伽罗瓦

法国数学家伽罗瓦早就研究过,五次或五次以上的方程式一般没有解析解,也就是没有公式解.yelangyk搞笑,n次方程有且仅有n个解,包括虚根就拿五次方程来说,我说的意思是任给一个五次方程:x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0你没有办法得到一个a,b,c,d,e组成的求解x公式.你只能像楼上诸位那样用二分法或牛顿切线法求数值解,也就是近似解.二分法的意思是如果f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e在x=p时小于0,x=q时大于0,则在p和q之间一定存在至少一个根.(假设p

引理：设p为素数, 为p次本原单位根, 是p次循环扩张,则有 ,使 ,故 是根式扩张 证明：引理：设 为域扩张,则 再K上的伽罗瓦群同构于 在F上的伽罗瓦群的子群 证明：引理：设 为有限可分扩张,N为包含E的F上的最小正规扩张(称为E在F上的正规闭包),若 有根式扩张序列,则 也有根式扩张序列 证明：定理：F的特征为0, 且为首1多项式, ,则 在F上根式可解当且仅当 在F上的伽罗瓦群为可解群 证明：

不能等分任意角，只能等分特许角。任意角是不行的，已被证明。古希腊几何三大难题：三等分角：即分一个给定的任意角为三个相等的部分。立方倍积：即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。化圆为方：即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。请采纳，谢谢！

设 为伽罗瓦扩张, 为它的伽罗瓦群, 为 的子群 令 ,即 是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有 例： 的6个元中, 是恒等映射 它对应的固定子域 故 , 是2阶子群 易知 类似地, 也都是2阶子群故 易知 故 是一个3阶循环群,且 方程 的3个根为 方程的伽罗瓦群 是这3个根的置换群 若用循环置换表示,并1代表 ,2代表 ,3代表 ,则 , , , , 即 中的偶置换群 易知 的固定子域为 定理：若 是伽罗瓦扩张, ,则 证明：定理：设 为伽罗瓦扩张, , ,则 和 互为逆映射,给出了 和 之间的反序一一对应 注：反序指：若 ,则 ,若 ,则 证明：例： 1.令 表示有 个元的有限域,其中q为素数方幂,将 看作它的子域 的n次扩张 是由 相对 的自同构 生成的n阶循环群 其中 G的任一子群 ,r为n的因子 ,故 当且仅当 ,即子群 对应的固定子域是 2.设p为素数,p次本原单位根 在 上的极小多项式为 g为模p的原根, 是由相对 的自同构 生成的p-1阶循环群G的任一子群 ,其中e是p-1的因子 推论：设 , ,则 , 其中 为由 和 生成的G的子群, 表示域 生成的子域 证明：

一个拿波里数学家之死 http://www.pcpop.com/movie/68169_4_0_68.html http://www.pcpop.com/movie/68169_4_0_68.html

当然是阿贝尔啊，力压高斯一头，当然比伽罗瓦厉害

原理 入门：《编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言》这是一本讲述计算机工作原理的书。不过，你千万不要因为“工作原理”之类的字眼就武断地认为，它是晦涩而难懂的。作者用丰富的想象和清晰的笔墨将看似繁杂的理论阐述得通俗易懂，你丝毫不会感到枯燥和生硬。 更重要的是，你会因此而获得对计算机工作原理较深刻的理解。这种理解不是抽象层面上的，而是具有一定深度的，这种深度甚至不逊于“电气工程师”和“程序员”的理解。不管你是计算机高手，还是对这个神奇的机器充满敬畏之心的菜鸟，都不妨翻阅一下《编码:隐匿在计算机软硬件背后的语言》，读一读大师的经典作品，必然会有收获。实战 晋升：《编程珠玑》正如自然界里珍珠出自细沙对牡蛎的磨砺，计算机科学大师 Jon Bentley 以其独有的洞察力和创造力，从磨砺程序员的实际问题中凝结出一篇篇不朽的编程“珠玑”，成为世界计算机界名刊《ACM通讯》历史上最受欢迎的专栏，最终结集为两部不朽的计算机科学经典名著，影响和激励着一代又一代程序员和计算机科学工作者。本书为第一卷，主要讨论计算机科学中最本质的问题：如何正确选择和高效地实现算法。永恒的经典：《代码大全》Steve McConnell 的原作《代码大全》(第1版)是公认的关于编程的最佳实践指南之一， 在过去的十多年间，本书一直在帮助开发人员编写更好的。现在，作者将这本经典著作全新演绎，融入了最前沿的实践技术，加入了上百个崭新的代码示例， 充分展示了构建的艺术性和科学性。 McConnell汇集了来自研究、学术界以及业界日常实践的主要知识， 把最高效的技术和最重要的原理交织融会为这本既清晰又实用的指南。无论您的经验水平如何，也不管您在怎样的开发环境中工作，也无论项目是大是小， 本书都将激发您的思维并帮助您构建高品质的代码。

就是将伽罗瓦理论应用到微分领域。

答：尺规作图的极限是r。实际上，加瓦罗也好，旺泽尔也罢，包括克莱恩所证明的三等分角和倍立方不可尺规作图的结论都是错误的。因为三等分角和倍立方可以尺规作图；我有完整的解题方法。不仅上述作图可以完成，n等分角都可以尺规作图，任意正多边形也可以作图。科学家也是人，也会出现失误或者错误。当然，我更不例外，出的错可能更多，但是，这个问题上不会出错。因为我的所有作图，一有方法、二有数学模型、三有数学证明、四有验证。都是用数学公式定理来验证的。因此，才敢说不会有错。你只要知道三等分角和倍立方可以解题就可以了。圆化方不可以解，主要原因是缺少一个关于π的函数，圆化方的数学表达式为L^2=πr^2....(1),因为π是无理数，作图时需要一个解π的方程与式（1）联立求解，才可以得到直线方程：L=ar，其中，a=√π；因为圆周长公式与（1）线性相关，所以无法利用；只要再找到一个与式（1）线性无关的方程就可以求解。否则，三元一次方程是曲面，无法在平面尺规作图。你现在知道这些就可以了。待到我的论文发表后，你一切都清楚了。圆化方可以做到公差任意小，但是，现在不能得到精确解。

经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程 (p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为阿贝尔方程。阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。 对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 Fu2282Eu2282K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。 在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响，其影响几乎长达整整一个世纪。

【答案】：群论解析：伽罗瓦很早就开始了关于高次代数方程理论的研究，在研究五次代数方程根式解的问题时，引进了许多新概念，开辟了代数学的一个崭新领域—— 群论。

伽罗瓦的群论解析：伽罗瓦理论是现代数学的主要发端之一。伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。

柯西，他的数学贡献很大也很多，我们经常接触过的就有比如说柯西不等式，柯西积分，柯西中值定理什么的，他是高产的数学家之一，但是我不怎么喜欢他，特别他对阿贝尔的态度，让我觉得他比较自傲。你可以看看百科里面阿贝尔的简介拉格朗日，也很厉害，但是由于出生较早，所以做的都是奠基的工作，后世的很多分支都和他的工作相关。傅里叶，高数里面级数那一章有一个傅里叶变换，就是他的，他数学上的贡献没有上两位大。伽罗瓦，年仅21岁就过世了，所以贡献很少，但是他的能力的确很强，如果能多活几十年，成就必定相当大。他的贡献主要在于开创了群论的承上启下工作。如果在上面选，我选拉格朗日 在我心目中还有另外一位大数学家：高斯

通过群论的方法证明。伽罗瓦证明二十次方程的方法是建立在群论基础上的，他将单个代数方程的根的集合称为一个域，并称操纵该域的置换为一个群。通过研究群的性质，发现对于一个代数方程必须满足一定条件才能用有理数求根公式求解，而这个条件往往只有在特定的情况下才成立。除了群论方法外，还有一些几何方法可以证明2开立方作图不可解，如利用欧拉定理和费马大定理等，这些方法更加繁琐，群论方法更具有普适性，能够应用于更广泛的代数问题。

