如何证明平稳随机过程

在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程又称狭义平稳过程。平稳随机过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程，即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，因此数学期望和方差这些参数不随时间和位置变化。平稳随机过程的均值与时间无关，是一个常数。平稳随机过程的自相关函数只与计算时取的时间间隔有关。满足以上两点，就是广义平稳随机过程，也可以理解为各态历经性。随机过程定义：设随机试验的样本空间为 ，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数与之对应，而对于空间的所有样本 ，可有一组时间函数 与其对应，那么，此时称此组时间函数 为随机过程 。对于某一固定时刻 ， 为时间函数在时的状态，它是一个随机变量。如果把该状态样本空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t就有一组这样的状态函数，我们称此组状态函数为随机过程 。

第三节 平稳随机过程 1、平稳随机过程：指N维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化，或者说不随时间原点的选取而变化。 2、平稳随机过程的重要性：A、在实际应用中，特别在通信中所遇到的过程大多属于或很接近平稳随机过程；B、平稳随机过程可以用它的一维、二维统计特征很好的描述。 3、平稳随机过程的重要特性：平隐随机过程在满足一定条件下有一个非常重要的特性，称为各态历经性。这种平稳随机过程，它的数字特征完全可由随机过程中的任一实现的数字特征，即数学期望、方差和自相关函数（均为统计平均值）来决定，这样就可以用时间平均来代替统计平均。 4、平稳随机过程的自相关函数是特别重要的函数：A、平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；B、自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在联系。 5、平稳随机过程的自相关函数R（τ）与功率谱密度P（w）是一对傅里叶变换。 6、自相关函数有着一些重要的性质，通过它可以确定平稳随机过程的平均功率、直流功率和交流功率，即R（τ）= R（-τ）为τ的偶函数，R（0）为平稳过程的平均功率； R（∞）为它的直流功率；R（0）- R（∞）=σ2为其交流功率；R（0）≥R（-τ）在τ=0时有值，为它的上界。功率谱密度P（w）表示角频率w处的单位频率内的功率，它也有着一些重要性质：P（w）=P（-w）为w的偶函数：P（w）在频域上的面积等于平稳随机过程的平均功率；P（w）为一非负的实函数。 第四节 高斯过程 1、高斯过程：随机过程的任意N维分布服从正态分布（N=1，2——）时，称它为高斯随机过程，简称高斯过程。 2、高斯过程一种普遍存在和十分重要的随机过程：A、高斯过程的许多性质都能得到解析结果；B、用高斯模型表示物理现象所产生的一些随机过程时，常常是适宜的。 3、如果将一个高斯过程加到一个线性网络上，其输出端的随机赛程也是高斯的。 第五节 噪声 1、噪声：是指物理系统中对信号的传输与处理起扰乱作用，又不能完全控制的一种不需要的波形。 2、散粒噪声：是由电子器件中电流的离散性质所引起的。 3、热噪声：是指导体中电子的随机运动所产生的一种电噪声。 4、散粒噪声和热噪声的均值都为零，且幅度的概率密度函数均为高斯分布。 5、高斯噪声：当噪声的任意N维分布都服从高斯分布时称为高斯噪声。散粒噪声和热噪声都属于高斯噪声。 6、白噪声：为了便于分析，建立一个理想化噪声模型，它是指其功率谱密度Pn(w)在（-∞，+∞）的整个频率范围内都是均匀分布的一种噪声。 7、高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。 8、热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。

平稳二项随机过程定义：平稳随机过程的均值与时间无关，是一个常数，平稳随机过程的自相关函数只与计算时取的时间间隔有关。满足以上两点，就是广义平稳随机过程，也可以理解为各态历经性。用符号化语言表示出来，即：如果对于任意的n（n=1，2），t1，t2，tn∈T和任意实数h。当t1+h，t2+h，tn+h∈T时，n维随机变量（X（t1），X（t2），X（tn））和（X（t1+h），X（t2+h），··X（tn+h））具有相同的分布函数，则称随机过程{X（t），t∈T}具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。随机现象事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。研究这类现象的数学工具是概率论和统计。

