抽象代数

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。1920~1927年间他主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，他开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，他已引入「左模」、「右模」的概念。建立了交换诺特环理论，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。

我们已经知道 函数 的概念，它表示集合间的一种 映射关系 。当像和原像是同一集合时，便是抽象代数中常讨论的函数了。一元函数 f: Au21a6A 也被称为集合 A 上的 变换 ，其中双射的变换也称为 置换 。一般如下式的多元函数，也被称为集合A上的 n 元 运算 。集合 S 以及其上的一些运算 组成的系统叫 代数系统 （algebraic system），在不混淆的情况下也可用 S 表示这个代数系统。 代数系统 可以让我们抛开具体运算对象，而只关注于它们共有的 结构和性质 。 二元运算是最常见的运算，比如各种对象（数、向量、多项式等）上的加减乘运算，以及变换的复合运算。这里就主要研究二元运算下的代数系统，参照的例子主要是来自 数论 和 置换变换 。对于这个二元代数系统， 我们用特定的符号 au2218b 来表示要研究的二元运算 f(a,b)，有时也简写为 ab ，并且说成是“乘法”，注意这里的乘法代表一种抽象的运算，即只要是有一种代数运算满足结合律就行，这个代数系统简单记为 u27e8 S, u2218 u27e9 。如果还有另一个系统 u27e8 G,u22c6 u27e9，我们怎么去判断它与上一个代数系统是否有关系呢。因为对抽象代数而言，其运算律的重要性。故我们只要求在两个代数系统之间在一个 一一映射下保持其运算律 就行。即它们之间有一一映射 f: S u21a6 G ，并且满足下式，则这两个系统称为 同构的 （isomorphic），记作 Su2245G 。显然同构是个等价概念，同构的代数系统可以看作是完全一样的，本质上可以不加区分。 从运算的外在形式上看，有两种比较重要的性质是需要研究的，一个就是运算的复合，另一个就是变量的位置互换。它们分别对应着结合律与交换律。运算的复合是指变量本身又是另一个运算的结果，比如 。结合律本质上是说运算只与被操作数的序列有关，而与运算顺序无关。直观地讲，一串运算，无论如何添加括号限制运算顺序，结果都是一样的。满足结合律的代数系统称为 半群 ，但是半群的性质过于简单，还不能构成一个自成体系且有太多用处的代数结构，还需要添加一些性质或公理限制约束才行。 对于很多运算，运算结果是依赖于变量的顺序的，a u2218 b 与 b u2218 a 不一定相等，比如置换和矩阵乘法。反之，如下条件被称为运算的交换律。我们已经看到，交换律在很多场合是不满足的，由此一般也不假定它成立。交换律使得变量顺序不再重要，它和结合律共同作用的结果就是，运算结果仅与变量有关，它们的顺序可以随意安排。 前面讨论的是运算本身的外在形式特点，它们还构成不了十分有趣的代数系统，现在需要对系统的结构作进一步的限制或公理化描述。正如前面描述的代数结构，即一个抽象集合和代数运算。而我们通过函数或映射的观点来看的代数运算。故一个最为基本的映射就是集合之上的 恒等映射 。而从运算的角度来看就是我们的单位元。即任何一个元素与它复合作用都是该元素本身。如果我们想我们的代数系统可以更加完善和灵活就必须要求有它。这是通过公理化的约束条件赋予给代数系统的。但上面也谈到了对于一个代数系统来说不一定具有交换律。故就存在着左单位元与右单位元。我们可以有 ，它们是相等的！这种情况则统称为 单位元 （identity）（显然唯一），而含有单位元的半群叫 幺半群 。 单位元实现了我们一个朴素的目标：任何元素都可以成为运算结果。现在我们还有一个很普遍的要求，就是式（6）的某个一元一次方程总有解。你得承认这也是个不过分的要求，因为一次方程都没有解的话，这个系统是很难玩得转的。如果要求 有解，比较直观的方法是要求两边可以“除以”a，或“乘以”a的逆 ，得到 。换句话说就是要求存在逆，分别使得式（7）成立。满足条件的逆分别称为左逆元和右逆元。 如果左（右）逆元同时存在，则 ，它们是又是相等的，这时统称为 逆元 （inverse）（显然唯一）。根据式（8）可知a同时也是 的逆元，并且它们的运算是可以交换的。比较容易证明逆元有式子（9）的性质。 逆元的存在使得“除法”成为可能，它让系统一下子立体起来。最典型的性质就是，当 依次遍历群时， （或 ）会遍历整个群，即相当于同时对群内的所有元素作了一个乘 a 的映射变换。