xe^-y+ye^-y对y求不定积分

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。第 1 页基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。

切比雪夫多项式 是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号 表示，第二类切比雪夫多项式用 表示。切比雪夫多项式 或 代表 阶多项式。 切比雪夫多项式 分别是第一、第二类切比雪夫微分方程的解： 此时母函数表示为： 此时母函数表示为：

对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。特征值: 特征方程(第一类切比雪夫多项式):三角定义::递推关系:权重:正交性: 其中:

cos(0t) = 1cos(1t) = costcos(2t) = 2cos^2t - 1cos(3t) = 4cos^3t - 3cost...可以看出cos(nt)可以表示成cost的n次多项式，这个n次多项式就叫n次Chebyshev多项式

利用和差化积公式即可：cos(nx)+cos(n－2)x=2cosx*cos(n－1)x,因此有cosnx=2cosx*cos(n－1)x－cos(n－2)x.这就是递推公式.

属于高等数学范畴。切比雪夫定理设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα )存在，a切比雪夫多项式切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重切比雪夫函数切比雪夫函数(Chebyshev function)重要的数论函数之一。它是切比雪夫(Чебышев，П.Л.)为了证明查看更多切比雪夫不等式的提出内容TA说切比雪夫不等式的提出19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数±m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内[2]。内容切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件 概率作出估计。[3]定理设随机变量X具有数学期望 ，方差 则对任意正数ε，不等式 或 成立。注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。 若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“ ”的概率接近于0，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a[4]。正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为 。[3]切比雪夫定理设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0，有特别地：X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2(i=1，2，…)，则对任意给定的ε>0，有即[3]切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望a。于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即上式表明，n足够大时，把n次测量结果的算术平均值作为a的近似值，所产生的误差是很小的。设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα )存在，a>0，则不等式成立。这叫做切比雪夫定理，或者切比雪夫不等式。[1]中文名切比雪夫定理外文名chebyshev"s theorem别名切比雪夫不等式提出者切比雪夫提出时间19世纪相关星图数学家切比雪夫提出的公式定理共4个词条8827阅读切比雪夫定理设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα )存在，a切比雪夫多项式切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重切比雪夫函数切比雪夫函数(Chebyshev function)重要的数论函数之一。它是切比雪夫(Чебышев，П.Л.)为了证明查看更多切比雪夫不等式的提出内容TA说切比雪夫不等式的提出19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数±m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内[2]。内容切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件 概率作出估计。[3]定理设随机变量X具有数学期望 ，方差 则对任意正数ε，不等式 或 成立。注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。 若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“ ”的概率接近于0，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a[4]。正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为 。[3]切比雪夫定理设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0，有特别地：X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ2(i=1，2，…)，则对任意给定的ε>0，有即[3]切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望a。于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即上式表明，n足够大时，把n次测量结果的算术平均值作为a的近似值，所产生的误差是很小的。

马尔科夫不等式的简证引理1：不超过n-1次多项式Q(x)满足：（1-x^2）^(1/2)|Q(x)|<=1,[-1,1],则|Q(x)|<=n,[-1,1].在{cos((2k-1)/2n)pi}处用Langange插指多项式。（注意用Chebyshev多项式）引理2：S(x)=a_1sin(x)+……+a_nsin(nx),且|S(x)|<=1恒成立，则|S(x)/sin(x)|<=n引理3：l(x)=a_0/2+sum_{k=1}^n(a_kcos(kx)+b_ksin(kx)),若max|l(x)|<=1,则max|l^prime(x)|<=n.用引理2设max|p(x)|=1,只要证max|p(x)|<=n^2，令x=cos(y)将p(cos(y))写成引理3中形式，可得(1-x^2)^(1/2)|p^prime(x)|<=n由引理1指结论成立在令p(x)为Chybyshev多项式不等式无法改进。

能。使用切比雪夫多项式拟合方法分别对去除奇异极值点后的波峰离散点以及波谷离散点进行曲线拟合，切比雪夫多项式能用离散的数据拟合，得到波峰理想曲线以及波谷理想曲线。

第一类Chebyshev多项式Tn(x)的最重要的逼近性质是：在[-1,1]上所有首项系数为1的n次多项式中，Tn(x)/2^{n-1}对零的偏差最小，也就是说对于任何n次首一多项式p(x)都有max|p(x)| >= max|Tn(x)|/2^{n-1}。这个性质的证明要利用Chebyshev交错点定理，应该超出高中知识范围了。这个性质直观的解释是多项式“比较硬”，首项确定之后就不可能通过弯折它让它很好地逼近零了。作为应用一般来讲是解决min max|p(x)|型的最值问题，其中max的范围是在闭区间[a,b]上，min的范围是对所有满足某一约束的不超过n次的多项式。通常先利用仿射变换把标准区间[-1,1]上的Chebyshev多项式变换到区间[a,b]上再利用最佳逼近性质。

利用和差化积公式即可：cos(nx)+cos(n－2)x=2cosx*cos(n－1)x，因此有cosnx=2cosx*cos(n－1)x－cos(n－2)x。这就是递推公式。

首先，插值和拟合是相关但不完全相同的问题一般来讲插值要求原来的函数和近似函数在某些点取值相等，有时还要求导数吻合（这些要求通常称为插值条件）但拟合并不要求原来的函数和近似函数在某些点取值相等，只要两个函数在一定意义下比较靠近就行了，所以一般认为插值是特殊的拟合当然，上述讲法仍然是非常含糊的，或者说根本算不上数学问题，实际当中为了避免含糊会使用一些精确的数学问题去替换上述要求，并且会规定近似函数的选取范围比如“最佳一致逼近多项式”是一个精确的数学问题：给定[a,b]上的一个实函数f(x)，以及自然数n，在次数不超过n的多项式里找一个多项式p(x)使得||f(x)-p(x)||_oo最小，这里的范数是[a,b]区间上的无穷范数。这是一个拟合形式的数学问题。然后你要搞清楚数学问题和算法的区别，Remez算法是为了求解“最佳一致逼近多项式”这个数学问题而提出的一种计算方法。“Chebyshev插值”是另一个数学问题：给定[a,b]上的一个实函数f(x)，以及自然数n，在次数不超过n的多项式里找一个多项式p(x)使得f(x_i)=p(x_i)，i=0,,n，其中x_0,,x_n是区间[a,b]的Chebyshev结点。这是一个插值形式的数学问题。在多项式插值问题（数学问题）里插值结点总是给定的，但在实际问题（非数学问题）里插值结点有时也需要自己来挑选（比如均匀结点），“Chebyshev插值法”就是挑选Chebyshev结点作为插值结点的一种方法，也可以认为是把非数学问题转化到数学问题的一个建模过程，这种选法的目的是最小化插值误差界。至于最佳一致逼近Chebyshev插值法，我从未见过这样的术语，有可能是你自己创造的吧

