电场高斯定理的证明：如图，划线打问号那句话如何理解？看不出是方向相反的

（1）根据高斯定理：（其电荷面密度为s，电荷面密度用σ表示，以下同）做与球面同心的球面作为高斯面，半径设为2R。由对称性，场强沿高斯面半径方向，高斯面上各点场强的大小处处相等。由高斯定理： E*4π(2R)^2=4πR^2 σ/ε0E=σ/4ε0（2）用库仑定律也可以做。把表面电荷等效到球心，即球心处有个带电量为4πR^2 σ的点电荷，求距离为2R处的场强即可。

平板电容器由两个彼此靠得很近的平行极板(设为a和b)所组成，两极板的面积均为s，设两极板分别带有+q,-q的电荷。每块极板的电荷密度为σ=q/s，除去极板的边缘效应，板间的电场看成是均匀电场，所以由高斯定理得两板间场强为e=σ/ε。由s/d即平板电容公式可得出c=s/4πkd。高斯定理，静电场的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。高斯定理定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。电场强度公式：在匀强电场中，e=u/d若知道一电荷受力大小可用，则e=f/q点电荷形成的电场得：e=kq/r^2（k为一常数，q为此电荷的电量，r为到此电荷的距离）可得出：随r的增大，点电荷形成的场强逐渐减小，不与r成正比，只与r^2成正比。

1.紧贴球壳内壁取高斯面（即与球壳内接的球面）因为高斯面内部没有电荷,所以通过高斯面的电通量总和为零,即有多少D线进入,就要有多少D线穿出.假设有D线进入高斯面,则它们就要从高斯面的其他地方穿出,也就是说,会有D线从正电荷出发,指向正电荷.这与D线的性质矛盾.故球壳内D=02.不带电空心球内部有电荷,球壳接地后,相当与把金属球和地球连成一个大导体,电荷会在这个大导体中重新分布.异种电荷被吸引到空腔内表面,同种电荷则会被推斥到地球的另一端.因此球壳内表面带与球壳空心球内部等量异种电荷,对外场强相互抵消.

在空腔导体内表面与外表面之间作一个高斯面,这个面包这内表面. ∮E·ds=(q+q‘)/εo, 其中,q是内表面的电荷,q"是空腔内的电荷, 因为,导体内部E=0,所以, (q+q‘)/εo=0, 于是q=－q",电量等值异号

设有一个球面，设其半径为R, 球心为坐标原点。下面会把电势随空间的分布用球坐标表示：V(r,theta,phi).球心的电势即V(r=0),球面上的电势为V(r=R,theta,phi)。 因为这个球面中不包含电荷，所以穿过这个球面的电通量为零（高斯定理），并根据电场是电势的导数，而电场在球面法向上的分量是电势V对r的偏导(p V)/(p r)【这里的p代表偏导符号】。于是得到积分：int (p V)/(p r) dA=0.【这个式子里的int代表对球面积分，dA是球面的面积微元，即dA=R^2 sin(theta) d_theta d_phi】。继续将方程两面除以R^2,得到int (p V)/(p r) d_Omega=0.这里d_Omega是立体角微元d_Omega=sin(theta) d_theta d_phi。 注意上面这个方程不仅仅在半径为R的球面上成立，而是对于所有r<R的球面都成立。理由仍是高斯定理。于是可以把这个方程的左边从r=0积分到r=R.然后调换积分顺序，先对r积分：int (p V)/(p r) dr=V(R,theta,phi)-V(0),再继续对立体角积分：int [V(R,theta,phi)-V(0)] d_Omega=int V((R,theta,phi) d_Omega - 4 pi V(0),【这里用到V(0)与theta和phi无关，而单独的立体角积分出来是4 pi】. 方程的右边当然还是零，于是就有V(0)={int V((R,theta,phi) d_Omega }/(4 pi),这个等式的右边就是电势在半径为R的球面上的平均值。