我觉得是阿贝尔。他在椭圆函数的成就。。。关键是，魏尔斯特拉斯在当乡村中学教师时，阿贝尔的书带他走出了数学的荒漠。。。而，魏尔斯特拉斯，那个时代的分析学大师啊。。。伽罗华的却很优秀，可惜死的太早太早了。。。有兴趣可以读读Artin的书，介绍伽罗华思想很仔细。。。

阿贝尔。阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。

伽罗瓦是脾气不好的天才，其最大的特点是应该是发现新的东西。学习5年数学就能获得如此成就，绝对是天才中的战斗机。他甚至预测到了自己的死亡。陶哲轩是个脾气好的天才，即使伽罗瓦不夭折，其成果的数量一定没有陶哲轩多。如果，拿两者在相同的年龄，相同的学历比，陶哲轩在这个年龄时，没有发现新的学科。由于数学界，认为发现新学科，新的数学疆界是顶级的工作，所以，伽罗瓦还是厉害一些。当然，陶哲轩的岁月还长，上升空间还大得很。这两个人的位置也有可能在反过来。随便说一句，陶哲轩自己可是认为其能力比不上那个俄国人。

华为伽罗瓦实验室是华为公司于2011年设立的一个研发机构，其主要研究领域是数学基础和计算机科学，旨在解决华为公司在技术创新和核心竞争力方面面临的挑战。该实验室名字来源于法国数学家伽罗瓦，他是代数学的创始人之一。该实验室在基础研究和技术研发方面取得了很多重要进展，例如在芯片设计、安全技术、网络架构、数据存储和处理等领域，都有很多科研成果和技术创新。其中最重要的是华为自主研发的芯片，这些芯片不仅满足公司自身的需求，同时也为全球各类设备提供了新的选择。华为伽罗瓦实验室在运作方式上比较特殊，其采用的是面向科学家的自由研发模式，让研究人员自由探索科学前沿，挖掘新的领域，创新技术，拓展知识。这种自由模式鼓励科学家们大胆探索，不断尝试新的方法，推动知识和技术的不断向前发展。

伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当代代数与数论的基本支柱之一。它直接推论的结果十分丰富：他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。他漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正 p 边形，p 为质数的充要条件为。（所以正十七边形可做图）。他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。

简介　　伽罗华（07variste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还与巴黎综合理工大学（07cole Polytechnique）的口试主考人发生顶撞而被拒绝给予一个职位。在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院的论文均被泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。Galois小传：　　1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。　　天才的童年　　1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗华街的第54号房屋内。现在这所房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特61伽罗华生于此，卒年20岁，1811～1832年”。纪念牌是小镇的居民为了对全世界学者迄今公认的、曾有特殊功绩的、卓越的数学家——伽罗华表示敬意，于1909年6月设置的。　　伽罗华的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗华童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。其父尼古拉61加布里埃尔61伽罗华参与政界活动属自由党人，是拿破仑的积极支持者。主持过供少年就学的学校，任该校校长。又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗华曾向同监的难友勒斯拜——法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”。可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗华的成长和处事有较大的影响。　　伽罗华的母亲玛利亚61阿代累达61伽罗华曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗华的传记中，特别谈到“伽罗华的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。这就为伽罗华在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。　　1823年l0月伽罗华年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易61勒61格兰皇家中学。从他的老师们保存的有关他在中学生活的回忆录和笔记中，记载着伽罗华是位具有“杰出的才干”，“举止不凡”，但又“为人乖僻、古怪、过分多嘴”性格的人。我们认为这种性格说明他有个性，而且早已显露出强烈的求知欲的标志。　　伽罗华在路易61勒61格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。在第四、第三和第二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在1826年l0月转到修辞班学习。　　但是第二学季一开始(伽罗华这时刚满15岁)，由于教师们认为他的体格不够强壮，校长认为他的判断力还有待“成熟”，他不得不回到二年级。重修二年级，使伽罗华有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补充课程。自此他把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。　　伽罗华经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。　　因此，当1827年伽罗华回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学的天分在同学之中更加出人头地了。但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学法之潦草马虎感到愤怒。所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍，有的教师用七个字“平静会使他激怒”来形容他的行为。　　这时伽罗华已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。到了学年末，他不再去听任何专业课了，而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。结果尽管考试失败，但1828年10月，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。　　路易61勒61格兰中学的数学专业班教师里夏尔，在科学史上，他作为一个很有才华的教师使人追念。里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。他遗留下的笔记中记载着：“伽罗华只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。　　里夏尔帮助伽罗华于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗华向科学院递送备忘录。1829年，伽罗华在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院。　　1829年，中学学年结束后，伽罗伽罗华瓦刚满18岁，他在报考巴黎综合技术学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷61德61富尔西对伽罗华阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗华在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”。据说“由于被狂笑声所激怒”，他把黑板擦布扔到主考人头上，或是因为他拒绝回答有关关于对数这样的过于简单的问题，所以再次遭到落选，伽罗华仍然是一个非正式的预备生。　　1829年7月2日，正当伽罗华准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。　　进入师范大学后的一年对伽罗华来说是最顺利的一年，1828年他的科学研究获得了初步成果。伽罗华写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折：伽罗华的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不久就去世了。因而文章也被遗失了。这些著作的某些抄本落到数学杂志《费律萨克男爵通报》的杂志社手里，并在1830年的4月号和6月号上把它刊载了出来。　　在师范大学学习的第一年，伽罗华结认了奥古斯特61舍瓦利叶，舍瓦利叶直到伽罗华临终前一直是他的唯一亲近的朋友。1830年7月，伽罗华将满19岁。他在师范大学的第一年功课行将结束。他这时写成的数学著作，已经使人有可能对他思想的独创性和敏锐性作出评价。

伽罗瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)，群论的创始人。出生于巴黎，中学时代发表有关循环连分数的论文并向法国科学院提出方程论方面的论文。因参加政治运动，受退学处分，入狱，释放后不久因爱情纠纷而卷入一场决斗，1832年死于决斗中，未满21岁。伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底的解决了代数方程的可解性问题。人们把用群论方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论，这一理论导致了抽象代数的兴起。

