随机过程

对任意时刻t 都有EW(t)=0 E[W(t)^2]=tσ^2这是维纳过程的性质。所以X(t)的均值为EX(t)=tEW(1/t)=0并且还有EX(t)^2=t^2E[W(1/t)^2]=tσ^2，这个式子后面会用到故任取两个时刻s<t，X(t)的自相关函数为 E[X(s)X(t)]=stE[W(1/s)W(1/t)] ，注意到1/t<1/s，所以=stE[W(1/t){W(1/s)-W(1/t)}+W(1/t)^2]=stE[W(1/t){W(1/s)-W(1/t)}]+stE[W(1/t)^2]，由维纳过程独立增量的性质，有=stE[W(1/t)]E[W(1/s)-W(1/t)]+stE[W(1/t)^2]=0+stE[W(1/t)^2]=sσ^2

　　第1章概率论的基本概念1　　1.1预备知识1　　1.1.1随机试验1　　1.1.2样本空间2　　1.1.3随机事件2　　1.1.4事件的关系与运算3　　1.1.5事件的运算性质5　　1.1.6排列与组合5　　1.2事件的概率6　　1.2.1频率的定义6　　1.2.2古典概型7　　1.2.3几何概型12　　1.2.4概率的公理化定义13　　1.3条件概率14　　1.3.1条件概率14　　1.3.2乘法公式16　　1.3.3全概率公式17　　1.4事件的独立性19　　1.4.1两个事件的独立性19　　1.4.2多个事件的相互独立性20　　1.5案例分析22　　本章小结23　　习题124第2章随机变量及其分布27　　2.1随机变量的概念及分布函数27　　2.1.1随机变量的概念27　　2.1.2随机变量的分布函数29　　2.2离散型随机变量及其分布30　　2.2.1一维离散型随机变量的定义与性质30　　2.2.2常见一维离散型随机变量及其分布32　　2.2.3二维离散型随机变量的定义与性质36　　2.3连续型随机变量及其分布39　　2.3.1一维连续型随机变量的定义与性质39　　2.3.2二维连续型随机变量的定义与性质47　　2.4多维随机变量的边缘分布与条件分布49　　2.4.1边缘分布49　　2.4.2二维离散型随机变量的边缘分布49　　2.4.3二维连续型随机变量的边缘分布51　　2.4.4条件分布53　　2.4.5随机变量的独立性56　　2.5随机变量的函数的分布59　　2.5.1离散型随机变量的函数的分布59　　2.5.2连续型随机变量的函数的分布63　　2.6应用案例与实验69　　及时接车问题69　　本章小结72　　习题272第3章随机变量的数字特征81　　3.1数学期望81　　3.2随机变量的函数的数学期望84　　3.2.1随机变量的函数的数学期望84　　3.2.2数学期望的性质86　　3.2.3方差87　　3.2.4几种常用随机变量的期望与方差90　　3.2.5协方差与相关系数92　　3.2.6矩95　　3.2.7n维正态随机变量的重要性质96*3.3条件数学期望96*3.4特征函数99　　3.5大数定律与中心极限定理101　　3.5.1切比雪夫不等式102　　3.5.2大数定律102　　3.5.3中心极限定理103*3.6应用案例分析107　　案例1报童问题107　　案例2蒙特卡罗模拟108　　案例3点目标图像信噪比计算方法109　　本章小结115　　习题3115第4章随机过程基础120　　4.1随机过程的概念及其统计描述120　　4.1.1随机过程的概念120　　4.1.2随机过程的统计描述122　　4.2泊松过程和维纳过程124　　4.2.1独立增量过程124　　4.2.2泊松过程125　　4.2.3维纳过程126　　4.3马尔可夫链127　　4.3.1马尔可夫链的基本概念127　　4.3.2齐次马尔可夫链的多步转移概率131　　4.3.3遍历性133　　4.4应用案例136　　案例1赌徒输光问题136　　案例2种群灭绝原因探讨137　　案例3直扩信号检测与估计139　　本章小结142　　习题4142第5章平稳过程145　　5.1平稳过程的基本概念145　　5.1.1严平稳过程的概念145　　5.1.2严平稳过程的数字特征145　　5.1.3宽平稳过程的概念146　　5.2平稳过程的功率谱密度150　　5.2.1随机分析的相关概念150　　5.2.2傅里叶变换及其物理意义156　　5.2.3随机过程功率谱157　　5.2.4谱密度的性质158　　5.2.5互谱密度及性质164　　5.3平稳过程的遍历性166　　5.4平稳过程在线性系统中的应用169　　5.5均值函数与互相关函数的仿真实现172　　本章小结174　　习题5174第6章数理统计基础177　　6.1数理统计的基本概念177　　6.1.1总体与样本177　　6.1.2统计量178　　6.1.3统计量的分布179　　6.1.4正态总体的样本均值与样本方差的分布181　　6.2参数估计182　　6.2.1参数的点估计182　　6.2.2估计量的评选标准185　　6.2.3区间估计187　　6.3假设检验190　　6.3.1假设检验的基本原理与概念191　　6.3.2假设检验的两类错误192　　6.3.3双侧假设检验与单侧假设检验193　　6.3.4单个总体均值与方差的假设检验194　　6.4案例分析196　　本章小结198　　习题6198习题参考答案200附表1泊松分布数值表214附表2标准正态分布表217附表3t分布表218附表4χ2分布表219附表5F分布表222参考文献228

白噪声，高斯过程，平稳过程，窄带随机过程这几个概念间是组合关系，没有相关关系，即没有谁决定谁，也没有谁包括谁。具体说来：⑴功率谱为的白噪声不一定是高斯随机过程，这说明功率谱与随机过程并不像傅里叶变换那样原函数与变换后的函数一一对应，同样高斯随机过程的功率谱也不一是的均匀谱。⑵高斯随机过程不一定是平稳随机过程，如维纳过程就是均值为零，平稳的高斯型白噪声通过理想积分器后获得的随机过程，因为是线性变换，所以维纳过程也是高斯随机过程，但它不再是平稳的（平稳过程通过积分器后一般就不再平稳了，因为与时间起点有关了，而不再只是与时间间隔有关）⑶窄带信号不一定是随机过程，窄带信号都可以表示成的形式，如果相位或包络任意一个或二者包含有随机成分，则这个窄带信号就称为窄带随机过程。另外只要是窄带信号，那么不管信号是不是随机过程，都可以分解出同相分量和正交分量。⑷说窄带噪声就一定不是白噪声了，白意味着频谱宽。⑸我们课程上重点研究的两类窄带随机过程：即“窄带平稳实高斯随机过程”和“随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和”这两类随机过程。⑹高斯型随机过程并不一定不包含有用信号，如Y(t)=S(t)+N(t),其中N(t)是高斯窄带噪声，是高斯型随机过程，S(t)是一个确定信号，所以Y(t)是高斯型随机过程，而且这个高斯型随机过程还包含了有用信号