楼上的说的很对哦！在导体内部任作一个闭合曲面，由高斯定理，该闭合曲面的电通量等于内部电荷的1/￡倍，而静电平衡时内部电场为0（静电平衡必须满足的条件之一），所以电通量为0，自然电荷也为0，即内部无电荷。满意的话给分哦！

我尝试着用学过的知识证明了一下。用到两个引理：1.费马的两平方和定理:任何形如4n + 1的质数都可以唯一表成两个平方数之和。(这个定理我还不会证.)2.-1不是4k+3状质数的二次剩余.(这个用欧拉判别式可以证明.)充分性：n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数时,可以将n化为a*b2的其中a中不含4k+3形状的质因子,于是由引理1,a可以表示为若干平方和之积,我们只要证明:若干平方和之积还是平方和.也就是证明(x2+y2)(z2+w2)也是平方和.显然初中我们就知道(x2+y2)(z2+w2)=(xz+yw)2+(xw-yz)2.于是a可以表示为平方和.自然a*b2也可以.必要性:正整数n可被表示为两整数平方和.设p是n的形如4k+3形状的质因子.由n=c2+d2知道p|c2+d2,又-1不是4k+3状质数p的二次剩余,所以必有p|c,p|d.于是p2|n.把p2约去后再重复讨论即可以知道p在n中的幂数是偶数.

我不能确定你说的高斯定理是高等数学里的就面积分的公式？还是小学的那个1+2+3+...+n的公式？

高斯定理体现的是电场的有源性，积分形式是E•dS的第二类曲面积分等于q/ε0，微分形式为divE=ρ/ε0，其中q为被积分区域包裹的内部总电荷量，ρ为电荷密度，ε0表示真空介电常数

高斯定理是静电学中的一个重要定理,应用高斯定理时,常把电荷或电场的对称性作为应用高斯定理求电场强度的条件,但实际并非如此,以高斯定理的数学表达式为基础可以阐明:对称性不是应用高斯定理求场强的条件.根据数学中的高斯公式给出了静电场、涡旋电场和静磁场高斯定理的严格证明,得到了力线数密度与电场强度大小以及磁感应强度大小的定量关系,指出用力线法证明高斯定理的方法是不合理的.（1）直接利用高斯定理求场强 高斯定理是描述静电场性质的基本定理之一，在静电场中是普遍成立的。但是，由于它对静电场的描述是不完备的，因此利用它求场强 是有条件的，它要求带电系统及其电场分布一定具有某种空间对称性。实际上，只有当场强分布具有球对称性（如均匀带电球面、球壳和球体等）、轴对称性（如无限长均匀带电直线、圆柱面、圆柱筒和圆柱体等）或者平面对称性（如无限大均匀带电平面或平板等）时，才能直接利用高斯定理求场强分布。在求场强时，首要任务是根据场分布的对称性，选取合适的高斯面。x0dx0a（2）利用高斯定理求角某些规则形状曲面的电场强度通量时，可首先构造一高斯面，要求其中部分曲面为待求曲面，其余部分曲面的电通量是已知的或易于求得的，再经过简单的数学运算便可求解。从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通量的源。x0dx0ax0dx0a（1）若闭合面内存在正（负）电荷，则通过闭合面的E通量为正（负），表明有电力线从面内（面外）穿出（穿入），即正（负）源电荷发射（吸收）电场线。x0dx0ax0dx0a（2）若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断，又若闭合面内静电荷为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从面内正电荷出发到外面。x0dx0ax0dx0a（3）在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同，就不会改变通过整个闭合面的E通量。x0dx0ax0dx0a（4）在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献，即面外电荷会影响通过闭合面的电场线的形状和分布，却不会改变通过闭合面的电场线的数目x0dx0ax0dx0a高斯定理的应用： x0dx0a高斯定理是一条反映静电场规律的普遍定理，在进一步研究电学时，这条定理很重要。在这里，我们只应用它来计算某些对称带电体所激发的电场中的场强，在这些情况中，它比应用电场强度叠加原理来计算场强要方便得多。下面举例说明高斯定理的这种应用。 x0dx0a（1）在电场强度已知时，求出任意区域内的电荷 x0dx0a（2）当电荷分布具有某种特殊对称性时，用高斯定理求出该种电荷系统的电场分布 　例1：求均匀带正电球体内外的电场分布，设球体带电量为q，半径为R。应用电通量的定义和高斯定理联立求解。(解略) 讨论：在球面外(r>R)，点P的场强为:　　x0dx0a方向沿半径指向球外(如q<0，则沿半径指向球内)。x0dx0a　　　在球面内(r

