恒等式的著名恒等式

欧拉恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

euler公式是欧拉公式，英文全称为Euler"s formula。欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。R+ V- E= 2就是欧拉公式。作用：欧拉公式容易理解的有两个作用，一个是用于多面体的，而另外—个是用于级数展开的。欧拉公式数学中起到至关作用的数字被它联系了起来，两个超越数,自然对数的底e和圆周率π两个单位，虚数单位和自然数的单位1以及人类数学史上最伟大的发现0。因此在数学家的眼中，欧拉公式应是上帝的公式。第一个证明欧拉公式的人是20岁的柯西，他通过多面体设想的方法肯定了欧拉公式存在的意义。欧拉公式的种变换，欧拉恒等式它被称作是数学中最美妙的一个公式。

1737年。欧拉乘法恒等式是欧拉在1737年的时候提出并证明的。莱昂哈德·欧拉（1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一。

恒等式（identity）：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。符号“≡”。例如x^2－y^2与（x＋y）（x－y），对于任一组实数（a，b），都有a^2－b^2＝（a＋b）(a－b)，所以x^2－y^2与（x＋y）（x－y）是恒等的。　　两个解析式恒等与否不能脱离指定的数集来谈，因为同样的两个解析式，在一个数集内是恒等的，在另一个数集内可能是不恒等的。例如与x，在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。【著名恒等式】　　欧拉恒等式：e^iπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。

设H是内积空间，‖·‖是由内积（·，·)导出的范数，下列等式常被称为极化恒等式：1、当H是实空间时，（x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；当h是复空间时，（x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2)。对于实内积空间上的双线性Hermitian函数和复内积空间上的双线性φ（x，y)函数，有类似的恒等式。2、当H是实内积空间时3、当H是复内积空间时著名恒等式1、欧拉恒等式：eiπ＋1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示）,令x=π就得。2、牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……，Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……＋Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……＋CnSk-n=0，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……＋Ck-1S1+kCk=0，当1≤k≤n (N2)

解题过程如下图：恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料著名恒等式欧拉恒等式：eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)

莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler 1707年4月5日～1783年9月18日 是瑞士数学家和物理学家.他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）.欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出).他是把微积分应用于物理学的先驱者之一.　　"欧拉进行计算看起来毫不费劲儿,就像人进行呼吸,像鹰在风中盘旋一样°(阿拉戈语),这封伦纳德．欧拉(1707--1783)无与伦比的数学才能来说并不夸张,他是历史上最多产的数学家.与他同时代的人们称他为"分析的化身".欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易.甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产,如果说视力的丧失有什么影响的话,那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力. 　　欧拉到底为了多少著作,直至1936年人们也没有确切的了解.但据估计,要出版已经搜集到的欧拉著作,将需用大4开本60至80卷.1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文.这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的.这也恰恰显示出,欧拉属于整个文明世界,而不仅仅屈于瑞士.为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了. 　　欧拉和丹尼尔·伯努利一起,建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量. 　　他还直接从牛顿运动定律出发,建立了流体力学里的欧拉方程.这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程.人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波. 　　他对微分方程理论作出了重要贡献.他还是欧拉近似法的创始人,这些计算法被用于计算力学中.此中最有名的被称为欧拉方法. 　　在数论里他引入了欧拉函数. 　　自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数.例如,因为有四个自然数1,3,5和7与8互质. 　　在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的. 　　在分析领域,是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数. 　　他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声： 　　:其中是黎曼函数. 　　欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式,它成为指数函数的中心. 　　在初等分析中,从本质上来说,要么是指数函数的变种,要么是多项式,两者必居其一.被理查德·费曼称为“最卓越的数学公"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）： 　　:在1735年,他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数： 　　:他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一,这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效. 　　在1739年,欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》,书中试图把数学和音乐结合起来. 　　一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作. 　　在经济学方面,欧拉证明,如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量,在规模报酬不变的情形下,总收入和产出将完全耗尽. 　　在几何学和代数拓扑学方面,欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：: 　　其中,F为给定多面体的面数之和,E为边数之和,V为顶点数之和. 　　这个定理也可用于平面图.对非平面图,欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形,则：:其中χ为此流形的欧拉特征值,在流形的连续变形下是不变量. 　　单联通流形,例如球面或平面,的欧拉特征值是2. 　　对任意的平面图,欧拉公式可以推广为：,其中为图中连通分支数. 　　在1736年,欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题,并且发表了论文《关于位置几何问题的解法(Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》,对一笔画问题进行了阐述,是最早运用图论和拓扑学的典范. 　　数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

在复数范围内,跟据欧拉恒等式:e^（iΠ）+1=0,所以e的iΠ次幂等于-1（其中i为虚数单位） 附:欧拉公式:e^（iΘ）=cosΘ+i·sinΘ

可从以下方面对比评价：1、高斯在开拓数学新领域方面做出更多的贡献。高斯在十七岁时就找出了用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形的方法，是欧几里得后第一个找出此方法的人。高斯关于数论的工作奠定了代数现代算术理论的基础，他还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。因此他的许多著作成为非欧几何在初创阶段的研究重点。高斯验证的“正态分布”，成为统计学、概率学的重要理论，推动统计学、概率学的发展。“正态分布”也因此被称为“高斯分布”。2、欧拉在完善数学理论、充实数学体系方面成就更大。欧拉自身拥有极高的数学天赋，且十分热衷于钻研前人的理论。欧拉可被称作是18世纪数学界的中心人物。他将莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。正是通过他的不懈努力，许多当今高等数学的研究内容才得以诞生。如无穷级数、单复变函数、微分方程、变分法等，都是欧拉的杰作。欧拉通过他的数学天才和努力总结出了函数概念，也进一步完善了微积分学，这极大推动了数学的发展。欧拉庞大、繁杂的工作也为现代数学数论的诞生奠定了基础。也是欧拉总结了用数学方法表示牛顿定律的方式，使物理与数学的结合更加紧密。3、欧拉的研究成果更丰富。欧拉的研究成果极其丰富。巨大的工作量使其晚年视力严重退化、乃至失明。他的成就众多，乃至许多数学理论以他的名字命名，比如欧拉恒等式，欧拉常数，欧拉示性数等。4、二人都是人类历史上最伟大的数学家。扩展资料：1、约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日，享年77岁），犹太人，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家。高斯一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。2、莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。参考资料：百度百科-高斯百度百科-欧拉

恒等式（identity）：数学上,恒等式是无论其变量如何取值,等式永远成立的算式.符号“≡”. 例如x^2－y^2与（x＋y）（x－y） ,对于任一组实数（a,b）,都有a^2－b^2＝（a＋b）(a－b),所以x^2－y^2与（ x＋y）（x－y）是恒等的. 　　 　　两个解析式恒等与否不能脱离指定的数集来谈,因为同样的两个解析式,在一个数集内是恒等的,在另一个数集内可能是不恒等的.例如与x,在非负实数集内是恒等的,而在实数集内是不恒等的. 【著名恒等式】　　欧拉恒等式： e^iπ+1=0,e是自然对数的底,π是圆周率,i是虚数单位.它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得.

欧拉恒等式不在高中必修之中，上了大学我才在课本里见过……也可能是我高中划水了==？

欧拉，数学四大国王之一，一直被誉为天才中的天才。他发明了一系列对人类有深远影响的符号，如π、f(x)、sin、cos、tg等。欧拉可以说自己成功地为中国数学教科书贡献了许多知识点。让中国学生在高考数学地狱中努力奋斗。然而，大学生并无法逃脱欧拉的折磨。从初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、固体解析几何的欧拉变换公式、数论中四次方程到欧拉函数的欧拉解、微分方程的欧拉方程、级数理论的欧拉常数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式都是他给理科大学生的礼物。顺便说一下，他还创立了几个全新的学科:拓扑学、弹道学和分析力学。他的家庭被一场大火烧毁了他的大部分成就。他晚年失明了，但这并不妨碍他在数学方面取得更多成就。他可以依靠心算将复杂收敛系列的17个项目加到第50位。他最著名的是欧拉公式(Euler formula)，它非常简单，但被称为宇宙中的第一个公式，包含所有数学真理。然而，即使许多数学界过了一生都无法理解，这个公式也很难计算出来。你可以用任何方式证明它，你可以用许多不同的方式证明它，你可以用数学归纳法、推理、分数导数、复变函数甚至平面几何、物理学和拓扑学来证明它。这就是为什么据说他包含了所有的数学真理，甚至宇宙中最合理的法则。物理学家查德·费曼(Chad Feynman)惊呼:欧拉恒等式不仅是“数学中最奇妙的公式”，也是现代物理学的量化脚跟。高斯曾经说过:“如果一个人第一次看到这个公式时没有感受到它的魅力，他就不可能成为数学家。”