回答：有两类，分别是严平稳和宽平稳过程。其关系：严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系（1）一个宽平稳过程不一定是严平稳过程,一个严平稳过程也不一定宽平稳过程.例1：X(n)=sinwn,n=0,1,2,…,其中w服从U（0,2π）,随机过程{X(n),n=0,1,2,…}是宽平稳过程,但不是严平稳过程.例2：服从柯西分布的随机变量序列是严平稳随机过程,但不是宽平稳随机过程.（2）宽平稳过程定只涉及与一维、二维分布有关的数字特征,所以一个严平稳过程只要二阶矩存在,则必定是宽平稳过程.但反过来,一般是不成立的.（3）正态过程是一个重要特例,一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的.这是因为：正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的,因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化,则概率密度函数也不随时间的推移发生变化.

一个随机过程平稳表明该过程进入一种 稳态。 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列 所有的统计性质 都不随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。 宽平稳又叫 二阶平稳 ，指的是序列协方差（又称“自协方差”）只跟时间区间 有关： 并且序列的均值函数（一阶矩）是常数（又称为是“一阶平稳”），序列的方差（二阶矩）是常数。例如白噪声就是宽平稳的。 宽平稳使用序列的特征统计量（各阶矩）来定义的一种平稳性，它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，只要保证序列 低阶矩平稳（二阶矩） ，就能保证序列的主要性质近似稳定。 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，低阶矩存在严平稳能推出宽平稳成立，反之不成立。 正态过程是个重要的特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。 这是因为正态过程的概率密度由 均值函数和方差函数 完全确定，因而如果均值函数和方差函数不随时间推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。 这一次的随机过程跟之前的随机过程的结果分布都一样，即一个随机过程并不会随实验次数的改变而改变（这里的一次实验为对该随机过程的一次采样）。体会一下变中存在不变，变指的是每一次的实验都是对一个随机过程的一次采样，因此每一次实验的结果都可能不同，样本是随机的；不变指的是不管做多少次实验采样得到的结果依旧服从原来的随机过程，随机过程确定。 举个例子，你和你的小伙伴们一起扔骰子，每次都一起扔，你们每次扔骰子呈现的结果分布都跟之前扔骰子的结果分布一样， 自相关函数 不随时间改变，不会随着扔多了手酸而发生改变。 随机过程平稳针对某一次具体的采样（观察信号从零时刻到T时刻的变化情况，若平稳则说明随机信号从零时刻到T时刻服从同一分布）；而各态历经研究的是对一个随机过程多次采样会有什么结果（不同次实验之间的比较，每一次实验是个时间序列）。 随机过程是对动态系统的一种描述方式，对系统状态随时间变化的一种建模，本质上也是研究信号与系统。一般地，一个随机过程只有是各态历经的才有研究的价值，如果不是各态历经说明系统存在扰动或者不确定性，需要做一些额外的假设或处理。 注意：一个过程是一个时间序列。 因此对一个随机过程采样一次，会采样出一个关于时间的序列。

【答案】：A、B随机变量按照时间的先后顺序排列的集合叫随机过程。随机变量可以是连续的也可以是离散的。若一个随机过程的均值和方差不随时间的改变而改变，且在任何两期之间的协方差值仅依赖于两期的距离或滞后的长度，而不依赖于时间，这样的随机过程称为平稳性随机过程。反之，称为非平稳随机过程。

首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。平稳过程不一定是各态历经性的，但各态历经性的随机过程必定是平稳过程。

用符号化语言表示出来，即：如果对于任意的n（n=1,2,···），t1,t2,···,tn∈T和任意实数h，当t1+h,t2+h,···,tn+h∈T时，n维随机变量（X(t1),X(t2),···,X(tn)）和（X(t1+h),X(t2+h),···,X(tn+h)）具有相同的分布函数，则称随机过程{X(t),t∈T}具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。 给定二阶矩过程{X(t),t∈T}，如果对任意的t,t+h∈T,有（1）E[X(t)]=Cx（常数） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h)则称{X(t),t∈T}为宽平稳（随机）过程或广义平稳（随机）过程。注：二阶矩过程定义：如果随机过程{X(t),t∈T}对每一个t∈T，二阶矩E[X(t)·X(t)]都存在，那么称它为二阶矩过程。要证明某个随机过程是否是宽平稳过程（广义平稳过程）就必须的满足以上定义中的三个条件：（1）E[X(t)]=Cx（常数） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h) （3） < +∞