提供一个思路： 运动点电荷可以看作电流。 首先，电流的定义是单位时间内通过单位面积的电荷量Q，已知运动电荷的速度和电荷量，可以得到电流大小I=Q*v,然后通过电流的高斯定理推导即可

不知道你问的是微积分还是物理。高斯定理是高斯推导出来的形式比较简单的数学公式，微积分里直接给的是公式，证明过程涉及三重积分，比较复杂，建议不要在这上过度追求。物理上静电场高斯定理以库伦定律叠加来证明，但在某些时候库伦定律不能成立时，高斯定理依旧成立。非要想弄懂高斯定理，最好去看看大学的书，推导过程网上三言两语难说明白

散度你可以理解为空间中每个点都在漏水，当然漏水的方向，速度，都是你关心的。那么怎么测量一个漏水点的渗漏情况？第一个式子是用个很小的体，把这个漏水点装起来，不装其他的漏水点，然后把这个体的单位时间的表面上的漏水情况加起来，得到的就是单位时间这个出水点出水多少。这个就是高斯定理的证明。第2个式子是把出水速度按照3个方向，x，y，z分别统计，然后加起来，得到的是这个点的出水速度。所以和第一个式子是一样的。高斯定理说，如果有一个3D区域在漏水，那么你用个大气球把区域装上，然后扎几个眼。如果气球不再变大了，那么你统计一下气球上的洞的漏水的速度，就是球内部漏水点的漏水的总速度。

设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 所围成，若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续函数偏导数。。。。

不知道你问的是微积分还是物理。高斯定理是高斯推导出来的形式比较简单的数学公式，微积分里直接给的是公式，证明过程涉及三重积分，比较复杂，建议不要在这上过度追求。物理上静电场高斯定理以库伦定律叠加来证明，但在某些时候库伦定律不能成立时，高斯定理依旧成立。 非要想弄懂高斯定理，最好去看看大学的书，推导过程网上三言两语难说明白

高斯定理是静电学中的一个重要定理,应用高斯定理时,常把电荷或电场的对称性作为应用高斯定理求电场强度的条件,但实际并非如此,以高斯定理的数学表达式为基础可以阐明:对称性不是应用高斯定理求场强的条件.根据数学中的高斯公式给出了静电场、涡旋电场和静磁场高斯定理的严格证明,得到了力线数密度与电场强度大小以及磁感应强度大小的定量关系,指出用力线法证明高斯定理的方法是不合理的.（1）直接利用高斯定理求场强 高斯定理是描述静电场性质的基本定理之一，在静电场中是普遍成立的。但是，由于它对静电场的描述是不完备的，因此利用它求场强 是有条件的，它要求带电系统及其电场分布一定具有某种空间对称性。实际上，只有当场强分布具有球对称性（如均匀带电球面、球壳和球体等）、轴对称性（如无限长均匀带电直线、圆柱面、圆柱筒和圆柱体等）或者平面对称性（如无限大均匀带电平面或平板等）时，才能直接利用高斯定理求场强分布。在求场强时，首要任务是根据场分布的对称性，选取合适的高斯面。（2）利用高斯定理求角某些规则形状曲面的电场强度通量时，可首先构造一高斯面，要求其中部分曲面为待求曲面，其余部分曲面的电通量是已知的或易于求得的，再经过简单的数学运算便可求解。从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通量的源。（1）若闭合面内存在正（负）电荷，则通过闭合面的E通量为正（负），表明有电力线从面内（面外）穿出（穿入），即正（负）源电荷发射（吸收）电场线。（2）若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断，又若闭合面内静电荷为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从面内正电荷出发到外面。（3）在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同，就不会改变通过整个闭合面的E通量。（4）在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献，即面外电荷会影响通过闭合面的电场线的形状和分布，却不会改变通过闭合面的电场线的数目高斯定理的应用： 高斯定理是一条反映静电场规律的普遍定理，在进一步研究电学时，这条定理很重要。在这里，我们只应用它来计算某些对称带电体所激发的电场中的场强，在这些情况中，它比应用电场强度叠加原理来计算场强要方便得多。下面举例说明高斯定理的这种应用。 （1）在电场强度已知时，求出任意区域内的电荷 （2）当电荷分布具有某种特殊对称性时，用高斯定理求出该种电荷系统的电场分布 　例1：求均匀带正电球体内外的电场分布，设球体带电量为q，半径为R。应用电通量的定义和高斯定理联立求解。(解略) 讨论：在球面外(r>R)，点P的场强为:　　方向沿半径指向球外(如q<0，则沿半径指向球内)。　　　在球面内(r<R),点P的场强为:综上所述，可得如下结论：均匀带电球面外的场强，与将球面上电荷全部集中于中心的点电荷所激发的场强一样；球面内任一点的场强则为零。均匀带电球面的场强分布，可用其大小E与距离r的关系曲线来表示。这条曲线E-r 在r=R 处是间断的，即场强大小E的分布在该处是不连续的。例2：均匀带正电无限长细棒的场强.其线电荷密度为.场强的大小为：例3：均匀带正电的无限大平面薄板的场强。(略)