域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。 对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。 对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 Fu2282Eu2282K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。 在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包 中。 即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为 域的嵌入 ，不同的嵌入之间称为 共轭域 。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。 以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合 的分裂域 ，假设 同构于另一个分裂域 且同构映射为 。因为任何 的系数在 F 中，所以总有 ，所以 只是 的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说 是 的自同构。 只有自同构共轭的域叫 自共轭域 ，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫 伽罗瓦群 ，一般记作 ，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是 在 上的分裂域， 也叫多项式 的伽罗瓦群，记作 或 。 u2022 证明 只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。 F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式 ，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从 开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从 生成的扩域（a′为 的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知 ，故 在 中是分裂的。对任意不可约多项式 ，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫 正规扩域 （要注意，若 在 没有根，并不意味 在 中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。 　　（1）E是F的正规扩张； 　　（2）E是F[x]中某个多项式集合的分裂域； 　　（3）E是F-自共轭域。 特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为 正规闭包 ，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。 前面提到过，F-自同构群是自同构群 的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群 ，另一种则是由 的子群 确定一个子域 ，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。 先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将 简写为 。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。 为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群 ，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有 ，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域 的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数 不大于 最小多项式 的次数 ，相等的条件是 没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求 的根都在 E 中。 总嵌入的个数自然是 ，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。 现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察 与 的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到 。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了 （这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。 设 ，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程 在F上总有非零解，现在我们就来证明 时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是 ，原方程等价于方程组 在F上有解。由于 ，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。 将任意 作用在方程组上得 ，由于 只是 的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故 也是是原方程组的解。因为 非零，可设 ，则 也是方程组的解。若 都成立，我们的结论得证。否则设 ，这就是说存在 使得 。由于 也是方程组的根，与 相减便得另一个非零解 ，其中非零的元素个数比 少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。 　　u2022 K为F的扩域， ，求证： 。 有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域 ，反之G又对应到它的固定子域 。现在来比较 和 ，根据公式和分别有 和 ，而公式说明 ，所以有 ，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。 若设 的所有中间域 组成集合 ，容易证明 E 对 中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合 ，则以上结论则建立了从 到 的单射 ，它满足公式（8）。反之对任何 ，首先有 ，而由公式（6）得 ，所以有 。这就说明了 是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。 根据 的定义，容易有公式（9）成立，其中 表示生成群（域）。另外，由于 , ，则 （后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何 ， 在映射 中的原像为 。所以 为正规子群的等价条件是 ，即 为正规扩域，再由 显然是分离扩域，故 为正规子群的等价条件是 为伽罗瓦扩域。 　　 　　进一步地，设 ，构造同态映射 ，使得 满足 ，显然同态核为 ，从而 H 与 同构（公式（10））。 正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果 互质且正 边形都可以作出，那么正 边形也可以作出。根据算术基本定理， ，而正 边形很容易作出，所以只需研究正 边形的作图。 高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正 边形，其实就是作出 的根 （式（11））。显然 是 分裂域的生成元，即 。上一节的作图理论中我们知道， 可被作图的充要条件是： 。 由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有 。E 的 Q-自同构 由 唯一确定， 只能取 ，其中 。由初等数论的知识， 可取 个数，所以 。首先有 ，再由初等数论的知识，必须有 ，且 为素数。 满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说 边形可作图的充要条件是： 且 为费马素数。那么 边形可作图的条件就是式子（13），其中 为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。 多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换 消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将 参数化 。由于 可以连续变化，再添加限制条件 ，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。 对于四次方程同样使用 消除三次项，然后引入参数 并配方（式（16））。找到合适的 使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。 当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设 ，代数闭包中 的任一根记作 ，单扩域 称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？ 我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程 ，它的根称为 次单位根 。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为 次 本原根 。其实这个结论在一般域中也成立，因为 ，所以我们只需找到 次本原根即可。容易证明 的根就是本原根，这样 的分裂域其实就是 。 伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为 阿贝尔扩张 。对于 的根 ，易知 也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定 ，故 的分裂域为 。 伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为 循环扩张 。 把目光专注在根式扩张 上，以上结论说明，当 时 为 p 阶循环群。反之若 为 阶循环群 ，取任一 ，记 ，构造如下 （式（18））。把它们看成是 的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个 。另外可以验证 ，故由伽罗瓦理论知 ，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若 ，则根式扩张等价于 阶循环扩张。 现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链 。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数 的最小公倍数为 且 次本原根为 ，将链表中的每个扩域进行单扩张 ，显然 次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故 为可解群，所以子群 也是可解群。 反之若 是可解群，取 次本原根 ，由前面的习题知 是 的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在 到 伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶 都是 的因子，故 阶本原根在 中，所以每个扩张为根式扩张。由于 也是根式扩张，故 可由 根式扩张而来，所以方程根式可解。 这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式 （式（20）），其中 是不定元。方程的不变域是 ，而我们需要判断 在 的伽罗瓦群是否可解。由于 可由 用基本不等式表示，故分裂域 。 但由于 的值和相互关系是从 得来， 的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望 是独立的不变元，为此我们用不定元 建立多项式 （式（21）），其系数 为 的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为 ，扩域为 。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于 （ 为不定元），所以 有 个不同的根。再由于 时， 不是可解群，故 不能公式求解。 到这里关于抽象代数的知识，我们就介绍到这儿了。关于更加高阶的代数学知识就不涉猎了。抽象代数是近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的 抽象思维 和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。

以上概要仅为表明伽罗瓦所述思想。他的工作是这样进行的：给了一个一般或特殊的方程，他首先说明如何找到这个方程在系数域中的群G，即根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变。必须在不知道根的情况下找到这个方程的群。在上面的例子中，四次方程的群是8阶的，而系数域是R，在找到方程的群G后，下一步是找G的最大子群H，上例中是一个4阶子群，假如有两个或多个最大子群，可任选一个。确定H是纯粹群论的问题，是能够做到的。找到H后，可用一套仅含有理运算的手续来找到根的一个函数Φ，它的系数属于R，且在H的置换下值不变，但在其它置换下值发生变化。在上例中 ，实际上有无穷多个这样的函数，这也要在不知道根的情况下找出。一种方法是构造R中的一个方程，使它的一个根就是函数Φ。这个方程的次数是H在G中的指数，称为部分预解式、在上例中，方程是 ，次数是8/4或2。接着从这个部分预解式解出根Φ，上例中 ，添加到R中得到新域R"，于是可证明，原方程关于域R"的群是H。 重复以上步骤，现在有4阶群H和域R"，下一步找H的最大子群。在上例中是2阶子群，称其为K。能得到原方程的根的一个函数，它的系数属于R"，值在K的每个置换下不变，而在其它置换下变化。上例中构造方程 ，方程次数是K关于H的指数，即4/2或2。这个方程是第二个部分预解式，然后解预解式得到一个根即函数Φ1，把这个值加到R"得到域R""，原方程关于域R""的群是K。 再重复以上步骤找K的最大子群L，上例中是恒等置换E。要找根的一个函数（系数在R""中），值在E下不变，而在其它置换下变化。上例中的函数是x1-x2，为了在不知道根的情况下得到Φ2，必须构造R""中的一个方程，以函数Φ2为一个根。上例中构造方程 ，方程次数是L关于K的指数2/1或2。这个方程是第三个预解式，必须解方程得到Φ2，把根添加到R""得到域R"""。假设这是最后一步，原方程在R"""中的群是恒等置换E. 接着伽罗瓦证明，当一个方程关于给定域的群恰是E时，那么方程各个根都属于该域，因此根在R"""中，又因R"""是由已知域R逐次添加已知量获得，因此知道根所在的这个域。其次有一个用R"""中有理运算直接找根的步骤。 伽罗瓦给出了一个方法找给定方程的群、逐次的预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群，即原有群的逐次子群，而扩大的系数域是由添加这些逐次的预解式的根到原来的系数域获得的。这些步骤包含了一个可观的理论，但正如伽罗瓦指出的，这不是解方程的实际方法。 之后伽罗瓦把上述理论运用到用有理运算和根式解多项式方程的问题，这里他引入了群论的另一个概念，设H是G的一个子群，如果用G的任一元素g乘H的所有置换，则得到一个新的置换集合gH(表示先g后H)，如果对G中的每个g有gH=Hg，称H为G的一个正规子群（自共轭或不变子群） 伽罗瓦的解方程法要找预解式并求解，他证明当作为约化方程的群（比如由G约化到H）的预解式是一个素数次p的二项方程x^p=A时，则H是G的一个正规子群（且指数为p）；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应预解式是p次二项方程，或能化简为二项方程。如所有逐次预解式都是二项方程，则由高斯关于二项方程的结果，能用根式解原方程，因为能从最初的域逐次添加根式得到根所在的最后的域。反之如果一个方程能用根式求解，则必定存在预解式方程组，且预解式方程都是二项方程。 今天可用根式求解理论大致和上述理论相同，不同的是在子群序列G,H,K,L..,E中，每个群必须是前一个群的极大正规子群（而不是任何较大正规子群的子群），这样的序列叫做合成序列。H对G的指数、K对H的指数等叫做合成序列的指数。若指数都是素数，则方程能用根式求解，若指数不是素数，则不能用根式求解。找极大正规子群时可能有多个选择，可任选一个，虽然由此得到的子群可能不同，但产生的指数集合完全相同（指数出现的次序可能不同，参考Jordan-Holder定理）。如果群G包含一个素数指数的合成序列，则方程可解。 对一般的n次方程，这个群由n个根的全部n!个置换组成，称为n级对称群，它的阶是n！，极大正规子群（也称交错子群）阶为n!//2，这个交错群仅有的正规子群是恒等元素，指数是2或n!/2，对n>4，n!/2不是素数，因此次数大于4的一般方程不能用根式求解。另一方面，二次方程可以借助一个预解式方程解出，合成序列的指数只有1个2。一般的三次方程，需要两个预解式方程，形式为y^2=A和z^3=B，合成序列的指数是2和3。一般的四次方程有四个二项预解式方程，一个三次和三个二次的，合成序列的指数是2.3.2.2。 伽罗瓦对数字系数的方程给出了一个和独立系数为字母的方程相似的理论，基本原理是相同的，不过判定可用根式求解的步骤更复杂。 伽罗瓦还证明了一些特殊定理。如果有一个素数次的不可约方程，其系数在域R中，它的根全部是其中两个根的带有R中系数的有理函数，则方程可用根式求解。并证明了逆定理：每个可用根式求解的素数次的不可约方程，每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理函数。这种方程现在称为伽罗瓦方程，这个概念是对阿贝尔方程的推广，最简单的伽罗瓦方程是x^p-A=0。

伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易u2022腓力浦朝代初期，他是当时最先进的革命政治集团——共和派的秘密组织“人民之友”的成员，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。伽罗瓦敢于对政治上的动摇分子和两面派进行顽强的斗争，年轻热情的伽罗华对师范大学教育组织极为不满。由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育委员会1831年1月8日批准立即将伽罗瓦开除出师范大学。之后，他进一步积极参加政治活动。1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在6月15日陪审法庭上，由于共和党人的律师窦本的努力，伽罗瓦被宣告无罪当场获释。七月，被反动王朝视为危险分子的伽罗华在国庆节示威时再次被抓，被关在圣佩拉吉监狱，在这里庆祝过他的20岁生日，渡过了他生命的最后一年的大部分时间。在监狱中伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争，另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”请注意到“把数学运算归类”这句话，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，这句话系指点目前所称的群论。由于其后好几代数学家的工作，最终才实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作，标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。l832年3月16日伽罗华获释后不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。伽罗华对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有有关的混乱是有益的。”第二天上午，在决斗场上，伽罗华被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑就是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。http://zhidao.baidu.com/question/11667745.html 看这个

今天我们来聊聊一位可以说是史上最惨的数学家，伽罗瓦。他究竟有多惨呢？接下来就听我给你慢慢道来吧！伽罗瓦其实出生还不错，父母都是知识分子，12岁以前他的教育全部都由他的母亲给一手包办了。不过他爹的职业不太好，是市长，为什么这样说呢？要知道18世纪的法国正处于剧烈变革时期，共和派和君主派那是打的不可开交，轮流坐庄，这一百年里，法国光皇帝都送上好几个去了断头台。在法国，只要一和政治扯上关系，谁上台，另一派基本就死翘翘，比如化学之父拉瓦锡就是这样挂的。伽罗瓦的爹就是一个共和派，性格好，为人正直善良。这要在和平时代，那绝对是很棒的人，可是在当时，这可是很惨的。为啥，因为你性格好，为人正直，就意味着百姓就很喜欢你，那民意不就偏向共和党了，这怎么行。所以君主派基本上每天都巴不得伽罗瓦爹死。而伽罗瓦因为自小目睹了两派的激烈交锋，所以自小对政治非常敏感，这也为他以后埋下了祸端。再加上到后来，他12岁的时候，入读了路易皇家中学，偏偏校长是一个君主派，在一次处理具有共和主义倾向的反叛事件中直接开除了一百多名学生，伽罗瓦因为年纪小没有被牵连，但是这在他心中留下了仇恨的种子。数学家一向追求真理，而政治要求坚毅、隐忍的性格，还要学会妥协的艺术，这与数学家的本质是相逆的，人在这样的矛盾中就容易陷入偏执，而这纷乱的年代也更助长了伽罗瓦的悲剧。在这里，要说明一下，伽罗瓦要到16岁才开始接触数学，接触过数学之后，他对数学的热情剧然引爆，对于其他科目再也提不起任何兴趣。在此之前，伽罗瓦其他学科都很优秀。只从迷上数学之后，就开始变得一枝独秀了。。。电影中的伽罗瓦形象他老师曾经评价他：只适合在数学的最高领域工作。所以我就说了吧，每一个领域的天才，都会在那里闪闪发亮，不需要人们寻找。这个时候，他人生的惨剧就开始了，首先是他爹，因为被人在选举时恶意中伤而自杀。额，政治人物如此情绪化就不要参加政治了。。。正直父亲的冤死，导致他的政治观与人生观更趋向极端。但同时，也让他更加沉迷于数学的王国之中。我们刚才说了伽罗瓦16岁时候才接触数学，那时候因为中学到了二年级才可以去听初等数学课，当时伽罗瓦一看到教科书，就觉得这东西压根不值得看。他认为这些教科书不谈推理方法而只谈技巧简直是误人子弟，学习数学就应该透过现象去看本质，还需要掌握明确而富有表达力的语言。所以他在一年的时间里，自学了法国著名数学家勒让德尔的《几何原理》、那末拉克朗日的《论数值方程解法》、《解析函数论》、《函数演算讲义》，还逐渐熟悉了欧拉、高斯、雅科比的著作。同学们，在这之前他可从来没有人教过他数学，而且这些全都是他自学研究透彻的。所以他在学校看到老师教数学的样子非常愤怒，觉得他们讲的太马虎潦草了。而老师只觉得他是一个神经病。后来他干脆不去听了。不过他还是遇到了一个欣赏他的老师，叫里查，就是上面那个评价他的。他鼓励伽罗瓦去投稿，立马就发表在了法国第一个专利性的数学杂志《数学年鉴》上。伽罗瓦一看，顿时更加有了斗志，打算把他人生中的第一部著作，投稿给科学院。可惜他遇到的负责审查的人是柯西。柯西是法国科学院的院士，是当时最富盛名的的数学家。但是他有一个特点，他的论文一般写的又臭又长，因为稿子写的特长，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，一般的杂志根本登不下他那长篇大论，而且科学院也实在负担不起他的印刷费用，所以他一怒之下就自己办了一本杂志，出自己写的论文。所以当他看到一份只有6页的论文时候，压根提不起什么重视的心情，欢脱地带回了家，然后把他搞丢了。而在这份论文里，伽罗瓦写出了关于五次方程代数解不存在的证明论文， 还首次引入了“群”这个概念。可以说这份论文直接解答了数学界近三百年的难题。要是当时柯西看一眼，伽罗瓦以后说不定就不会如此悲剧了，然而。。。不过柯西不止坑了伽罗瓦，还坑了阿贝尔，也是坑人无极限。拥有柯西不等式、柯西积分公式等众多成果的柯西最终却以这样的方式被人所知，也是唏嘘啊！第二年不想放弃的伽罗瓦继续写了三篇论文投给了傅立叶，然而傅立叶当时暴毙，又没了下文。傅立叶第三年还不甘心的伽罗瓦又寄给了科学院院士泊松，可惜泊松水平太低，压根看不懂，直接批了几个字“不知所云”。彻底失望的伽罗瓦开始转向政治，而性格暴躁偏激的伽罗瓦在政治上那更加是玩不开的，我们可以通过一件事情来看得出来伽罗瓦的性格。伽罗瓦想报考综合工科大学进行更加深入的学习，然而16岁第一次考准备不足没有考上，第二次18岁的时候，因为忍受不了主考官的愚蠢，直接用黑板擦扔在了主考官的脸上，打人不打脸啊。就这样综合工科大学的大门彻底向他关闭。后来没办法只能就读高等师范学校，然而1830年七月革命发生，保皇势力出亡，高等师范校长将学生锁在高墙内，引起伽罗瓦强烈不满，12月伽罗瓦在校报上抨击校长的作法，因此被学校退学。后来这个愣头青率领群众走上街头，抗议国王的专制统治，以“企图暗杀国王罪”不幸被捕在狱中，更加不幸的是，在监狱里他还染上了霍乱。结果刚出狱想把自己的数学成果发表，又被人陷害入狱，在监狱里度过了最后一年。为啥，因为他好死不死在监狱里爱上了一个烟花女子，偏偏这个烟花女子的情敌还是一个军官，据说枪法在全国都有名。这个愣头青居然还答应了和情敌比枪。。。答应之后，估计就后悔了，估计也是知道自己应该活不过了，他打算在最后一夜将自己五年来所有的研究成果都给记录下来，据说遗稿空白处还写着“我没有时间了，我没有时间了。。。”各位，你要知道，他这一夜记录下的是他20多年人生仅存的研究成果。也就是他流世的所有东西也都是这一个晚上赶出来的。。。大家想想，这难度会有多高，不仅要保证每一笔计算不错，还不能遗漏每一个步骤。伽罗瓦遗稿中的一页第二天，果然就如他所料，一枪被军官干翻，直接被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。总结伽罗瓦这短短的21岁人生，可以说正是处在人生最黄金的时期，如果让他再活十年，数学界指不定会发生什么样的变化，说不定能跻身欧拉、高斯这样的地位也未可知。他的朋友 Chevalier 遵照伽罗瓦的遗愿，将他的数学论文寄给高斯与雅科比，但是都石沉大海。高斯曾经因为得遇伯乐成就辉煌人生，却在最需要成为一名伯乐的时候看走了眼！直到10年之后，法国著名数学家刘维尔看到了伽罗瓦的手稿，经过严密计算，最终肯定伽罗瓦结果之正确、独创与深邃，他还花了很久的时间对其进行阐释说明，1846年最后将其发表在极具有影响力的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。刘维尔自此伽罗瓦在那一晚上所作出的成果才最终被世人所知，我来告诉大家他那一晚上作出的成果究竟贡献有多大！伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，伽罗瓦理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。是当代代数与数论的基本支柱之一。也直接开创了抽象代数这一数学分支，抽象代数、拓扑学和泛函分析。现代数学理论是由这三根支柱撑着的。这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。抽象代数还是现代计算机理论基础之一。他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。他还漂亮地证明高斯的论断：正十七边形可做图。除此之外，他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。jean-pierre ramis教授介绍伽罗瓦传奇的一生最后再说一次，伽罗瓦接触数学可只有五年，而且这还是他在短短一夜的时间记录下的自己的研究成果。如果再给他几天，相信他记录下的东西会更多，到时候各位理科大学生估计要叫苦连天了。如果伽罗瓦性格没有这么偏执敏感暴躁，他如果能够亲自去拜访高斯，却和高斯进行探讨学习，毕竟高斯也是一个优秀的老师，培养了黎曼等一大批优秀的学生。可惜历史没有如果，伽罗瓦天赋之高，深不可测，古今难寻，这样的天才也是无法复刻的

