黎曼

性质：1、正定性；如果函数在区间上处处大于等于0，则它在上的积分也大于等于零；2、可加性；如果函数在区间和上都可积，那么在区间上也可积，并且有无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立；3、上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的；4、如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的；5、如果是上的一个一致收敛序列，其极限为，那么，如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。 黎曼和：德国数学家，虽然牛顿时代就给出了定积分的定义，但是定积分的现代数学定义却是用黎曼和的极限给出。

我喜欢你是一部备受瞩目的电视剧，讲述了一个充满爱情、友谊和亲情的故事。其中最引人注目的便是黎曼的感情线。在剧中，黎曼一直与女友小妍相恋。然而，随着剧情的发展，我们发现黎曼其实一直对女主角韩娜念念不忘。最终，在经历了一番波折后，黎曼和韩娜终于在一起了。这个结局让很多观众感到欣慰，因为他们一直认为黎曼和韩娜才是最合适的一对。但是，也有一些观众对此表示不满，认为黎曼应该和小妍在一起，毕竟他们已经相处了那么久。无论如何，这个结局都让人感到非常感动。它向我们展示了爱情的坎坷和曲折，同时也告诉我们，只要我们坚持自己的心意，最终一定会走向幸福。

达布和与黎曼和之间的关系在于它们都是黎曼和的极限。然而，它们在定义上有所不同。达布和与黎曼和的差别在于区间划分的顺序。在达布和中，区间划分P比区间划分Q更细，如果P是通过从Q加更多划分点而得到，这意味着P中的任何一个区间都包含在Q的某个区间中。黎曼和对这种区间划分的顺序没有单调性，因此，收敛的判别法则是，对于任何给定的 ，存在某个划分满足柯西条件。黎曼积分中，区间划分P比区间划分Q更细，如果P的最大区间长度小于Q的最大区间长度。黎曼和对这种区间划分没有单调性，因此，收敛的判别法则是对于任何给定的 ，所有的最大区间长度足够小的划分都要满足柯西条件。总结来说，达布和和黎曼和都是黎曼和的极限，但在达布和中，存在一个划分满足柯西条件即可，而在黎曼和中，所有的划分都需要满足柯西条件。另外，达布和与黎曼和在定义上等价，且达布可积能推出黎曼可积，但反过来则不一定成立。

　　对一个在闭区间有定义的实值函数，关于取样分割的黎曼和定义如下：和式中的每一项是子区间长度与在处的函数值的乘积。直观地说是以标记点到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 不太严格地说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 　　严格定义如下：是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割，只要它的子区间长度最大值，就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。

具体回答如图：扩展资料：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

曼城 大巴黎 纽卡到底哪家背后的财力强？说下主权基金就是国家财力的资本中东主要的有：ADIA KIA PIF QIA ICD Mubadala都是千亿美元以上的主权资本曼城：ADUG（阿布扎比王室的私人投资公司，预计资产300亿刀，非主权基金，曼苏尔董事长）78%控股CFG（城市足球集团）控股曼城，曼城属于公司投资，非“国家资本”（和国家投有区别吗？），阿布扎比另外有两个主权基金是ADIA（阿布扎比投资局预计资产6000亿刀）和Mubadala（阿布扎比穆把达拉投资公司预计资产2000亿刀），这两家与ADUG没有直接控股关系，但曼苏尔也参与主权基金的管理，也是阿联酋总统阿布扎比酋长的弟弟，现在是阿联酋中央银行的董事局主席，管货币，财爷巴黎：QIA（卡塔尔投资局预计资产3000亿刀）控股QSI（卡塔尔体育基金）控股大巴黎，现任卡塔尔埃米尔（国王）塔米姆拥有，纳赛尔就是个跑腿的纽卡：PIF（沙特公共投资资金预计资产4000亿刀）80%控股一家新成立的财团收购纽卡，穆罕默德 本 萨勒曼（沙特王储）就是实际控制人所以按直接控股关系：纽卡-巴黎-曼城按背后财力：曼城-纽卡-巴黎按国家GDP：纽卡-曼城-巴黎其实千亿级别是旗鼓相当的最后说下还有两家大的主权基金还没参与欧洲足球ICD迪拜投资公司估值3000亿刀KIA科威特投资局估值7000亿刀财力可见一斑另外还有巴林 Mumtalakat公司（小巴黎FC20%股份），阿曼投资局（OIA）沙迦资产管理（SAM）都是千亿刀以下。