高斯定理1　　矢量分析的重要定理之一。 　　穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。 　　换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比 　　由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理[1]。 　　与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 　　电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。公式表达： 　　∫(E·da) = 4π*S(ρdv) 　　适用条件：任何电场 　　静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。 　　根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即 　　 公式　　这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 　　高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。 　　高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。 　　对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。 　　当存在电介质并用电位移D描写电场时,高斯定理可表示成 　　 公式它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和Σqo，与自由电荷的分布情况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质，电位移与电场强度成正比,D＝εrεoE,εr称为介质的相对介电常数，这是一个无量纲的量。如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常数为εr的线性介质中(其余空间区域可以充任何介质)，高斯定理(2)又可写成 公式在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。 　　高斯定理的微分形式为

源即电荷 高斯定理证明变化的磁场可以产生电场 其实没说证明电场是无源场啊,只是证明可以是无源场而已

由于磁场线都是闭合曲线，因此，从一个闭合曲面 S 某处穿出的磁场线必定要从该闭合 曲面的另一处穿出。所以，通过磁场中任意闭合曲面 S 的净磁通量恒等于零，即 ＝0 为磁高斯定理，它是电磁场的一条基本规律。 比较静电场的高斯定理与磁高斯定理： 两者的原则差别在于电场线是由电荷发出的，总 是源始于正电荷，终至于负电荷，因此，静电场是有 源场；而磁场线都是环绕电流的、无头无尾的闭合曲 线，因此，磁场是无源场。磁场没有与正、负电荷相对应的、分立的正、负“磁荷”(磁单极 子)。 例 证明在在磁力线为平行直线的空间中，同一根磁力线 上各点的磁感应强度值相等。 证明：如右图所示，由磁高斯定理得 故，即证。 t

在空腔导体内表面与外表面之间作一个高斯面，这个面包这内表面。∮E·ds=(q+q‘)/εo,其中，q是内表面的电荷，q"是空腔内的电荷，因为，导体内部E=0，所以，(q+q‘)/εo=0，于是q=－q",电量等值异号

φ1φ2值域作y范围没毛病，然后先积y就是那个效果了

高斯7岁那年开始上学，老师布置了一道题，1+2+3······这样从1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。”高斯非常坚定，说出答案就是5050。高斯是这样算的：1+100=101，2+99=101······50+51=101。从1加到100有50组这样的数，所以50X101=5050。布特纳对他刮目相看。因为是他发明的这个定律，因此就叫“高斯定理”扩展资料：高斯定理（Gauss" law）也称为高斯通量理论（Gauss" flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定律（Gauss" law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。参考资料：百度百科-高斯