e = 2.71828...... 称为纳皮尔常数，亦叫自然对数的底，是数学上的一个重要常数。 e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它的数值约是（小数点后100位）： e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部份： 最常见的四种e的定义如下： 1. 定义e 为下列极限值： e = lim_{n oinfty} left(1+frac{1}{n} ight)^n。 2. 定义e为下列无穷级数之和： e = sum_{n=0}^infty {1 over n!} = {1 over 0!} + {1 over 1!} + {1 over 2!} + {1 over 3!} + {1 over 4!} + cdots， 其中n!表n的阶乘。 3. 定义e为唯一的数x > 0使得 int_{1}^{x} frac{1}{t} dt = {1}。 4. 定义e为唯一的数使得 lim_{h o 0}frac{e^h-1}{h}=1 这些定义可证明是等价的。 性质 很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数ex重要在它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数，最一般的函数形式为kex，k为任意常数）。 frac{d}{dx}e^x=e^x。 e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。有猜想它为正规数。它出现在数学中一条很重要的等式，称为欧拉公式： e^{ix} = cos x + isin x !。 当x = π的特例是欧拉恒等式： e^{ipi} + 1 = 0 !， 这式被理察·费曼称为「欧拉的宝石」。 e的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下： e = [1; 0 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 10 1 1 12 ldots] 。 无理数证明 证明e是无理数可以用反证法。假设e是有理数，则可以表示成a / b，其中a b为正整数。以e的无穷级数展开式可以得出矛盾。 考虑数字 x = b ! left(e-sum_{i=0}^b {1 over n !} ight)， 以下将推导出x是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证e是无理数。 * x是整数，因为 0 < x = b ! left(e - sum_{i=0}^b {1 over n !} ight) = b ! left({a over b} - sum_{i=0}^b {1 over n !} ight) = a (b-1)! - sum_{n=0}^b {b ! over n !} = a (b-1)! - left(1 + sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)cdots(n+1) ight)。 * x是小于1的正数，因为 0 < x = b ! sum_{n=b+1}^infty {1 over n!} = frac{1}{b+1} + frac{1}{(b+1)(b+2)} + frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + cdots < frac{1}{b+1} + frac{1}{(b+1)^2} + frac{1}{(b+1)^3} + cdots = {1 over b} < 1。 历史 第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)，他尝试计算下式的值： lim_{n oinfty} left(1+frac{1}{n} ight)^n。 已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然往后年日有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。 用e表示的确实原因不明，但可能因为e是「指数」(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。 e在数学外的用途 * 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2 718 281 828，这当然是取最接近整数的e十亿美元。（顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14 159 265，与圆周率π有关） * Google也是首先在矽谷心脏地带，接着在麻萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}（在e的连续数字中第一个发现的十位质数）。解决了这问题（第一个e中的十位质数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。 * 著名电脑科学家高德纳的书METAFONT的版本号码趋向e（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等）。 参考: *** In之系以e为底数 e≈ 2.71 e系无理数

恒等式（identity）：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。符号“≡”。 例如x^2－y^2与（x＋y）（x－y） ，对于任一组实数（a，b），都有a^2－b^2＝（a＋b）(a－b)，所以x^2－y^2与（ x＋y）（x－y）是恒等的。 　　 　　两个解析式恒等与否不能脱离指定的数集来谈，因为同样的两个解析式，在一个数集内是恒等的，在另一个数集内可能是不恒等的。例如与x，在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。【著名恒等式】　　欧拉恒等式： e^iπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。

‍‍欧拉自己推演来的，原因如下：1.欧拉是个天才算法学家（废话），2.他有一个好爸爸,和一群厉害的朋友,如伯努利兄弟，3.当时微积分已发展的相当成熟,复变函数,解析几何啥啥的都发展的喜闻乐见，这都是发现公式的客观原因。虽然是，但欧拉也进行了一些研究，如果不研究，发现了也没用，总之还得靠自己。是欧拉经过观察,思考,在根据自己过硬的数学基础,才在偶然之间发现的。凡是称为“证明”的书上都会把“证明”两个字打上引号。因为这是逻辑上的证明，而是告诉你他们之间的关系。有些大数学家在写一些数学思想史的书籍的时候，可能会抛开逻辑而追求形式上的推导。但是要分清这是证明。‍‍

欧拉生平简介莱昂哈德·欧拉的画像(6张)欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时新发明的微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉的一生很虔诚。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战德尼·狄德罗：“先生，(a+b)n/n = x；所以上帝存在，这是回答！” 欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。 小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。贡献“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样)，这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。 欧拉到底为了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了事迹欧拉诞辰300周年纪念活动(8张)欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637年问世)已经应用了90年，微积分大约50年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已40年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。 那时代数学和三角学已在一个较低的水平土系统化并扩展了。特别是后者已经基本完善。在费马(Fermat)的丢番图分析和一般整数性质的领域里则不可能有任何这样的"暂时的完善"(甚至到现在也还没有)。但就在这方面，欧拉也证明了他确是个大师。事实上，欧拉多方面才华的最显著特点之一，就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学中都具有同等的能力。 作为一个算法学家，欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外，也没有任何人接近过他的水平。算法学家是为解决各种专门问题设计算法的数学家。举个很简单的例子，我们可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很多，算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如，在丢番图分析中，还有积分学里，当一个或多个变量被其他变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能解决。算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一的程序可循，算法学家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的。 目前时尚轻视"小小算法学家"。然而，当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阔一样不知从什么地方意外来临的时候，就是有经验的分析学者也会欢呼他是来自天国的恩赐：他那简直神奇的对表面无关公式的洞察力，会揭示出隐藏着的由一个领域导向另一个领域的线索。从而使分析学者得到为他们提供的弄清这些线索的新题目。算法学家是"公式主义者"，他们为了公式本身的缘故而喜欢美观的形式。成就 欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。 他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。 他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。 在数论里他引入了欧拉函数。 自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如，，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。 在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。 在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。 他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声： :其中是黎曼函数。 欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。 在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）： :在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数： :他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。 在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。 一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。 在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：: 其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。 这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形，则：:其中χ为此流形的欧拉特征值，在流形的连续变形下是不变量。 单联通流形，例如球面或平面，的欧拉特征值是2。 对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：，其中为图中连通分支数。 在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法(Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。 数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行 最有影响的100人--欧拉评价欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。总计起来，他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。 早在上一个世纪，艾萨克·牛顿就提出了力学的基本定律。欧拉特别擅长论证如何把这些定律运用到一些常见的物理现象中。例如，他把牛顿定律运用到流体运动，建立了流体力学方程。同样他通过认真分析刚体的可能运动并应用牛顿定律建立了一个可以完全确定刚体运动的方程组。当然在实际中没有物体是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了贡献，弹性力学是研究在外力的作用下固体怎样发生形变的学说。 欧拉的天才还在于他用数学来分析天文学问题，特别是三体问题，即太阳、月亮和地球在相互引力作用下怎样运动的问题。这个问题——二十一世纪仍要面临的一个问题——尚未得到完全解决。顺便提一下，欧拉是十八世纪独一无二的杰出科学家。他支持光波学说，结果证明他是正确的。 欧拉丰富的头脑常常为他人做出成名的发现开拓前进的道路。例如，法国数学家和物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日创建一方程组，叫做“拉格朗日方程”。此方程在理论上非常重要，而且可以用来解决许多力学问题。但是由于基本方程是由欧拉首先提出的，因而通常称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家琼·巴普蒂斯特·傅里叶创造了一种重要的数学方法，叫做傅里叶分析法，其基本方程也是由伦哈特·欧拉最初创立的，因而叫做欧拉—傅里时方程。这套方程在物理学的许多不同的领域都有着广泛应用，其中包括声学和电磁学" 在数学方面他对微积分的两个领域——微分方程和无穷级数——特别感兴趣‘他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太强不在此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了基础。这两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广泛的应用。欧拉公式eiQ＝cosθ十isinθ表明了三角函数和虚数之间的关系，可以用来求负数的对数，是所有数学领域中应用最广泛的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何做出了有意义的贡献。 欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此叙述。欧拉也是数学的一个分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。 最后要提到的一点也很重要，欧拉对目前使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号，现在的数学中经常使用这些符号。 欧拉于1707年出生在瑞士巴塞尔。1720他十三岁时就考入了巴塞尔大学，起初他学习神学，不久改学数学。他十七岁在巴塞尔大学获得硕士学位，二十岁受凯瑟林一世的邀请加入圣彼得斯堡科学院。他二十三岁成为该院物理学教授，二十六岁就接任著名数学家但尼尔·伯努利的职务，成为数学所所长。两年后，他有一只眼睛失明，但仍以极大的热情继续工作，写出了许多杰出的论文。 1741年普鲁士弗雷德里克大帝把欧拉从俄国引诱出来，让他加入了柏林科学院。他在柏林呆了二十五年后于1766年返回俄国。不久他的另一只眼睛也失去了光明。即使这样的灾祸降临，他也没有停止研究工作。欧拉具有惊人的心算才能，他不断地发表第一流的数学论文，直到生命的最后一息。1783年他在圣彼得斯堡去逝，终年七十六岁。欧拉结过两次婚，有十三个孩子，但是其中有八个在襁褓中就死去了。 即使没有欧拉其人，他的一切发现最终也会有人做出。但是我认为做为衡量这种情况的尺度应该提出这样的问题：要是根本就没有人能做出他的发现，科学和现代世界会有什么不同呢？就伦哈特·欧拉的情况而言，答案看来很明确：假如没有欧拉的公式、方程和方法，现代科学技术的进展就会滞后不前，实际上看来是不可想象的。浏览一下数学和物理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法），这里举的仅仅是最重要的例子。 从所有这一切来看，读者可能要问为什么在本书中没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把威廉·康拉德，伦琴和格雷戈尔·孟德尔这样的人物排在他前面的原因。他们每个人主要是发现了新的科学现象或定律。尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的。以欧拉之名欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等欧拉函数 欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。欧拉定理 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。欧拉角 用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。欧拉方程 1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程： （ax^2D^2+bxD+c）y=f(x), 其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

