均值不等式

你好：对钩函数挺典型的，它和均值不等式特别有缘，不论是对钩函数或均值不等式，请记住：必须化到都是正的时候才能讨论，两部分必须同号，否则只能用函数单调性或导数来求解了，y=AB+1/AB我们经常要讨论的前提是需要我们去发现AB和1/AB同正同负，即正负性相同，都是负的时候提取一个负号就都是正的了，也就是必须都统一到正数才能用均值不等式求解，另外，用均值不等式我们只能得到最小值，结合函数的连续性能在一定程度上知道单调性，对钩函数的单调性最好的证明方法是导数方法的证明，其实对钩函数在高中以后都是作为和一次函数、二次函数之类的基本函数对待的，根据图像的特征才取了“对钩函数”这个名字，总之，用公式时必须注意适用范围，均值不等式要求至少同号，同负时需要提取负号转换为同正来套公式，其实，如果y=a+1/b中如果a和b异号，a和1/b将会是单调性相同的函数，我们只要根据简单的函数单调性叠加法则即可得到整个式子的单调性，对钩函数出现的背景是一增一减无法确定才开始讨论了对钩函数的性质，而且和均值不等式是相同的形式，好了，我手机上的，打字累，有兴趣可以再讨论，谢谢！

对勾函数就是 y=x+ 1/x 图像就像对勾一样，当x>=0时，在x=1点最小，值为2

f(x)=lnx是凹函数, 利用Jensen不等式得(lnx1+...+lnxn)/n<=ln((x1+...+xn)/n), 再取指数就得到几何--算术平均不等式.把xk用1/xk代替就得到调和--几何平均不等式.

先取自然对数，然后求导。为了证明导数非负，需要对凸函数x*log(x)用jensen不等式，有点舍近求远了……具体一点说是这样的：证明：(sum a[i]^r / n)^(1/r) 是变量 r 的增函数取对数之后，函数变成 (1/r)*log(sum a[i]^r / n)。导数为：(1/r^2)*[(sum a[i]^r * log a[i]^r) / (sum a[i]^r) - log (sum a[i]^r / n)]令x[i] = a[i]^r，则只要证明：(sum x[i]*log(x[i]))/n >= (sum x[i] / n)*log(sum x[i] / n)由函数 x*log(x) 的jensen不等式立刻得到上式成立