如果作用后有任意两个新元素相同，即 ，那么两边乘以 ，则有 。这个性质又叫 消去律 ，便会推出矛盾。如果把整个运算列成一张二维矩阵的表，行列都是集合 S 中的元素经过相同复合作用，则矩阵的每行和每列都包含整个群，且没有重复元素。这个性质非常重要，我们后面还会用到它，注意这里与后面要讲的陪集的概念是不同的，陪集作用的是子群，而不是群元素本身。 存在逆元的幺半群叫群，于是我们的主角就这样登场了。 总结一下 ，集齐 结合律、单位元 和 逆元 这三大基本性质的 代数系统(集合 + 代数运算) 就是 群 ，这里我们也可以用另一种视角去看待它，即满足上述五条公理化要求的数学结构就称为群。一般用字母 表示。而对于后面要介绍的代数系统，我们都可以用公理化的视角去看待。如果除此之外还满足交换律，它就叫 交换群 （commutative group）（或 Abel 群（Abelian group））。集合的元素个数 称为群的 阶 （order），显然有有限群和无限群。有了上述性质，尤其是逆元的存在，群便有了非常有趣的结构，后面会慢慢展开介绍。 值得一提的是，单位元和逆元的条件其实是有些 冗余的 ，在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元（或右单位元和右逆元）。现在我们来证它们和原定义的等价性，即已知对任意a，存在 ，求证 的存在性。首先记 ，则有 ，从而 。这样 同时还是右单位元，由前面的讨论知它就是单位元e。那么再由刚才的 可知 还是右逆元，故有逆元 。 还有一点需要注意，方程（6）有解和消去律与逆之间是否有等价关系？其实是不一定的，在某些情况还是等价的，大家可以尝试着思考如下两个问题。 　　u2022 满足方程（6）都有解的半群是群；（提示：证明单位元和逆存在） 　　u2022 同时满足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上题结论） 群的例子非常普遍，比较显然的有任何数系的加法、正数的乘法、矩阵的加法和乘法。再比如上面提到的变换，以及我们在《初等数论》中看到的即约剩余系的乘法，都容易证明它们是群。还有一些著名的群，它们元素个数很少，但结构却不简单，应用也很广泛。比如著名的 四元数群 ，它满足下表的运算律，它们就是四元数的单位元，是比复数更一般的数系。 还有就是以下 四元群 ，本篇提交的所有群都是后续讨论中的典型例子，你可以先品味一下它们的特点，并带入后续的讨论中。 在给定了群的公理化定义之后，下面的任务就是要研究它的结构，从而能得到有用的性质。结构分析最常用的方法当然就是 分解 ，将大的复杂对象分解为一个个简单的小对象，结构自然就清楚了。同样道理，我们也希望将 群拆解为结构更简单的小群 ，这个目标将贯穿整个群论。我们自然先给这个“小群”下个定义，它首先必然是群的 子集 ，并且在 同样的运算 下能独立成 群 ，这样的子集被称为 子群 （subgroup）。 若H是G的子群，一般记作 ，显然 和 G 都是 G 的子群，它们也叫平凡子群。如果 ，H叫做G的真子群（proper subgroup），记作H<G。由于子群完全继承了父群运算，因此必定满足结合律，并且单位元和逆元不变。唯一的要求就是要子群不残缺，该有的元素（单位元和逆元）都要有，运算在子群中还要封闭。现在我们要把这几个条件写成表达式，才能给出子群的 严格定义 。对于G的一个非空子集 H，如果满足式子（10）中的条件，它就是 G 的子群。另外容易证明，这三个条件其实和式子（11）的条件是等价的，它一般被用作子群的判定条件。 如果子集 M 不满足子群的条件怎么办？你当然可以把需要的元素一个个补齐，最终满足条件的子群就叫的 生成子群 ，记作 u27e8Mu27e9。当然，你可以给出生成子群的精确定义：包含 集合 M 的最小子群，也称由集合 M 诱导的生成子群。只有一个元素 a 生成的子群又叫 循环群 u27e8au27e9（cyclic group），a 叫做它的 生成元 （generator）。显然整数加群、有原根的即约剩余系都是循环群，并且循环群显然是交换群。 虽然定义了子群，但分解群的任务还很重，这里我们暂且休息一下，从最简单的循环群研究起。循环群是一类被完全解决了的群。也就是说这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下它由多少个和它们子群的状况都研究清楚了的群。一个循环群中无非是这样的元素： 。类似数系中的幂运算，我们可以引入指数记号 表示循环群中的每一个元素，你可以证明它完全满足指数的常规性质（公式（12）（13））。 