　　不能据此简单地说明高中理科教育有不严谨的缺陷与漏洞。　　这是因为，从小学到初中、高中，或是大学，乃至职后继续教育，都离不开知识域的扩展。这正是将数域从自然数，到有理数，到无理数，到实数，再到复数的扩充所致。就像牛顿力学定理在爱因斯坦的相对论面前，几乎全错一样。不同的边界条件下，发明/发现运算及其规律，本身是正常而超常之事，不能忽略前提条件而追述怀疑。供参考！

欧拉被公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一。在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的形态。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师 数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。 然而，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式……欧拉还是数学史上最多产的数学家，他一生写下886种书籍论文，平均每年写出800多页，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》是18世纪欧洲标准的微积分教科书。欧拉还创造了一批数学符号，如f(x)、∑、?驻、i、e等等，使得数学更容易表述、推广。并且，欧拉把数学应用到数学以外的很多领域。 1707年欧拉生于瑞士巴塞尔，13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位，19岁开始发表论文，26岁时担任了彼得堡科学院教授，约30岁时右眼失明，60岁左右完全失明，欧拉1783年76岁在俄国彼得堡去世。在失明后，他仍然以口述形式完成了几本书和400多篇论文，解决了让牛顿头痛的月离等复杂分析问题。 法国大数学家拉普拉斯曾说过一句话——读读欧拉，他是所有人的老师。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林表示：“欧拉其实是大家很熟悉的名字，在数学和物理的很多分支中到处都是以欧拉命名的常数、公式、方程和定理，他的探索使得科学更接近我们现在的形态。” 他让微积分长大成人 恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中首次公开发表他的微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域。李文林说：“欧拉就生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙，欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。如果没有他们的工作，微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零。欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为‘分析的化身"。” 中国科学院数学与系统科学研究院研究员胡作玄说：“牛顿形成了一个突破，但是突破不一定能形成学科，还有很多遗留问题。”比如，牛顿对无穷小的界定不严格，有时等于零有时又参与运算，被称为“消逝量的鬼魂”，当时甚至连教会神父都抓住这点攻击牛顿。另外，由于当时函数有局限，牛顿和莱布尼茨只涉及到少量函数及其微积分的求法。而欧拉极大地推进了微积分，并且发展了很多技巧。 “在分析之前，数学主要是解决常量、匀速运动问题。18世纪工业革命时，以蒸汽机纺织机等机械为主体技术得到广泛运用，但如果没有微积分、没有分析，就不可能对机械运动与变化进行精确计算。”李文林表示，到现在为止，微积分和微分方程仍然是描写运动的最有效工具，教科书中陈述的方法，不少属欧拉的贡献。更重要的是，牛顿、莱布尼茨微积分的对象是曲线，而欧拉明确地指出，数学分析的中心应该是函数，第一次强调了函数的角色，并对函数的概念作了深化。 变分法来源于微积分，后来由欧拉和拉格朗日从不同的角度把它发展成一门独立学科，用于求解极值问题。而变分学起源颇富戏剧性——1696年，欧拉的老师、巴塞尔大学教授约翰·伯努利提出这样一个问题，并向其他数学家挑战：设想一个小球从空间一点沿某条曲线滚落到(不在同一垂直线上的)另外一点，问什么形状的曲线使球降落用时最短。这就是著名的“最速降线问题”，半年之后仍没人解出，于是伯努利更明确地表示“即使是那些对自己的方法自视甚高的数学家也解决不了这个问题”。有人说他在影射牛顿，因为伯努利是莱布尼茨的追随者，而莱布尼茨和牛顿正因为微积分优先权的问题在“打仗”，并导致欧洲大陆和英国数学家的分裂。 当时牛顿任伦敦造币局局长。有一天他收到一个法国朋友转寄的“挑战书”，于是吃过晚饭后挑灯夜战，天亮前解了出来，匿名发表在剑桥大学《哲学会刊》。虽是匿名，但约翰·伯努利看到之后惊呼：“从这锋利的爪我认出了这头雄狮。”后来伯努利兄弟和莱布尼茨也都解出了这个问题，发表在同一期刊物上。 在这个问题中，变量本身就是函数，因此比微积分的极大极小值问题更为复杂。这个问题和其他一些类似问题的解决，成为变分法的起源。欧拉找到了解决这类问题的一般方法，教科书中变分法的基本方程就叫欧拉方程。 欧拉13岁上大学时，约翰·伯努利已经是欧洲很有名的数学家，伯努利后来对欧拉说，“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。” 全才数学家 李文林说：“除了分析，很多数学领域都绕不开欧拉的名字。如数论，高斯说数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后，其难度和地位可想而知。”代数数论的形成和费马大定理有很深的关系。费马17世纪提出的一个猜想——方程xn+yn=zn，当n≥3时没有整数解。费马猜想也称费马大定理，费马在提出这一猜想的同时，在纸边写了一句话宣称：“我已找到了一个奇妙的证明，但书边空白太窄，写不下。”于是费马的证明已成千古之谜。此后经过300年，直到1993年费马大定理才被英国数学家最终解决。整个18世纪，数学家们都想解决这个猜想，但只有欧拉作出了唯一的成果，证明了n=3的情况，成为费马大定理研究的第一个突破。 欧拉对费马大定理的证明是在1753年给哥德巴赫的信中首次说明的，1754年正式发表。两人经常通信讨论问题，哥德巴赫猜想的雏形也是在哥德巴赫写给欧拉的信中首先提出，欧拉在回信中进一步明确。 欧拉是解析数论的奠基人，他提出欧拉恒等式，建立了数论和分析之间的联系，使得可以用微积分研究数论。后来，高斯的学生黎曼将欧拉恒等式推广到复数，提出了黎曼猜想，至今没有解决，成为向21世纪数学家挑战的最重大难题之一。 “在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，这也成为图论、拓扑学的滥觞。”李文林说。哥尼斯堡曾是德国城市，后属苏联。普雷格尔河穿城而过，并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了7座桥。传说当地居民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地，中间不重复。李文林说：“这就是今天的‘一笔画"问题，但在当时没人能解决。欧拉将这个问题变成一个数学模型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在，解决了哥尼斯堡七桥问题。对此类问题的讨论研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展。” 拓扑学中的欧拉示性数也溯源于欧拉1752年提出的关于凸多面体的一条定理： 在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2。 陈省身曾指出欧拉示性数是很多问题和解决办法的来源，对几何学的影响是根本性的。李文林说：“因为数学好，欧拉得以解决很多其他领域的问题。物理、力学、天文学、航海、大地测量等等到处都有欧拉的贡献，他是典型的全才数学家。牛顿、莱布尼茨发明的微积分可以说是‘原生态"，而欧拉18世纪写的文章我们现在依然能读，可以说欧拉等人使得数学特别是分析向现代形式发展。” 最多产的数学家 欧拉是历史上最多产的数学家。瑞士自然科学基金会组织编写《欧拉全集》，计划出84卷，每卷都是4开本(一张报纸大小)。如果按每本300页计算，欧拉从18岁开始每天得写1张半纸。然而这些只是遗存的作品，欧拉的手稿在1771年彼得堡大火中还丢失了一部分。欧拉曾说他的遗稿大概够彼得堡科学院用20年。但实际上在他去世后的第80年，彼得堡科学院院报还在发表他的论著。 “天才在于勤奋，欧拉就是这条真理的化身。”李文林表示，“很多科学家都很勤奋，而欧拉最为典型。他失明后的十多年都是在完全看不见的情况下作研究。欧拉心算能力很强，可以通过口述让别人记录。有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执，欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案。” “高斯的神童故事虽然有趣，但并不是每个人都是神童。即使是身为神童的高斯，其勤奋也是出名的。可以说凡有大成就的数学家必有大勤奋。”李文林举例说，被誉为“现代分析之父”的德国数学家魏斯特拉斯也是异常勤奋。大学毕业后他在一所偏僻的中学任教14年，教数学、德语、书法、体育，每天晚上以惊人的毅力坚持研究，当时工资很低，连投稿的邮费都没有。后来由于偶然的机会他的研究论文被德国数学家克莱尔创办的数学杂志发表出来(克莱尔杂志以帮助没出名的年轻学子发表创新成果而著称)，震惊了欧洲科学界。 胡作玄认为，欧拉的成功说明了一个人的潜能。“高斯曾说，要像欧拉那样做，我的眼睛也要瞎了。一个人要想做事是没有问题的，只是现在社会比较复杂，我们应该为科学而科学，为艺术而艺术。” 除了做学问，欧拉还很有管理天赋，他曾担任德国柏林科学院院长助理职务，并将工作做得卓有成效。李文林说：“有人认为科学家尤其数学家都是些怪人，其实只不过数学家会有不同的性格、阅历和命运罢了。牛顿、莱布尼茨都终身未婚，欧拉却不同。”欧拉喜欢音乐、生活丰富多彩，结过两次婚，生了13个孩子，存活5个，据说工作时往往儿孙绕膝。他去世的那天下午，还给孙女上数学课，跟朋友讨论天王星轨道的计算。突然说了一句“我要死了”，说完就倒下，停止了生命和计算。 回顾欧拉的一生，李文林认为：“虽然他20岁离开瑞士，一直没有回去过，但他却是一个爱国者，至死没有改变国籍。所以现在我们还能说他是瑞士数学家。”