随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响，它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

难是必须的。首先要从概率论与数理统计这本书中找线索，找研究思路。比如有些概率论与数理统计的教材后面把统计知识讲完后，略讲些维纳过程和MAKOV过程，以及有限变差和均方收敛等知识，是不错的启蒙与引入。

随机过程的发展 随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。 气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀？又如,在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。 随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。 随机过程的定义 设 (Ω,F,p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间）,如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝{x(t),t∈T}为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集,也称{xn}为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。 过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。 如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间（即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域）,称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,{ω:x(ω)∈B}∈F。特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域）,则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数u0192=(u0192(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称{x(t),t∈T}为取值于E的随机过程。 以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。 有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布）,对随机过程x={x(t),t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T,i＝1，2,…,n,考虑的联合分布函数，,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件： ① 对(1,2,…，n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn)， ； ② 若m<n，则。反之,有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数如果它满足①、②,则必存在概率空间(Ω,F,p)及定义于其上的随机过程x，而且x的有穷维分布族重合于F。 从测度论的观点看，每一随机过程x={x(t),t∈T}在(RT,BT)上产生一概率测度PX，称为x 的分布,它在上述柱集上的值就是 正态过程 有穷维分布都是正态分布的随机过程,又称高斯过程。就象一维正态分布被它的均值（见数学期望）和方差所确定一样,正态过程{x(t),t∈T}被它的均值函数m(t)=Ex(t)和协方差函数 λ(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定，其中λ(s，t)是对称非负定函数，即λ(s，t)=λ(t,s)，而且对任意的 tj∈T及实数αj，1≤i≤n，有反之,对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数λ(s,t),由柯尔莫哥洛夫定理可证,存在一个正态过程，以m(t)为其均值函数，以λ(s,t)为其协方差函数。 根据中心极限定理，许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。此外，正态过程有一系列的好性质,如它的最佳线性估计重合于条件期望,这一点在应用上是很方便的，既准确又便于计算。因此正态过程在实际中有广泛的应用，在无线电通讯及自动控制中尤为重要。为方便计,设m(t)呏0。任取tj,t∈T,用L(x(t1),x(t2), …,x(tn))表示由x(t1),x(t2),…,x(tn)的线性组合所构成的希尔伯特空间，x(t)在此空间上的投影记作 称为x(t)关于x(t1)，x(t2),…，x(tn)的最佳线性估计,即线性最小均方误差估计;条件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),…，x(tn))则是非线性的最小均方误差估计。对正态过程来讲，这两种估计以概率1相等。 可分性 设F是p-完备的,即F包含任何概率为零的集的一切子集。在随机过程的研究中,Ω的某些重要的子集并不能由事件（即F中的元素）经可列次集运算而得到。例如对一切若T不可列,则作为不可列多个事件的交,A未必是一个事件,也就谈不上它的概率。为了解决这类问题,杜布引进了随机过程可分性的概念。称过程x 关于T 的某一可列稠集Q可分(或简称可分)，是指除了一个概率为零的集N外,x在每一t∈T 处的值,可以用限于Q的x在t附近的值来任意逼近；即任给不属于N的ω，存在{rj}∈Q，使得rj→t,且x(rj,ω)→x(t,ω)。所谓Q为T 的稠集，是指T 的每一点必是Q 中某个点列的极限。如果x 关于Q 可分,则可以证明上述的 A是一个事件，而且有p(A)＝p({ω:|x(r,ω)|≤α,对一切r∈Q})。如果过程x关于T的任一可列稠集都可分,则称x完全可分。 设x={x(t)，t∈T}与Y={Y(t),t∈T}为定义在概率空间(Ω，F，p),上的两个随机过程,如果对任何t∈T,p(x(t)=Y(t))=1,则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时，x和Y有相同的有穷维分布族。虽然任给的过程 x未必可分，但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x,必存在与它等价的可分过程Y 。因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时，可取一可分过程Y来代替x。 过程x称为随机连续,如果对任一t0∈T,在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有，对随机连续的过程x，必存在一个完全可分过程Y与之等价。 可测性 为了研究样本函数对t的积分等问题,需要x(t,ω)关于两个变量(t,ω)的可测性。设T是R中某区间，B(T)是T中全体波莱尔集所成的σ域,B(T)×F表示乘积σ域,μ=L×P表示勒贝格测度L(见测度论）与p的乘积测度，表示 B(T)×F关于μ的完备化σ域。 称随机过程x为可测的,如果对任一实数α，有： 称随机过程x 为波莱尔可测的，如果对任一实数α，有。如果过程x 随机连续，则必存在与x 等价的、可测而且完全可分的过程Y。 有时还需要更强的可测性。设给了F的一族子σ 域{，t∈T}，其中T=R+=【0，∞)，满足：①单调性,对s≤t，嶅；②右连续性， ③完备性，F0包含F 的一切概率为零的集。称x 为{}-适应的，如果对任一t，xt为可测；称xt为{}-循序可测的，如果对任一t∈T 及实数α，有{(s,ω):x(s,ω)≤α, s≤t}(【0,t】)×。 循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，但逆之不然，除非样本函数性质较好。例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测。使一切样本函数右连续的适应过程都可测的T×Ω上的最小σ域，称为可选σ域，关于可选σ域可测的过程称为可选过程。可见，可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性。进一步,使一切样本函数连续的适应过程都可测的T ×Ω上的最小σ域,称为可料σ域，关于可料σ域可测的过程称为可料过程。这又是一种比可选可测性更强的可测性。可以证明，样本函数左连续的适应过程都是可料过程。 轨道性质 当人们观察物体作随机运动时，最感兴趣的问题之一是它的轨道性状，因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，过程的轨道x(t,ω), α≤t≤b,以概率1有界，或无第二类断点，或是阶梯函数，或是连续函数，等等。函数u0192(t)在【α,b】上无第二类断点是指：对每一个t0∈(α,b)，存在左、右极限及 而在α、b)处，则存在单侧极限。 设过程{x(t), t∈【α,b】}可分，而且存在常数α>0，ε>0，с≥0,使得对任意的t∈【α,b】,t+Δt∈【α,b】，有,则过程的轨道以概率1在【α,b】上一致连续。设可分过程{x(t)，t∈【α,b】}随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0,使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有 则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程{x(t),t∈【α,b】}，只要存在с≥0,α>0，使得 ,x的轨道就以概率1连续。 停时 这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事,它带来了许多新的研究课题,而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。 直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如,灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ,τ(ω)=inf{t>0,x(t,ω)∈A}，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u),u≤t}。 一般地，设在可测空间(Ω,F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族{,t∈R+},称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有{τ≤t}∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。 类似于，对停时τ可以定义σ域,其中为包含一切的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。 停时有许多好的性质,例如,若τ1、τ2是停时,则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中,;还有，这里表示包含、的最小σ域；进一步，若{τn}是一列停时，则也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。 二阶过程 均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(∧,A)上的有限测度，如果对每一A∈A,有一复值随机变量Z(A)与它对应,且满足：①E|Z(A)|2< ∞；②则称Z＝{Z(A)，A∈A}为(∧，A)上的正交随机测度。定义在∧上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（∧，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数,， 就可以产生一个二阶过程,满足 (1)它的二阶矩为 。 (2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程{x(t),t∈【α,b)】},则有级数展开式 其中{ηn}是标准正交实随机变量序列,即；δnm=0，n=m时,δnm=1)，λn是积分方程的本征值，ψn是相应的本征函数 Γ(t,s)=Ex(t)x(s)。 特殊随机过程类 对过程的概率结构作各种假设,便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单,便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同,前者连续而后者则是上升的阶梯函数。 广义过程 正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ,ω),如果对固定的ω,x(·,ω)∈Dx是广义函数,而对固定的φ,x(φ，·)是随机变量,则称{x(φ,ω):φ∈D}为定义在(Ω,F,p)上的广义过程。它在φ1,φ2,…,φn上的联合分布为 全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函 和相关泛函 根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1,φ2,…,φn，有限维分布都是正态分布，则称x＝{x(φ,ω)}为广义正态过程。