所谓的平稳过程就是指过程的统计特性与观测开始时间无关，如果过程被分成很多时间段，不同的时间段都会显示出本质上相同的统计特性。一般来说平稳过程源自稳定的物理现象，而非平稳过程源自不稳定的物理现象。严平稳就是随机过程的每一组联合分布函数对于取定的不同时间原点是时不变的。广义平稳满足的条件:1期望（或者说均值）常数2自相关函数只与时间间隔有关。一个平稳过程不一定是严平稳的，因为不能确定所有的k维联合分布函数关于时间间隔是时不变的。另一方面严平稳随机过程并不一定满足广义平稳的两个条件，因为它的一阶和二阶距可能并不存在。不过显然，有限二阶距的严平稳随机过程所组成的集合是平稳过程所组成的集合的子集。________以上摘自《通信系统第四版》（西蒙-赫金）所以严谨的说“严平稳一定是广义平稳”这句话是不对的

平稳分为严平稳和宽平稳 严平稳是指,任取x1,x2,...xn,任取k,p(x1,x2,...xn) = p(x1-k,x2-k,...xn-k) 宽平稳是指 （1）该随机过程有有限的二阶矩 （2）任取t,E(X(t)) = c,即一阶矩与时间无关 （3）任取t,s,R(s,t) = E(X(s)X(t)) = R(s-t),即自相关函数平稳 按照定义判断即可

统计特性不随时间的推移而变化的随机过程。例如，一台稳定工作的纺纱机纺出的纱的直径大小，受各种随机因素影响，在某一标准值周围波动，在任意若干时刻处，直径之间的统计依赖关系，仅与这些时刻之间的相对位置有关，而与其绝对位置无关，因而直径的变化过程可以看作一个平稳过程。具有近似于这种性质的随机过程，在实际中是大量存在的。在数学中，平稳过程（Stationary random process）或者严格平稳过程（Strictly-sense stationary,SSS）是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。例如，白噪声（AWGN）就是平稳过程，铙钹的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是白噪声，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱。在时间序列分析中稳态作为一个工具使用，在这里原始数据经常转换为平稳态，例如经济学数据经常随着季节或者价格水平变化。如果这些过程是平稳过程与一个或者多个呈现一定趋势的过程的线性组合，那么这些过程就可以表述为趋势平稳。将这些数据进行转换保留平稳数据用于分析的过程称为解趋势（de-trending）。采样空间也是离散的离散时间平稳过程称为Bernoulli scheme，离散采样空间中每个随机变量可能取得 N"个可能值中的任意一个。当 N = 2 的时候，这个过程叫做伯努利过程。

这里的相关说的是“自相关”,就是评价该随机过程中不同时间点之间的相关性.s和t表示两个时间点.如果R(t,s)=R(s-t),就表明相关性和t,s的具体取值没有关系,而只和t,s之间的差值有关,所以叫做平稳过程.可以简单理解为在该随机过程中不同点之间的相关性只和他们之间的距离有关,而与他们的位置无关.具体计算直接代公式就可以了,得到一个相关函数,只和s,t差值有关.

一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称为严平稳过程。随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。随机过程的理论产生于20世纪初期，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值。则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。

是的，输出y（t）的期望==输入的期望 *H(0)............H(0)为线性系统H(f),f=0时;可以看出期望仍未与时间无关的常数。y（t）的自相关函数经过推导得出 与t1-t2的的时间差值有关，与起始时刻无关； 广义平稳 不就是满足 期望为常数 相关函数与其实时刻无关就行了吗。 推导过程随便翻一本通信原理的书上面都有。 关于 循环平稳随机 经过线性系统 是不是 仍为循环平稳 这个我就不清楚了。