并非如此，使用多项式拟合时，采用的是最小二乘的标准。 如果某些点的数据偏差较大，多项式拟合时次数越高，拟合准确度反而下降。一般说来，选择次数越高，样本数据的结果更好，但是测试数据的结果反而会下降

用切比雪夫多项式逼近已知函数function f = Chebyshev(y,k,x0)syms t;T(1:k+1) = t;T(1) = 1;T(2) = t;c(1:k+1) = 0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym("t"))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym("t"))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym("t"))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2; f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); if(i==k+1) if(nargin == 3) f = subs(f,"t",x0); else f = vpa(f,6); end endend

function T=Chebyshev2(n)syms xT(1:n)=sym(0);T(1)=1;T(2)=x;for i=3:n T(i)=2*x*T(i-1)-T(i-2);endT(n)x=[-pi:0.01:pi];plot(x,subs(T(n),x))

切比雪夫多项式就是满足f（cosx）=cosnx的f

切比雪夫多项式 ，棣美弗定理在《概率论与数理统计》课本中可以学到，找大数定律与中心极限定理那章即可！！特征方程在《线性代数》课本中特征值与特征向量那章！！在《高等数学》书里没有满意请采纳！！！！

1、将闭区间[0, 1]等分成n份，在每一个小区间上直接计算梯形面zhi积（上下底为(x^3)/3.0），并合并求和；2、将闭区间[0, 1]等分成shu(2 * n)份，重复上述操作；3、上述两步的结果做差，如果绝对值小于，如: 1e-6，那么输出第二步的结果；否则继续加倍等分区间重复操作。数学分析：f(x)=x^2=x*x;定积分：x*x*x/3+c(常数)在区间(0,1)上定积分：1/3=0.333333结果正确。扩展资料：可以算出，此时递推公式(2)中的 α=β的情况比较简单，称作超球多项式。当α=β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 当,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式这些正交多项式的正交区间都是[-1,1]。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。参考资料来源；百度百科-正交多项式

First to express the aiming function in terms of the Chebyshev polynomials. Then find the extremal values according to the expression. Sometimes one may consider the trigeometric expressions of Chebyshev polynomials, such like sin((n+1)a)/sin(a) for Chebyshev polynomials of the second kind. This trick converts the original problem into a trigeometric funtion problem.

float T(int n){ float f,x;//这两个定义出来 没有初始化 ， if(n==0) f=1; else if(n==1) f=x; //这里 else f=2*x*T(n-1)-T(n-2);//这里拿着x就直接用了 。肯定输出的值不对啊 return(f);}

切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。根据频率响应曲线波动位置的不同，切比雪夫滤波器可以分为以下两种： 在通带（或称“通频带”）上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“I型切比雪夫滤波器”；"""n"""阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示 ：:其中：**而是滤波器在[[截止频率]]的放大率 (""注意"": 常用的以幅度下降3[[分贝]]的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)f>：> 是 n阶[[切比雪夫多项式]] 其中或:　　 """切比雪夫滤波器"""的阶数等于此滤波器的电子线路内的电抗元件数。切比雪夫滤波器的幅度波动 =[[分贝]]当 ,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫[[椭圆函数滤波器]]或考尔滤波器。 切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn或Un代表n阶多项式。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 切比雪夫多项式n切比雪夫多项式112 3 4 5 6 7 8 9 10 　　　　　　　　　　　　　　　　 在阻带（或称“阻频带”）上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“II型切比雪夫滤波器”。也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。 II型切比雪夫滤波器的转移函数为：分贝5分贝衰减度相当于; = 0.6801; 10分贝衰减度相当于; = 0.3333。-3分贝频率fH 和截止频率 fC 有如下关系：