一元二次方程的解法是我们再熟悉不过的数学知识，但一元三次方程的解法似乎并不广为人知，而了解四次方程解法的就更少了。当然，解三次和四次方程都是有判断法则和求根公式的，这和二次方程是类似的。那么一个自然的问题是次数高于四次的一般代数方程有没有求根公式呢？也就是能不能利用系数把解表示出来呢？于十六世纪的代数学而言，解三次和四次方程就是最大的难题，这一问题最终由意大利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺所解决。他们解四次方程的思想是通过变量替换获得一个三次方程，通过解这个三次方程就能获得原四次方程的解，于是很多数学家都想通过模仿这一方法来获得高次方程的根式解。欧拉，高斯，拉格朗日这样当时最伟大的数学家都做过尝试，但最终都失败了。拉格朗日甚至发表了长篇大论，详细分析了三四次方程的解法，指出这种方法不可能适用于高次方程，最后拉格朗日惊叹：“高次方程的根式解是不可能解决的数学问题之一，这是在向人类的智慧挑战！”所幸的是，在阿贝尔之后，法国天才数学家伽罗瓦（1811~1832）继承了他的思想，并进一步发展了相关理论，特别地，伽罗瓦深入研究了置换群论，彻底弄清了方程与根之间的关系，并最终形成了如今强大的伽罗瓦理论。伽罗瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿贝尔等前辈的启发下完成的，他创造性地引入了置换群、子群和正规子群等群论的概念，这些概念已经成为代数学中最重要和最基本的东西。

在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。

伽罗瓦理论是大二学的。伽罗瓦理论，是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响，其影响几乎长达整整一个世纪。

青年数学家伽罗瓦1811年10月25日，伽罗瓦生在巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义，浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。十二岁那年，他考入当地著名的皇家中学，在老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”。他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望。他不见重于师长，甚至被说成是笨蛋。他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教，著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美。学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨。接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”。1828年，伽罗瓦17岁，这是他关键的一年，他遇到了数学教师里沙（1795-1849）。里沙不是一个普通的教书匠，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们。里沙有很高的才能，好心的朋友们劝他从事著作，他却把全部精力倾注在学生身上，十九世纪法国有好几个杰出的数学家，就出自他的门下，这就是对他的最高奖赏。伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，他创立了“群”的思想。写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松。柯西是当时法国首屈一指的数学家。他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失。第一件事是对阿贝尔没有给予足够的重视。第二件事是伽罗瓦向科学院送交论文时，未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了。第二年十八岁的伽罗瓦又取得了一些重要成果，再次写成论文寄交科学院。主持审查论文的是当时数学界权威人土、科学院院土——傅立叶。然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了。人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文。就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了。但他并不灰心，又继续研究自己所得的新成果。第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》。1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院土波松。总算幸运，这一次论文没有丢失。但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语：“不可理解”而被否定了。那时科学界对形式和技巧的崇拜远远超过对创造和开拓的追求。当然也就不会承认伽罗瓦工作的价值。当时，数学新时代的曙光已出现在地平线上。像非欧几何，集合论，群论等科学思想新体系。都是在这个时代孕育的。只有勇敢地面向未来，坚定地追求未来的科学家，才能看到新时代的曙光。无怪乎伽罗瓦在谈到他同时代的数学家时曾痛切地说：“他们落后了一百年！”直到伽罗瓦死后十四年，人们研究了保存在他弟弟那里的数学论文，才认识到这些论文是当代重要的数学著作。伽罗瓦所引入的“群”的概念，已发展成为近世代数的一个新的分支——“群论”，而且在其他数学分支和近代物理、理论化学等科学上都是广泛应用的数学工具。这种理论，甚至对于20世纪的结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响。因此，伽罗瓦的工作的确是十九世纪数学的最突出的成就之一。伽罗瓦不仅是一个天才的青年数学家，而且也是一位坚定的革命者，他生活在经历了资产阶级大革命后的法国，生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期。他是个勇敢追求真理的科学家和战士。在法国历史上著名的1830年的“七月革命”中，刚考进法国巴黎师范大学的十九岁的伽罗瓦，积极参加了反对反动政权的斗争。他两次被捕入狱，他的身体由此受到了严重的摧残。但他在狱中仍坚持写了两部科学著作，准备获释后发表.他是一个把科学理想和社会理想结合起来，不论在数学王国还是在现实斗争中始终面向未来的不屈斗士。他说：“妨碍我成为科学家的，恰好是我不光是个科学家。”．伽罗瓦出狱不久，反动派便设下了一个圈套，在爱情纠纷的名义下，迫使他参加“决斗”，1832年5月30日清晨，一个身强力壮的反动军官，在“决斗”的借口下，给了他致命的伤害，而伽罗瓦的手枪却是没有子弹的。在“决斗”的第二天早上，他便与世长辞了。他在临死前曾对自己的一生做了这样的总结：“永别了，我已经为公共的幸福献出了自已大部分的生命！”对伽罗瓦死于决斗，科学史学家们常常感到遗憾。普里林在考察维苏威火山时，被突然爆发的火山灰掩埋；魏格纳考察格陵兰冰川于五十岁生日时丧身，利赫曼为揭开雷电的奥秘，被引下来的电流击毙……这些死，是为了科学，为了人类的幸福。据说马克思也曾受到过决斗的挑战，但马克思对此报以轻蔑的微笑。是的，无论是科学家还是战士，他们的使命和责任，比个人的荣誉和一时的意气和冲动更为重要。也许伽罗瓦是太年轻了，他不被社会了解和尊重，自己也不珍惜自己的价值。他内心愤怒的激情的浪涛终于冲破了理智的堤坝，把它吞没了。不论怎么说，伽罗瓦参加决斗是犯了一个不可挽回的错误，但他那刻苦钻研、独立思考、不畏权威、勇于创新的精神却永远激励着后来者。