高斯定律不可以用电场线的连续性证明。电场线的连续性是高斯定理的结果，不能把电场线的连续性当作条件来证明高斯定理。高斯定理也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式。

倒三角是Nabla算符，求一个向量值函数的散度。rou的物理意义是电荷密度。高斯定理的意思是空间中一点的电场强度的散度与该点的电荷密度成正比。

高斯定理是经过严格证明的定理，只要符合它的成立条件，它就是有效的，只是，如果要用它来求电场分布，就需要电场强度E可以从∮E·dS=Q/εo这个式子里头提取出来，变成E∮dS=Q/εo，例如，无限长、均匀带电柱的电场相对于轴线对称，方向垂直轴线，即只有半径方向的分量，只要是半径相同的点E就相同，可以取高斯面是同轴线的圆柱体面，在侧面的电场强度相同，而上下底面电场为0，于是可以做到E提取到积分号外面，如果带电体的电场强度不可以从积分号里提取出来，就求不出电场强度E了，例如不是无限长的直线，圆柱体等的电场就不可以。

高斯定理1　　矢量分析的重要定理之一。 　　穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。 　　换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比 　　由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理[1]。 　　与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 　　电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。公式表达： 　　∫(E·da) = 4π*S(ρdv) 　　适用条件：任何电场 　　静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。 　　根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即 　　 公式　　这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 　　高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。 　　高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。 　　对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。 　　当存在电介质并用电位移D描写电场时,高斯定理可表示成 　　 公式它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和Σqo，与自由电荷的分布情况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质，电位移与电场强度成正比,D＝εrεoE,εr称为介质的相对介电常数，这是一个无量纲的量。如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常数为εr的线性介质中(其余空间区域可以充任何介质)，高斯定理(2)又可写成 公式在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。 　　高斯定理的微分形式为

你所说的实物是什么？是你说的均匀的带Q电荷球体吗？如果是的话，高斯定理是可以证明的：在球体外部做个以球心为圆心的一个高斯面，这个面上场强的大小相等。由高斯定理：E*4πR^2(R是高斯面的半径)=Q/ε(真空介电常数)，则E=Q/4πR^2ε（k=1/4πε），即和Q电荷集中在球心的电场强度大小是一样的，那放入试探电荷的效果显然是一样的。不过如果把试探电荷放在了球体的内部，则和点电荷不一样了，用高斯定理同样可以算，这里就不算了，希望对你有帮助。

用定义可以证明就是r×dp+dr×p(主要的原因是向量的差积运算有结合律)d(r×p)=(r+dr)×(p+dp)-r×p=r×dp+dr×p+dr×dp=r×dp+dr×p(微分保留只保留一阶小量)

因为静电平衡时，导体内部的场强为零，所以通过高斯面1的磁通量为0。静电平衡是指导体中的电荷处于稳定状态。均匀导体达到静电平衡的条件是导体内部的合场强处处为零。导体中（包括表面）没有电荷定向移动的状态叫做静电平衡状态。高斯定理（Gauss" law）也称为高斯通量理论（Gauss" flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。 高斯定律（Gauss" law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。

自己去证明吧。你先证明一个球外表面各个点都带有等量的电荷，那么在这个球里的电荷受到的合力就为0（思路证明很简单，写出来就比较难，所以不写给你了），再根据E=F/q就可以了，F为0，自然E就为0.

