人对理发师说：那么你给自己刮脸吗？分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。罗素悖论的出现，说明集合论本身是不完备的；直到1908年，数学家建立起了公理化系统，才让集合论从根本上避免了罗素悖论。预料不到悖论一位学生会会长宣布：在下星期一到星期五的某一天下午开会，但是你们无法提前知道哪一天开会，因为只有到了当天早上的8点钟，我才会通知你们。如果我们仔细分析这段话，会发现存在自相矛盾，使得开会无法进行，你能看出问题所在吗？鳄鱼悖论这是古希腊的一个故事：一条鳄鱼从一位母亲的手中夺走了孩子，母亲苦苦哀求说：求求你放过我的孩子，你提什么要求我都答应。于是鳄鱼得意地说到：可以，那么你猜猜，我会不会吃掉你的孩子，如果你猜对了，我就把孩子还给你！这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！鳄鱼琢磨了一会愣住了，心想：我要是吃掉孩子，说明你猜对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃掉你的孩子，说明你猜错了，我又要吃掉你的孩子！分球悖论悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。分球悖论，数学中一条经过严格证明的定理，可以描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）

“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。 逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。 尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。 克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒谎者。 M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。 关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论。 说谎者悖论 M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。 甲：这句话是错的。 M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。 为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。” 再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。 我们还可以作出其他变化吗？ 柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。 苏格拉底：柏拉图说了真话！ 在一张白卡片的一面写： 这张卡片背面的句子是真的。 该卡片的背面写的是： 这张卡片背面的句子是假的 不管你让哪一句话是真的，另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身，但放到一起，仍会出现说谎者悖论 古希腊人想出了很多关于时间和运动的悖论．基诺悖论是其中最为著名的一个。 甲：在我达到终点线之前，我必须经过中点。然后．我必须跑到3/4处，它是剩下距离的—半。 甲：而在我跑完最后的1/4这段路之前，我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止境的，我将根本不能达到终点。 M：假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的时间—距离关系图表明他是如何越来越接近终点，而绝不会达到终点的。他的论据对吗？ M：不对，因为跑步人不是每跑半截都用1分钟。每跑一半所花的时间都是前一段时间的一半。他只要两分钟就可以到达终点，只不过他须通过无穷多个中点而已。 M：基诺设计出一条关于阿基里斯的悖论。这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。 海龟：你别想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。 M：基诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟。他不过是显浅的说明，在把时间和空间看成是由一连串的离散点组成，就像一串念珠前后相连那样时，会引起怎样令人迷惑的结果。 理发师悖论 著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。谁给这位理发师刮脸呢？如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，它可作为整个数学的基础。1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。 无穷的倒退 问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？ M：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。好！你陷入了无穷的倒退之中。 鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学美国人》1965年4月号有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。 在幻想作品中有类似的倒退。菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中，都有类似的倒退。 乔纳·斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学家奥古斯塔斯·德 摩根把它改写为：大跳蚤有小跳蚤，在它们的背上咬，小跳蚤又有小跳蚤，如此下去，没完没了。大跳蚤倒了个儿——变小，上面还有大跳蚤，一个上面有一个，总也找不到，谁的辈数老。 在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁·加德勒的第六本数学游戏。 唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题：你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。 这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。 这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。 鳄鱼和小孩 希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。 鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。 母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。 鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。 鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。 鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。 母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。 拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。 鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。

