双曲函数与三角函数

sin(y) =(e^(iy)-e^(-iy))/(2i) (欧拉公式:e^(iy)=cos(y)+isin(y); e^(-iy)=cos(y)-isin(y))

cos(y)=(e^(iy)+e^(-iy))/2

双曲正弦sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2

双曲余弦cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2

让x=iy, 或y= -ix, 通过一个已知的三角函数公式快速的得到双曲函数的公式或者是微分积分

sinh(x)=i*sin(-ix)

cosh(x)=cos(-ix)

事实上，只需要记住两个函数，其它的函数以及相应的微积分都可以很自然的推出

双曲正弦sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2

双曲余弦cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2

这两个函数只能死记

其它的函数可以类似三角函数推出：

双区正切tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

双曲余切coth(x)=cosh(x)/sinh(x)

双曲正割sech(x)=1/cosh(x)

双曲余割csch(x)=1/sinh(x)

它们的反函数很容易就能推出，这里不再详述。

下面看导数：

由于双曲函数是由指数函数定义的，这导致了对双曲函数求导是一件很轻松的事情，要是愿意背也行，要是不愿意背，现推也不费事。

(sinh(x))"=((e^x-e^{-x})/2)"=(e^x+e^{-x})/2=cosh(x)

(cosh(x))"=((e^x+e^{-x})/2)"=(e^x-e^{-x})/2=sinh(x)

其它几个双曲函数和反双曲函数也是类似的基础的求导即可，特别是反双曲函数，比反三角函数的导数容易求。

值得注意的是一个公式，相对于三角函数类似的公式有些不同，自己根据定义即可推出：

cosh^2(x)-sinh^2(x)=1

定义

　　双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义

Sinh_cosh_tanh

双曲正弦 　　sh z =(e^z-e^(-z))/2 （1） 　　双曲余弦 　　ch z =(e^z+e^(-z))/2 （2） 　　双曲正切 　　th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3） 　　双曲余切 　　cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4） 　　双曲正割 　　sech z =1/ch z （5） 　　双曲余割 　　csch z =1/sh z （6） 　　其中，指数函数（exponential

Csch_sech_coth

function）可由无穷级数定义 　　e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… （7） 　　双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。编辑本段简单介绍

　　在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。 　　双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 　　双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

射线出原点交双曲线 x2 u2212 y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的 a 被称为双曲角，是这条射线、它关于 x 轴的镜像和双曲线之间的面积。定义 　　双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： 　　sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 　　cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 　　tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] 　　coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] 　　sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] 　　csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] 　　其中， 　　e是自然对数的底 　　e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +... 　　e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是: 　　e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +... 　　如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 u2212 y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式 　　cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 　　和性质 t > 0 对于所有的 t。 　　参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 　　函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 　　函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。编辑本段实变双曲函数图像的基本性质

　　y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称. 　　y=cosh(x).定义域：R.值域：[1,+∞).偶函数.函数图像是悬链线，最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称. 　　y=tanh(x).定义域：R.值域：(-1,1).奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞,tanh(x)=1],lim[x->-∞,tanh(x)=-1]. 　　y=coth(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞,coth(x)=1],lim[x->-∞,coth(x)=-1]. 　　y=sech(x).定义域：R.值域：(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->∞,sech(x)]=0. 　　y=csch(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->∞,csch(x)]=0. 　　双曲函数名称的变更：sh也叫sinh, ch也叫cosh编辑本段复变中的双曲函数

1、定义

　　双曲正弦： sh(z) = [e^z - e^(-z)] / 2 　　双曲余弦： ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2

2、性质

　　解析性：shz,chz是全平面的解析函数 　　周期性：shz,chz是周期函数，周期为2πi,这是完全不同于实变函数中的性质编辑本段双曲函数与三角函数的关系

　　双曲函数与三角函数有如下的关系: 　　* sinh x = -i * sin(i * x) 　　* cosh x = cos(i * x) 　　* tanh x = -i * tan(i * x) 　　* coth x = i * cot(i * x) 　　* sech x = sec(i * x) 　　* csch x = i * csc(i * x) 　　i 为虚数单位,即 i * i = -1编辑本段恒等式