分类: 商业/理财 问题描述: 什么是产定价理论、投资组合理论、布朗维纳随机过程 解析: 1.投资组合，是指投资者将投资资金按照一定比例已组合投资的形式投资在不同的资产上。而投资组合理论，是讨论由多项资产构成的资产组合作为一个整体的风险与收益关系，以及投资者如何合理的选择自己的最佳投资组合等问题。 2.资本资产定价模型，全称 Capital asset pricing model 风险越高 投资者所要求的预期收益就越高 这样才能弥补他所承受的高风险。 这个模型 风险资产的收益率＝无风险资产的收益率＋风险溢价 风险溢价＝（市场整体收益率－无风险资产收益率）*（一个系数） 一般用希腊字母β表示 风险不是资产，资产是能带来收益的。 我用股市来说明吧 个股的合理回报率＝无风险回报率＋β*（整体股市回报率－无风险回报率（可以用国债收益率衡量）） β＝1时， 代表该个股的系统风险＝大盘整体系统风险， β>1 时 代表该个股的系统风险高于大盘 一般是易受经济周期影响 例如 地产股 和耐用消费品股。这种一般称为景气循环股（cyclicals） β<1时 代表该个股风险低于大盘 一般不易受经济周期影响 例如食品零售业 和 公共事业股。 这种一般成为 防御类股（defensive stocks） 系统风险越高 也就是易受经济周期影响 投资者就需要较高的回报率抵补他承受的高风险。 我理解的是 资产的价值是由它未来产生的现金流决定的，对于像股票这样的资本资产，它的价值就是由它未来产生的收益决定的，所以收益率是最关键的。收益率决定了资本资产的定价。所以称为资本资产定价模型。 3.布朗维纳随即过程，布朗指布朗运动，是微小粒子表现出的无规则运动。现在把定义在连续函数空间的一种描述布朗运动的测度称为维纳测度，相应的随机过程称为维纳过程。

f"(x)=x^2-（a+1）x+b ∵f"(x)过原点，∴b=0 （1）a=1时，f"(x)=x^2-2x， f"(3)=3，f(3)=9-9+1=1, 切线为：y=3x-8 (2)即存在x<0,使得x^2-（a+1）x=-9, 即方程x^2-（a+1）x+9=0至少有一个负根， 因为两根之积是正的，故只能是有两个负根 a+1<0,a<-1 且(a+1)^2-36≥0,a+1≤-6 故a最大为-7 （3）要分类讨论，首先讨论导函数的根的情况， 0<a≤5时，f"(x)≥0，原函数单调增，只有一个零点 a>5时，f"(x)=0有两个不等根，设为x1,x2,且x1<x2 则在x1处原函数有极大值，x2处有极小值 讨论这两个极值和0的关系，若都大于0或都小于0，则一个零点 若有一个为0，另一个非零，则两个零点 若异号则三个零点

看来你是数学读研的朋友，这几门课都比较麻烦。 个人认为数学物理方程最麻烦，其实就是偏微分方程，单单数学专业，建立方程及定解条件的过程一般可以省掉，但如果是偏物理学专业课程，这个过程对于数学专业来说那就麻烦了。 另外个人觉得矩阵分析最简单，需要线性代数的知识； 近世代数学的是群、环、域等知识，比较抽象，其实就是一些研究对象加上运算满足一定运算率的运算后组成的集合，需要线性代数和一点微积分知识。其他几门课得看你是学什么专业，你最好是去咨询你的导师，只有他最清楚将来要你做哪一方面的东西，所以只有他能告诉你必须学什么，哪些可以略知一二。

1.宽平稳过程定只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则必定是宽平稳过程。但反过来，一般是不成立的。2.正态过程是一个重要特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。

平稳随机过程具有各态历经性，相关函数只和时间间隔有关

是。自相关函数为偶函数在复平稳随机过程中时是呈偶对称的，偶对称指对称字数为偶数，奇数即单数，偶数即双数。而平稳随机过程的自然相关函数与时间起点无关，只与时间间隔有关，而且是偶函数。

是,因为泊松过程的一种定义（或者说是定理,不同书上的定义方式不同,但都是等价的）,就包含了这一条：对任何时刻t和增量h,随机变量（增量）N(t+h)-N(t)的概率分布只和h有关,和t无关.即平稳增量性,所以满足平稳过程的要求. 很多随机过程都是平稳过程.