1.无限脉冲响应IIR低通滤波无限脉冲响应IIR（Infinite Impulse Response）低通滤波器可借助常见的经典模拟低通滤波器加以实现。模拟低通滤波器的设计中，一般给定通带上限截止频率Ωp、阻带下限截止频率Ωs、通带允许的最大衰减αp、阻带允许的最小衰减αs，见图7-4-9。为了规范设计，通常将频率用通带截止频率Ωp进行归一化，采用相对频率A＝Ω/Ωp，此时的滤波器成为标准滤波器形式（陈玉东，2005）。图7-4-9 低通滤波器的绝对技术指标对于经典滤波器，其设计关键是用归一化频率λ的多项式或多项式之比来逼近滤波器的幅值平方函数｜H（λ）|2。n阶低通滤波器的幅值平方函数和衰减方程为：航空重力勘探理论方法及应用上式中ε是待定参数，Ln（λ）是一个与幅值平方函数相关的n阶多项式或有理函数。通常总是希望在通带内Ln（λ）趋于0，确保响应增益接近1；在阻带内Ln（λ）u226b0，确保响应增益接近0。根据设计指标和上面方程，可得滤波器衰减指标与幅值平方函数联系起来的关系式：航空重力勘探理论方法及应用通过对滤波器衰减关系式的计算，可以求得滤波器的待定参数ε和多项式阶数n，从而建立滤波器响应函数（或称传递函数）的准确表达式。比较常用的模拟低通滤波器有巴特沃思（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）等。2.巴特沃思逼近巴特沃思（Butterworth）低通滤波器选用多项式（陈玉东，2005）：Ln（λ）＝λn，则有：航空重力勘探理论方法及应用巴特沃思（Butterworth）滤波器也称为最平滑滤波器（Maximally Flat Filter），其幅值平方函数在0频率处的前2n-1阶导数为0，从而有最大平坦响应。当λ由0增加到1时， 单调减小，Ad B（λ）单调增加；并且n越大， 减小的越缓慢，通带越平坦。当λ＞1变化时， 单调减小，Ad B（λ）单调增加；并且n越大， 衰减速度越快，阻带衰减更彻底。滤波器待定参数ε可以由通带内的最大衰减来求得：航空重力勘探理论方法及应用滤波器阶数n可以通过阻带最大衰减来求得：航空重力勘探理论方法及应用滤波器的阶数n必须取整数。通带衰减越小，ε越小，说明通带越平坦；阻带衰减越大，n越大，说明滤波过渡带越陡峭。为了从｜Ha（λ）|2中导出巴特沃思低通滤波器响应函数H（s），可令λ2=-s2，并且只取复平面左半平面的根来得出最小相位传递函数H（s）。航空重力勘探理论方法及应用式中 ，由方程1＋（－1）nε2（s/R）2n=0可得：（js/R）2n=-1。该方程的2n个根为：航空重力勘探理论方法及应用为了保证所设计的滤波器是稳定的，应考虑左半平面的极点（k=1,2,3，…，n）获得：航空重力勘探理论方法及应用K0为归一化常数，可由传递函数的低频特性决定。代入s=0时，Ha（0）=1，可计算获得K0值。对于实际滤波器，传递函数中的s应该替换为相对频率s/Ωp。3.切比雪夫逼近切比雪夫（Chebyshev）低通滤波器选用多项式（陈玉东，2005）：航空重力勘探理论方法及应用则有：航空重力勘探理论方法及应用Tn（λ）=cos（narccosA）为一个n次多项式，称为Chebyshev多项式。令φ＝arccosλ，则λ＝cosφ，有：航空重力勘探理论方法及应用得：航空重力勘探理论方法及应用从而得到切比雪夫多项式的递推公式：航空重力勘探理论方法及应用根据递推公式，由T0（λ）=cos（0）=1,T1（λ）=cosφ＝λ可以推出关于λ的n阶切比雪夫多项式的表达形式。其首项系数为2n-1，非零系数的符号交替变化，体现了切比雪夫多项式的摆动性，在（－1,＋1）区间内，Tn（λ）关于零点上下摆动，等幅振荡；在区间（－1,＋1）之外，Tn（λ）≈2n-1λn，其值剧增。切比雪夫定理：在区间（－1,＋1）内，归一化的切比雪夫多项式Tn（λ）/2n-1在所有归一化的n次多项式中，其绝对值是最小的。与巴特沃思滤波器相比，切比雪夫滤波器在阻带的衰减更彻底，从而在相同阶数情况下，切比雪夫滤波器的过渡带更陡峭，但是以引入通带波纹为代价的。根据通带截止频率Ωp、阻带截止频率Ωs、通带允许的最大衰减αp、阻带允许的最小衰减αs，可确定幅值平方函数中的待定参数ε和滤波器阶数n。航空重力勘探理论方法及应用令λ2=-s2，则s=jcosφ，φ＝arccos（s/j）＝φ1+jφ2。考虑左半平面的极点，其中：航空重力勘探理论方法及应用则归一化切比雪夫低通滤波器的传递函数：航空重力勘探理论方法及应用其中归一化常数：对于实际滤波器，传递函数中的s应该替换为相对频率s/Ωp。4.IIR数字滤波器的设计通常可采用脉冲响应不变法、双线性变换法等方法通过模拟滤波器来设计IIR低通数字滤波器，下面简单叙述由双线性变换法设计IIR低通数字滤波器的步骤（郭志宏，2008）。（1）将给定的数字滤波器的设计指标变换为模拟滤波器的设计指标数字滤波器的设定指标主要包括通带截止频率ωp、阻带截止频率ω。、通带最大衰减ap、阻带最小衰减as。利用双线性变换的频率变换式将给定的ωp、ω。转换为： 。为方便计算，可假设采样间隔T=1,ap、a。参数不变。（2）设计低通模拟滤波器的传递函数Ha（s）根据用归一化频率λ的多项式或多项式之比来逼近滤波器的幅值平方函数的经典滤波器的设计思想，由式（7-4-11）至式（7-4-14）来确定低通模拟滤波器的传递函数Ha（s）。如果选定巴特沃思逼近，则可由式（7-4-15）、式（7-4-16）计算出滤波器待定参数ε、滤波器阶数n，进而由式（7-4-17）、式（7-4-18）获得相应低通滤波器的传递函数Ha（s）；当s=0时，Ha（0）=1，可计算获得归一化常数K0值。如果选定切比雪夫逼近，则可由式（7-4-19）、式（7-4-20）计算出滤波器待定参数ε、滤波器阶数n，进而由式（7-4-21）、式（7-4-22）获得相应低通滤波器的传递函数Ha（s）；当n为奇数时，Ha（0）=1，当n为偶数时， ，可计算获得归一化常数K0值。对于实际滤波器，传递函数中的s应该替换为归一化相对频率s/Ωp，则有：航空重力勘探理论方法及应用（3）将Ha（s）转换为数字滤波器的传递函数H（z）利用双线性变换映射公式： 。假设T=1，可得数字滤波器的传递函数（郭志宏，2008）：航空重力勘探理论方法及应用（4）将H（z）转换为数字滤波器的频率响应H（ejω）令z=ejω代入H（z）可得数字滤波器的频率响应H（ejω）（郭志宏，2008）：航空重力勘探理论方法及应用5.滤波试验根据前面阐述的无限脉冲响应巴特沃思、切比雪夫IIR低通滤波方法及式（7-4-11）至式（7-4-23），我们研制了相应软件，并对图7-4-1的GT-1A航空原始未滤波自由空间重力测线数据分别进行了截止波长为100 s、60 s长度（按v=60m/s的航速计算，截止波长λc分别为6km、3.6km，按fc=v/λc计算的截止频率分别为0.01 Hz、0.0167 Hz）的低通滤波试验计算，试验结果见图7-4-10至图7-4-13（郭志宏，段树岭，等，2009）。为了图形对比方便，各剖面图中仍然保留了测线边部两端的各半个滤波窗口数据；这些数据由于存在边部效应，因而是不准确的，实际应用时应该去掉。表7-4-2为图7-4-10至图7-4-13所示的IIR低通滤波波截止波长100 s、60 s长度航空自由空间重力测线数据与图7-4-2所示的GT-1A型航空重力系统100 s、60 s滤波自由空间重力测线数据（作为标准）的比较，即通过两者之差值的统计结果来衡量吻合程度。从统计表中看到，两种IIR滤波器低通滤波结果的差异值都在±1×10-5m·s-2左右，均方差值则多数在（0.3～0.4）×10-5m·s-2左右，吻合程度比较好。图7-4-10 巴特沃思低通滤波与GT-1A系统100s滤波航空自由空间重力对比图7-4-11 巴特沃思低通滤波与GT-1A系统60s滤波航空自由空间重力对比图7-4-12 切比雪夫低通滤波与GT-1A系统100s滤波航空自由空间重力对比图7-4-13 切比雪夫低通滤波与GT-1A系统60s滤波航空自由空间重力对比表7-4-2 无限脉冲响应IIR滤波试验结果与GT-1A系统滤波结果的差值统计