是指平稳随机过程变量的取值范围为“实数”。过程的统计特性不随时间的推移而变化，则称之为平稳随机过程。

1. R(t1,t2) = R(t1-t2) = R(tao)2. R(t1,t2) 是正定的。 3. 如果此平稳随机过程是实函数，则R(tao)的傅里叶变换是omiga的实偶函数，并且恒为正。平稳随机过程的自相关函数有哪些重要性质

随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学、物理分支如位势论、微分方程、复变函数论、力学等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。平稳随机过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程：即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。非平稳随机过程即与平稳随机过程相反。

　　平稳增量比平稳过程,多了一点,即增量之间（Xt-Xs,Xs-X0）是相互独立的相同的就是平稳性,一般指宽平稳,数学期望是常数,EXtXs只与时间差有关　　在数学中，平稳过程（Stationary random process）或者严格平稳过程（Strictly-sense stationary,SSS）是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。　　例如，白噪声（AWGN）就是平稳过程，铙钹的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是白噪声，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱。　　独立增量过程，状态离散的平稳独立增量过程是一类特殊的马尔可夫过程。泊松过程和布朗运动都是它的特例。从一般的独立增量过程分离出本质上是独立随机变量序列的部分和以后 ，剩下的部分总是随机连续的。

随机过程的实例：机器在运行时会发出噪声，噪声的强度随时间变化的过程就可以看作是一个随机过程。如果随机过程的统计特性（均值、方差）与时间无关，也就是统计特性不随时间而变化，那么该随机过程就可以看作是一个平稳随机过程。补充：均值描述的是上例中的平均噪声强度；方差描述的是噪声的平均变化幅度。如果随机过程在当前时刻t的值只与该时刻之前n个时刻的值有关，而与这n个时刻之前的值无关，那么该随机过程就是Markov过程，根据n的大小，一般称为n阶Markov过程。

随机过程定义[1]1. 设随机试验的样本空间为 ，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数 与之对应，而对于空间的所有样本 ，可有一组时间函数 与其对应，那么，此时称此组时间函数 为随机过程 。2. 对于某一固定时刻 ， 为时间函数在 时 的状态，它是一个随机变量，它的样本空间为 。如果把该状态样本空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t就有一组这样的状态函数，我们称此组状态函数 为随机过程 。定义1与定义2本质上是一致的，后者常用于做理论分析。讨论1. 若t和x都是变量，则随机过程是一组样本记录，可用全部样本记录的集合描述；2. 若t是变量，而x是固定值，则随机过程只是一个样本记发，它可描述为一个确定的时间函数；3. 若t是固定值，而x是变量，则随机过程是一个随机变量，它只是全部样本记录中某个固定时刻的点集合；4. 若t和x都是固定值，则随机过程是确定值。显然，只有（1）才反映一个随机变量的完整的随机过程，其他都只是随机过程的一个样本或样点。随机过程分类[1]1. 按时间和状态是否连续分为：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列；2. 按样本函数形式分为：不确定随机过程和确定随机过程；3. 按随机过程分布函数的特性不同分为：平稳过程、马尔克夫过程、独立增量过程等；4. 按有无平稳性分为：平稳随机过程和非平稳随机过程；5. 按有无各态历经分为：各态历经随机过程和非各态历经随机过程；6. 按功率谱特性分为：白色过程和有色过程，宽带过程和窄带过程。 随机过程的统计特性1. 随机过程的均值函数计算随机过程均值的方法有两种，一是关于总体样本点的平均，简称总体平均；二是关于时间样本点的平均，简称时间平均。究竟采用上述哪种平均法，可根据随机变量的随机过程是否为平稳随机过程加以确定。但不论是否为平稳过程，采用总体平均的方法总是通用的。 （1） 该均值对平稳随机过程来说，为物理量随机信号的平均幅值，它反映了物理量的随机信号的直流分量。2. 随机过程的协方差函数 3. 随机过程的方差函数 对于平稳随机过程来说，它是一种定量反映物理量随机信号脉动能量大小的一个量。4. 随机过程的相关函数 5. 随机过程协方差函数与相关函数之间的关系 6. 随机过程均值函数、方差函数之间的关系 均方值函数为方差函数与均值函数的平方之和，即对平稳随机过程来说，随机信号的总体能量为直流能量与脉动能量之和。7. 单个样本记录的时间平均时间平均是一种针对“各态历经”过程的随机信号统计特征的平均方法。它只需要一个样本记录 ，并从中获取随机信号的统计特征。值得一提的是，由于物理现象中大多数参变量的信号为平稳过程，并可将它们近似为各态历经的，所以工程中对于获取有关平稳过程随机信号的统计特性常采用时间平均法。对于一个平稳随机过程来说，信号的时间平均结果应与总体平均的结果具有同样的效果。几个重要的随机过程1. 平稳随机过程采用和或计算随机过程的一阶矩和二阶矩时，如果其结果不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为弱平稳过程或广义平稳过程，工程上也称之为平稳过程。2. 强平稳过程如果对于一个随机过程来说，除了一阶矩和二阶矩的结果外，它的无限个高阶矩和联合矩的结果都不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为强平稳过程。3. 非平稳过程在采用和或求取随机过程的一阶矩和二阶联合矩时，只要它们的结果中有一个随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为非平稳过程。4. 各态历经过程对于在可能控制的相同实验条件下所有样本记录来说，如果它们每一个样本记录都包含相同的随机现象的特征信息，则可称该随机现象的随机过程为各态历经的。显然，对“各态历经”过程的随机信号来说，无需采用总体平均这一方法获取信号的平均值，而只需取一个单个样本作时间平均即可。工程上，一般可以将一个平稳的随机过程看成是“各态历经”的。