严格平稳随机过程是可以直接定义为随机过程中每个随机变量都相同的了

一.选择填空题: ( 每空1分, 共18分 ) 1.数字通信系统的 3 用频带利用率描述； 7 用系统输出误码率描述。 2.衡量一个模拟通信系统的有效性常用指标： 1 ；可靠性常用指标 5 。 3.加性噪声的特点是：功率谱为 8 ，随机取值符合 6 ，任意两时刻的值 9 。 4.窄带随机噪声的包络服从 13 ，相位服从 17 。 5.调制信道指从系统调制器的 11 到解调器的 18 的部分。 6.信号在恒参信道中传输时主要有 12 失真和 16 失真。 7.为了更好地适应信道的传输特性，大多数信号需要通过 4 后进行传输。 8.幅度调制是用 2 去控制 10 的 15 参量。 9.AM的 14 解调可能存在门限效应。 备选答案： 1 ）系统有效传输频带 2). 调制信号 3). 有效性 4). 调制 5 ）系统的输出信噪比 6). 高斯分布 7). 可靠性 8). 常数 9). 互不相关 10). 高频载波 11). 输出端 12). 相频 13). 瑞利分布 14). 非相干 15). 幅度16) 幅频 17). 均匀分布 18). 输入端 二.简答题（每小题2分，共12分） 1.点对点通信的工作方式有哪几种？ 单工通信、半双工通信、全双工通信； 2.一个实平稳随机过程的自相关函数为R(t)，如何确定其平均功率，直流功率和交流功率？ 为实平稳随机过程的平均功率； 为实平稳随机过程的直流功率； 为实平稳随机过程的交流功率； 3.什么是门限效应？ 门限效应：包络检波器的输入信噪比降低到一个特定的数值后，检波器输出信噪比出现急剧恶化的一种现象。 4.模拟通信调制系统中，制度增益G的含义是什么？ 制度增益G 的含义是：输出信噪比与输入信噪比的比值。 5.随参信道有什么主要特点？ 随参信道的主要特点是：对信号的衰减随时间而变；对信号的时延随时间而变；多径传输。 6.为什么说DSB与SSB系统的抗噪声性能是相同的？ 在相同的信道噪声条件下，若接收信号功率相同，则SSB 与DSB 的解调输出信噪比相同，所以SSB 与DSB 系统的抗噪声性能是相同的。 三. ( 5分 )某二进制数据通信系统的码元传输速率为20kBd，若系统传输误码率为0.00001，则平均1分钟有多少个传输误码？ 1 分钟码元总数： 20k × 60=1.2 × 10 6 传输误码： 0.00001 × 1.2 × 10 6 =12 个 四.（8分）一个1，0等概的二进制数字信号，一分钟可传送18000bit的信息量，试求码元速率。如果每分钟传送的信息量仍为18000 bit，但改用等概的八进制数字信号，求码元速率。 二进制码元速率： ； 八进制信息速率： ；码元速率： ； 五. ( 12分 )某信源发出64个字符组成的信息，每个字符用 6 位 二进制码组表示，二进制码宽为4 ms。其中30个字符出现的可能性各为1/128，20个字符出现的可能性各为1/64，10个字符出现的可能性各为3/128，4个字符出现的可能性各为7/128。 1.试计算每个字符的平均信息量及字符的信息速率 ; 2.若高斯信道带宽为25KHz，信噪比为255倍，则上述信号能否无差错传送？ 1. 每个字符的平均信息量 H=30 ×1/128 log 2 128+20 ×1/64 log 2 64+10 ×3/128 log 2 （128/3 ） +4 ×7/128 log 2 （128/7 ）=5.7bit/ 符号 （4 分） 每个字符由6 位二进制码表示 ，字符传输速率 R B =(6 ×4 ms) -1 =41.7 K B 信息速率 R b = R B ×H =237.69 Kbit/s （4 分） 2. 信道容量C=B log 2 （1+S/N ）=25K × log 2 （1+255 ）=200 Kbit/s ＜ R b =237.69 Kbit/s 上述信号不能无差错传送。 （4 分） 六．（10分）设z(t)=x 1 cosω 0 t-x 2 sinω 0 t是一随机过程，若x 1 和x 2 是彼此独立且具有均值为0，方差为σ 2 的正态随机变量，试判断z(t)是否广义平稳。 若以f s 的速率对z(t)进行抽样，要求样值间互不相关，则最高抽样速率f smax 为多少？ （1 ）判断 是否平稳： a、 均值 ； 可见，均值与时间t 无关 b 、自相关函数为： ， 自相关函数仅和时间差 有关。 ∴ 广义平稳。 （5 分） （2 ）要求样值间互不相关，即第（1 ）问中所求的自相关函数 ＝0 ， 即 ∴最高抽样速率 （5 分） 七．（10分）调制信号为 ，载波频率为 ，若采用调幅方式， ，请写出 信号表示式。如果采用相干解调，其调制制度增益为多少？ 依题意可得： （3 分） 所以,AM 信号的表达式为： （3 分） 如果采用相干解调，其制度增益： （ 4 分） 八. ( 12分 )设最高频率为5KHz的低频信号经DSB调制后，平均发送功率 5 W。信道传输的功率衰耗为10dB/km，信道中存在高斯白噪声，其双边功率谱密度为n 0 /2=5×10 -13 W/Hz，要求接收输出信噪比S 0 /N 0 ≥40dB。试确定已调信号的带宽和最大传送距离。 已调信号带宽 B D =10kHz （4 分） 接收信噪比 (S/N) i =(S o /N o )/2 0.5×10 4 倍 接收信号功率 S i 0.5×10 4 N i =0.5×10 4 2 5×10 -13 10 10 3 =5×10 -5 W 信道总衰耗 L ≤ 5 W / （ 5×10 -5 W ） =10 5 倍 =50db 最大传送距离D =50db /10dB/km =5 km （8 分） 九．（13分）某模拟通信系统，单路模拟调制信号最高频率为4KHz，采用FM方式，最大调制频偏6KHz，则已调信号带宽为多大？ 若此FM信号多路复用，保护带宽为单路已调信号带宽的50%，系统无线传输频段宽度为1MHz，则该系统能容纳多少路信号？ 若需传输的上述模拟调制信号达120路，无线传输频段宽度仍为1MHz以内，多路复用保护带宽仍为单路已调信号带宽的50%，请问选择何种模拟调制方式，并确定实际复用带宽为多大？ 1 ）FM 信号的带宽B FM ＝2 （Δf ＋f m ）＝2 （6+4 ）＝20KHz （4 分） 2 ）保护带宽B g ＝50 ％B FM ＝10KHz 设能容纳n 路信号，则有 nB FM + （n-1 ）B g ＝10 6 代入数值，解之，并取n ＝[33.67] ＝33 所以共能容纳33 路信号 （4 分） 3 ）设调制方式的调制后的带宽为B ，则依题意保护带宽为50 ％B 。于是有： 120B+119 ·50 ％B ＝10 6 解得B ＝5.57KHz 可见，对最高频率为4KHz 的信号调制后的带宽不能超过5.57KHz ，故采用SSB 调制，此时调制后的带宽B SSB ＝f m ＝4KHz 保护带宽为2KHz 所以实际复用后的带宽为 120 ×4000 ＋119 ×2000 ＝0.718MHz （5 分）