应该是切比雪夫不等式吧。在概率论与数理统计里有。应该是在大数定理那一章节的内容。具体如下：对于任一随机变量X,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0,恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

最佳平方二次多项式计算：求一个多项式f（x）（多项式最高次项的系数为1）的3次最佳一致逼近多项式p3（x），方法是：f（x）-p3（x）=1/（2^（3-1））*T3（x）。其中T3（x）是切比雪夫多项式，且T3（x）=4x^3-3x，由上得：p3（x）=f（x）-（1/（2^2）*T3（x））=-4x^3+3x，可知道p3（x）中x的立方项的系数与x的次数比为：-4：3，所以-4：3=1：-a，得a=3/4。多项式在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。

正交多项式最简单的例子是勒让德多项式,此外还有雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等，它们在微分方程、函数逼近等研究中都是极有用的工具。设ω(x)是定义在区间【α,b】上的非负可积函数，如果它满足条件，则称 ω(x)为一个权函数。如果定义在[α，b]上的函数 u0192（x）与g(x)满足等式 ,则称它们在【α,b】上关于权ω(x)是正交的,并称【α,b】为它们的正交区间。对于给定的区间 【α,b】及其上的权函数ω(x)，从幂函数序列出发，可以构造一列多项式： (1)使得pn(x)的次数是n，而且其中任意两个多项式在[α,b]上都关于ω(x)正交,这时称 (1)为在[α,b]上关于权ω(x)的正交多项式系，并称(1)中每一个多项式为正交多项式。如果正交多项式系(1)还满足条件·,则称(1)为在 【α,b】上关于权ω(x)的规范正交多项式系。为了构造(1)，先计算积分,然后记Δ -1=1以及则就是在[α，b]上关于权ω(x)的一个正交多项式系。常记则n(x)的首项系数为1，n(x)的首项系数是正的，而且{n(x)}是在【α，b】上关于权ω(x)的规范正交多项式系。对于同一权函数的正交多项式系虽然很多，但是首项系数为 1的正交多项式系或首项系数为正的规范正交多项式系却是由权ω(x)所惟一确定的。任一n次多项式都可表示为p0(x),p1(x),…,pn(x)的线性组合。pn(x)的零点全部位于(α，b)中,而且pn+1(x)的相邻两个零点间都有pn(x)的一个零点。此外,对于n=0，1,…都有如下的递推公式： (2)式中假设函数u0192(x)在[α,b]上关于ω(x)平方可积, 即，则称为u0192关于的傅里叶系数,为u0192的傅里叶级数。若记这个级数前n+1项之和为Sn(u0192,x),则对任何次数小于n的多项式q(x)有而且当n→∞时,这个不等式左边所表示的偏差收敛于零。对于任何正交多项式系，都有连续函数使其傅里叶级数不一致收敛。为了研究傅里叶级数的收敛性，常记 称为核。显然。关于核Kn(x,t)有如下的克里斯托费尔-达布公式由此易证:若在点x处有界，而且函数关于权ω（t）平方可积，则Sn(u0192,x)收敛于u0192(x)。常用的正交多项式是关于正交的雅可比多项式式中α>-1，β>-1，是给定的实数，对于，有可以算出，此时递推公式(2)中的 α=β的情况比较简单，称作超球多项式。当α=β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 当,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式这些正交多项式的正交区间都是[-1,1]。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。如果讨论的是无限区间【0,+∞),则常考虑以或为权的正交多项式系与，它们依次称作拉盖尔多项式与埃尔米特多项式，其表达式是递推公式是 Ln(x)与Hn(x)还依次满足微分方程

若一个丢番图方程具有以下的形式：且为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell"s equation德文：Pellsche Gleichung）。 若是完全平方数，则这个方程式只有平凡解（实际上对任意的，都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而这些解可由的连分数求出。与代数数论的联系佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式给出了环（即二次域）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅的范数是一，即是域上的一个单元。根据狄利克雷单位定理，的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。与切比雪夫多项式的联系佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系：若Ti(x)和Ui(x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。。进一步有：如果(xi,yi)是佩尔方程的第i个解，那么xi= Ti(x1)yi= y1Ui - 1(x1)。

chebyshev方程式 (1-t^2)*x""-t*x"+a*a*x=0，其中a是个常数。它的解是和著名的chebyshev多项式有关系的。你有兴趣可以看看纳汤松的函数构造论那里面提到过。

用切比雪夫多项式逼近已知函数function f = Chebyshev(y,k,x0)syms t;T(1:k+1) = t;T(1) = 1;T(2) = t;c(1:k+1) = 0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym("t"))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym("t"))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym("t"))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2; f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); if(i==k+1) if(nargin == 3) f = subs(f,"t",x0); else f = vpa(f,6); end endend

从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果。已知【α,b】区间上的连续函数u0192(x),假,(n≥0),叫做u0192(x)的n阶最佳一致逼近值,也简称为最佳逼近值，简记为En(u0192)。能使极小值实现的多项叫做 u0192(x)的n阶最佳逼近多项式。切比雪夫证明了,在区间【-1,1】上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式 必满足关系式。多项就是著名的切比雪夫多项式。切比雪夫还证明了,…+是u0192(x)在【α,b】上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在【α，b】上存在着n+2个点:α≤x1<x2<…xn+2≤b,在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，②。点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数 n的一切多项式中如何来选择一个与u0192(x)的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者。