构造一个封闭的曲面积分

物理学中有好多公式，特别是积分公式，并不能表示实际物理意义，或者说不能从公式表面上理解其物理意义。高斯公式中虽然只涉及高斯面内的自由电荷，但公式中的E是空间内所有电荷激发的合场强。这是高斯公式的实际意义。你只需记住这一点就行，高数如果学到了曲面积分的真正含义就自然理解了。这也注定了这一类积分公式（高斯公式、安培环路定理等等）在应用时有很明显的局限性：只能解决对称性很强的宏观问题，一旦问题稍微复杂些，比如物体不对称了，就不能用高斯公式解决了，需要注意的是：虽然高斯公式不能解，但它还是正确的，只不过解不出来而已。要解这种问题需要用到高斯公式的微分形式，也就是泊松方程，解空间内的泊松方程（或者是拉普拉斯方程）就能得到电势分布，再求负梯度就是电场了。一般情况下是级数解，还有积分形式的解等等的。

高斯定理是静电学中的一个重要定理,应用高斯定理时,常把电荷或电场的对称性作为应用高斯定理求电场强度的条件,但实际并非如此,以高斯定理的数学表达式为基础可以阐明:对称性不是应用高斯定理求场强的条件.根据数学中的高斯公式给出了静电场、涡旋电场和静磁场高斯定理的严格证明,得到了力线数密度与电场强度大小以及磁感应强度大小的定量关系,指出用力线法证明高斯定理的方法是不合理的.（1）直接利用高斯定理求场强 高斯定理是描述静电场性质的基本定理之一，在静电场中是普遍成立的。但是，由于它对静电场的描述是不完备的，因此利用它求场强 是有条件的，它要求带电系统及其电场分布一定具有某种空间对称性。实际上，只有当场强分布具有球对称性（如均匀带电球面、球壳和球体等）、轴对称性（如无限长均匀带电直线、圆柱面、圆柱筒和圆柱体等）或者平面对称性（如无限大均匀带电平面或平板等）时，才能直接利用高斯定理求场强分布。在求场强时，首要任务是根据场分布的对称性，选取合适的高斯面。（2）利用高斯定理求角某些规则形状曲面的电场强度通量时，可首先构造一高斯面，要求其中部分曲面为待求曲面，其余部分曲面的电通量是已知的或易于求得的，再经过简单的数学运算便可求解。从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通量的源。（1）若闭合面内存在正（负）电荷，则通过闭合面的E通量为正（负），表明有电力线从面内（面外）穿出（穿入），即正（负）源电荷发射（吸收）电场线。（2）若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断，又若闭合面内静电荷为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从面内正电荷出发到外面。（3）在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同，就不会改变通过整个闭合面的E通量。（4）在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献，即面外电荷会影响通过闭合面的电场线的形状和分布，却不会改变通过闭合面的电场线的数目高斯定理的应用： 高斯定理是一条反映静电场规律的普遍定理，在进一步研究电学时，这条定理很重要。在这里，我们只应用它来计算某些对称带电体所激发的电场中的场强，在这些情况中，它比应用电场强度叠加原理来计算场强要方便得多。下面举例说明高斯定理的这种应用。 （1）在电场强度已知时，求出任意区域内的电荷 （2）当电荷分布具有某种特殊对称性时，用高斯定理求出该种电荷系统的电场分布 　例1：求均匀带正电球体内外的电场分布，设球体带电量为q，半径为R。应用电通量的定义和高斯定理联立求解。(解略) 讨论：在球面外(r>R)，点P的场强为:　　方向沿半径指向球外(如q<0，则沿半径指向球内)。　　　在球面内(r<R),点P的场强为:综上所述，可得如下结论：均匀带电球面外的场强，与将球面上电荷全部集中于中心的点电荷所激发的场强一样；球面内任一点的场强则为零。均匀带电球面的场强分布，可用其大小E与距离r的关系曲线来表示。这条曲线E-r 在r=R 处是间断的，即场强大小E的分布在该处是不连续的。例2：均匀带正电无限长细棒的场强.其线电荷密度为.场强的大小为：例3：均匀带正电的无限大平面薄板的场强。(略)