..;可以看出期望仍未与时间无关的常数.，与起始时刻无关.。推导过程随便翻一本通信原理的书上面都有,f=0时是的；广义平稳 不就是满足 期望为常数 相关函数与其实时刻无关就行了吗，输出y（t）的期望==输入的期望 *H(0).H(0)为线性系统H(f)。y（t）的自相关函数经过推导得出 与t1-t2的的时间差值有关。关于 循环平稳随机 经过线性系统 是不是 仍为循环平稳 这个我就不清楚了

平稳随机过程定义：所谓平稳随机过程，即指它的n维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化。函数展开式如下由上式可得：由于平稳随机过程一维概率密度与时间t无关，所以平稳随机过程的数学期望为：平稳随机过程的一阶原点矩为常数。平稳随机过程的方差：二维概率密度及依赖于时间间隔， 而与时间的个别值t2和t3 无关.。因此得：得：所以，一个狭义随机过程只要均方值有界，则它必定也是广义平稳随机过程

下列关于实平稳随机过程的自相关函数说法正确的是（） A.R(0)表示平稳随机过程的平均功率 B.是关于t的偶函数 正确答案：AB

平稳过程不一定是各态历经性的，但各态历经性的随机过程必定是平稳过程。

方差就是在电阻为1时的交流功率

为便于统计分析。荷载处理的数据比较复杂，在时间上和空间上具有不确定性，为了更加精准，为便于对结构设计基准期内的荷载最大值QT的统计分析，通常将荷载处理成平稳二项随机过程。平稳二项随机过程的均值与时间无关，是一个常数。

E[Y(t)]=2+3*1=5，常数E[Y(t)Y(t+s)]=E{[2+3X(t)][2+3X(t+s)]}=4+6+6+9E[X(t)X(t+s)]=16+9E[X(t)X(t+s)]，仅与s有关E[Y(t)Y(t)]=E{[2+3X(t)][2+3X(t)]}=16+9*2=34,有限，故 Y(t)宽平稳，平均功率是34.

2R(T+a)-R(T)-R(T+2a)

可以。平稳随机过程自相关函数主要用于测量序列特征和特征之间的关联。它可以用来识别一个序列中是否存在某种类型的模式或季节性变化。它还可以测量时间序列的稳定性，即在整个序列中，特定序列的自相关是否保持不变。

已知自相关函数通过傅立叶变换可以得到（自）功率谱密度函数，而功率谱密度函数的无穷积分是平稳过程的方差（即平稳过程的总能量），功率谱密度函数描述着平稳过程的功率依频率的分布方式。这些概念在平稳过程的调控、分析和综合领域有重要的应用。

严平稳随机过程：如果随机过程X（t）的任意N维概率分布不随时间起点的变化而变化，即当时间平移时，若该随机过程存在概率密度函数，则其概率密度函数与时间t无关.一维概率密度表示如下：fx(x,t)=fx(x)。二维概率密度函数为：fx(x1,x2,t1,t2)=fx(x1,x2,t),其中t=t1-t2.证明的话，就可以通过一些已知条件，求出其相应维的概率密度函数，看符合定义就可以判断。一般来说，在随机过程的课程中，都是涉及到一维、二维的计算，更高维的计算不用考虑

见图

严平稳随机过程的统计特性不随选取时间起点变化而变化；如果一个平稳随机过程的各种时间平均依概率1收敛于相应的集合平均,则具有严各态历经性.

随机信号的幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的可能会是另外一种波形。无法用确定的时间函数来面熟，无法准确地预测它未来的变化。但是，随机信号的统计规律是确定的，因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型——随机过程。随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。在这里我们主要研究平稳随机过程。平稳随机过程：狭义平稳概念：所谓平稳随机过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足图1.则称ξ(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。各态历经的平稳随机过程：对于一个平稳的随机过程，如果统计平均=时间平均，这个随机过程就叫做各态历经的平稳随机过程。

对于平稳随机过程,本文提出一种方法可以用一周期函数替换之。该周期函数与被替换的随机过程具有相同的谱结构与均方值。这种方法适用于有限带宽随机激励的Monte—Carlo法。特别是对同一激励信号反复计算不同结构的响应时更可节省大量机时。

平稳随机过程方差是交流功率的什么？平稳随机过程的方差是其功率谱密度函数的无穷积分。

白噪声一定是平稳随机过程，而且严格平稳，因为白噪声的二阶循环频率非零时周期自相关函数恒为零因而严格平稳。

根据平稳随机过程的定义可以证明出高斯白噪声的均值为零，自相关函数至于时间差有关而与具体的时间点无关，所以是平稳的。具体证明可以查看一下《概率论与随机过程》或者北邮的《通信原理》

LMS算法中的u（n）和e（n）都是随机过程，得到的w(n)也是随机过程向量。应该也是平稳的，原因：w(n)均值当n趋近于无穷是w(n)趋近去确定的最优滤波器权系数w（确定值）符合平稳条件。（自相关函数不确定）影响LMS算法收敛速度的主要因素有迭代步长，滤波器阶数和滤波器权值的初始值。