双曲线弦长公式二级结论 什么是双曲线弦长公式二级结论 双曲线弦长公式二级结论是指在双曲线的极坐标系下，双曲线上的一段弦的长度为等于其所跨越的角的正弦和余弦之差的一半。双曲线弦长公式二级结论的推导过程 要证明双曲线弦长公式二级结论，我们需要用到第一类切比雪夫多项式和欧拉公式。具体推导过程较为复杂，这里不再赘述，感兴趣的读者可以参考相关数学文献。双曲线弦长公式二级结论的应用 双曲线弦长公式二级结论的应用十分广泛，尤其在椭圆积分、椭圆函数等数学领域有着重要的地位。例如，在计算双曲函数的参数方程时，通过双曲线弦长公式二级结论，可以准确地计算出双曲线上任意一段弧所对应的参数值。在物理学领域，双曲线弦长公式二级结论也有一些应用。例如，在计算物体的加速度时，需要用到双曲线的导数和微分等相关知识，而双曲线弦长公式二级结论则是这些知识的基础。结语 双曲线弦长公式二级结论虽然涉及了较为复杂的数学推导，但其实际应用十分广泛。了解其基本原理和应用场景，有助于我们更好地理解和应用相关的数学知识。

插值告诉你一个函数会经过 n 个点（n个点各不相同），然后让你计算其余几个位置的取值。一般情况下可能会用在一些数据统计中函数的拟合。（不然为什么会有这么多乱七八糟的拟合啊QAQ）当然，这里主要涉及的是多项式插值，即利用经过这n个点的最高次项次数小于n的关于x的那个多项式，通过代入或者其他方法求出这几个位置的取值。当然，这里给出一道模板题，在拉格朗日插值和牛顿插值时就是用这个模板题的。模板题当然，这种题目暴力用高斯消元也是能做的，可惜A不了，毕竟时间复杂度时O(n3)下文都认为给出的是n+1个点，点的标号从0开始，同时设第k个点为(xk,yk)。拉格朗日插值法普通拉格朗日插值法观察模板题和高斯消元，你会发现我们把这个多项式解出来真的太浪费啦。有没有不用求出多项式也能求值的方法呢？有！拉格朗日发表了这么一个方法：L(x)= n∑i=0 u2113i(x)yi其中u2113i(x)叫 拉格朗日基本多项式 ，L(n)叫 拉格朗日插值多项式 。u2113i(x)= n∏j=0,j≠i (xu2212xj)(xiu2212xj)这个多项式有个非常NB的性质（其实也非常显然）就是u2113i(x)在xj(j≠i)处为0，在xi处为1。那么显然，L(x)经过这n个点。这样，我们就只需要把k代入，就可以在O(n2)的时间内求解了。显然，我们节省的是求出这个多项式的时间。当然，可以证明的是，这个拉格朗日插值多项式是唯一一个次数≤n的经过这n+1个点的多项式。唯一性假设存在两个n次多项式，都经过这n+1个点，假设这两个多项式为P1,P2P3=P2u2212P1那么P3显然≠0。而且因为都经过n+1个点，所以有n+1个根，所以P3的次数为n。而且可以写成那么P3可以写成k n∏i=0 (xu2212xi)但是这样次数是n+1的，显然不对，矛盾，证毕。所以最多存在这样唯一一个多项式。存在性首先，不一定存在次数为 n 的多项式，举个例子：(1,1),(2,2),(3,3)就不能被一个二次方程经过。当然，能经过这n+1个点的也不一定要是个次数大于0的多项式，比如你给n+1个y值相等的点，怎么可能存在一个n次多项式能够经过n+1个y值相同的点啊（因为这和一个多项式能有n+1个点的命题是等价的，这个命题先让错误，不然可以写成(xu2212xi)的形式，证明这个形式次数大于n）。所以下面假定至少存在两个点 y 值不同。在这个条件下，我们可以证明L(x)是一个次数大于0的多项式。我们假设存在一组a0,a1,a2,...an+1系数，使得：P(x)= n∑i=0 aiu2113(i)=an+1首先，因为u2113i(x)函数只有在xi处为1，其余xj处都是为0的，所以显然P(xi)=ai，但是呢，这个函数的值又是恒定的，所以a0=a1=a2=....=an+1。又因为yi并不相同，所以证毕。代码当然，这道题目我还是有U0001f40e代码的。时间复杂度O(n2)#include<cstdio>#include<cstring>#define N 2100using namespace std;typedef long long LL;const LL mod=998244353;inline LL ksm(LL x,LL y){ x%=mod; LL ans=1; while(y) { if(y&1)ans=ans*x%mod; x=x*x%mod;y>>=1; } return ans;}LL n,k;LL xx[N],yy[N];void calc(){ LL ans=0; for(int i=0;i<=n;i++) { LL shit=1; for(int j=0;j<=n;j++)if(i!=j)shit=(k-xx[j]+mod)*ksm(xx[i]-xx[j]+mod,mod-2)%mod*shit%mod; ans=(shit*yy[i]+ans)%mod; } printf("%lld ",ans);}int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&k);n--; for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&xx[i],&yy[i]); calc(); return 0;}当然，这样U0001f40e是O(n2logn)的，改进的方法也比较简单，分母乘起来最后求逆元就行了。这样就可以到严格的O(n2)了。优点与缺点这里直接照搬https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html的，因为我自己根本就不了解插值，OI中也基本上不会去处理数据拟合，下面是OI的貌似也不太需要的亚子。拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。连续情况当然，在给定的取值是连续的情况下（即等差数列），可以做到O(n)的插值。（当然，前提是你得花nlogn检验其是否是等差数列，当然，有时候是已知条件）你可以通过函数的缩放，把x转变成：xi=i的情况。至于怎么做，照搬你谷日报：而且，如果是在模运算的情况下，只要O(n)预处理逆元，也一样可以办到O(n)。代码：//你谷日报的代码//当x_i=i时求L_n(k) double L_n_k=0;for (int i=1;i<=n;i++) if ((n-i)%2) L_n_k+=y[i]*((pre[i-1]*suf[i+1])/(-fac[i]*fac[n-i])); else L_n_k+=y[i]*((pre[i-1]*suf[i+1])/(fac[i]*fac[n-i]));重心型拉格朗日插值法Ⅰ型总所周知，普通拉格朗日插值法在新增加一个点的时候就需要重新O(n2)计算一下。