平稳随机过程定义：所谓平稳随机过程，即指它的n维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化。函数展开式如下由上式可得：由于平稳随机过程一维概率密度与时间t无关，所以平稳随机过程的数学期望为：平稳随机过程的一阶原点矩为常数。

是，因为泊松过程的一种定义（或者说是定理，不同书上的定义方式不同，但都是等价的），就包含了这一条：对任何时刻t和增量h，随机变量（增量）N(t+h)-N(t)的概率分布只和h有关，和t无关。即平稳增量性，所以满足平稳过程的要求。很多随机过程都是平稳过程。

E{X(t)}=常数， E{Y(t)}= 常数,E{X(t1)Y(t2)} = R(t1,t2)=R(t1-t2).则X(t),Y(t)称之为联合平稳随机过程。

机过程的定义:如果对于任意和以及有：则称为严平稳随机过程,或称狭义平稳随机过程. 二.平稳随机过程的数字特征： 1）,平稳随机过程的数学期望与时间无关2）,平稳随机过程的方差与时间无关3）其中：4）平稳随机过程的数学期望及方差与无关,它的自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关；随机过程的这种“平稳”数字特征,有时就直接用来判断随机过程是否平稳.即若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关,而其相关函数仅与有关,即我们就称这个随机过程是广义平稳的.三.宽平稳随机过程（广义平稳）:若的数学期望为常数,且自相关函数只与有关,则称为宽平稳随机过程,或称广义平稳随机过程.不难看出,严平稳过程一定是宽平稳过程,反之,不一定.但对于正态随机过程两者是等价的.后面,若不加特别说明,平稳过程均指宽平稳过程. 四. 联合宽平稳随机过程：若,是宽平稳过程,且其中：.则称和为联合宽平稳随机过程.

这里的相关说的是“自相关”，就是评价该随机过程中不同时间点之间的相关性。s和t表示两个时间点。如果 R(t,s)=R(s-t)，就表明相关性和t,s的具体取值没有关系，而只和t,s之间的差值有关，所以叫做平稳过程。可以简单理解为在该随机过程中不同点之间的相关性只和他们之间的距离有关，而与他们的位置无关。具体计算直接代公式就可以了，得到一个相关函数，只和s，t差值有关。

通信原理广义平稳随机过程有哪些性质?答：（1） E{X(t)} = 常数。（2） E{X(t1)X(t2)} = R(t2-t1)还有很多性质。比如 R(t2-t1) 是一正定函数。