贝祖恒等式 欧拉恒等式 范德蒙恒等式 格林恒等式 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式 李善兰恒等式 欧拉四平方和恒等式 雅可比恒等式

隐私计算（Privacy-preserving computation）是指<font color=greem>在保证数据提供方不泄露原始数据</font>的前提下，对数据进行分析计算的一系列信息技术，保障数据在流通与融合过程中的 “可用不可见” 。 Gartner发布的2021年前沿科技战略趋势中，将隐私计算（其称为隐私增强计算）列为未来几年科技发展的 九大趋势 之一。 （数据流通需求推动隐私计算势头火热） 但仍存在诸多阻碍。 2021年被称为隐私计算的元年，这门技术是门综合性非常强的领域，涉及到众多方向，比如<font color=greem>密码学、数学、大数据、实时计算、高性能计算、分布式、传统机器学习框架与算法，深度学习框架与算法</font>等等。本系列文章主要介绍下隐私计算使用到的相关密码学的知识。 密码学在整个人类的历史进程中都有着重要的地位，涵盖了人类活动的方方面面。比如在谍战片中我们经常看到地下工作者使用加密的报文传递重要的情报，比如在互联网冲浪的时候TLS/SSL也在保障我们的信息安全，可以说密码学对人类的影响和作用是深远的，很难想象没有密码学保护的日子是什么样的！那么究竟什么是密码学？如何准确定义密码学习呢？本系列文章将会进行相对详尽的介绍，欢迎大家观看。 首先，密码学的精准定义还是引用下权威机构，以下内容来自百度百科： 密码学一开始的功能是在有恶意攻击者存在的环境下，保护双方通信安全，现在是用来保护信息安全的核心技术。 现代信息安全的基本要求： 加解密的具体运作由两部分决定： 以时间划分，1976 年以前的密码算法都属于古典密码学，基本使用在军事机密和外交领域，它的特点就是加解密过程简单，一般用手工或机械就可以完成，古典密码学现在已经很少使用了，下面是一个古典加密的密码本，提供一对一的映射变换，主要拥有这个密码本，就可以轻易的通过手工的方式进行信息加密与解密。 现代密码学中常见的加密算法，大致可以分为如下几种： 本系列文章将会重点描述下对称加密与非对称加密技术，从数学原理、加密算法推导、加密算法原理都会进行介绍。本文内容涉及到数学里面的数论相关知识，针对加密算法会用到的知识，本章会做些适当的介绍，对数论感兴趣的同学可以茶语相关《数论》书籍进行精进，里面推导如果有不严谨的地方，欢迎各位同学帮忙指正。 采用单钥密码系统的加密方法，同一个密钥可以同时用作信息的加密和解密，这种加密方法称为对称加密，也称为单密钥加密。 对称加密的算法众多，历史上出现过不少的算法实现，不同的算法在某些特定的时期，承担着重要的角色。虽然有些算法在现在已经不再适用，存在着安全漏洞，但是在当时的算力情况下，确实起到过非常重要的作用。给予人们提供安全屏障，保护信息安全。下面就简要对比介绍下比较出名的集中对称加密算法。 其实，很多人表达过这样的观点，对称加密不安全，有被破解的风险。其实笔者以为这样的说法不是很严谨，单纯的对称加密比如AES还是很安全的，但是对称加密的一个重要的特性就是加密与解密使用同一个秘钥，对于秘钥的保存和传递都是个非常头疼的问题，一旦泄露就会造成极大的风险。 那么，有没有什么办法可以进一步降低这个泄露的风险呢？答案就是非对称加密。下面我们来介绍下非对称加密。 在正式介绍RSA算法之前，由于该算法需要较多的数学知识，正所谓“磨刀不误砍柴工，万丈高楼平地起”，所以按照如下的步骤进行讲解。 所以本节主要介绍数论的基础知识，为后续的RSA算法的推导和证明提供理论基础。 质数在数学领域是一个神奇的数字，很多数学定理都是基于质数的。 <font color=Greem>质数（Prime number），又称素数</font>，大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。<font color=Greem>大于1的自然数若不是素数，则称之为合数（也称为合成数）</font>。例如，5是个素数，因为其正约数只有1与5。而6则是个合数，因为除了1与6外，2与3也是其正约数。 <font color=greem>如果两个整数的公约数只有1，那么叫做互质整数。</font>公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形。 例如： 关于互质关系，总结一下，有如下的性质 提到欧拉，就不得不多说几句，莱昂哈德u2022 欧拉 （Leonhard Euler，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士巴塞尔附近一个牧师的儿子，他除了学习神学外，还研究数学，并且取得了巨大的成绩。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔u2022弗里德里克u2022 高斯 ）。数学中很多名词以欧拉的名字命名，如欧拉常数，欧拉方程，欧拉恒等式，欧拉示性数等等。 欧拉被公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一。在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的形态。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家 拉普拉斯 则认为： 读读欧拉，他是所有人的老师。 那么在数论中对于<font color=greem>正整数n来说</font>，欧拉函数 φ(n)的计算逻辑就是小于n的正整数中与n互质的整数的数目。 上面我们介绍了质数、互质关系以及欧拉函数，基于这些知识，我们继续介绍欧拉定理， 如果<font color=greem>两个正整数a和n互质</font>，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立，可以理解为a的φ(n)次方被n除的余数为1。 用通俗的语言描述下，就是a的 次方除以n的余数是1，也可以理解为a的 次方加1可以被n整除。 假设正整数a与<font color=greem>质数p</font>互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成 也可以表示成 模反元素亦叫模逆运算，定义如下：如果两个<font color=greem>正整数a和n互质</font>，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的“模反元素”。 比如，3和14互质，那么3的模反元素就是5，因为 (3 × 5)-1 可以被14整除。显然，模反元素不止一个， 5加减14的整数倍都是3的模反元素 {...,-23, -9, 5, 19, 33,...}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。 至此，进行RSA加密算法推导与证明的数学知识介绍完毕，后续章节将继续介绍RSA相关知识以及应用场景。 <font color=Blue>一切有为法，如梦幻泡影，如露亦如电，应作如是观</font> 本文由 mdnice 多平台发布

e，作为数学常数，是自然对数函数（Natural Logarithmic Functions）的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它的数值约是（小数点后20位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 ...... 就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部份：目录[隐藏] 1 定义 2 性质 3 无理数证明 4 历史 5 e在数学外的用途 6 已知位数 7 参见 [编辑] 定义 最常见的四种e的定义如下：1. 定义e 为下列极限值： 。 </dd>2. 定义e为下列无穷级数之和： ， </dd>其中n!表n的阶乘。 </dd>3. 定义e为唯一的数x > 0使得 。 </dd>4. 定义e为唯一的数x使得 </dd>这些定义可证明是等价的。[编辑] 性质 很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数ex重要在它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数，最一般的函数形式为kex，k为任意常数）。。 e是无理数和超越数（见林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann-Weierstrass））。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。有猜想它为正规数。它出现在数学中一条称为欧拉公式的重要等式中：。 当x = π的特例是欧拉恒等式：， 这式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。e的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下：。 [编辑] 无理数证明 证明e是无理数可以用反证法。假设e是有理数，则可以表示成a / b，其中a,b为正整数。以e的无穷级数展开式可以得出矛盾。考虑数字， 以下将推导出x是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证e是无理数。x是整数，因为 。 x是小于1的正数，因为 。 但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出e为无理数。[编辑] 历史 第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（William Oughtred）制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli），他尝试计算下式的值：。 已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后年日有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”（exponential）一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。[编辑] e在数学外的用途 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的e十亿美元。（顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关） Google也是首先在硅谷心脏地带，接着在麻萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版的幕后黑手，它写着{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在e的连续数字中第一个发现的十位质数.com）。解决了这问题（第一个e中的十位质数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。 著名计算机科学家高德纳的软件METAFONT的版本号码趋向e（就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等）。 [编辑] 已知位数 e的已知位数日期位数计算者1748年18Leonhard Euler1853年137William Shanks1871年205William Shanks1884年346J. M. Boorman1946年808 ?1949年2,010John von Neumann1961年100,265Daniel Shanks & John W. Wrench1994年10,000,000Robert Nemiroff & Jerry Bonnell1997年5月18,199,978Patrick Demichel1997年8月20,000,000Birger Seifert1997年9月50,000,817Patrick Demichel1999年2月200,000,579Sebastian Wedeniwski1999年10月869,894,101Sebastian Wedeniwski1999年11月21日1,250,000,000Xavier Gourdon2000年7月10日2,147,483,648Shigeru Kondo & Xavier Gourdon2000年7月16日3,221,225,472Colin Martin & Xavier Gourdon2000年8月2日6,442,450,944Shigeru Kondo & Xavier Gourdon2000年8月16日12,884,901,000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon2003年8月21日25,100,000,000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon2003年9月18日50,100,000,000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon2007年4月27日100,000,000,000Shigeru Kondo & Steve Pagliarul