（雾不是，为什么啊(u30fbu2200u30fb(u30fbu2200u30fb(u30fbu2200u30fb*)，难道不是只要把u2113i(x)用数组存起来，计算不也是轻轻松松的事吗，当然，如果不用模运算的话时间复杂度是O(n)，如果要用模运算，计算逆元的时间就比较久了，会到达O(nlogn)。如果是要另外求个点，求先把分子求出来，然后不断逆元乘法也能解决，复杂度跟上面同理。为什么要O(n2)。不过我没有去打代码验证但是仔细想想上述的做法如果处理不好还是有一定弊端的，如果要另外求个点，而且是浮点数运算的话，这种做法可能掉精比较厉害，严重的可能精度直接起飞了，不过一般去到103一般也会加mod运算吧，不过也很好解决，只要处理出现在分子和新的分子的比值再乘，那么掉精问题估计也就没有那么严重了。额，认真的讲一下你谷博客中的Ⅰ型吧。如果我们改变一下上述的式子：L(n)= n∑i=0 yin∏j=0 (xu2212xi)(xu2212xi) n∏j=0,i≠j (xiu2212xj)当然，这样插值的前提是要求x≠xi，否则式子就爆炸了啊。设u2113(x)= n∏i=0 (xu2212xi),wi=yin∏j=0,i≠j (xiu2212xj)那么L(n)=u2113(x) n∑i=0 wi(xu2212xi)其中wi叫做重心权。同样的，这个可以支持O(n)撤销点，加入点。同时也支持O(n)求另外一个点。但是如果在模运算下，这些运算的复杂度统统都是O(nlogn)的，我是真的没有找到这个东西到底有什么用，而且如果在非模运算下，这个做法求新的f(k)好像更加的容易掉精...，而且补救方法我也没有想到，除非直接像普通的那样维护，把u2113(x)乘进∑里面同时维护，好像就不太需要担心掉精问题了。可能这一块内容就是为引出下一块内容准备的吧QAQ。Ⅰ型具有向后稳定性。Ⅱ型我们插值一下f(x)=1：f(x)=u2113(x) n∑i=0 wi(xu2212xi)然后用L(x)除f(x)。L(x)=n∑i=0 yiwi(xu2212xi) n∑i=0 wi(xu2212xi)就得到了Ⅱ型。当然，分母一般情况下是不为0的，同理也是要求k≠xif(x)=u2113(x) n∑i=0 wi(xu2212xi) =1所以 n∑i=0 wi(xu2212xi) 是绝对不为 0 的。可以发现，这个式子不用去计算u2113(x)，计算也是比较方便，可以说是一个优势。它的另一个优势是，结合切比雪夫节点（xi=cos((2i+1)π2(n+1) ),i∈[0,n]∩Z）进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零。同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。（这段话来自https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html）Ⅱ型具有向前稳定性，并且勒贝格常数很小。个人认为，复杂度其实也是类似Ⅰ型，但是在浮点数误差下，这个貌似更难去处理误差，只能硬生生的维护重心权wi，但是在n去到较大级别时，wi要么太大，要么太小，都是难伺候的主啊，特别容易产生较大的精度误差，所以我也是没有找到这个的作用在哪。。。小结在OI中感觉这三种类型都差不多，其实，那些向前稳定和向后稳定我都不知道是什么，阿巴QAQ，OI中应该不会涉及这么一些东西。（上面那些专业术语都是看别人博客的QAQ）而且这三种类型在OI中应该可以算是等价的了。我还是用普通型的吧，告辞。牛顿插值差商是什么？准确定义我反复读了三遍也没有看懂定义在阿巴什么，但是这里给出下面会用到的式子定义。设f[x0,x1,...xk]为f(x)的k阶差商。（所以我觉得 k 阶差商应该是有很多值的）定义：f[x0]=f(x0)f[x0,x1...,xk]=f[x1,x2...,xk]u2212f[x0,x1,x2...,xku22121]xku2212x0同时要求xi≠xj(i≠j)（其实你可以发现如果把k阶差商全部展开成0阶差商并且不通分约分合并，你会发现对于任意的 (xiu2212xj) ，存在 k∈{1,u22121} 使得 k(xiu2212xj) 存在在某个分数的分母）。那么f(x)=f[x]f[x]u2212f[x0]xu2212x0 =f[x,x0]f[x]=(xu2212x0)f[x,x0]+f[x0]代回原式：f(x)=f[x0]+(xu2212x0)f[x,x0]由于计算f[x,x0]仍然需要我们计算f(x)的值，所以我们继续像刚才一样展开：f[x,x0]=(xu2212x1)f[x,x0,x1]+f[x0,x1]f[x,x0,x1]=(xu2212x2)f[x,x0,x1,x2]+f[x0,x1,x2]...然后不断的代回原式，直到出现f[x,x0,x1,x2,...,xn+1]，此时停止展开，式子为：f(x)=f[x,x0,x2,...,xn+1] n∏j=0 (xu2212xi)+ n∑i=0 f[x0,x1,x2,...,xi] iu22121∏j=0 (xu2212xi)然后我们设Rn(x)=f[x,x0,x2,...,xn+1] n∏j=0 (xu2212xi),Nn(x)= n∑i=0 f[

因为你选定了测度是Lebesgue测度，内积也是关于Lebesgue测度的内积。其他的正交多项式，对应的是其他的测度。结论类似，但是平方误差的定义不同。

用 e^(i nx)=(cos(x)+i sin(x))^n 两边展开对比系数可以查一下 切比雪夫多项式，也可以参考一下这个如何将cos(nx)写成cosx的形式多项式？ - 知乎

李萨如图形方法测信号频率时，需要一个标准频率信号源送到X轴，再将被测信号送到Y轴。调节信号源频率使波形稳定不晃动时，便可根据标准频率源的频率读数及波形，得到 Ft=N*（标准信号源频率)，其中N由波形形状决定。公式 李萨如图上的每一个点都可以用以下的公式进行表示：X=A1sin(ω1t+ψ1)Y=A2sin(ω2t+ψ2)扩展资料：1、若n为无理数，曲线在长方形 中稠密。2、若n为有理数，曲线是2q次代数曲线若 (0, ]对奇数p，或 [0, )对偶数p。曲线是q次代数曲线的一部份若 对奇数p，或 对偶数p。3、若n为偶数而 ，或若n为奇数而 ，则曲线是第n个切比雪夫多项式 的曲线的一部分。参考资料来源：百度百科-利萨如图形