根据平稳随机过程的定义，时间平移不会改变其统计性质，即对于任意整数 k，随机变量序列 (X_i) 和 (X_i+k) 具有相同的统计性质。因此，我们可以将时间箭头移到时刻 0，即假设 (X_i) 平稳，等价于假设 (X_i+1) 平稳。根据条件熵的定义，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0,X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据平稳性质，有：H(X_0,X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1,X_0,X_{-1},...,X_{-n+1})将上式代入条件熵的定义式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1,X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据链式规则，有：H(X_1,X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) = H(X_1|X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1|X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据马尔可夫性质，有：H(X_1|X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) = H(X_1|X_0)将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1|X_0) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据平稳性质，有：H(X_1|X_0) = H(X_0|X_{-1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据链式规则，有：H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) = H(X_0|X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据马尔可夫性质，有：H(X_0|X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) = H(X_0|X_{-1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据链式规则，有：H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) = H(X_{-1}|X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1}|X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1})根据马尔可夫性质，有：H(X_{-1}|X_{-2},...,X_{-n+1}) = H(X_{-1}|X_{-2})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1}|X_{-2}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据马尔可夫性质，有：H(X_{-1}|X_{-2}) = H(X_{-1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据熵的定义，有：H(X_0|X_{-1}) <= H(X_0)将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) <= 2H(X_0) + H(X_{-1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})由于熵是非负的，因此有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) <= 2H(X_0)又根据对称性，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0-|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})将上式代入上式中，有：H(X_0-|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) <= 2H(X_0)因此，有：H(X_0?) <= 2H(X_0)最后，根据熵的定义，有：H(X_0?) = H(X_0) - H(X_0|?)因为 H(X_0|?) >= 0，所以有：H(X_0?) <= H(X_0)综上所述，我们证明了 H(X_0+|+X_{-1},X_{-2}...,X_{-n}) <= H(X_0?)，即条件熵不大于熵。此外，由于条件熵和熵的差是非负的，因此在本题中，当且仅当条件熵等于熵时，条件熵的下界为 0，即 H(X_0+|+X_{-1},X_{-2}...,X_{-n}) = H(X_0?) = H(X_0)。因此，我们证明了 H(X_0+|+X_{-1},X_{-2}...,X_{-n}) = H(X_0?)，即在平稳随机过程的条件下，X_0 与 X_{-1}，X_{-2}，...，X_{-n} 的条件熵等于 X_0 的熵。

随机过程x(t)=acosωt，式中a，ω.为常数. E(a)=0, E(a^2)=b为常数. 答：是平稳过程. 证明：E(X(t)) = E(acosωt) = E(a)cosωt = 0 R(t1,t2) = E{(acosωt1)(acosωt2)} = E(a^2){(cosωt1)(cosωt2)} = bR(tao) 最后哪步你用积化和差公式算下

【答案】：B一个随机过程是平稳随机过程的充分必要条件，随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数仅与时间间隔有关。

证明一个随机过程是宽平稳过程或者独立增量过程：平稳分为严平稳和宽平稳，严平稳是指，任取x1，x2，xn，任取k，p（x1，x2，xn）=p（x1-k，x2-k，xn-k）。证明X（tn）与（X（t1），X（t2），X（t3），X（tn－2）独立；A与B独立且A与C独立，那么A与（B，C）独立；x（n＋1）与x（j）j＜n独立。定义用符号化语言表示出来，即：如果对于任意的n（n=1，2，···），t1，t2，···，tn∈T和任意实数h，当t1+h，t2+h，···，tn+h∈T时，n维随机变量（X（t1），X（t2），···，X（tn））和（X（t1+h），X（t2+h），···，X（tn+h））具有相同的分布函数，则称随机过程{X（t），t∈T}具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。

LMS算法中的u（n）和e（n）都是随机过程，得到的w(n)也是随机过程向量。应该也是平稳的，原因：w(n)均值当n趋近于无穷是w(n)趋近去确定的最优滤波器权系数w（确定值）符合平稳条件。（自相关函数不确定）影响LMS算法收敛速度的主要因素有迭代步长，滤波器阶数和滤波器权值的初始值。

根据平稳随机过程的定义可以证明出高斯白噪声的均值为零，自相关函数至于时间差有关而与具体的时间点无关，所以是平稳的。具体证明可以查看一下《概率论与随机过程》或者北邮的《通信原理》