高斯定理是一个数学定理的一个方面，这个数学定理就叫做高斯定理，这个数学积分方程应用不同的场合就叫做XX高斯定理

静电场的高斯定理和环路定理说明静电场是个有源场。高斯定理，在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以真空电容率.环路定理，电场强度对闭合回路的积分等于零。这些都说明了静电场是有独立电荷存在的，是一个有源场。扩展资料：静电感应一个带电的物体靠近另一个导体时，两个导体的电荷分布发生明显的变化，物理学中把这种现象叫做静电感应。如果电场中存在导体，在电场力的作用下出现静电感应现象,使原来中和的正、负电荷分离,出现在导体表面上。这些电荷称为感应电荷。总的电场是感应电荷与自由电荷共同作用结果。达到平衡时，导体内部的场强处处为零,导体是一个等势体，导体表面是等势面，感应电荷都分布在导体外表面，导体表面的电场方向处处与导体表面垂直。静电感应现象有一些应用，但也可能造成危害。场中介质电场中的绝缘介质又称为电介质。由于电场力的作用在原子尺度上出现了等效的束缚电荷。这种现象称为电介质的极化。对一种绝缘材料，当电场强度超过某一数值时，束缚电荷被迫流动造成介质击穿而失去其绝缘性能。因此静电场的大小对电工器件的设计及材料选择十分重要。 　有介质时的静电场是由束缚电荷及自由电荷共同产生的，为了表示这二者共同作用下的电场，可以引入另一个场矢量电通量密度D（又称电位移）。它定义为式中P为电介质的极化强度，则可得高斯通量定理公式式中q仅为S面内所有自由电荷，而不包括电介质的束缚电荷。高斯通量定理的微分形式为电位移的散度等于该点自由电荷（体）密度ρ，电介质的极化强度P与电场强度E有关，而电通量密度又与P和E有关，故可得表示电介质的本构方程D=εE。参考资料：百度百科-静电场

高斯定理1　　矢量分析的重要定理之一。 　　穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。 　　换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比 　　由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理[1]。 　　与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 　　电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。公式表达： 　　∫(E·da) = 4π*S(ρdv) 　　适用条件：任何电场 　　静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。 　　根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即 　　 公式　　这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 　　高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。 　　高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。 　　对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。 　　当存在电介质并用电位移D描写电场时,高斯定理可表示成 　　 公式它说明电位移对任意封闭曲面的通量只取决于曲面内自由电荷的代数和Σqo，与自由电荷的分布情况无关,与极化电荷亦无关。电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。对于各向同性的线性的电介质，电位移与电场强度成正比,D＝εrεoE,εr称为介质的相对介电常数，这是一个无量纲的量。如果整个封闭曲面S在一均匀的相对介电常数为εr的线性介质中(其余空间区域可以充任何介质)，高斯定理(2)又可写成 公式在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。 　　高斯定理的微分形式为

静电场的高斯定理和环路定理说明静电场是个有源保守场。以下是分别根据高斯定理和环路定理证明静电场： 高斯定理证明：在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场。 环路定理证明：在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于0。与静电场力作功和路径无关是一致的，这种力场也叫保守力场或势场。 在磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。

源即电荷高斯定理证明变化的磁场可以产生电场其实没说证明电场是无源场啊，只是证明可以是无源场而已

静电场的高斯定理和环路定理说明静电场是个有源保守场。以下是分别根据高斯定理和环路定理证明静电场：高斯定理证明：在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场。环路定理证明：在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于0。与静电场力作功和路径无关是一致的，这种力场也叫保守力场或势场。在磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。扩展资料高斯定理在电场强度求解中的应用：求解电场强度E可用高斯定理。利用库仑定律连同场强叠加原理对点电荷、点电荷系的场强一般都可求解;对连续分布带电体系的场强原则上也可求解,但对具体问题必须知道电荷的连续分布函数才能求解。利用高斯定理求解场强有一定局限性,一般只能对具有某种对称性分布的场强可求解。利用高斯定理求解场强必须遵从两个步骤:其一,必须对所涉及的带电体系产生的场强进行定性分析,明确场强方向和大小的分布规律;其二,依据场强分布规律,判断能否用高斯定理求解,能则构建适当的高斯面进行求解。参考资料：百度百科—高斯定理百度百科—环路定理