低通滤波器参数：Fs=8000，fp=2500，fs=3500，Rp=1dB，As=30dB，其他滤波器可以通过与低通之间的映射关系实现。%%模拟滤波器%巴特沃斯——滤波器设计wp=2*pi*2500;ws=2*pi*3500;Rp=1;As=30;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,"s")%计算率波器的阶数和3dB截止频率[B,A]=butter(N,wc,"s");%计算滤波器系统函数分子分母多项式fk=0:800/512:8000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);figureplot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid on,xlabel("频率（kHz）"),ylabel("幅度（dB）")title("巴特沃斯模拟滤波器")axis([0,4,-35,5])%%%切比雪夫I——滤波器设计wp=2*pi*2500;ws=2*pi*3500;Rp=1;As=30;[N1,wp1]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,"s")%计算切比雪夫滤波器的阶数和通带边界频率[B1,A1]=cheby1(N1,Rp,wp1,"s");%计算滤波器系统函数分子分母多项式fk=0:800/512:8000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);figure,plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid on,xlabel("频率（kHz）"),ylabel("幅度（dB）")title("切比雪夫I模拟滤波器")axis([0,4,-35,5])%%%切比雪夫II——滤波器设计wp=2*pi*2500;ws=2*pi*3500;Rp=1;As=30;[N2,wso]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,"s")%计算切比雪夫滤波器的阶数和通带边界频率[B2,A2]=cheby2(N1,Rp,wso,"s");%计算滤波器系统函数分子分母多项式fk=0:800/512:8000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);figure,plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid on,xlabel("频率（kHz）"),ylabel("幅度（dB）")title("切比雪夫II模拟滤波器")axis([0,4,-35,5])%%%椭圆——滤波器设计wp=2*pi*2500;ws=2*pi*3500;Rp=1;As=30;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,Rp,As,"s")%计算滤波器的阶数和通带边界频率[B,A]=ellip(N,Rp,As,wpo,"s");%计算滤波器系统函数分子分母多项式fk=0:800/512:8000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);figure,plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid on,xlabel("频率（kHz）"),ylabel("幅度（dB）")axis([0,4,-35,5]),title("椭圆模拟滤波器")%%%数字滤波器%脉冲响应法滤波器设计fp=2500;fs=3500;Fs=8000;wp=2*fp/Fs;ws=2*fs/Fs;%求归一化数字通带截止频率,求归一化数字阻带起始频率deltaw=ws-wp;%求过渡带宽N0=ceil(6.6/deltaw);%求窗口长度N=N0+mod(N0+1,2); %确保窗口长度 N为奇数n=N-1;%求出滤波器的阶数 nwn=(ws+wp)/2; %求滤波器的截止频率b=fir1(n,wn)%利用 fir1 函数求出滤波器的系数[Hk,w] = freqz(b,1); % 计算频率响应mag = abs(Hk); % 求幅频特性db = 20*log10(mag/max(mag)); % 化为分贝值dw =pi/512; %关于pi归一化Rp = -(min(db(1:wp*pi/dw+1))) % 检验通带波动As = -(max(db(ws*pi/dw+1:512))) % 检验最小阻带衰减figure,plot(0:pi/511:pi,db),grid onaxis([0,4.0,-80,5]),title("数字滤波器——脉冲响应法")%%

使用示波器即可。示波器有两个输入端，要输入一个已知信号f1，调节示波器的时间周期调节旋钮，使大小适中，关闭微来调按钮，使图形稳定，不会向左或者向右移动，输入待测信号。用水平和竖直两条直线去截图形，得到的最大交点数分别为Nx和Ny。若已知一个方向的频率比如Fx,就可以利用fx *Nx = fy * Ny求得fy的频率。二个信号一个加在y轴，一个加在x轴，数一下横向或纵向眼孔数，眼孔数就是它们的频率比值。横向眼孔多就是横向频率高，反之就是y轴信号频率高。扩展资料：1、若n为无理数，曲线在长方形 中稠密。2、若n为有理数，曲线是2q次代数曲线若 (0, ]对奇数p，或 [0, )对偶数p。曲线是q次代数曲线的一部份若 对奇数p，或 对偶数p。3、若n为偶数而 ，或若n为奇数而 ，则曲线是第n个切比雪夫多项式 的曲线的一部分。参考资料来源:百度百科-李萨如图形

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号tn表示，第二类切比雪夫多项式用un表示。切比雪夫多项式tn或un代表n阶多项式。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函数，又分为第一类切比雪夫多项式Tn和第二类切比雪夫多项式Un---它们简称切比雪夫多项式。这是源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 基本性质 对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。 n≥1时，Tn的最高次项系数为2^(n-1)，n=0时系数为1。

利用和差化积公式即可：cos(nx)+cos(n－2)x=2cosx*cos(n－1)x, 因此有cosnx=2cosx*cos(n－1)x－cos(n－2)x.这就是递推公式.

最佳答案利用和差化积公式即可：cos(nx)+cos(n-2)x=2cosx*cos(n-1)x，因此有cosnx=2cosx*cos(n-1)x-cos(n-2)x.这就是递推公式.

供参考。

切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821一1894)的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式Tn和第二类切比雪夫多项式Un(简称切比雪夫多项式)。源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。扩展资料：切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例，后者是雅可比多项式的特例。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。参考资料来源：百度百科-切比雪夫多项式

求一个多项式f(x)(多项式最高次项的系数为1）的3次最佳一致逼近多项式p3(x),方法是：f(x)-p3(x)=1/(2^(3-1）)*T3(x),其中T3(x)是切比雪夫多项式,且T3(x)=4x^3-3x, 由上得：p3(x)=f(x)-(1/(2^2)*T3(x))=-4x^3+3x,可知道p3(x)中x的立方项的系数与x的次数比为：-4：3, 所以-4：3=1：-a,得a=3/4.