因为“黎曼假设”4个汉字不断重复，200÷4=50（组）所以第200列的第一个汉字是：设；第二行是“庞加莱猜想”5个汉字不断重复，200÷5=40（组）所以200列的第二个汉字是：想；第三行则是“哥德巴赫猜想”6个汉字不断重复，200÷6=33（组）…2（个）所以200列的第三个汉字是：德答：第200列从上到下依次是：设，想，德3个汉字．

我会庞加莱猜想。言：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点.另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题.这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗.一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利?庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起.”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题.庞加莱猜想,就是其中的一个.1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球.但1905年发现提法中有错误,并对之进行了修改,被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面.”后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”.如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子,这个空间是一个球.或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子.我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里.现在拿一个气球来,带到这个球形的房子里.随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）.这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以（对形状也有一定要求）.但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破.还要假设,这个气球的皮是无限薄的.好,现在我们继续吹大这个汽球,一直吹.吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是汽球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙.我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是.看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理.一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终.艰难的证明之路[编辑本段]2000年5月24日,美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一,这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题,经许多年仍未解决.”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励.另外六个“千年大奖问题”分别是：NP完全问题,霍奇猜想（Hodge）,黎曼假设（Riemann）,杨－米尔斯理论（Yang-Mills）,纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes,简称NS方程）,BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）.提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它.但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来.于是,拓扑学家们开始了证明它的努力.一、早期的证明[编辑本段]20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项.但突然,英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣.他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,失之桑榆、收之东隅.但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特海流形.30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中.帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家.因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”（Papa）.在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客.帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn"s Lemma）而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰?米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力.”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上.在普林斯顿大学流传着一个故事.直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言.

黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。他的具体成就有：一、复变函数论黎曼和柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人。而黎曼：1．通过复变函数的导数定义，建立复变函数论的基础。2．对多值函数定义黎曼曲面。3．黎曼曲面的拓扑（黎曼是第一个研究曲面拓扑的人，他引进横剖线的方法来研究曲面的连通性质）。4．黎曼曲面上的函数论（黎曼研究的基本问题是黎曼曲面上函数的存在性及唯一性问题。他比以前数学家的先进之处在于，函数的存在不必通过构造出解析表达式来证明，黎曼可以通过其奇点来定义，这对后世数学有重要影响。）。5．狄利克雷原理（黎曼给出其证明并有效地表述及运用狄利克雷原理，这个原理是他从狄利克雷的课程中学来的）。二、阿贝尔函数论关于阿贝尔函数，黎曼发表过两篇文章：一是《阿贝尔函数论》，一是《论函数的零点》。1．阿贝尔积分的表示及分类（黎曼对由定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类。第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界。线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数，这p个阿贝尔积分称为基本积分。第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点。第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数奇点。每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和。2．黎曼－洛赫定理（这是代数函数论及代数几何学最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形态）。3．黎曼矩阵，黎曼点集和阿贝尔函数。4．函数及雅可比反演问题（为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比函数，引进了黎曼函数）。5．双有理变换的概念和参模。三、超几何级数和常微分方程超几何微分方程有3个奇点0，1，α，它作为二阶微分方程有两个独立特解y1和y2，其他解均为这两解的线形组合。黎曼的思想是当y1，y2沿绕奇点的路径变化时必经历线形变换。对于所有绕奇点的路径，这些变换组成群。他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形，他证明给定线形变换后，这n个独立函数满足一个n阶线形微分方程，但他没有证明这些奇点（支点）和这些变换可以任意选取，从而留下了著名的黎曼问题。希尔伯特把他列入23个问题中的第21个问题。四、解析理论黎曼是现代意义下解析数论的奠基者，生前他只在1859年发表过一篇论文《论给定数以内的素数数目》。五、实分析——函数观念，黎曼积分，傅立叶级数，连续不可微函数黎曼积分是数学特别是物理应用的主要分析工具；黎曼还是最早认识到连续性及可微性的区别的数学家之一。六、几何学黎曼的空间观念使数学及物理发生空前的变革。黎曼的几何论文有两篇，一篇是他的授课资格的演讲，另一篇是所谓《巴黎之作》，即《论热传导问题》。

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1] （Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵中。