证明一个随机过程是宽平稳过程或者独立增量过程：平稳分为严平稳和宽平稳，严平稳是指，任取x1，x2，xn，任取k，p（x1，x2，xn）=p（x1-k，x2-k，xn-k）。证明X（tn）与（X（t1），X（t2），X（t3），X（tn－2）独立；A与B独立且A与C独立，那么A与（B，C）独立；x（n＋1）与x（j）j＜n独立。定义用符号化语言表示出来，即：如果对于任意的n（n=1，2，···），t1，t2，···，tn∈T和任意实数h，当t1+h，t2+h，···，tn+h∈T时，n维随机变量（X（t1），X（t2），···，X（tn））和（X（t1+h），X（t2+h），···，X（tn+h））具有相同的分布函数，则称随机过程{X（t），t∈T}具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。

【答案】：B一个随机过程是平稳随机过程的充分必要条件，随机过程的数学期望与时间无关，且其相关函数仅与时间间隔有关。

随机过程x(t)=acosωt，式中a，ω.为常数. E(a)=0, E(a^2)=b为常数. 答：是平稳过程. 证明：E(X(t)) = E(acosωt) = E(a)cosωt = 0 R(t1,t2) = E{(acosωt1)(acosωt2)} = E(a^2){(cosωt1)(cosωt2)} = bR(tao) 最后哪步你用积化和差公式算下

根据平稳随机过程的定义，时间平移不会改变其统计性质，即对于任意整数 k，随机变量序列 (X_i) 和 (X_i+k) 具有相同的统计性质。因此，我们可以将时间箭头移到时刻 0，即假设 (X_i) 平稳，等价于假设 (X_i+1) 平稳。根据条件熵的定义，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0,X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据平稳性质，有：H(X_0,X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1,X_0,X_{-1},...,X_{-n+1})将上式代入条件熵的定义式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1,X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据链式规则，有：H(X_1,X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) = H(X_1|X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1|X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据马尔可夫性质，有：H(X_1|X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) = H(X_1|X_0)将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_1|X_0) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据平稳性质，有：H(X_1|X_0) = H(X_0|X_{-1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据链式规则，有：H(X_0,X_{-1},...,X_{-n+1}) = H(X_0|X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据马尔可夫性质，有：H(X_0|X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) = H(X_0|X_{-1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据链式规则，有：H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1}) = H(X_{-1}|X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1}|X_{-2},...,X_{-n+1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n+1})根据马尔可夫性质，有：H(X_{-1}|X_{-2},...,X_{-n+1}) = H(X_{-1}|X_{-2})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1}|X_{-2}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据马尔可夫性质，有：H(X_{-1}|X_{-2}) = H(X_{-1})将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0|X_{-1}) + H(X_0|X_{-1}) + H(X_{-1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})根据熵的定义，有：H(X_0|X_{-1}) <= H(X_0)将上式代入上式中，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) <= 2H(X_0) + H(X_{-1}) + H(X_{-2},...,X_{-n+1}) - H(X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})由于熵是非负的，因此有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) <= 2H(X_0)又根据对称性，有：H(X_0+|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) = H(X_0-|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n})将上式代入上式中，有：H(X_0-|+X_{-1},X_{-2},...,X_{-n}) <= 2H(X_0)因此，有：H(X_0?) <= 2H(X_0)最后，根据熵的定义，有：H(X_0?) = H(X_0) - H(X_0|?)因为 H(X_0|?) >= 0，所以有：H(X_0?) <= H(X_0)综上所述，我们证明了 H(X_0+|+X_{-1},X_{-2}...,X_{-n}) <= H(X_0?)，即条件熵不大于熵。此外，由于条件熵和熵的差是非负的，因此在本题中，当且仅当条件熵等于熵时，条件熵的下界为 0，即 H(X_0+|+X_{-1},X_{-2}...,X_{-n}) = H(X_0?) = H(X_0)。因此，我们证明了 H(X_0+|+X_{-1},X_{-2}...,X_{-n}) = H(X_0?)，即在平稳随机过程的条件下，X_0 与 X_{-1}，X_{-2}，...，X_{-n} 的条件熵等于 X_0 的熵。

通信原理广义平稳随机过程有哪些性质?答：（1） E{X(t)} = 常数。（2） E{X(t1)X(t2)} = R(t2-t1)还有很多性质。比如 R(t2-t1) 是一正定函数。

这里的相关说的是“自相关”，就是评价该随机过程中不同时间点之间的相关性。s和t表示两个时间点。如果 R(t,s)=R(s-t)，就表明相关性和t,s的具体取值没有关系，而只和t,s之间的差值有关，所以叫做平稳过程。可以简单理解为在该随机过程中不同点之间的相关性只和他们之间的距离有关，而与他们的位置无关。具体计算直接代公式就可以了，得到一个相关函数，只和s，t差值有关。

E{X(t)}=常数， E{Y(t)}= 常数,E{X(t1)Y(t2)} = R(t1,t2)=R(t1-t2).则X(t),Y(t)称之为联合平稳随机过程。

是，因为泊松过程的一种定义（或者说是定理，不同书上的定义方式不同，但都是等价的），就包含了这一条：对任何时刻t和增量h，随机变量（增量）N(t+h)-N(t)的概率分布只和h有关，和t无关。即平稳增量性，所以满足平稳过程的要求。很多随机过程都是平稳过程。

平稳随机过程定义：所谓平稳随机过程，即指它的n维分布函数或概率密度函数不随时间的平移而变化。函数展开式如下由上式可得：由于平稳随机过程一维概率密度与时间t无关，所以平稳随机过程的数学期望为：平稳随机过程的一阶原点矩为常数。