罗素悖论,广为人知的是其通俗形式,即理发师悖论.理发师悖论是说：有一个理发师给自己定了个规则,他只给那些不给自己刮脸的人刮脸,而不给那些给自己刮脸的人刮脸.这规则就导出了一个矛盾,他是否该给自己刮脸?如果他自己刮脸的话,那么他属于“给自己刮脸”的人,因而按规则,他就不该给自己刮脸；如果他自己不刮脸的话,那么他属于“不给自己刮脸”的人,因而按规则,他就应该给自己刮脸.如此一来,理发师就陷入了怪圈,他给自己刮脸不对,不给自己刮脸也不对,总之他就是个错误的存在. 罗素悖论源自对集合论的思考,集合论中当然就不是理发师这样的通俗版本了.“集合”是一个很原初的概念,它无法再由其他概念来定义了,表征的其实是把某些东西放在一块的状态.定义集合,可以通过枚举,即把集合里的东西一件件列出来,对大集合这当然就很费时费力；另一种方法是通过描述来定义集合,也就是对集合中元素的描述来给出集合,比如“所有自己刮脸的人”就是用描述产生集合的.但正是在这种“描述”方法里,理发师悖论产生了.理发师悖论可以看作是理发师对其客户集合的一种描述,他想明确一下他的客户,但这时却出现了集合论中大问题：不是所有描述都可以成为“集合”.数学作为理性思维的典范,作为其基础的“集合”自然应该相当地“普世”,而现在却发现,数学中的“真理”却依赖于人为的“选择”,你只有适当地选择了“集合”,才能保证数学的“真理”.那么,数学结果的“真理”性,就依赖于人的选择了,与人的选择相关,“真理”还是真理吗?这就是第三次数学危机中的核心问题. 通常认为理发师悖论只是因为描述规则涉及了自身,只要在定义集合时把包含自身的集合排除掉,就可以解决理发师悖论了.但对集合论中原始问题的考察就可以知道,问题不是这么简单的,罗素悖论还涉及语言学的根本问题,即在日常语言里存在可以被描述但实际上却根本没有的东西,语言中的某些概念并不是那么可靠的,很多概念可能是没有指称的.现在一般都知道,西方哲学在20世纪有所谓“语言学的转向”,即西方人将对哲学的研究转向为对语言的研究,认为任何思想都要通过语言来表述,如果能对语言的规则进行充分研究,就可以把语言中可能产生问题的规则排除掉,那么剩下来的“好”规则自然就能产生又纯又正的“好思想”了.“好”的语言的规则显然应该与个人的特殊偏好无关,它应该适用于所有人,是某种“普世”的规则.而罗素悖论却表明,“规则”不能把自身也规则进去,“规则”只能用于整治别人,如果把自己也包含进去,就免不了悖论了.因而“规则”无法“普世”,普世的“规则”并不是可靠性的保证,它不能保证生成的东西肯定是有意义的.“描述”可以符合纯形式的语法规则,但符合规则却不能保证描述出来的肯定是个“东西”,它完全可能“不是个东西”.因而,西方哲学家们试图通过对纯形式的语言规则的研究来给出思想正确性的判定,其努力必然是徒劳的,思想的正确与否,离不开对内容的考察,离不开拥有思想的人.,

如果他给自己理发，那么他就不是“不自己给自己理发的人”，那么他就不能给这个人（即他）理发。如果他不给自己理发，那么他是“不自己给自己理发的人”，按他的条件，应该给这个人（即他自己）理发。这是一个悖论，无论怎么选都是错的。

理发师悖论　　在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 　　这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 　　因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。阿基里斯悖论　　稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。 　　阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。 “白马非马”　　战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书，平原君礼遇甚厚。其“白马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。 　　据说，公孙龙有一次骑马过关，把关的人对他说：“法令规定马不许过。”公孙龙回答说：“我骑的是白马，白马不是马，这可是两回事啊。”公孙龙的“白马”有没有过关，我们不得而知。从常人的观点来看，守关的兵士八成认为公孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”，现实中不能成立的例子。 　　冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证： 　　一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物，“白”的内涵是一种颜色，“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各不相同，所以白马非马。 　　二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马，不管其颜色的区别；“白马”的外延只包括白马，有颜色区别。外延不同，所以白马非马。 　　三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相，是一切马的本质属性，它不包涵颜色，仅只是“马作为马”。共性不同，“马作为马”与“白马作为白马”不同。所以白马非马。

这是罗素所提出的一个两难推理问题——理发师悖论。某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。你可以上网查一下罗素悖论的相关内容。。

理发师悖论由著名数学家伯特兰·罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似： 　　在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。什么是悖论　　让我们先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立，如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。主要形式　　悖论有三种主要形式： 　　1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 　　2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 　　3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

理发师说，我只给不给自己理发的人理发。但这样，他若不给自己剪头发，他就要给自己剪头发，反之亦然，所以叫悖论。

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当做思维方式。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生，形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。所谓解悖，就是运用对称逻辑思维方式发现、纠正悖论中的逻辑错误。扩展资料：经典解悖:1，理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九〇二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。2，集合论悖论“R是所有不包含自身的集合的集合。”人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。如果R包含自身的话，R又不属于R。继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。3，书目悖论一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。4，苏格拉底悖论有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。参考资料：百度百科---悖论

数学悖论：说谎者悖论、芝诺悖论、上帝悖论、硬币悖论、预想不到的考试的悖论等；科学悖论： 阿基里斯悖论、二分法悖论、

以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论。1－1 谎言者悖论公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒"”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：1－2 “我在说谎”如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：1－3 “这句话是错的”这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实（开始设定的）不符。这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的"。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上）罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。1－4 理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九〇二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。1－5 集合论悖论“R是所有不包含自身的集合的集合。”人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。如果R包含自身的话，R又不属于R。继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。1－6 书目悖论一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。1－7 苏格拉底悖论有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子：1－8 “言尽悖”这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说：1－9 “世界上没有绝对的真理”我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。1—10柏拉图-苏格拉底悖论柏拉图（Platon，Πλu03acτων， 约前427年－前347年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。柏拉图说：“苏格拉底的下句话是错误的”。苏格拉底说：“柏拉图说得对。”不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾。两个句子都不是自我诠释，但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论。1－11 “荒谬的真实”有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。