波恩哈德·黎曼(公元1826—1866年)，是德国著名的数学家，他在数学分析和微分几何方面作出过重要贡献，他开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。他是个安静多病而且害羞的人，终生喜欢独处。他的同事戴德金（Dedekind）是少数了解他的人之一。据戴德金说，除了黎曼真正糟糕的身体状况之外，他还是黎曼图册(3张)一名疑病症患者。1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。1842年，祖母去世后，他搬到吕内堡（Lüneburg）的约翰纽姆（Johanneum）。1846年，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。在大学期间有两年去柏林大学就读 ，受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。1851年，在柏林大学获博士学位 。1851年，论证了复变函数可导的必要充分条件( 即柯西-黎曼方程) 。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ，成为函数的几何理论的基础。1853年，定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。1854年，发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1854年，成为格丁根大学的讲师，1857年，初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯黎曼之墓坦的广义相对论提供了数学基础。1857年，发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念 ，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。1857年，升为哥廷根大学的编外教授。1859年，接替狄利克雷成为教授。并发表论文《论小于某给定值的素数的个数》，提出黎曼假设。1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。1866年7月20日，他在第三次去意大利修养的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。主要贡献1859年，发表的关于素数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》中，研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，他指出素数的分布与黎曼ζ函数之间存在深刻联系。这一关联的核心就是J(x)的积分表达式。1854年，黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的演说，创立了黎曼几何学。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。另外，他对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献。甚至对物理学本身，如对热学、电磁非超距作用和激波理论等也作出重要贡献。黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。黎曼首先提出用复变函数论特别是用ζ函数研究数论的新思想和新方法，开创了解析数论的新时期，并对单复变函数论的发展有深刻的影响 。他是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空间，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。人物评价埃丁顿(Eddington)爵士曾说：“一个像黎曼这样的几何学者几乎可以预见到现实世界的更重要的特征。”高斯说：“黎曼……具有创造性的、活跃的、真正数学家的头脑，具有灿烂丰富的创造力。”近代数学史家贝尔认为：“作为一个数学家，黎曼的伟大在于他给纯数学和应用数学揭示的方法和新观点的有力的普遍性和无限的范围。”德国数学家克莱因说：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。”

没有直接的函数，请自己写。专门用mathematica来讲复分析一本书上有很好的论述。

复分析中，复平面（或者任何黎曼曲面）上的的亚纯函数是两个全纯函数f和g的比值f / g.作为到复数的映射，任何g为零的地方，它就没有定义。但是，它引出了一个全纯映射(f,g)到复射影线，甚至在g = 0处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如，紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射，但是有很多到复射影线上的全纯映射。黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中，复射影线上的点是光子极化态，自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。

黎曼曲面没有特定的黎曼度量。但是，黎曼曲面的复结构的确在共形等价下确定了唯一的度量。（两个度量称为共形等价，如果他们的区别只是一个正光滑函数的因子。）反过来，可定向曲面上的任意度量唯一的决定一个复结构，该结构在共形等价下依赖于该度量。因此可定向曲面的复结构和该曲面上的度量的共形类有一一对应。给定共形类，可以用共形对称性找到一个有合适属性的代表度量。精确地讲，每个共形类总是有一个常曲率完备度量。在黎曼球面的情况，高斯-博内定理表明常曲率度量必须有正的曲率K。因而该度量必须通过球极投影等度于中半径为的球面。对于黎曼球面上的ζ-图，K = 1度量可以给出如下：在实坐标ζ = u + iv中，该公式为：除了一个常数因子，该度量和复射影空间（黎曼球面就是一个特例）中的富比尼-施图迪度量一样。反过来，令S代表（作为微分流形或者拓扑流形的）球面。按照单值化定理，存在唯一的S上的复结构。由此可见，S上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此圆球度量不是黎曼球面的内在度量，因为圆形并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圆形度量是一个很自然的选择。

"黎曼平面"指的是“Riemann surfaces”，即“ 黎曼球面”或“ 黎曼曲面”，是一种将复数平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式 1/0 = ∞至少在某种意义下有意义，它由19世纪数学家黎曼而得名。

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。黎曼猜想，即素数的分布最终归结为如下所谓的黎曼ζ函数：∞ 1 ζ（z）＝ ∑ ——— ，z＝x＋iy n=1 nz 的零点问题，他做出这样的猜想：ζ（z）函数位于0≤x≤1之间的全部零点都在x＝1／2之上，即零点的实部都是1／2，这至今仍是未解决的问题。

要。黎曼曲面是复解析几何的基础，在数学分析、代数几何和物理学等领域都有广泛的应用，打算深入从事数学、物理、工程等领域的研究和应用，那么继续学习黎曼曲面是非常有必要的。