您好，伽罗瓦理论难度，很难，是一个还没有解决的问题。伽罗瓦理论是指用群论的方法来研究代数方程的解的理论。解方程一直是代数的一个中心问题。大概在3000年以前，人们就基本上得到了了二次方程的解的公式；与三四次方程的解法比二次方程的解法要晚多，都是用根式法解的。那么，4次以上的方程该怎么解呢？差不多经过200多年的时间，有不少著名数学家，如欧拉、拉格朗日等，做了很大的努力，没有取得重要的进展。最后，高斯用根式法解出。阿贝尔证明了高于四次的一般方程，不可能用根式求解，在他的工作中，阿贝尔引入了域与在给定域中不可约的多项式的概念。包贝尔企图刻画全部能用根式求解的方程的特性，但他过早的病死而没有能完成这个工作，伽罗瓦接过阿贝尔的工作彻底地、完满的解决了，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论。伽罗瓦的主要结论是这个群刻画了所给方程的根的代数特性，当时虽然还没有抽象的群与域的名词，伽罗瓦确实用到了群与域这些概念，因而有人把伽罗瓦看成是近代抽象代数的创始人。由伽罗马理论，每个有理系数的多项式都决定一个群，即他的伽罗瓦群。一个自然的问题：是否任意一个有限群都同构于一个有理系数多项式的伽罗瓦群，这个问题通常成为伽罗瓦反问题，是一个还没有解决的问题。数学就是这样的有趣

伽罗瓦读音读jia。伽罗华拼音是：jiāluó huá埃瓦里斯特·伽罗瓦，法国数学家。现代数学中的分支学科群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦理论，并把其创造的“群”叫作伽罗瓦群。伽罗伽（jiā）、罗（luó）。伽罗，是手游《王者荣耀》中的女性射手型英雄角色。她于2018年9月24日抢先服上线，于2018年9月27日正式服上线，也是王者荣耀正式服的第85位英雄。原型是隋文帝皇后独孤伽罗。用猜想代替证明。错误地理解牛顿对称性多项式定理。站在实数的角度解释问题。忽视方程换元配方可漏解的情况。

这节 要说的密码学重要人物，是伽罗瓦 如果你有印象，我曾经说过，RSA加密法里用到的数学工具是群论，而伽罗瓦可以说是创造群论最重要的数学家。 虽然称他为数学家，但其实他21岁的时候就在和别人的一场枪战决斗中去世了。 这种离奇的身世，更让群论的诞生批上了浪漫的色彩。我先来说说他的生平。 在他短短21年的生命中，只有最后5年可以算是研究数学。在此之前他还是一个孩子，跟所有孩子们一样，需要上学、放学、写作业、规律生活。但他生活的年代并不太平，想幸福快乐的做学生可不容易。 在他出生前7年；拿破仑称帝； 在他3岁的时候，拿破仑又被赶下台； 他4岁的时候，拿破仑又杀回来了； 5岁时，拿破仑终于被彻底干趴下了，波旁王朝再次复辟； 此后直到他去世，中间15年，法国老百姓一直激烈的反抗波旁王朝的君主专制。 在他19岁的时候，终于爆发了七月革命，永久推翻了法国的专制统治，此后法国改制成了君主立宪制。 在他11岁之前，都是妈妈在家教他读书写字。到了上中学的年纪，家里特地把他送到了一个军事化管理的寄宿制学校。这种学校在动乱年代其实有它的优势，就是能对学生起到保护作用，否则中学生很容易被舆论煽动起来，上街成为炮灰。 当时伽罗瓦在学校成绩非常棒，按说应该可以提前一年毕业，但校长硬是因为觉得他年龄太小，不同意。所以伽罗瓦在这所中学的最后一年，实际等于重新读了第二遍初三。 他也是从这一年开始研究数学的，除了因为闲工夫多，还因为碰上一个好老师维纳（M. Vernier）。 法国的初中生在200年前学什么呢？其实跟我们现在学的内容差不多，像解方程，最高就解到二元一次。 但伽罗瓦早就掌握了，他在维纳的指导下开始沿着解方程这条路继续往远处走，开始看一些研究方程解的性质的著作。而这些内容，就是他作为数学家研究的唯一核心了。不过14岁的他还远算不上数学家，还要继续念高中，高中完了还要考大学。 早早就学会了很多现代数学知识的伽罗瓦，从14岁开始就严重偏科了，所以第一次报考巴黎综合技术学院没考上。 这学校在法国就相当于清华大学之于中国，所以他复读一年重新考。这次因为老师的极力推荐，学院网开一面，对他只进行口试。可伽罗瓦因为面试官提的问题太简单，回答跳过了很多步骤，搞得面试官也听不懂，双方顿生误解，据说当时气得伽罗瓦把擦黑板的抹布扔到了面试官脸上。 自然这第二次也是没考上了，但他再也不能复读了。 因为学校有一个规定——凡是两次以上没考上的，就永不录取。最后，他只能选择考这个学院的附属师范学院。 正是在备考阶段，他做出了第一篇有价值的学术论文，是关于方程正整数根的分析。在这篇文章中，提出了“群”的概念。 这里有个大的学术背景：从1500s开始，欧洲数学重新回到了古希腊年代的巅峰水平，当时一个很热门的问题就是怎么解方程。 在伽罗瓦出生前，二次、三次、四次方程的求根公式都纷纷出炉，也就是只要知道X^4一直到X^0之前的系数分别是什么，就可以用一个通用的公式把所有解都算出来。 像我们初中时要求背诵的x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a，就是二次方程的求根公式。其实对应三次和四次方程都分别有，只不过因为公式太长，也就不要求我们背了。 但所有数学家全都卡在5次和更高次的方程的求根公式上了，而伽罗瓦当年研究的就是这个问题。 他第一步的突破，是证明了五次方程不一定都有求根公式； 第二步的突破，是分析出方程具有哪些特征时存在求根公式。 分析工具就是用他自己发明的“群”（group）这个概念，后来这种群被叫做“伽罗瓦群”。“群”到底是什么，其实正规的讲法应该从定义说起，那就是： 满足这四条元素，可以构成一个群。 虽然这么讲起来很简单，但很难让人体会群的美妙，甚至让人觉得这样的集合并没什么特殊之处。所以我们现在从另外一个角度，感受一下群的魅力，看群能分析什么。 群这种东西属于剥离事物表象，直达本质属性的工具。比如说，有以下3组问题，我们画一个正方体，三个问题分别是： 你可能会觉得这些问题弱弱的，连小学生都知道，但如果你回想一下：刚刚3组问题分别出现了3组数，分别是6和4、12和2、8和3，它们的乘积是不是都是24？ 你觉得这是我故意拼凑出来的巧合吗？其实不是。这个24，它是这个正方体摆放方式的总的可能性。 那么，下一个问题又来了： 我们可以这样算：第一个位置我们可以从4个小球里选任意一个放在那，所以可能性乘以4；第二个位置就只有3个小球里选了，所以可能性要乘以3；第三个位置、第四个位置，以此类推。所以，排列方式的总数是4×3×2×1=24。 那最后一个问题是：正方体的摆放的方式和小球的排列方式都是24，两个24有什么内在关联吗？ 其实是有的。它们的关联就是，它们的数学结构相同。这些内容，就可以通过群论分析出来。感受完群论的魅力，我们再来看伽罗瓦。 他当时那篇论文的命运，极为悲催。 提交给法国科学院之后，还是当时年轻有为的大数学家柯西来审稿的，可是柯西的事情太多，拖了7个月才有回信传出，柯西说自己打算在下次科学院例会上介绍伽罗瓦这篇文章的观点。可到了开会那天，柯西把所有的发言时间全都用来介绍自己的论文，伽罗瓦那篇文章压根一个字没提。 而在这7个月里，伽罗瓦也没有干等，而是把论文优化了再优化，又提交给法国科学院一次，这次审稿的人名气更大了，是傅里叶。结果论文被傅里叶拿走3个月没任何回音，在人们去问的时候才知道，原来老头已经去世了。 整整一年的等待，没有任何结果。 其实这篇文章包含的思想足够重要，但只是因为它是一个18岁的青年人写的东西，所以谁都不重视，于是这个暴躁的青年人也失去了走学术道路的最后机会。从之前高考口试，把抹布扔到考官脸上这件事，我们就感到这年轻人脾气很大。的确如此，他的精力除了用在数学上，就用在闹革命上了。 上中学的时候，他就经常领头挑战校长，比如要求校长允许他们拿着枪在校园里进行军训，还要求校长取消每月只能外出一次的禁令。 在学校已经警告他以后，又在校刊上发表攻击校长的长文，最后真的被开除了。被开除后他马上加入了国民警卫队，后来又因为聚众闹事被拘留了几天。 和被学校开除那次一样，小小的警告非但不能让他收敛，反而会点燃这个暴躁青年的斗志。结果那次拘留刚放出来不久，他就带队参加了庆祝攻占巴士底狱40周年的武装游行。这次游行的口号，就是把当时在位的皇帝路易·飞利浦送上断头台。 这次，他又被抓了。而这次的惩罚就不是拘留几天了，而是6个月的监禁。尽管被关了监狱，他还在经常大肆宣扬把国王活埋之类的观点，所以之后6个月的刑期又加到了15个月。 而实际上，他那次牢狱之灾，只关了2个月就放出来了，剩下的在监外执行。原因不是因为他有门路，而是当时法国霍乱大流行，而且这次霍乱是人类医学史上最严重的一次。为了安全，只能把犯人疏散。伽罗瓦被送去几十公里外的康复之家监外执行。在康复之家，伽罗瓦遇到了他的初恋斯蒂芬妮。这个姑娘是康复之家主人的女儿。 从此开始，伽罗瓦将一步步走向死亡。 这个姑娘对他的态度若即若离，时冷时热，伽罗瓦被弄得时而心灰意冷，时而热情似火。在他最后的数学草稿中，也经常能见到斯蒂芬妮的名字反复出现。而他的初恋其实身份很复杂，可能是个特务，跟伽罗瓦支持的党派有恩怨。 后来的史学家分析，伽罗瓦自己应该当时也知道这种困境，但为情所困不能从中摆脱。在1832年5月28日，他接到了一封挑战书，是以情敌的口吻来邀请伽罗瓦和他枪战的。 伽罗瓦意识到自己时日无多，抓紧了5月28、29、30号这3天的时间，把自己关于群论的内容完善了出来。保留的稿件空白处，还经常能看到“我的时间不够用了”这样的短语。 30号晚上，他又写了3封遗书，其中2封留给他的共和党人，还有1封是关于群论的，留给了他的好朋友奥古斯特。 在第二天早上的枪战中，伽罗瓦输给了那个职业军人，腹部中了3弹，送到医院一天后死亡。 伽罗瓦的一生，就这样了断了。他的那位朋友奥古斯特很负责，用了几年时间整理伽罗瓦的手稿，然后一起寄给了当时法国著名数学家刘维尔（Joseph Liouville）。 刘维尔认识到这份材料的价值，又做了整理和规范化，在1846年代替伽罗瓦发表了群论的思想。 又过了10年，群论思想飞速发展，那个时候法国和德国大部分大学里，数学专业已经开始教授伽罗瓦群论的知识了。 而这个时候，法国政治局势也初步稳定了。可是那一年，伽罗瓦已经去世24年了。伽罗瓦的故事值得思考的地方很多，但是从学界的角度看，我们可以思考： 伽罗瓦的性格如果是安稳的，他一定会顺利进入综合技术学院，拿到学位，获得数学界师承关系。如果是这样的身份，今后写出来的论文从格式到表达，也一定都是学界认可的。 但是他没有这样的性格，也没有走进学术圈，所以他的悲惨命运，其实是性格和时代同时决定的。 下节 ，破译古埃及文字的天才医生、天才物理学家、天才语言学家——托马斯·杨。