我这有个例子挺好看看应该明白！e(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;endSOR迭代法的Matlab程序 function [x]=SOR_iterative(A,b)% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵 x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值 tol=10^(-2); % 给定误差界 N=1000; % 给定最大迭代次数 [n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶 w=1; % 给定松弛因子 k=1; % 迭代过程 while k=N x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)")/A(1,1); for i=2:n x(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)"-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)")/A(i,i); end if max(abs(x-x0))=tol fid = fopen("SOR_iter_result.txt", "wt"); fprintf(fid," ********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果******** "); fprintf(fid,"迭代次数: %d次 ",k); fprintf(fid,"x的值 "); fprintf(fid, "%12.8f ", x); break; end k=k+1; x0=x; end if k==N+1 fid = fopen("SOR_iter_result.txt", "wt"); fprintf(fid," ********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果******** "); fprintf(fid,"迭代次数: %d次 ",k); fprintf(fid,"超过最大迭代次数，求解失败！"); fclose(fid); end

1、将闭区间[0, 1]等分成n份，在每一个小区间上直接计算梯形面zhi积（上下底为(x^3)/3.0），并合并求和；2、将闭区间[0, 1]等分成shu(2 * n)份，重复上述操作；3、上述两步的结果做差，如果绝对值小于，如: 1e-6，那么输出第二步的结果；否则继续加倍等分区间重复操作。数学分析：f(x)=x^2=x*x;定积分：x*x*x/3+c(常数)在区间(0,1)上定积分：1/3=0.333333结果正确。扩展资料：可以算出，此时递推公式(2)中的 α=β的情况比较简单，称作超球多项式。当α=β=0,也即关于权时，相应的正交多项式称作勒让德多项式，它还可表成 当,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式，它有表达式当，也即关于权，相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式，它有表达式这些正交多项式的正交区间都是[-1,1]。它们不仅本身有广泛的应用，而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。参考资料来源；百度百科-正交多项式

第1章 数值分析与科学计算引论1.1　数值分析的对象、作用与特点1.1.1　数学科学与数值分析1.1.2　计算数学与科学计算1.1.3　计算方法与计算机1.1.4　数值问题与算法1.2　数值计算的误差1.2.1　误差来源与分类1.2.2　误差与有效数字1.2.3　数值运算的误差估计1.3　误差定性分析与避免误差危害1.3.1　算法的数值稳定性1.3.2　病态问题与条件数1.3.3　避免误差危害1.4　数值计算中算法设计的技术1.4.1　多项式求值的秦九韶算法1.4.2　迭代法与开方求值1.4.3　以直代曲与化整为“零”1.4.4　加权平均的松弛技术1.5　数学软件评注复习与思考题习题第2章　插值法2.1 引言2.1.1　插值问题的提出2.1.2　多项式插值2.2　拉格朗日插值2.2.1　线性插值与抛物线插值2.2.2　拉格朗日插值多项式2.2.3　插值余项与误差估计2.3　均差与牛顿插值多项式2.3.1　插值多项式的逐次生成2.3.2　均差及其性质2.3.3　牛顿插值多项式2.3.4　差分形式的牛顿插值公式2.4　埃尔米特插值2.4.1　重节点均差与泰勒插值2.4.2　两个典型的埃尔米特插值2.5　分段低次插值2.5.1　高次插值的病态性质2.5.2　分段线性插值2.5.3　分段三次埃尔米特插值2.6　三次样条插值2.6.1　三次样条函数2.6.2　样条插值函数的建立2.6.3　误差界与收敛性评注复习与思考题习题计算实习题第3章 函数逼近与快速傅里叶变换3.1　函数逼近的基本概念3.1.1 函数逼近与函数空间3.1.2　范数与赋范线性空间3.1.3 内积与内积空间3.1.4　最佳逼近3.2　正交多项式3.2.1　正交函数族与正交多项式3.2.2　勒让德多项式3.2.3　切比雪夫多项式3.2.4　切比雪夫多项式零点插值3.2.5　其他常用的正交多项式……第4章　数值积分与数值微分第5章　解线性方程组的直接方法第6章　解线性方程组的迭代法第7章　非线性方程与方程组的数值解法第8章　矩阵特征值计算第9章　常微分方程初值问题数值解法部分习题答案参考文献

没错啊，上下两本书基本都是考试内容。你自己对照一下数学三大纲吧2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微 积 分一、函数、极限、连续考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性 复合函数．反函数．分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数．反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L"Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性．拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数．当 时， 的图形是凹的；当 时， 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值 二重积分的概念．基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容 常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解 ． ． ． 及 的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线 性 代 数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为 5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理 列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念 考试内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布考试要求　　1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生 变量、 变量和 变量的典型模式；了解标准正态分布、 分布、 分布和 分布得上侧 分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

《高中数学竞赛大纲（修订稿）》中国数学会普及工作委员会制定在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。 其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。 1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。3、立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。 体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。5、其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。 （修订讨论稿）中国数学会普及工作委员会制定（2006年8月）从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来，在“普及的基础上不断提高”的方针指导下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论, 对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。本大纲是在《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的。《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出：“要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长；……在课内外教学中宜从学生的实际出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足他们的学习需求，发展他们的数学才能 。”学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，使不同程度的学生在数学上得到相应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则。 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：1．平面几何西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2．代数周期函数，带绝对值的函数； 三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，；反三角函数递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。3．初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。4．组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。（备注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过）

数学三考研考试内容如下：①微积分：函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程。②线性代数：行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型。③概率论与数理统计：随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验。需要考数学三的专业①经济学门类的理论经济学一级学科中所有的二级学科、专业。②经济门类的应用经济学一级学科中的二级学科、专业：统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学（含税收学）、金融学（含保险学）、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、国防经济。③管理学门类的工商管理一级学科中的二级学科、专业：企业管理（含财务管理、市场营销、人力资源管理）、技术经济及管理、会计学、旅游管理。④管理学门类的农林经济管理一级学科中所有的二级学科、专业。专业老师在线权威答疑 zy.offercoming.com

我也是考数三，不考的不大好说，我就说一下考的吧！函数、极限、连续一元函数微分学一元函数积分学常微分方程多元函数微分学二重积分无穷级数

(纠正一下，B项没写清楚，我没猜错的话应该为X1,2^2X2, ... ,n^2Xn , ...)选B，因为满足大数定律的一个很重要的条件是方差有上界，即D(X)<=C,经过计算可得ACD选项的方差都有一个共同上界1，而B项中方差为n^2，所以无上界，不满足切比雪夫大数定律。