黎曼球面由19世纪数学家黎曼而得名。也称为复射影直线，记为 ，和 扩充复平面，记为 或者. 从纯代数的角度，复数加上一个无穷远点构成一个数系称为扩充复数。无穷远点的算数有时和一般的代数规则不符，因此扩充复数不构成一个代数域。但是，黎曼球面在几何和解析角度都行为良好，甚至在无穷远点也不例外；它是一个一维复流形，也称黎曼曲面。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给向其它曲线，流形或代数簇上的推广提供了直观的理解和动力。Riemann-Roch 定理就是这种影响的最佳例子。令X为一个豪斯多夫空间(Hausdorff space)。一个从开子集Uu2282X到C的子集的同胚称为图(chart). 两个有重叠区域的图f和g称为兼容，如果映射f o g-1 和g o f-1 是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图集(atlas)。当我们赋予X一个图集A,我们称(X,A)为一个黎曼曲面。如果知道有图集，我们简称X为黎曼曲面。不同的图集可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理(Zorn"s Lemma)每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f(z) = z (恒等映射)定义了C的一个图,而 是C的一个图集. 映射g(z) = z* (共轭)映射也定义了C的一个图而也是C的一个图集. 图f和g不相容，所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面X及其图集A, 共轭图集B = {f* : f ∈ A} 总是不和A相容, 因此赋予X一个不同的黎曼曲面结构。类似的，每个复平面的开子集可以自然的视为黎曼曲面。更一般的，每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。令S = C ∪ {∞} 并令f(z) = z 其中z 属于S {∞} 并且令g(z) = 1 / z 其中z属于S 以及 定义1/∞为0. 则f 和g为图，它们相容，而{ f, g }是S图集, 使S成为黎曼曲面。这个特殊的曲面称为黎曼球因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不象复平面，它是一个紧空间。埃舍尔的《画廊》也运用了黎曼曲面紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线等效。非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出两个黎曼曲面M和N之间的 函数f : M → N称为全纯(holomorphic)，如果对于M的图集中的每个图g和N的图集中的每个图h，映射h o f o g-1 在所有有定义的地方是全纯的(作为从C到C的函数) 。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面M和N称为保角等价(或共形等价conformally equivalent)，如果存在一个双射的从M到N的全纯函数并且其逆也是全纯的(最后一个条件是自动满足的所以可以略去)。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C ∪ {∞}或开圆盘{z ∈ C : |z| < 1}保角等价。这个命题称为一致化定理。每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1 的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C ∪ {∞}是这样的一个例子.对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为C/Γ,其中C是复平面而Γ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。 类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于Fuchsian 群，因而曲面可以由Fuchsian 模型H/Γ 构造，其中H是上半平面而Γ是Fuchsian 群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。当一个双曲曲面是紧的，则曲面的总面积是4pi(g-1), 其中 g 是曲面的亏格(genus)；面积可由把Gauss-Bonnet 定理应用到基本多边形的面积上来算出。前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图f和g有变换函数h = f(g-1(z))，我们 可以认为h是从R2开集到R2的映射，在点z的雅戈比阵也就是由乘以复数h"(z)的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的行列式等于|α|^2, 所以h的雅戈比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数(holomorphic function)。黎曼曲面被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。每个黎曼曲面都是二维实解析流形(也就是曲面)，但它有更多的结构(特别是一个复结构)，因为多值函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯圈，克莱因瓶和投影平面没有。

黎曼球面是黎曼几何中的一种特殊情况，它是一个二维球面（类似于地球表面），并且具有与欧几里德平面不同的度量性质。而黎曼曲面则是指在任意维度上定义了一种复合结构和度量的流形。更具体地说，黎曼球面可以看作是一个特殊的黎曼曲面，因为它们都满足以下条件：1. 它们都是连通、紧致的流形。2. 它们都有复合结构，在每个切空间上定义了一个内积。3. 它们都被赋予了标量场（即“度量”），使得该场在局部范围内类似于欧几里德平面或者单位圆盘。然而，需要注意到这两者之间还存在着差异。首先，黎曼球面只能够存在于三维及以上空间中；而对于任意维数$n$来说，我们都可以将其视为一个$n$-维实数流形，并在其上定义出一种复合结构和度量从而得到一个黎曼(n-1) 曲线 。此外，在高于二维时，除了球体以外还有其他类型的 黎 曼 2 球 面 ，例如双曲球面和椭圆球面，而这些都不是黎曼球面。总之，黎曼球面是一种特殊的二维流形，在某些情况下可以被视为一个黎曼 2 曲线。但在更高维度中，我们需要使用更一般化的黎曼几何理论来研究流形的性质。