首先，根据泰勒级数展开我们知道：1/(1-x) = 1-x+(x^2)-(x^3)+(x^4)... ;（1）; “...”表示一直到无穷对（1）求导得：-1/((1+x)^2)=-1+2x-3(x^2)+4(x^3)... 将等式两边同乘-1 得：1/((1+x)^2)=1-2x+3(x^2)-4(x^3)... ;（2）将x=1带入等式（2）得到：1-2+3-4+5-6... =1/4 ; (3)现令S(x)=(1^x)+(2^x)+(3^x)+... 可以发现 所求和 1+2+3+4+... = S(1)S(x)=(1^x)+(2^x)+(3^x)+... ; (4)(2*(2^x))*S(x)=2*((2^x)+(4^x)+(6^x)+...) ; (5)(4)-(5) 得：（1-2*(2^x))*S(x)=(1^x)-(2^x)+(3^x)-(4^x)... 在（1-2*(2^x))不等于0的情况下 (即 x不等于 -1)S(x)=((1^x)-(2^x)+(3^x)-(4^x)...)/(1-2*(2^x)) 令 x=1 则：S(1)=(1-2+3-4+5-6...)/(1-4) ; (6)将(3)带入(6)得到：S(1)=(1/4)/(-3)=-1/12 ; (7)即 1+2+3+4+... = -1/12一般来说有限个正数的和不会是负数，但是当求和的数列是无穷个数的时候，就不能用想当然去理解了。无穷大有很多有趣的性质，您可以找找相关资料，相信您一定会感兴趣的。