　　与双曲函数有关的恒等式如下: 　　cosh^2(x) - sinh^2(x) =1 　　coth^2(x)-csch^2(x)=1 　　tanh^2(x)+sech^2(x)=1

加法公式

　　sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y) 　　cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y) 　　tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)] 　　coth(x+y)=(1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))

减法公式

　　sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y) 　　cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y) 　　tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)] 　　coth(x-y)=(1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))

二倍角公式

　　sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x) 　　cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1 　　tanh(2x) = 2tanh(x)/(1+tanh^2(x)) 　　coth(2x) = (1+coth^2(x))/2coth(x) 　　三倍角公式 　　sinh(3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x) 　　cosh(3x)=4cosh^3(x)-3cosh(x)

半角公式

　　cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2 　　sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2 　　tanh(x / 2) = (coth(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(coth(x)+1) 　　coth(x / 2) = sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x) 　　德 莫佛公式 　　(cosh(x)±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx) 　　双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn"s rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如

三倍角公式

　　sin(3 * x) = 3 * sin(x) u2212 4 * sin^3(x) 　　sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)编辑本段反双曲函数

　　反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为: 　　arcsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)] 　　arccosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)] 　　arctanh(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 　　arccoth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2 　　arcsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x] 　　arccsch(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x < 0 　　ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0 　　其中, 　　sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根编辑本段双曲函数与反双曲函数的导数

　　(sinh(x))"=cosh(x) 　　(cosh(x))"=sinh(x) 　　(tanh(x))"=sech^2(x) 　　(coth(x))"=-csch^2(x) 　　(sech(x))"=-sech(x)tanh(x) 　　(csch(x))"=-csch(x)coth(x) 　　(arcsinh(x))"=1/sqrt(x^2+1) 　　(arccosh(x))"=1/sqrt(x^2-1) (x>1) 　　(arctanh(x))"=1/(1-x^2) (|x|<1) 　　(arccoth(x))"=1/(1-x^2) (|x|>1)编辑本段双曲函数与反双曲函数的不定积分

　　∫sinh(x)dx=cosh(x)+c 　　∫cosh(x)dx=sinh(x)+c 　　∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c 　　∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c 　　∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c 　　∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c 　　∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c 　　∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c 　　∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2 　　∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c 　　∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c 　　∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c 　　(sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)编辑本段双曲函数与反双曲函数的级数表示

　　sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^(2k-1)/(2k-1)!+... (z∈C) 　　cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^(2k)/(2k)!+... (z∈C) 　　arcsinh(z)=z-(1/6)z^3+(3/40)z^5-(5/112)z^7+...+(-1)^k[(2k-1)!!/(2k)!!][z^(2k+1)/(2k+1)]+... (|z|<1) 　　arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^(2k-1)/(2k-1)+... (|z|<1)编辑本段实际应用

　　双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。

1、阻尼落体

　　在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。 　　解： 　　小石块遵循的运动方程为 　　mdv/dt=mg―μv2 （8） 　　这是Riccati方程，它可以精确求解。 　　依标准变换方式，设 　　v=（m/μ）（z′/z） （9） 　　代入（8）式，再作化简，有 　　z"" ―(gμ /m)z=0 （10） 　　（10）式的通解是 　　z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） （11） 　　其中，C1和C2是任意常数。 　　由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为 　　v（0）=0 （12） 　　这等价于 　　z′（0）=0 （13） 　　因此，容易定出 　　C2=－C1 （14） 　　将（14）式代入（11）式，再将（11）式代入（9）式，就可得 　　满足初始条件的解 　　v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15） 　　我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。