给一个证明，会涉及到积分和求导符号，不知道能看懂不。设有一个球面，设其半径为R, 球心为坐标原点。下面会把电势随空间的分布用球坐标表示：V(r,theta,phi).球心的电势即V(r=0),球面上的电势为V(r=R,theta,phi)。因为这个球面中不包含电荷，所以穿过这个球面的电通量为零（高斯定理），并根据电场是电势的导数，而电场在球面法向上的分量是电势V对r的偏导(p V)/(p r)【这里的p代表偏导符号】。于是得到积分：int (p V)/(p r) dA=0.【这个式子里的int代表对球面积分，dA是球面的面积微元，即dA=R^2 sin(theta) d_theta d_phi】。继续将方程两面除以R^2,得到int (p V)/(p r) d_Omega=0.这里d_Omega是立体角微元d_Omega=sin(theta) d_theta d_phi。注意上面这个方程不仅仅在半径为R的球面上成立，而是对于所有r<R的球面都成立。理由仍是高斯定理。于是可以把这个方程的左边从r=0积分到r=R.然后调换积分顺序，先对r积分：int (p V)/(p r) dr=V(R,theta,phi)-V(0),再继续对立体角积分：int [V(R,theta,phi)-V(0)] d_Omega=int V((R,theta,phi) d_Omega - 4 pi V(0),【这里用到V(0)与theta和phi无关，而单独的立体角积分出来是4 pi】. 方程的右边当然还是零，于是就有V(0)={int V((R,theta,phi) d_Omega }/(4 pi),这个等式的右边就是电势在半径为R的球面上的平均值。

用反证法，假设有不闭合的磁感应线，证它不满足磁场高斯定理

我只能提醒楼主 这个用到了高数的高斯公式高斯公式又叫高斯定理、或散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式： 　　矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 高斯公式投影性质它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式。是研究场的重要公式之一。 　　公式为： ∮F·dS=∫▽·Fdv ▽是哈密顿算符 F、S为矢量参考的百度中的高斯公式 楼主可以看看

1.那怎么证明E是常量，把E提出积分外？E等于0啊，就是常量。我的疑惑就是不知道为什么高斯面上每一点的场强大小相等，不要只说什么对称性，我希望能说的详细清楚点。。如果是金属球壳外有个电荷，那里面E=02.那个q就是围住的正电荷。你是想说这样高斯面上的E就不是常数了吧？的确不是。是的话，根据对称，Φ=0.所以不是。

微元dS上受的力等于F=ρgz{cosa,cosb,cosc}dS={ρgzdydz,ρgzdxdz,ρgzdxdy}然后积分前面两个分量的积分都是0 因为曲面积分前侧和后侧的结果 异号于是就剩下第3个分量 也就是铅直向上的那个分量对那玩意补 z=0 用高斯定理 就OK了

静磁场的高斯定理说明了磁场散度为0，简单理解就是磁场是闭合。在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。扩展资料电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。

高斯定理是：电通量=任何的闭合曲面包围的净电荷除以介电常数，这个定理中的“闭合曲面”就叫高斯面。在球面内做一个高斯面，其所包围的净电荷为零，根据高斯定理，球面内场强处处为零。意思就是用高斯定理证明这个结论“球面内场强处处为零”

梁灿彬或赵凯华的电磁学上有 给你张图片 取自费曼物理学讲义

最简单最正规的方法是用高斯定理证明来证明。本来想在这里写一下，但是发现实在写不清楚，你可以去书店看看大学物理课本，有最标准的证明。估计你是一个中学生，对于高斯定理你一定不了解。初中的证明方法是：划电场线。在两板之间，电场线总是从正电荷出发，到负电荷终止。如果是相同正负电荷的平行金属板之间，那么电场线也应该是分别均匀并且平行的，所以电场是匀强电场。

严格证明需要数学中的奥高定理的但是你可以这样对于单个物体 万有引力与 R的平方成反比对于围在质点外的圆球来说 很容易证明高斯定理在万有引力中的推广然后对于任意曲面 要用到立体角的概念的，从质点发出的立体角 和球 和曲面都有相交的面积，就可以 两个面积分是相同的对于多个质点的问题 由于电场具有叠加性 用矢量表示一下 就可以证明了你自己试试我没法打公式