在有道词典查的（但公式没能显示那种格式） 可供参考 π宣言 硕士写的 上次更新于2011年7月4日1π与T1.1Tau运动本文致力于保卫的一个最重要的数字在数学:π。最近,这种现象被称为“陶运动稳步成长,正在获得越来越多的追随者(称为Tauists)的一天。这主要是由于三个驱动因素:1.原文写的π是错误的鲍勃皇宫(发表在2000/2001)。2.Tau宣言写的迈克尔·哈特尔(6月28日推出,2010)。3.视频Pi(仍然)是错误的Vi哈特(上传3月14日,2011)我们鼓励读者首先查看这些链接的细节以便看到可能的利益定义常数τ=2π≈6.283185...Tauists声称π是错误的循环常数和相信真正的圆常数应该τ= 2π。他们庆祝Tau天(6月28日),穿τ-shirts宣传和传播proτ。但tauists弊大于利吗?在本文中,我们将探讨这一问题,并提供几个原因ππ为准在有趣的与τ战斗。1.2任何宣传都是很好的宣传围绕博客圈和各种在线新闻网站,有一个战斗发生在数学,即π与τ。头条新闻在报纸和博客文章经常宣称π是错误的,往往会误导公众:1数学家希望π出τ(星期日泰晤士报》称路)2下来与丑陋的π,优雅,物理学家万岁Tau敦促(TheStar.com)3数学家想告别π(LiveScience.com)4在国家tau天,π受到攻击(FoxNews.com)但π远非丑陋和数学家当然是不会取代循环常数任何时间很快。事实是,大多数数学家从未听说过Tau运动,和那些,等闲tauists像怪人。据《每日电讯报》发表的一篇文章,在Tau天:“领先的数学家在印度、英国和美国出现的这个活动今天和断言,没有争论甚至讨论更换2π与τ在严肃的数学圈。”普林斯顿大学的数学家Alexandru库说:“任何一个是可以的,它不会做任何影响数学。”悉达多漫画,一个数学家在印度,说:“整个概念由2ππ替换是愚蠢的因为我们都很喜欢和乘法的π两。”事实上,一个研究生数学继续说:“当然,它已经成为一个物理学家会想摆脱使用π…π的概念已经存在以来,古巴比伦人(希腊字母代表这个数字是推广的欧拉在18世纪)……为什么要改变现在和垃圾吗?这不是首先,物理学家已经试图改变数学领域的(符号聪明,无论如何)。我认为数学社区不会旅鼠这里上和这个想法,我知道我肯定不会接受tau代替π。”仍值得商榷的媒体报道τ是好的或坏的宣传宣传数学,但无论如何,Tau运动无疑引发了兴趣。甚至那些有很少的数学背景都非常好奇!我认为大多数数学家会同意,任何能产生对数学的兴趣是一定需要的。上面看到的报价,很多数学家只是摆脱Tau运动是愚蠢的。在本文中,我们试图给一个严重τ反驳在保卫π。任何建议和理由π胜于τ(或τ比π)更受欢迎.1.3tau宣言是错误的Tauists认为,通过使用常数τ= 2π很多公式变得更简单。不幸的是,道宣言充满选择性偏见为了说服读者的好处在πτ。他们确定公式包含2π而忽略其他公式,不。下面我们展示,当使改变τ,有很多公式,要么变得更糟或没有明确使用的优势在πτ。Tauists还声称他们的版本的欧拉公式是比原来的,但是我们会发现它实际上是较弱的。τ的好处只出现在观看π从狭隘二维几何的观点,但这些好处消失当看着更大的图景。我们将看到如何贯穿π的重要性,因为它显示了在数学,不仅仅是在初等几何。2.π的定义2.1传统的定义Tau宣言依赖传统的π的定义,即常数相等比例的圆的周长,其直径:π≡C/D≈3.14159….宣言然后继续指出,我们应该更多的关注比圆的周长,其半径:τ≡C/r≈6.283185…特别是,因为一个圆圈是定义为一个固定的距离的点的集合(即。,半径)从一个给定的点,一个更自然的定义为圆常数使用r代替D。那么为什么数学家定义它使用直径吗?可能因为它是容易衡量一个圆形物体的直径比是衡量其半径。在Tau宣言,哈特尔说:“我抦阿基米德,他有名的惊讶,近似圆不变,没有意识到C / r是更基本的号码。我抦更为惊讶,欧拉没有正确的问题当他有机会。”但哈特尔博士,没有问题,正确的,错误的,π不是我们很快就会看到,我们已经使用合适的常数自始至终。有许多理由来定义圆常数使用CD。其中一些原因包括:1这个定义是一致的区域定义在下一节中讨论。2在实践中,唯一的方法来测量圆的半径是首先测量直径和除以2。3为什么看比你去哪里一路沿着圆圈然而只有一半穿过它吗?它只是看上去不自然。4一些人相信圣经说我们应该看着围和直径,而不是半径。(作者注:这不是一个严重的原因:P)2.2π的其他定义另一个定义为π是定义它是最小的两倍,因为积极的x(x)= 0[4],或最小的积极的x的罪(x)= 0。用这个定义既不简单也不τπ是比其他。Tauists可能声称τ可以定义为段cos(x)或罪(x)但这是否是更好的争议(同样,π可以定义为棕褐色的时期(x))。另一个常见的几何定义为π是衡量区域而不是长度。把r为半径的一个圆。定义π是比圆的面积的区域一个正方形的边长等于r,即,π≡A/r2.τ而言,这个定义是凌乱的,包括一个2的因数。特别是,界定τ是两次比例的圆的面积的区域一个正方形的边长等于r,这是τ≡2(A/r2).显然,这个定义支持π在τ,还涉及到重要的圆的半径。像传统的定义,这个定义的π取决于结果是自然的欧几里德几何,当看地区。2.3为什么停在重新定义π呢?混合一点,从直径我们可以定义一个常数(称之为π/ 4)如下:π/4≡A/D2。这表明,也许两个π和τ是错误的,和π/ 4是正确的循环常数。其他人也提出类似的数字作为循环常数。1958年,鹰表明π/ 2是正确的循环常数[1]。事实上,π/ 2的宣言是即将来到一个网站在你附近!(只是开玩笑,我希望)。但是为什么停在重新定义π吗?特里道说:“这可能是2πi是一个更基本常数比2π或π。毕竟,这是发电机的日志(1)。事实上,很多公式涉及πn取决于平价的n是另一个线索在这方面。”显然,每个π，2π,π/ 2 / 4和2πi有其好处,但我们应该认真隔离2π,试图重新定义它为τ吗?确定τ是更好的在少数情况下,但那是因为它是一个多重的π。这是没有理由引入一个新的常数和鼓励数学采用它。3愚蠢的争论3.1一个愚蠢的争论为τ主要的理由是它的简单计算τ弧度的数量在一个圆圈的一小部分。我想我们都同意,τ使得这个微不足道的任务更加微不足道。一个tauist会问你:快,有多少弧度在八分之一圈吗?它是π/ 4或τ/ 8 ?从转,τ有轻微的优势。看看下面两个图出现在Tau宣言,告诉我你不相信τ的力量!图1:一些常见的角度。(来源:tauday.com)但这不是一个理由切换到τ。上下文是高度相关的在这方面和类似的问题,可以提出有利π。让我用一个例子演示使用区域而不是角度。注意,一个单位圆的面积是π。现在快,面积有一个八的一个单位圆吗?π/ 8或τ/ 16 ?τ也许有它的好处当看着转,但当看着地区π需要蛋糕(或者说,馅饼)。就像Tau宣言,我也可以创建令人信服的看图片:图2:特定行业领域的一个单位圆。查看图2,似乎τ是关闭的两倍。这表明,在某些情况下τ可能会更好,和在其他情况下π是更好的。原因是如此的令人信服的Tau宣言是因为选择偏见。他们只证明了τ情况要么是比π或可比和忽略的情况却很糟。3.2一个愚蠢的争论为π示范的3.1节,在处理地区优于τπ。其中一个最重要的问题是,提出古代几何学家们的处理要务。问题是表达为:可以一个广场与同一地区作为一个圆构造只使用有限数目的步骤与罗盘和直尺吗?图3:处理要务。重新翻译这个问题对τ而言是一场灾难,它提供了更多的动机为何π是真正的圆常数。总结本节我们重申一个非常重要的事实:一个单位圆的面积是π。这个结果是如此美丽,它将是一个犯罪来重写它使用τ。4概率与统计——胜利与2ππ一些公式可能看起来像胜利τ,只是因为有一个2的公式并不意味着它归入π。让我演示使用了一个示例,出现在Tau宣言,高斯(正常)分布。4.1正常分布高斯积分是积分的高斯函数eu2212x2在整个实线:∫∞u2212∞eu2212x2dx=√u2212u2212.π这个积分是重要的,在数学方面有很多应用。注意积分没有2π,漂亮! !这是当tauists将声称有一个类似的公式2π,但我们最终与一个肮脏的分数的1/2的力量e,艾玛!唯一比乘以2除以2:∫∞∞e x2/2dx =√τ。比较这两个积分大多数数学家认为不仅是第一个更好,它是更自然!当高斯积分是归一化,使其值为1,这是正态分布的密度函数:f(x)=1/√u2212u22122πσ2@e(xu2212μ)22σ2。然而,通过分组2与σ2而不是与π,它可以很容易地写在表单f(x)= 1/√u2212u2212π(2√σ)eu2212(xu2212μ)2(2√σ)2。Tau宣言组2与π,给这个公式作为一个例子,τ战胜π。但事实上,2不属于这个π和这变得更加明显当看着替代建议“标准”的正态分布。的分布与μ= 0和σ2 = 1称为标准正常,u03d5(x)= 12πu2212u2212u2212√e 12 x2。各种数学家讨论我们应该调用标准正态分布。注意,以上设置σ2 = 1和2π的分组而不是σ2,它(错误地)似乎是一个胜利,τ。高斯表明标准正常应该f(x)= 1u2212u2212u2212π√e x2和施蒂格勒坚持正常的标准f(x)= eu2212πx2。没有这些建议有2π,因为2不属于这个π在第一个地方。不幸的是,u03d5(x)已被采纳为标准的正常,但这并没有使它赢得了τ。4.2其他发行版在分析其他发行版我们看到2π不是一般在统计为Tau宣言会引导您相信的那样。柯西分布的概率密度函数f(x)= 1π(γ(xu2212x0)2 +γ2],和标准柯西分布概率密度函数f(x)= 1π(1 + x2)。学生的t分布的概率密度函数f(t)=Γ(ν+ 12)νπu2212u2212√Γ(ν2)(1 + t2ν)u221212(ν+ 1)。这两种有2π出现,但学生的t分布有倍数π的发生。事实上,π的倍数显示在数学,因此毫不奇怪,2π出现在一些公式。5,三角形,多边形π又一次胜利考虑一个三角形的内部角α,β和γ。让我问你,什么是这三个角度的总和?它是τ吗?这将是不错的如果,但事实上,答案是全能者π!α+β+γ=π。通过观察我们发现多边形π是一个明确的赢家在τ。采取任何多边形与k边和内部角度θi(i = 1,2,…,k)。然后角度之和等于我= 1 kθi =∑(ku22122)π。一旦我们超越特定角度的内部圈子,π确实表明谁是老大!事实上,π的倍数是非常重要的数学,包括τ= 2π。τ的重要性源于它是π的倍数,但其他的倍数π是同样重要的。我们已经证明,在圈子里的角度弧是τ的胜利,在多边形内部角度为π是一个赢得区域,在圈子里是一个胜利,但地区π的多边形?众所周知,该地区的一个正则n角切于单位圆是:一个= nsinπncosπn。显然,另一个π的胜利。6三角函数我们只是不能强调不够。τ的原因很多地方出现是因为这是一个π的倍数。我们看到了多个νπ出现在4.2节和多个(ku22122)π在第五部分。看着三角函数我们应该期望π的倍数再次出现(事实上他们做)。下面的表显示了域和段常见的修饰功能:FunctionsinθcosθtanθcscθsecθcotθDomainRRθ≠(n + 12)π,n,n Zθ∈≠nπZθ≠∈(n + 12)∈Zθπ,n,n ZPeriod2π2ππ2π2ππ≠nπ∈注意,π出现,加上2π和nπ。通过转化表τ我们会更加讨厌的分数比已经存在。7其他公式Tau宣言有一个非常小的列表包含2π的公式,但是其他众所周知的公式和函数?误差函数:小块土地(x)= 2πu2212u2212√∫x0eu2212t2dt。这个sinc函数:sinc(x)=罪(πx)πx。伽玛函数:Γ(1/2)=πu2212u2212√Γ(3/2)=πu2212u2212√/ 2Γ及应用研讨会论文集)= 3πu2212u2212√/ 4欧拉反射公式:Γ(z)Γ(1u2212z)=πsin(πz)。体积的单位n球:V =πu2212u2212√nΓ(1 + n2)。椭圆面积:一个=πab积分的双曲正割:u2212∫∞∞双曲正割(x)dx =π。u2212u2212积分1/1u2212u2212u2212u2212x2u2212√:∫u2212u2212u22121 111u2212u2212u2212u2212x2 dx =πu2212√。积分1u2212cosxx2:∫∞∞1u2212u2212πcosxx2dx =。积分sinx / x:sinxxdx∫∞∞=πu2212。积分的sin2x / x2:sin2xx2dx∫∞∞=πu2212。积分11 + x2:∞∞∫u221211 + x2dx =π。你在哪里τ吗?啊,一定是躲在羞愧。8欧拉身份原因之一是能够Tau宣言将那么多读者是因为他们的版本的欧拉恒等式。他们声称eiτ= 1更优雅比公式吗eiπ+ 1 = 0,但任何数学家可以看到这完全是胡说八道。当然,可能会有一个不错的公式,利用τ,但这是因为τ是π的倍数。在现实中,也有一个不错的公式为多个3π,但这并不意味着我们应该开始崇拜3π。事实是,他们的版本的公式可能看起来不错,但它远弱于原始。考虑:功能。我们问以下重要的问题:什么是最小的正解x这样:是一个整数吗?答案是没有惊喜,它是π。即,π是最小的号码,让虚构的力量回到了现实的e线。这就是为什么π是更重要的比τ。此外,方程eiπ=u22121是一个更强大的结果比eiτ= 1,τ方程是平凡地从第一个方程符合双方:(eiπ)2 =(u22121)2u27f9eiτ= 1。当谈到欧拉恒等式,τ完全无法竞争的力量全能者π。9的结论和言论9.1工程师反对τ我没有一个背景在工程但重要的是要考虑π的应用。关于引进τ在Tau宣言,加雷斯·博伊德写道:哈特尔博士的理论背景似乎是在这里展出。他已经忘记了数学的实际应用,工程。τ已经是最重要的一个符号在机械工程,因为它表示剪应力。另外的比率是非常重要的直径圆周当我们处理酒吧的材料或管道。我们往往不会购买这些的半径。也许一个小更多的思考和辩论这个问题需要在我们开始一场革命。它应该被提到Tau宣言确实给了一个好的理由使用符号τ。然而,我们质疑常数τ= 2π实际上是需要数学。9.2二次形式这个公式之间的联系一个= 12τr2和一些二次形式在物理的确很有趣,但是传统的公式一个=πr2已经是一个二次型首选的数学家。Tau宣言会引导您相信的那样有一个1/2失踪通过比较这几个物理公式,但然后你将忘记连接公式必须圈。一个强大的事实是3.2节中提到的是,一个单位圆的面积是π。这个事实是什么使πτ比起来,更重要的是大量的问题在几何处理领域。在我看来,唯一好处τ似乎是,它使计算角度的弧在一圈多一点微不足道的。当看着地区,π当然照。即使看着地区没有圈似乎明显,π贯穿。特别是,过去六个公式在第七节表明,该区域在指定的函数等于π——这真的是令人惊异的。9.3从作者我希望你喜欢读π宣言。本文的目的是成为一个有趣的讨论π的重要性,为什么π是正确的循环常数毕竟。这是一个初稿和任何额外的参数,数学事实,或加强上述分在国防的π不仅仅是感激!请随时联系我如果你有问题或意见。鸣谢没人。如果你有任何改进π宣言让我知道! 讨论πvsτ在SM论坛。