2、导线电容

　　真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2,中心线相距为d(d >R1+R2)。试求它们间单位长度的电容。 　　解： 　　设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。 　　我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是： 　　由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。 　　以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为 　　φ=φ1+φ2 　　=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2） 　　=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16） 　　y 　　P 　　r2 r1 　　R2 ―λ +λ R1 x 　　O 　　a a 　　a2 a1 　　图2：带电导线与其镜像 　　式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（16）式便化为 　　φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （17） 　　由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是 　　φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （18） 　　故偶极线的等势面方程便为 　　[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19） 　　式中 　　k2 =e4πε0φ/λ （20） 　　令 　　c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21） 　　则（19）式可化为 　　（x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22） 　　这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 　　R=∣2k/（ k2―1） ∣a （23） 　　这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： 　　a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24） 　　R1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25） 　　a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26） 　　R2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27） 　　d=a1+a2 （28） 　　由（24）至（27）式得 　　a12―R12=a2= a22―R22 （29） 　　原来两导线表面的方程是 　　R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） 　　R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 　　利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 　　x2+y2+ a2= 2a1 x （32） 　　x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 　　利用（32）和（33）两式，由（18）式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 　　φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） 　　φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 　　于是两导线的电势差便为 　　U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 　　用已知的量消去未知数，可以得出 　　U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 　　最后得出原来两导线为l一段的电容为 　　C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 　　单位长度的电容为 　　c=2πε0/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （39） 　　利用反两曲余弦关系式 　　archx= In[（x+√x2―1）] （40） 　　对本题的精确解表示作简洁表示 　　c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 　　最后一式可以在一般手册上查到。

3、粒子运动轨迹

　　一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为 　　x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42） 　　式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。 　　解： 　　带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为 　　dp/dt=q（E+v×B） （43） 　　式中v是粒子的速度，p是粒子的动量 　　p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44） 　　本题运动方程的分量表示式为 　　dpx=qE 　　dpy=0 　　dpz=0 （45） 　　解之，有 　　px =qEt+C1 　　py = C2 　　pz = C3 （46） 　　代入t=0时初始条件 　　px（0）=0 　　py（0）= p0 　　pz（0）= 0 （47） 　　定出积分常数后，可知 　　px=qEt 　　py= p0 　　pz= 0 （48） 　　粒子的能量为 　　W=mc2 　　=√p2c2+m02c4 　　=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4 　　=√q2E2 c2t2+W02 （49） 　　因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50） 　　积分得 　　x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt 　　= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51） 　　又由（48）式得 　　dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52） 　　积分得 　　y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt 　　=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53） 　　或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54） 　　在（51）式和（54）式中消去t，有 　　x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55） 　　利用恒等变换公式 　　cosh2x―sinh2x=1 （56） 　　（55）式可以写成 　　x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57） 　　（57）式是一种悬链线。 　　图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹 　　讨论： 　　因双曲余弦泰勒级数展开式是 　　cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58） 　　当v/c →0时，保留前2项，得 　　x=（qE/2m v02）y2 （59） 　　（59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c<<1，这也是牛顿力学的适用范围。

4、非线性方程求解

　　如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为 　　ux+uux+βuxxx=0 （60） 　　它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。 　　解： 　　考虑其行波解 　　u（x，t）=φ（ξ） （61） 　　其中， 　　ξ=kx－ωt+ξ0 （62） 　　KdV方程成为 　　－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63） 　　记 　　f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64） 　　尝试 　　φ=a0+a1f+a2g （65） 　　注意存在关系式 　　df/dξ=－fg 　　dg/dξ=1－g2－rg 　　g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66） 　　将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组 　　－6βk3b1（r2－1）2=0, 　　－6βk3a1（r2－1）=0, 　　－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0, 　　－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0, 　　b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0, 　　ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0, 　　－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67） 　　用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解 　　φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68） 　　其中，k、ω、ξ0为任意常数 。 　　（68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。 　　图4： KdV方程的孤波解 　　从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。

悬链线(Catenary)

　　形如y=a cosh(x/a)(a为常数)的函数的图象又叫悬链线,可以由柔软的绳子得到,有点象抛物线,但其实两者差距很大.据说莱布尼兹(Leibniz)于1690年最先解出悬链线方程,惠更斯(Huygens)和伯努利兄弟(Jacob Bernoulli,Johann Bernoulli)随其后.惠更斯在1691年把悬链线命名为catenary.　悬链线与抛物线有这样的关系:悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹.悬链线的顶点的渐开线是曳物线(tractrix).这条曳物线的渐进线称为悬链线的准线,悬链线绕准线旋转形成的曲面叫做悬链面.