群论是法国数学家伽罗瓦（Galois）的发明。伽罗瓦是一个极具传奇性的人物他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人也对群论作出了贡献。最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类，即，其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且为固定值，对于两个型的"复合"乘法，构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。

伽罗瓦是群理论的发现对现代数学产生了怎样的影响具体如下：伽罗瓦理论对近代数学的发展产生了深远影响,它已渗透到数学的很多分支中。伽罗瓦的思想对于现代数学的影响是巨大的,仅仅是引进群的概念已经足以永载史册,然而其影响远不止此。伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论,是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、直尺（无刻度的直尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。该理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。伽罗瓦发表了他的第一篇论文，是关于连分数的研究。伽罗瓦提出了群的概念，用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。后人为了纪念他，将这套理论称之为伽罗瓦理论。伽罗瓦对1831年版本的手稿进行了修改，增添了一些旁注，并将该手稿托付给他的朋友舍瓦利耶。

伽罗瓦理论不仅对近代代数学产生了深远影响，也渗透到数学的其他许多分支。伽罗瓦理论是以伽罗瓦的名字命名的，用群论观点研究代数方程求解的理论。它源于代数方程的根式解问题。早在公元前几世纪，巴比伦人用配方法解二次方程之后，经历两千多年的漫长岁月，直到16世纪意大利数学家才给出三次方程的求根公式，即卡尔达诺公式。伽罗瓦理论在1928年已由克鲁尔推广到无限可分正规扩域上；伽罗瓦理论不仅对近代代数学产生了深远影响，也渗透到数学的其他许多分支。伽罗瓦理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。是当代代数与数论的基本支柱之一，功勋卓越。基本内容1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。2、若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal（K/F）。3、对于H是Gal（K/F）的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。4、对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。5、Fu2282Eu2282K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal（K/E）是Gal（K/F）的正规子群。6、在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。