白噪声一定是平稳随机过程，而且严格平稳，因为白噪声的二阶循环频率非零时周期自相关函数恒为零因而严格平稳。

平稳随机过程方差是交流功率的什么？平稳随机过程的方差是其功率谱密度函数的无穷积分。

对于平稳随机过程,本文提出一种方法可以用一周期函数替换之。该周期函数与被替换的随机过程具有相同的谱结构与均方值。这种方法适用于有限带宽随机激励的Monte—Carlo法。特别是对同一激励信号反复计算不同结构的响应时更可节省大量机时。

随机信号的幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的可能会是另外一种波形。无法用确定的时间函数来面熟，无法准确地预测它未来的变化。但是，随机信号的统计规律是确定的，因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型——随机过程。随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。在这里我们主要研究平稳随机过程。平稳随机过程：狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足图1.则称ξ(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。各态历经的平稳随机过程：对于一个平稳的随机过程，如果统计平均=时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。

严平稳随机过程的统计特性不随选取时间起点变化而变化；如果一个平稳随机过程的各种时间平均依概率1收敛于相应的集合平均,则具有严各态历经性.

见图

严平稳随机过程：如果随机过程X（t）的任意N维概率分布不随时间起点的变化而变化，即当时间平移时，若该随机过程存在概率密度函数，则其概率密度函数与时间t无关.一维概率密度表示如下：fx(x,t)=fx(x)。二维概率密度函数为：fx(x1,x2,t1,t2)=fx(x1,x2,t),其中t=t1-t2.证明的话，就可以通过一些已知条件，求出其相应维的概率密度函数，看符合定义就可以判断。一般来说，在随机过程的课程中，都是涉及到一维、二维的计算，更高维的计算不用考虑

已知自相关函数通过傅立叶变换可以得到（自）功率谱密度函数，而功率谱密度函数的无穷积分是平稳过程的方差（即平稳过程的总能量），功率谱密度函数描述着平稳过程的功率依频率的分布方式。这些概念在平稳过程的调控、分析和综合领域有重要的应用。

可以。平稳随机过程自相关函数主要用于测量序列特征和特征之间的关联。它可以用来识别一个序列中是否存在某种类型的模式或季节性变化。它还可以测量时间序列的稳定性，即在整个序列中，特定序列的自相关是否保持不变。

2R(T+a)-R(T)-R(T+2a)

E[Y(t)]=2+3*1=5，常数E[Y(t)Y(t+s)]=E{[2+3X(t)][2+3X(t+s)]}=4+6+6+9E[X(t)X(t+s)]=16+9E[X(t)X(t+s)]，仅与s有关E[Y(t)Y(t)]=E{[2+3X(t)][2+3X(t)]}=16+9*2=34,有限，故 Y(t)宽平稳，平均功率是34.

为便于统计分析。荷载处理的数据比较复杂，在时间上和空间上具有不确定性，为了更加精准，为便于对结构设计基准期内的荷载最大值QT的统计分析，通常将荷载处理成平稳二项随机过程。平稳二项随机过程的均值与时间无关，是一个常数。

方差就是在电阻为1时的交流功率

平稳过程不一定是各态历经性的，但各态历经性的随机过程必定是平稳过程。

下列关于实平稳随机过程的自相关函数说法正确的是（） A.R(0)表示平稳随机过程的平均功率 B.是关于t的偶函数 正确答案：AB

严平稳：随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关。广义平稳：①均值与t无关，为常数a。②自相关函数只与时间间隔=-有关。严平稳随机过程一定是广义平稳的，反之则不一定成立。

是的，严平稳比宽平稳的要求更高若{X(t），t∈T}是正态过程，则{X(t），t∈T}是严平稳过程的充要条件是{X(t），t∈T}位宽平稳过程。

平稳随机过程定义：所谓平稳随机过程，即指它的n维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化。函数展开式如下由上式可得：由于平稳随机过程一维概率密度与时间t无关，所以平稳随机过程的数学期望为：平稳随机过程的一阶原点矩为常数。平稳随机过程的方差：二维概率密度及依赖于时间间隔， 而与时间的个别值t2和t3 无关.。因此得：得：所以，一个狭义随机过程只要均方值有界，则它必定也是广义平稳随机过程