随机过程定义[1]1. 设随机试验的样本空间为 ，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数 与之对应，而对于空间的所有样本 ，可有一组时间函数 与其对应，那么，此时称此组时间函数 为随机过程 。2. 对于某一固定时刻 ， 为时间函数在 时 的状态，它是一个随机变量，它的样本空间为 。如果把该状态样本空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t就有一组这样的状态函数，我们称此组状态函数 为随机过程 。定义1与定义2本质上是一致的，后者常用于做理论分析。讨论1. 若t和x都是变量，则随机过程是一组样本记录，可用全部样本记录的集合描述；2. 若t是变量，而x是固定值，则随机过程只是一个样本记发，它可描述为一个确定的时间函数；3. 若t是固定值，而x是变量，则随机过程是一个随机变量，它只是全部样本记录中某个固定时刻的点集合；4. 若t和x都是固定值，则随机过程是确定值。显然，只有（1）才反映一个随机变量的完整的随机过程，其他都只是随机过程的一个样本或样点。随机过程分类[1]1. 按时间和状态是否连续分为：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列；2. 按样本函数形式分为：不确定随机过程和确定随机过程；3. 按随机过程分布函数的特性不同分为：平稳过程、马尔克夫过程、独立增量过程等；4. 按有无平稳性分为：平稳随机过程和非平稳随机过程；5. 按有无各态历经分为：各态历经随机过程和非各态历经随机过程；6. 按功率谱特性分为：白色过程和有色过程，宽带过程和窄带过程。 随机过程的统计特性1. 随机过程的均值函数计算随机过程均值的方法有两种，一是关于总体样本点的平均，简称总体平均；二是关于时间样本点的平均，简称时间平均。究竟采用上述哪种平均法，可根据随机变量的随机过程是否为平稳随机过程加以确定。但不论是否为平稳过程，采用总体平均的方法总是通用的。 （1） 该均值对平稳随机过程来说，为物理量随机信号的平均幅值，它反映了物理量的随机信号的直流分量。2. 随机过程的协方差函数 3. 随机过程的方差函数 对于平稳随机过程来说，它是一种定量反映物理量随机信号脉动能量大小的一个量。4. 随机过程的相关函数 5. 随机过程协方差函数与相关函数之间的关系 6. 随机过程均值函数、方差函数之间的关系 均方值函数为方差函数与均值函数的平方之和，即对平稳随机过程来说，随机信号的总体能量为直流能量与脉动能量之和。7. 单个样本记录的时间平均时间平均是一种针对“各态历经”过程的随机信号统计特征的平均方法。它只需要一个样本记录 ，并从中获取随机信号的统计特征。值得一提的是，由于物理现象中大多数参变量的信号为平稳过程，并可将它们近似为各态历经的，所以工程中对于获取有关平稳过程随机信号的统计特性常采用时间平均法。对于一个平稳随机过程来说，信号的时间平均结果应与总体平均的结果具有同样的效果。几个重要的随机过程1. 平稳随机过程采用和或计算随机过程的一阶矩和二阶矩时，如果其结果不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为弱平稳过程或广义平稳过程，工程上也称之为平稳过程。2. 强平稳过程如果对于一个随机过程来说，除了一阶矩和二阶矩的结果外，它的无限个高阶矩和联合矩的结果都不随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为强平稳过程。3. 非平稳过程在采用和或求取随机过程的一阶矩和二阶联合矩时，只要它们的结果中有一个随给定时刻t而变化，那么该随机过程就为非平稳过程。4. 各态历经过程对于在可能控制的相同实验条件下所有样本记录来说，如果它们每一个样本记录都包含相同的随机现象的特征信息，则可称该随机现象的随机过程为各态历经的。显然，对“各态历经”过程的随机信号来说，无需采用总体平均这一方法获取信号的平均值，而只需取一个单个样本作时间平均即可。工程上，一般可以将一个平稳的随机过程看成是“各态历经”的。

随机过程的实例：机器在运行时会发出噪声，噪声的强度随时间变化的过程就可以看作是一个随机过程。如果随机过程的统计特性（均值、方差）与时间无关，也就是统计特性不随时间而变化，那么该随机过程就可以看作是一个平稳随机过程。补充：均值描述的是上例中的平均噪声强度；方差描述的是噪声的平均变化幅度。如果随机过程在当前时刻t的值只与该时刻之前n个时刻的值有关，而与这n个时刻之前的值无关，那么该随机过程就是Markov过程，根据n的大小，一般称为n阶Markov过程。

　　平稳增量比平稳过程,多了一点,即增量之间（Xt-Xs,Xs-X0）是相互独立的相同的就是平稳性,一般指宽平稳,数学期望是常数,EXtXs只与时间差有关　　在数学中，平稳过程（Stationary random process）或者严格平稳过程（Strictly-sense stationary,SSS）是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。　　例如，白噪声（AWGN）就是平稳过程，铙钹的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是白噪声，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱。　　独立增量过程，状态离散的平稳独立增量过程是一类特殊的马尔可夫过程。泊松过程和布朗运动都是它的特例。从一般的独立增量过程分离出本质上是独立随机变量序列的部分和以后 ，剩下的部分总是随机连续的。

证明一个随机过程是平稳的 要证明：一 均值是常数 二 自相关函数只与时间差有关

随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学、物理分支如位势论、微分方程、复变函数论、力学等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。平稳随机过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程：即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。非平稳随机过程即与平稳随机过程相反。

1. R(t1,t2) = R(t1-t2) = R(tao)2. R(t1,t2) 是正定的。 3. 如果此平稳随机过程是实函数，则R(tao)的傅里叶变换是omiga的实偶函数，并且恒为正。平稳随机过程的自相关函数有哪些重要性质

是指平稳随机过程变量的取值范围为“实数”。过程的统计特性不随时间的推移而变化，则称之为平稳随机过程。

是的，输出y（t）的期望==输入的期望 *H(0)............H(0)为线性系统H(f),f=0时;可以看出期望仍未与时间无关的常数。y（t）的自相关函数经过推导得出 与t1-t2的的时间差值有关，与起始时刻无关； 广义平稳 不就是满足 期望为常数 相关函数与其实时刻无关就行了吗。 推导过程随便翻一本通信原理的书上面都有。 关于 循环平稳随机 经过线性系统 是不是 仍为循环平稳 这个我就不清楚了。

一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称为严平稳过程。随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。随机过程的理论产生于20世纪初期，是应物理学、生物学、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值。则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。

平稳分为严平稳和宽平稳 严平稳是指,任取x1,x2,...xn,任取k,p(x1,x2,...xn) = p(x1-k,x2-k,...xn-k) 宽平稳是指 （1）该随机过程有有限的二阶矩 （2）任取t,E(X(t)) = c,即一阶矩与时间无关 （3）任取t,s,R(s,t) = E(X(s)X(t)) = R(s-t),即自相关函数平稳 按照定义判断即可

