不定积分

原函数非初等函数，所以不定积分没法写出解析式~不过真正应用的时候，定积分倒是可以算近似，比如用级数展开逐项算~

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。∫sinxdx/x=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)=-cosx/x+∫dsinx/x^2=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。注意：积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。扩展资料：其他定义：除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。参考资料来源：百度百科-积分

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。∫sinxdx/x=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)=-cosx/x+∫dsinx/x^2=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。注意：积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。扩展资料：其他定义：除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。参考资料来源：百度百科-积分

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。∫sinxdx/x=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)=-cosx/x+∫dsinx/x^2=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。注意：积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。扩展资料：其他定义：除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。参考资料来源：百度百科-积分

常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。例如：求sinx/x的不定积分。∫sinxdx/x=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)=-cosx/x+∫dsinx/x^2=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。注意：积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。扩展资料：其他定义：除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。参考资料来源：百度百科-积分

不定积分分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。不定积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f"(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

分部积分法是由微分的乘法定则和微积分基本定理推导而来的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式转化为等价的但易于求出结果的积分形式。对于那些由两个不同函数组成的被积函数不便于进行换元的组合分成两部分进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则逆用。定积分内与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v"（x）dx=[∫u(x)v"（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u"(x)dx]b/a=[u(x)v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u"(x)dx简记作 ∫b/a uv"dx=[uv]b/a-∫b/a u"vdx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0 xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

不定积分的分部积分法为Sudv＝uvSvdu。之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。Sum是求和的意思，定积分就是一个求和，求和再取极限。不定积分和定积分有牛顿-莱布尼兹公式联系着。将不定积分的分部积分公式Sudv＝uvSvdu右边负项移项至左边得Sudv＋Svdu＝uv。对Sudv＋Svdu＝uv两边求导数会发现得到两个函数乘积的求导公式：乘积uv的导数等于u的导数乘以v再加上v的导数乘以u。为了方便记忆，可以把不定积分的分部积分看成是两个函数乘积求导的逆运算。分部积分的推导公式为：设函数，u=u(x) ,v=v(x)具有连续导数， 我们知道：(u·v)＇=u＇·v+u·v＇,通过移项可得：u·v＇=(u·v)＇-u＇v对这个等式两边求不定积分，得：∫u·v＇dx=u·v-∫u＇·vdx，也可以表达为∫udv=u·v-∫u＇·vdx。这就是分布积分法。

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子） 定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字） 不定积分是微分的逆运算 而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减 积分 积分,时一个积累起来的分数,现在网上,有很多的积分活动.象各种电子邮箱,qq等. 在微积分中 积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的. 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数. 其中：[F(x) + C]" = f(x) 一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值. 定积分 我们知道,用一般方法,y=x^2不能求面积(以x轴,y=x^2,x=0,x=1为界) 定积分就是解决这一问题的. 那摸,怎摸解呢? 用定义法和 微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 具体的,导数的几条求法都知道吧. 微积分基本定理求定积分 进行逆运算 例:求f(x)=x^2在0~1上的定积分 ∫(上面1,下面0)f(x)dx=F(x)|(上面1,下面0)=(三分之一倍的x的三次方)|(上面1,下面0)≈0.3333×1－0.3333×0=0.3333(三分之一) 完了 应该比较简单 不定积分 设F（x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C. 其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分. 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分. 总体来说定积分和不定积分的计算对象是不同的 所以他们才有那么大的区别

具体回答如图：分部积分法的实质：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分，实际上是两次积分。有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。

解如下图所示

∫e^x(sinx)^2dx=1/2∫e^x(1-cos2x)dx=1/2∫(e^x-e^xcos2x)dx=1/2∫e^xdx-1/2∫e^xcos2xdx=1/2e^x-1/2∫e^xcos2xdx∫e^xcos2xdx=∫cos2xde^x=e^xcos2x+2∫e^xsin2xdx=e^xcos2x+2∫sin2xde^x=e^xcos2x+2e^xsin2x-4∫e^xcos2xdx5∫e^xcos2xdx=e^xcos2x+2e^xsin2x=e^x(cos2x+2sin2x)∫e^xcos2xdx=1/5e^x(cos2x+2sin2x)所以，原式1/2e^x-1/10e^x(cos2x+2sin2x)+C扩展资料：将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。参考资料来源：百度百科--分部积分法

不定积分分部积分法公式是Sudv＝uvSvdu。不定积分的分部积分法为Sudv＝uvSvdu。由于积分号是英文字母S的拉长，为了手机编辑方便，这里我用大写英文字母S表示积分号。之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。不定积分分部积分法介绍：不定积分分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。一般地，从要求的积分式中将凑成dv是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取dv，因为一旦dv确定，则公式中右边第二项中的du也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取dv则要依du的复杂程度决定。也就是说，选取的dv一定要使du比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反对幂三指。

这种题看来是某种“积分锁”，需要一些钥匙。我们来研究下这钥匙的功能。为了防止读者觉得无聊，再举一个“MMA”"WA"解不出来的积分：习题：求 [公式]很神似，结果也类似，答案最后揭晓。先来看题主原题， [公式]核心的一步： [公式]依分母提取元素， [公式]分子换微分， [公式]归位： [公式]其中 [公式] 。锁在于，原本在分子分母均应出现的指数项合并于分母。所以我们不妨称其为指数锁。我们取元素 [公式]分子应有 [公式]分母表现为 [公式]只额外带一个常数项是为了合并更彻底化为标准式： [公式]其本质为 [公式]按切比雪夫判别法，m,n为整数时均有初等函数表示。我们令 [公式]其中 [公式][公式][公式]然后就可以积出来了~指数锁的多样性（笑~1.多项式例题1 [公式]2.指数例题2 [公式]3.三角函数例题3 [公式]4.对数例题4 [公式]5.特殊函数例题5 [公式]