恒等式（identities），数学概念，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。恒等式成立的范围是左右函数定义域的公共部分，两个独立的函数却各自有定义域，与x在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料函数类恒等式一、对数恒等式：在对数中，存在一个恒等式。在a>0且a≠1，N>0的情况下，a^(LogaN)=N。二、三角恒等式：关于三角函数的一些已证明的恒等式。sinθ（正弦）cosθ（余弦）tanθ（正切）cotθ（余切）secθ（正割）cscθ（余割）三、组合恒等式：组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。参考资料来源：百度百科-恒等式

数学家欧拉是一位超越时代的数学界，是数学史上公认的4名最伟大的数学家之一。欧拉的数学研究涉及到很多领域，有多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数等等，是最多产的数学家，一生写了886篇书籍和论文，产量惊人，可以说是数学之神了。

1707年4月15日，欧拉Euler （1707-1783）出生于瑞士，在大学时受到着名教授伯努利及其家族的影响，阅读了不少数学家的原著，17岁获得硕士学位，18岁开始发表数学论文，26岁成为数学教授、科学院院士。他一生论著数量巨大，涉猎面广，开创性成果多，发表论文和着作500多篇（部），加上生前未及出版和发表的手稿共886篇（部）之多。在数学的各领域，及物理学、天文学工程学中留下了举不胜数的数学公式、数学定理。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉积分、欧拉微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉刚体运动方程，欧拉流体力学方程等。欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他28岁时，为计算彗星的轨迹，奋战三天三夜，因过度劳累，患了眼疾，使右眼失明，又不顾眼病回到严冷的俄国彼得堡工作，左眼也很快视力减退，他深知自己将会完全失明，没有消沉和倒下，他抓紧时间在黑板上疾书他发现的公式，或口述其内容，让人笔录。双目失明后，他的寝室失火，烧毁了所有的专著和手搞，后来妻子又病故了，他在所有这些不幸面前不仅没有退缩，而是以非凡的毅力继续拼搏，他以罕见的记忆力和心算能力，继续研究，让人笔录，直到生命的最后一刻。在双目失明的17年中，他口授论文达400篇，还有几本书，包括经典名着《积分学原理》，《代数基础》。欧拉学识渊博品德高尚，非常注重培养与选拔人才，当时19岁的拉格朗日把自己对“等周问题”的研究成果寄给他，他发现其解决问题的方法解题与自己的不同，立即热情的给予赞扬，并决定暂不发表自己的成果，使年轻的拉格朗日先后两次荣获巴黎科学院的科学奖，后来他又推荐30岁的拉格朗日代替自己任科学院物理数学所所长，他的品德赢得了全世界的尊敬。他晚年的时候，全世界的大数学家都尊称他为“我的老师”。法国着名的数学家、天文学家拉普拉斯曾多次深情地说：“ 读读欧拉，他是大家的老师”，他不愧为“数学家之英雄”，他这种精神境界至今仍是年轻人学习的榜样。

奥特曼公式是指一个用于求解一元二次方程的公式，其形式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a。其中，a、b、c分别表示一元二次方程的系数，±表示两个解，（b^2-4ac）称为判别式。奥特曼公式是考研数学中的重要知识点，需要掌握其推导方法和应用技巧。在使用奥特曼公式求解一元二次方程时，需要注意判别式的值，判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有一个重根，判别式小于0时无实数根。

11月4日，恒大俱乐部更新了亚冠决赛第二回合海报。海报的主题是“11月9日 我们共同解答 冠军终归这里”。本期海报恒大在海报中列出两个恒等式代表恒大与首尔第二回合的比分。正确的答案是。左侧为拉马努金恒等式，结果为3，右侧为欧拉恒等式，结果为零。该海报的寓意是恒大将以“最低消费”3-0的比分战胜首尔当时的新闻

欧拉公式欧拉恒等式，它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数自然对数的底e，圆周率π，两个单位，虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。因此，数学家们评价它是上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它。欧拉恒等式是指下列关系式eiπ＋1=0。其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction。这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，作代入即给出恒等式。理查德·费曼称这恒等式为数学最奇妙的公式，因为它把5个最基本的数学常数简洁地联系起来。欧拉这个公式已经融合于广义相对论和量子力学结合的m理论。详见百度百科费马大定理，霍奇猜想。成为虚时间的基本架构。也是光量子纠缠的数学表示。

欧拉恒等式是指下列的关系式：e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底,i是虚数单位,π是圆周率.这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introductio.这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x,e^ix = cosx + isinx 作代入x = π即给出恒等式.理查德·费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”,因为它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来。

欧拉恒等式是指下列的关系式： e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。 这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introductio。这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，e^ix = cosx + isinx 作代入x = π即给出恒欧拉,恒等式,复数欧拉恒等式是指下列的关系式： e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。 这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introductio。这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，e^ix = cosx + isinx 作代入x = π即给出恒等

含义 欧拉恒等式是指下列关系式：其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction。这是复分析的欧拉

euler公式是欧拉公式，英文全称为Euler"s formula。欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。R+ V- E= 2就是欧拉公式。作用：欧拉公式容易理解的有两个作用，一个是用于多面体的，而另外—个是用于级数展开的。欧拉公式数学中起到至关作用的数字被它联系了起来，两个超越数,自然对数的底e和圆周率π两个单位，虚数单位和自然数的单位1以及人类数学史上最伟大的发现0。因此在数学家的眼中，欧拉公式应是上帝的公式。第一个证明欧拉公式的人是20岁的柯西，他通过多面体设想的方法肯定了欧拉公式存在的意义。欧拉公式的种变换，欧拉恒等式它被称作是数学中最美妙的一个公式。

世界最著名的三大数学公式，分别是欧拉恒等式、高斯积分、傅立叶变换。1、欧拉恒等式。欧拉恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。2、高斯积分。高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分，有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。3、傅立叶变换。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。扩展资料：伟大数学家欧拉：莱昂哈德·欧拉（1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。参考资料：百度百科-欧拉恒等式百度百科-高斯积分百度百科-傅立叶变换

莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler 1707年4月5日～1783年9月18日 是瑞士数学家和物理学家.他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）.欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出).他是把微积分应用于物理学的先驱者之一.　　"欧拉进行计算看起来毫不费劲儿,就像人进行呼吸,像鹰在风中盘旋一样°(阿拉戈语),这封伦纳德．欧拉(1707--1783)无与伦比的数学才能来说并不夸张,他是历史上最多产的数学家.与他同时代的人们称他为"分析的化身".欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易.甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产,如果说视力的丧失有什么影响的话,那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力. 　　欧拉到底为了多少著作,直至1936年人们也没有确切的了解.但据估计,要出版已经搜集到的欧拉著作,将需用大4开本60至80卷.1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文.这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的.这也恰恰显示出,欧拉属于整个文明世界,而不仅仅屈于瑞士.为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了. 　　欧拉和丹尼尔·伯努利一起,建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量. 　　他还直接从牛顿运动定律出发,建立了流体力学里的欧拉方程.这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程.人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波. 　　他对微分方程理论作出了重要贡献.他还是欧拉近似法的创始人,这些计算法被用于计算力学中.此中最有名的被称为欧拉方法. 　　在数论里他引入了欧拉函数. 　　自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数.例如,因为有四个自然数1,3,5和7与8互质. 　　在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的. 　　在分析领域,是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数. 　　他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声： 　　:其中是黎曼函数. 　　欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式,它成为指数函数的中心. 　　在初等分析中,从本质上来说,要么是指数函数的变种,要么是多项式,两者必居其一.被理查德·费曼称为“最卓越的数学公"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）： 　　:在1735年,他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数： 　　:他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一,这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效. 　　在1739年,欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》,书中试图把数学和音乐结合起来. 　　一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作. 　　在经济学方面,欧拉证明,如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量,在规模报酬不变的情形下,总收入和产出将完全耗尽. 　　在几何学和代数拓扑学方面,欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：: 　　其中,F为给定多面体的面数之和,E为边数之和,V为顶点数之和. 　　这个定理也可用于平面图.对非平面图,欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形,则：:其中χ为此流形的欧拉特征值,在流形的连续变形下是不变量. 　　单联通流形,例如球面或平面,的欧拉特征值是2. 　　对任意的平面图,欧拉公式可以推广为：,其中为图中连通分支数. 　　在1736年,欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题,并且发表了论文《关于位置几何问题的解法(Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》,对一笔画问题进行了阐述,是最早运用图论和拓扑学的典范. 　　数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

泰勒展开。

解题过程如下图：恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料著名恒等式欧拉恒等式：eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)

e后的数表示10的多少次方。1.810524e10就表示1.810524乘以10的10次方。数字很大的数，一般我们可以用E数表示，例如6230000000000；我们可以用6.23E12表示，而它表示的知是将6.23×10^道12E数形式6.23E12，代表将数字6.23中6后面的小数点向右移去12位。有关的一些推导：（aEc)^2=（aEc)、（aEc)=a^2E2c、（aEc)^3=（aEc)（aEc)（aEc)=a^3E3c、（aEc)^n=a^nEnc　b(aEc)^n=ba^nEbc、a×10^logb=ab、aElogb=ab。扩展资料：e不仅仅只是一个随意数字。事实上，它是数学中最有用的常数之一。如果绘制方程y=e^x，就会发现，对于曲线上任何点的斜率也是e^x，而从负无穷大到x的曲线下方面积也是e^x。e是唯一使y=n^x这个方程有如此奇特性质的数字。在微积分中，可以想象e也是一个非常重要的数字。同时，自然常数e也是物理学中的一个重要数字，它通常出现在有关波（如光波、声波和量子波）的方程之中。此外，关于e还有一个非常著名的公式，即欧拉恒等式：e^(iπ)+1=0，这个完美的公式把数学中最重要的数字都联系在一起了。