是的，伽罗瓦理论是用已知的数学逻辑公理、规则，得出的推论。。。。也就是说：伽罗瓦理论完全符合逻辑，是正确的。。。。。。。。

中学生的你是不是刚刚会计算一元二次方程的根？同为中学生的法国数学天才伽罗瓦，却发明了群的概念，建立起一门新的数学分支，提出了研究方程可解性问题的伽罗瓦理论。伽罗瓦的素描遗憾的是，现在的大学数学系中讲抽象代数时，太侧重于群、环、域各种定义及定理，几乎没有那个人能讲清楚如何利用伽罗瓦理论证明一般四次以上方程不存在根式解。这大大背离了伽罗瓦最早建立这个领域的初衷，不得不说是一种悲哀！数学丢掉了出发点，就像失去了生命的源泉，变得没有灵魂，不再是生动的艺术而是死板的理论。伽罗瓦1811年10月25日出生在巴黎市郊的小镇拉赖因堡，全名为埃瓦里斯特-伽罗瓦。不同于另一个研究相同问题的法国数学家阿贝尔，伽罗瓦出生在一个富裕的家庭，爷爷和父亲都是校长，妈妈是法官的女儿。伽罗瓦四岁时，拿破仑二度称帝，这就有了后人所谓的百日王朝。在此期间，伽罗瓦的爷爷和父亲均热衷于政治，伽罗瓦的父亲还被推选为镇长，这些事情都为伽罗瓦后来的人生悲剧埋下了伏笔。拿破仑与百日王朝伽罗瓦的教育经历比较坎坷。12岁之前都是他的母亲在对他进行各方面的教育，伽罗瓦的母亲精通古典文学并能熟练地阅读拉丁文，这使得伽罗瓦很早就开始接受古典文学的熏陶，为他以后在中学的良好成绩奠定了基础。1823年，伽罗瓦12岁时，他跳过小学直接进入巴黎一所皇家中学-路易学校，这个学校也是大名鼎鼎的作家雨果和政治家罗伯斯庇尔的母校。这所学校当时以建筑冷酷、纪律严格、食物缺乏闻名，更夸张的是他们的作息是晚五点半至早八点半，晚上上课还得共用一只蜡烛。路易中学1824年元月，法国国王路易十八带领一群高官来学校视察。在晚宴时，一批学生没有向国王和随从敬酒，这使得学校的领导大为光火，开除了117名学生，作为一年级学生的伽罗瓦逃过一劫，但这件事情在他的脑海中留下了深刻的印象，也埋下了反对皇室的种子。1826年，15岁的伽罗瓦成绩大大退步了，校长让他留级一年。也正是这次留级，让伽罗瓦的数学天分得到了充分施展的机会。留级时，伽罗瓦碰见了一位优秀的数学教师维纳，他向同学们推荐了大数学家勒让德的《几何原理》，据说这本维纳准备讲两年的书，伽罗瓦只用两天就读完了。这次经历使得伽罗瓦深深沉迷于阅读数学的原始著作，他开始大量阅读法国大数学家拉格朗日的著作，但却忽视了其他课程的学习。导致的后果就是1828年，17岁的伽罗瓦参加巴黎综合理工学校的入学考试时，由于“在某个领域知识太多，而在其他领域知识太少”而名落孙山。幸运的是，他却进入了理查德的数学专业班，所有的老师都被他的数学天赋折服，不仅给了一等奖学金，还保留了他的所有课堂笔记本。不出意外，伽罗瓦在数学上做出了引人注目的工作。18岁时，他正式发表了第一篇论文，这是关于连分数的。更重要的是，他独立给出了高于4次的方程根式解不存在的证明，这个证明先由理查德带给柯西，又以《一个方程可以通过开方解出的条件》为题交给了法兰西科学院，参与数学大奖的竞争。遗憾的是，柯西忽略了伽罗瓦的工作，另一种说法是柯西非常欣赏伽罗瓦的工作，建议他以专题的形式重新提交论文。不论哪种状况，论文到了科学院秘书傅立叶那，但傅立叶突然去世，伽罗瓦的论文也丢失了。最后的这个数学大奖也颁给了雅可比和阿贝尔。伽罗瓦临死手稿这些还不是最惨的，18岁时，伽罗瓦又一次报考巴黎综合理工学校，这次的结果更加悲催：一个高智商的学生被一群低智商的考官拒绝了。由于只能报考两次，这所学校对伽罗瓦永远地关上了大门。除了被学校拒绝，更大的打击来自他父亲的自杀。伽罗瓦的父亲作为一镇之长喜欢写诗，平时也支持市民反对神父。神父们就利用他的这个爱好，编写了一篇下流的诗给自己的家庭成员，导致正派的父亲无法面对家人和市民，偷偷去了巴黎，在儿子学校不远的地方打开煤气自杀身亡。考不进综合理工学校的伽罗瓦只能考进了当时默默无名的师范学校。但好景不长，积极投身于政治的伽罗瓦因为参加革命被学校开除，1831年又两次作为政治犯被捕。伽罗瓦是一个激进的共和党人，“一个年轻人，两只手分别举着酒杯和匕首，正试图让别人听他说话”，这是他参加党内集会时的形象。1832年春天，因为巴黎霍乱流行，伽罗瓦得以被假释，被转移到“康复之家”，在此遇见了这儿主人的女儿-17岁却善于卖弄风骚的斯蒂芬妮，经历了一生唯一的一次恋爱，却被深深的伤害了。他在给朋友奥古斯特的信中写道：“我对一切的幻想已破灭，甚至对爱情和名声的幻想也已破灭”。这一年，伽罗瓦走到了人生的尽头。他死于一场决斗，关于这场决斗也有很多版本，情敌？政敌？女孩父亲？不论是谁，结局都是一样，才华横溢的伽罗瓦拿到了两只手枪中没有子弹的那支，被对手射中了腹部而死。在被一个农夫送去医院后，第二天去世。留给弟弟的遗言是：“不要哭，我需要我的全部勇气在20岁时死去”。天才大概直觉更准，在决斗前，伽罗瓦就觉得自己可能无法生还。留下了三封绝笔信：两封是给政党的，让他们不要责怪杀死他的人，另一封完整地表述了伽罗瓦理论。在伽罗瓦故乡的公墓里，有一座他的纪念碑，树立在他亲人的墓旁边。至于伽罗瓦的遗体真正安放地点，只知道在蒙巴纳斯公墓，但具体位置无人知晓。伽罗瓦公墓：25956

伽罗瓦的群理论的发现对现代数学产生的影响如下：伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。该理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。伽罗瓦理论起源于代数方程根式求解问题，该问题在19世纪之前一直是代数学研究的核心问题。代数方程根式可解，即该方程的解可由方程的系数经有限次加、减、乘、除以及开整数次方运算表示。早在古希腊就已经得到了二次方程的求根公式，到十六世纪中叶，一批意大利数学家已相继给出三次方程和四次方程的根式解法，此后的两百多年间，数学家们致力于探求五次及以上方程的根式解法；直到1826年阿贝尔严格证明了大于四次的代数方程没有根式解，几乎与阿贝尔同时，1830年前后法国数学家伽罗瓦给出代数方程根式可解的充分必要条件，解决了这一难题，由此创立发展出来的理论方法被后人称为伽罗瓦理论。这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、直尺（无刻度的直尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。该理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。伽罗瓦发表了他的第一篇论文，是关于连分数的研究。伽罗瓦提出了群的概念，用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。后人为了纪念他，将这套理论称之为伽罗瓦理论。伽罗瓦对1831年版本的手稿进行了修改，增添了一些旁注，并将该手稿托付给他的朋友舍瓦利耶。

伽罗瓦是脾气不好的天才，其最大的特点是应该是发现新的东西。学习5年数学就能获得如此成就，绝对是天才中的战斗机。他甚至预测到了自己的死亡。 陶哲轩是个脾气好的天才，即使伽罗瓦不夭折，其成果的数量一定没有陶哲轩多。 如果，拿两者在相同的年龄，相同的学历比，陶哲轩在这个年龄时，没有发现新的学科。由于数学界，认为发现新学科，新的数学疆界是顶级的工作，所以，伽罗瓦还是厉害一些。 当然，陶哲轩的岁月还长，上升空间还大得很。这两个人的位置也有可能在反过来。 随便说一句，陶哲轩自己可是认为其能力比不上那个俄国人。

我不知道你所说的"代数解"和"三角解"的精确定义是什么,请问你的问题是不是 :令 K 是任意的域,那么对于每一个正整数 n , (K 的素域上的) 多项式 X^n - 1 在 K 的某个扩域 K" 上分裂 ( 即, n 次单位根都在 K" 中 ) .如果是这个问题的话,答案应该是 "任意一个多项式的分裂域( splitting field )的存在性". 即使是一般的多项式的情况, 证明也很容易.(参考)证明了K的代数闭包的存在性后,可以对于 多项式环 K[X] 的任意一个(不含零的)子集 S 定义 它在域 K 上的分裂域. ------------------------------------------------------------------------------------------[ 补充]明白了,确实N.H.Abel最早证明5次方程的情况时,用的就是"algebraic solution".不过现在好像一般叫做"可用根式解"(solvable by radicals).这里多项式 f(X) 可用根式解的定义中,允许开 n 次方根吧?所以是不是"根据定义显然"呢? 仅供参考. 我只学了一点基础的域论,关于方程的根式解问题不很了解. 另外,如果你一定要一个证明的话,不知下面这个是否可以.定理(Galois)----令 F 为特征零域, K 是 F 上的多项式 f(X) 在 F 上的一个分裂域. 那么: f 可用根式解的一个充要条件是galois群 Gal(K/F) 是可解群. 当 F 是特征p域时,适当修改"根式扩张( radical extension)" 的定义,则与上面定理本质相同的事实仍然成立.定理(关于分圆扩张的)-----设 n 是一个正整数,并且不被域 F 的特征整除 . K 是多项式 X^n -1 在 F 上的一个分裂域. 则 K 可以通过在 F 上添加一个 n 次本原单位根 w 得到: K = F (w) . 此时 K/F 是 galois扩张, 群 Gal(K/F) 同构于 ( 环 Z/nZ 的可逆元乘法群 ) U(Z/nZ) 的某个子群, 从而是abel群.最后,abel群当然是可解的.