所谓的平稳过程就是指过程的统计特性与观测开始时间无关，如果过程被分成很多时间段，不同的时间段都会显示出本质上相同的统计特性。一般来说平稳过程源自稳定的物理现象，而非平稳过程源自不稳定的物理现象。严平稳就是随机过程的每一组联合分布函数对于取定的不同时间原点是时不变的。广义平稳满足的条件:1期望（或者说均值）常数2自相关函数只与时间间隔有关。一个平稳过程不一定是严平稳的，因为不能确定所有的k维联合分布函数关于时间间隔是时不变的。另一方面严平稳随机过程并不一定满足广义平稳的两个条件，因为它的一阶和二阶距可能并不存在。不过显然，有限二阶距的严平稳随机过程所组成的集合是平稳过程所组成的集合的子集。________以上摘自《通信系统第四版》（西蒙-赫金）所以严谨的说“严平稳一定是广义平稳”这句话是不对的

用符号化语言表示出来，即：如果对于任意的n（n=1,2,···），t1,t2,···,tn∈T和任意实数h，当t1+h,t2+h,···,tn+h∈T时，n维随机变量（X(t1),X(t2),···,X(tn)）和（X(t1+h),X(t2+h),···,X(tn+h)）具有相同的分布函数，则称随机过程{X(t),t∈T}具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。 给定二阶矩过程{X(t),t∈T}，如果对任意的t,t+h∈T,有（1）E[X(t)]=Cx（常数） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h)则称{X(t),t∈T}为宽平稳（随机）过程或广义平稳（随机）过程。注：二阶矩过程定义：如果随机过程{X(t),t∈T}对每一个t∈T，二阶矩E[X(t)·X(t)]都存在，那么称它为二阶矩过程。要证明某个随机过程是否是宽平稳过程（广义平稳过程）就必须的满足以上定义中的三个条件：（1）E[X(t)]=Cx（常数） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h) （3） < +∞

首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。平稳过程不一定是各态历经性的，但各态历经性的随机过程必定是平稳过程。

【答案】：A、B随机变量按照时间的先后顺序排列的集合叫随机过程。随机变量可以是连续的也可以是离散的。若一个随机过程的均值和方差不随时间的改变而改变，且在任何两期之间的协方差值仅依赖于两期的距离或滞后的长度，而不依赖于时间，这样的随机过程称为平稳性随机过程。反之，称为非平稳随机过程。

一个随机过程平稳表明该过程进入一种 稳态。 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列 所有的统计性质 都不随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。 宽平稳又叫 二阶平稳 ，指的是序列协方差（又称“自协方差”）只跟时间区间 有关： 并且序列的均值函数（一阶矩）是常数（又称为是“一阶平稳”），序列的方差（二阶矩）是常数。例如白噪声就是宽平稳的。 宽平稳使用序列的特征统计量（各阶矩）来定义的一种平稳性，它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，只要保证序列 低阶矩平稳（二阶矩） ，就能保证序列的主要性质近似稳定。 严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，低阶矩存在严平稳能推出宽平稳成立，反之不成立。 正态过程是个重要的特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。 这是因为正态过程的概率密度由 均值函数和方差函数 完全确定，因而如果均值函数和方差函数不随时间推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。 这一次的随机过程跟之前的随机过程的结果分布都一样，即一个随机过程并不会随实验次数的改变而改变（这里的一次实验为对该随机过程的一次采样）。体会一下变中存在不变，变指的是每一次的实验都是对一个随机过程的一次采样，因此每一次实验的结果都可能不同，样本是随机的；不变指的是不管做多少次实验采样得到的结果依旧服从原来的随机过程，随机过程确定。 举个例子，你和你的小伙伴们一起扔骰子，每次都一起扔，你们每次扔骰子呈现的结果分布都跟之前扔骰子的结果分布一样， 自相关函数 不随时间改变，不会随着扔多了手酸而发生改变。 随机过程平稳针对某一次具体的采样（观察信号从零时刻到T时刻的变化情况，若平稳则说明随机信号从零时刻到T时刻服从同一分布）；而各态历经研究的是对一个随机过程多次采样会有什么结果（不同次实验之间的比较，每一次实验是个时间序列）。 随机过程是对动态系统的一种描述方式，对系统状态随时间变化的一种建模，本质上也是研究信号与系统。一般地，一个随机过程只有是各态历经的才有研究的价值，如果不是各态历经说明系统存在扰动或者不确定性，需要做一些额外的假设或处理。 注意：一个过程是一个时间序列。 因此对一个随机过程采样一次，会采样出一个关于时间的序列。

回答：有两类，分别是严平稳和宽平稳过程。其关系：严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系（1）一个宽平稳过程不一定是严平稳过程,一个严平稳过程也不一定宽平稳过程.例1：X(n)=sinwn,n=0,1,2,…,其中w服从U（0,2π）,随机过程{X(n),n=0,1,2,…}是宽平稳过程,但不是严平稳过程.例2：服从柯西分布的随机变量序列是严平稳随机过程,但不是宽平稳随机过程.（2）宽平稳过程定只涉及与一维、二维分布有关的数字特征,所以一个严平稳过程只要二阶矩存在,则必定是宽平稳过程.但反过来,一般是不成立的.（3）正态过程是一个重要特例,一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的.这是因为：正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的,因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化,则概率密度函数也不随时间的推移发生变化.

平稳二项随机过程定义：平稳随机过程的均值与时间无关，是一个常数，平稳随机过程的自相关函数只与计算时取的时间间隔有关。满足以上两点，就是广义平稳随机过程，也可以理解为各态历经性。用符号化语言表示出来，即：如果对于任意的n（n=1，2），t1，t2，tn∈T和任意实数h。当t1+h，t2+h，tn+h∈T时，n维随机变量（X（t1），X（t2），X（tn））和（X（t1+h），X（t2+h），··X（tn+h））具有相同的分布函数，则称随机过程{X（t），t∈T}具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。随机现象事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。研究这类现象的数学工具是概率论和统计。

在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程又称狭义平稳过程。平稳随机过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程，即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，因此数学期望和方差这些参数不随时间和位置变化。平稳随机过程的均值与时间无关，是一个常数。平稳随机过程的自相关函数只与计算时取的时间间隔有关。满足以上两点，就是广义平稳随机过程，也可以理解为各态历经性。随机过程定义：设随机试验的样本空间为 ，对于空间的每一个样本 ，总有一个时间函数与之对应，而对于空间的所有样本 ，可有一组时间函数 与其对应，那么，此时称此组时间函数 为随机过程 。对于某一固定时刻 ， 为时间函数在时的状态，它是一个随机变量。如果把该状态样本空间描述为状态函数的形式，那么我们依赖于时刻t就有一组这样的状态函数，我们称此组状态函数为随机过程 。