黎曼对欧拉恒等式的创新在于将实数推广为什么（） A.小数 B.复数 C.指数 D.对数 正确答案：B

欧拉乘法恒等式是欧拉在什么时候提出并证明的? . 1700 年 . 1727 年 . 1737 年 . 1773 年 正确答案: 1737 年

可从以下方面对比评价：1、高斯在开拓数学新领域方面做出更多的贡献。高斯在十七岁时就找出了用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形的方法，是欧几里得后第一个找出此方法的人。高斯关于数论的工作奠定了代数现代算术理论的基础，他还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。因此他的许多著作成为非欧几何在初创阶段的研究重点。高斯验证的“正态分布”，成为统计学、概率学的重要理论，推动统计学、概率学的发展。“正态分布”也因此被称为“高斯分布”。2、欧拉在完善数学理论、充实数学体系方面成就更大。欧拉自身拥有极高的数学天赋，且十分热衷于钻研前人的理论。欧拉可被称作是18世纪数学界的中心人物。他将莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。正是通过他的不懈努力，许多当今高等数学的研究内容才得以诞生。如无穷级数、单复变函数、微分方程、变分法等，都是欧拉的杰作。欧拉通过他的数学天才和努力总结出了函数概念，也进一步完善了微积分学，这极大推动了数学的发展。欧拉庞大、繁杂的工作也为现代数学数论的诞生奠定了基础。也是欧拉总结了用数学方法表示牛顿定律的方式，使物理与数学的结合更加紧密。3、欧拉的研究成果更丰富。欧拉的研究成果极其丰富。巨大的工作量使其晚年视力严重退化、乃至失明。他的成就众多，乃至许多数学理论以他的名字命名，比如欧拉恒等式，欧拉常数，欧拉示性数等。4、二人都是人类历史上最伟大的数学家。扩展资料：1、约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日，享年77岁），犹太人，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家。高斯一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。2、莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。参考资料：百度百科-高斯百度百科-欧拉

欧拉公式，一些数论问题，级数等等，涉猎范围很广

解题过程如下图：恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料著名恒等式欧拉恒等式：eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)

莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler 1707年4月5日～1783年9月18日 是瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。　　"欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样°(阿拉戈语)，这封伦纳德．欧拉(1707--1783)无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为"分析的化身"。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。02　　欧拉到底为了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。　　欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。02　　他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。02　　他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。02　　在数论里他引入了欧拉函数。02　　自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如，，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。02　　在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。02　　在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。02　　他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：02　　:其中是黎曼函数。02　　欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。02　　在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：02　　:在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数：02　　:他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。02　　在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。02　　一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。02　　在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。02　　在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：:02　　其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。02　　这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形，则：:其中χ为此流形的欧拉特征值，在流形的连续变形下是不变量。02　　单联通流形，例如球面或平面，的欧拉特征值是2。02　　对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：，其中为图中连通分支数。02　　在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法(Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。02　　数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

一般而言高斯更厉害1、高斯在开拓数学新领域方面做出更多的贡献。高斯在十七岁时就找出了用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形的方法，是欧几里得后第一个找出此方法的人。高斯关于数论的工作奠定了代数现代算术理论的基础，他还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。因此他的许多著作成为非欧几何在初创阶段的研究重点。高斯验证的“正态分布”，成为统计学、概率学的重要理论，推动统计学、概率学的发展。“正态分布”也因此被称为“高斯分布”。2、欧拉在完善数学理论、充实数学体系方面成就更大。欧拉自身拥有极高的数学天赋，且十分热衷于钻研前人的理论。欧拉可被称作是18世纪数学界的中心人物。他将莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。正是通过他的不懈努力，许多当今高等数学的研究内容才得以诞生。如无穷级数、单复变函数、微分方程、变分法等，都是欧拉的杰作。欧拉通过他的数学天才和努力总结出了函数概念，也进一步完善了微积分学，这极大推动了数学的发展。欧拉庞大、繁杂的工作也为现代数学数论的诞生奠定了基础。也是欧拉总结了用数学方法表示牛顿定律的方式，使物理与数学的结合更加紧密。3、欧拉的研究成果更丰富。欧拉的研究成果极其丰富。巨大的工作量使其晚年视力严重退化、乃至失明。他的成就众多，乃至许多数学理论以他的名字命名，比如欧拉恒等式，欧拉常数，欧拉示性数等。4、二人都是人类历史上最伟大的数学家。1、约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日，享年77岁），犹太人，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家。高斯一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。2、莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。这两个人都是近代最伟大的数学家。欧拉去世时高斯6岁。他们对数学的贡献是全方面的，涉及纯粹数学和应用数学的广泛领域。一般认为，高斯比欧拉还要伟大，因为欧拉没有开创全新的分支。另一方面，欧拉是完全属于18世纪的数学家，因此严谨性上做的很不够。但欧拉的计算能力是如此之强，技巧如此之熟练，其他人是望尘莫及的。高斯的很多工作都可以看成欧拉的继承，特别是数论、分析、天文学、微分几何等。他在深刻性和系统性上超过了欧拉，他的很多著作都被看做是那个学科标志性的里程碑，非欧几何更是深刻地影响了数学发展的进程。

解题过程如下图：恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料著名恒等式欧拉恒等式：eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)

等号上面有一个三角形在数学中表示为为：“记作”、“定义为”、“等价于”。数学中的常用关系符号：1、“=”是等号，表示等于2、“≈”是近似符号，表示约等于3、“≠”是不等号，表示不等于4、“>”是大于符号，“<”是小于符号，用来表示大小关系5、“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”，即不小于）；“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”，即不大于）6、“∽”是相似符号，表示相类，相像7、“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号8、“∝”是正比例符号，表示反比例时可以利用倒数关系9、“∈”是属于符号，“u2286”是包含于符号，“u2287”是包含符号扩展资料：数学中的符号种类包括： 数量符号、 运算符号、 关系符号、 结合符号、 性质符号、 省略符号、 排列组合符号、离散数学符号、希腊字母简表。数学符号的发明及使用比数字要晚，但其数量却超过了数字。现在常用的数学符号已超过了200个，其中，每一个符号都有一段发展历程。参考资料来源：百度百科-数学符号

在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。1．数论欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。2．代数欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。3．无穷级数欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。4．函数概念18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。5．初等函数《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式——欧拉恒等式（表达式中用表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用表示虚数单位 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。6．单复变函数通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。7．微积分学欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。8．微分方程《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。9．变分法1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。10．几何学坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题，得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。 11．力学欧拉将数学分析方法用于力学，在力学各个领域中都有突出贡献；他是刚体动力学和流体力学的奠基者，弹性系统销定性理论的开创人。在1736年出版的两卷集《力学或运动科学的分析解说》中，他考虑了自由质点和受约束质点的运动微分方程及其解。欧拉在书中把力学解释为“运动的科学”，不包括“平衡的科学”即静力学。在力学原理方面，欧拉赞成P.-L.M.de马保梯的最小作用量原理。在研究刚体运动学和刚体动力学中，他得出最基本的结果，其中有：刚体定点有限转动等价于绕过定点某一轴的转动，刚体定点运动可用三个角度（称为欧拉角）的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律（称为定点运动的欧拉情况，这一成果1834年由L.潘索作出几何解释）,以及自由刚体的运动微分方程等。这些成果均载于他的专著《刚体运动理论》（1765）一书中。欧拉认为，质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定流体质点（1759）描述流体速度场。这两种方法通常称为欧拉表示法和拉格朗日表示法。欧拉奠定了理想流体（假设流体不可压缩，且其粘性可忽略）的运动理论基础，给出反映质晕守恒的连续性方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。 欧拉研究过弦、杆等弹性系统的振动。他和丹尼尔第一·伯努利一起分析过上端悬挂着的重链的振动以及相应的离散模型（挂有一串质量的线）的振动。他在丹尼尔第一· 伯努利的帮助下，得到弹性受压细杆在失稳后的挠曲线——弹性曲线（elastica）的精确解。能使细杆产生这种挠曲的最小压力后被称为细杆的欧拉临界载荷。欧拉在应用力学如弹道学、船舶理论、月球运动理论等方面也有研究。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等． 欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。在数论里他引入了欧拉函数。自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如φ（8）=4，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声。欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式，它成为指数函数的中心。在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）。在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数。他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的著作。在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。数独是欧拉发明的拉丁方块的概念，在当时并不流行，直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起，带起流行。

解题过程如下图：恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料著名恒等式欧拉恒等式：eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)

解题过程如下图：恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。扩展资料著名恒等式欧拉恒等式：eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。牛顿恒等式：设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)