1..数学史 2..数理逻辑与数学基础 a..演绎逻辑学 亦称符号逻辑学 b..证明论 亦称元数学 c..递归论 d..模型论 e..公理集合论 f..数学基础 g..数理逻辑与数学基础其他学科 3..数论 a..初等数论 b..解析数论 c..代数数论 d..超越数论 e..丢番图逼近 f..数的几何 g..概率数论 h..计算数论 i..数论其他学科 4..代数学 a..线性代数 b..群论 c..域论 d..李群 e..李代数 f..Kac-Moody代数 g..环论 包括交换环与交换代数,结合环与结合代数,非结合环与非结 合代数等 h..模论 i..格论 j..泛代数理论 k..范畴论 l..同调代数 m..代数K理论 n..微分代数 o..代数编码理论 p..代数学其他学科 5..代数几何学 6..几何学 a..几何学基础 b..欧氏几何学 c..非欧几何学 包括黎曼几何学等 d..球面几何学 e..向量和张量分析 f..仿射几何学 g..射影几何学 h..微分几何学 i..分数维几何 j..计算几何学 k..几何学其他学科 7..拓扑学 a..点集拓扑学 b..代数拓扑学 c..同伦论 d..低维拓扑学 e..同调论 f..维数论 g..格上拓扑学 h..纤维丛论 i..几何拓扑学 j..奇点理论 k..微分拓扑学 l..拓扑学其他学科 8..数学分析 a..微分学 b..积分学 c..级数论 d..数学分析其他学科 9..非标准分析 10..函数论 a..实变函数论 b..单复变函数论 c..多复变函数论 d..函数逼近论 e..调和分析 f..复流形 g..特殊函数论 h..函数论其他学科 11..常微分方程 a..定性理论 b..稳定性理论 c..解析理论 d..常微分方程其他学科 12..偏微分方程 a..椭圆型偏微分方程 b..双曲型偏微分方程 c..抛物型偏微分方程 d..非线性偏微分方程 e..偏微分方程其他学科 13..动力系统 a..微分动力系统 b..拓扑动力系统 c..复动力系统 d..动力系统其他学科 14..积分方程 15..泛函分析 a..线性算子理论 b..变分法 c..拓扑线性空间 d..希尔伯特空间 e..函数空间 f..巴拿赫空间 g..算子代数 h..测度与积分 i..广义函数论 j..非线性泛函分析 k..泛函分析其他学科 16..计算数学 a..插值法与逼近论 b..常微分方程数值解 c..偏微分方程数值解 d..积分方程数值解 e..数值代数 f..连续问题离散化方法 g..随机数值实验 h..误差分析 i..计算数学其他学科 17..概率论 a..几何概率 b..概率分布 c..极限理论 d..包括正态过程与平稳过程、点过程等 e..马尔可夫过程 f..随机分析 g..鞅论 h..应用概率论 具体应用入有关学科 i..概率论其他学科 18..数理统计学 a..抽样理论 包括抽样分布、抽样调查等b..假设检验 c..非参数统计 d..方差分析 e..相关回归分析 f..统计推断 g..贝叶斯统计 包括参数估计等 h..试验设计 i..多元分析 j..统计判决理论 k..时间序列分析 l..数理统计学其他学科 19..应用统计数学 a..统计质量控制 b..可靠性数学 c..保险数学 d..统计模拟 20..应用统计数学其他学科 21..运筹学 a..线性规划 b..非线性规划 c..动态规划 d..组合最优化 e..参数规划 f..整数规划 g..随机规划 h..排队论 i..对策论 亦称博弈论 j..库存论 k..决策论 l..搜索论 m..图论 n..统筹论 o..最优化 p..运筹学其他学科 22..组合数学 23..模糊数学 24..应用数学 具体应用入有关学科 25..数学其他学科就这些，其他的太偏或者是不讨论

确切一点说是和Jacobi矩阵有关. 下面是一个粗略的解释, 并不严格.二元函数(u,v)=f(x,y)的Jacobi矩阵是2阶矩阵, 本应该有四个独立元素[a,b;c,d]. 但Cauchy-Riemann方程说的就是Jacobi矩阵需要构成[a,b;-b,a]的形式, 即具有复数的实矩阵表示的结构, 这样就说明本质上f(x,y)中的自变量(x,y)可以由一个复变量z=x+iy来代替.