在任何群中，如果有最小 的使得 ，那么称n为a的 阶 （order），记作 |a|。如果不存在这样的 n，则称 a 的阶为无穷大，也记作 |a|。阶的性质和我们之前介绍的在《初等数论》中讨论的指数的性质完全一样。 在循环群 u27e8au27e9 中，如果 ，则显然它和有原根的既约剩余系同构： ，并且有 个生成元。当 a 的阶为无穷大时，它和整数加法群同构： ，其中只有 两个生成元。下面有一些阶和子群的思考题，难度不大，可供读者消遣思考一下： 　　　 　　u2022 有限子集 H 是子群的充要条件是：对任何 ，总有 ； 　　u2022 求证： ， ， ； 　　u2022 求证：有限群中阶数大于2的元素有偶数个； 　　u2022 如果 ，求证 。 说完了最简单的群，现在来看最“ 完整 ”的群。置换群是一类很重要的群，最早的群论就是从研究它开始的，利用它，伽罗瓦解决了代数方程是否可用根式求解问题，后面在伽罗瓦的工作基础之上慢慢发展到了今天代数学中专门的理论——即 伽罗瓦理论 。前面我们看到群 G 中的任何元素 a 使得 遍历整个群，因为复合运算是和函数和映射是等同的，故我们可以从 看出 a 是和 G 上的一个 双射变换 相对应。而容易证明，集合 G 上的所有双射变换 组成一个群，并且 G 是 S(G) 的子群。一般地，集合 M 上的所有双射变换组成的群S(M)，也可以看成集合 G 的排列是任何从G到G的双射函数；所有这种函数的集合形成了在函数复合下的一个群S(M)叫 M 上的 对称群 （symmetric group）。当 时，又可记作 ，叫 n 次对称群。显然每个n 阶群都同构于 的某个真子群，而阶为无穷的群也同构于 的某个真子群（ 凯莱定理 ）。即所有群 G 同构于在集合G上的对称群的子群。这可以被理解为G在集合G的元素上的群作用的一个例子。关于群在集合上的作用后面会讲到。凯莱定理通过把任何群（包括无限群比如(R,+)）都当作某个底层集合的排列群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对排列群成立的定理对于一般群也成立。 这样一来，我们就可以通过讨论对称群的子群来研究一般的群。对称群的子群叫 置换群 （permutation group）（因为元素是置换）， 的子群叫 n 次置换群，这里我们只讨论 n 次置换群。将集合中元素用 编号，每个置换 可以表示为下式，改变列的顺序并不改变定义。 考察置换中的映射序列： ，容易证明这个序列最终必定会回到 1，这就形成了一个环路。显然任何置换都是由几个不相交的环路组合而成的，有必要对它继续进行研究。每个环路其实也可以看成是一个置换，只不过环路之外的值映射到自身而已。如果环路上共有 k 个元素，这样的置换就称为 k-循环置换 （或k-循环），特别地，2-循环也叫 对换 。循环置换可表示为下式，其中 它的阶显然为 k。 这样就可知，任何置换都可以唯一分解为几个不相交循环的乘积。另外，显然不相交循环的乘积是可交换的，故置换分解为循环后的顺序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循环可以分解为一系列对换的乘积（不可交换），故任一置换又可以分解为一系列对换的乘积。这个地方你需要弄清置换、对换的本质是映射，如下当右向左的复合映射。 至此就不能再分解了，我们不禁想问，如果一个置换有不同的分解为对换的方法，那它们的对换个数有什么关系吗？现在需要一个固定的值将它们联系起来，这个值只能从置换 本身下手。对于数对 ，如果 ，则称 为一个反序。总反序数是固定的，定义有奇数个反序的置换为 奇置换 ，否则叫 偶置换 。你可以证明，任何对换与置换相乘后都会改变它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置换都是由恒等变换与一系列对换相乘得来，这样不同分解的对换个数的奇偶性也就必然相等。 奇偶性是置换的一个符号性质，它们相乘后的奇偶性变化与正负符号是一样的。以某个奇置换为乘积的值，可以将偶置换与奇置换一一配对，这样它们就 各占一半 。另外容易看出，所有偶置换的运算是封闭的(因为必须包含单位元，即恒等映射。奇置换不含单位元不构成群)，故它们能组成一个群，这个群叫做 n 次 交错群 （alternating group），记作 。如下有几个小思考题，仅供读者练习： u2022 求证 ； u2022 求证 和 都是Sn的生成系。 现在我们继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先我们便要讲陪集的概念。紧接着我们就能看到陪集就是用群内任意一个元素与原群的子集进行一个复合操作，左复合就是左陪集，反之为右陪集。 思路概览： 紧接着我们便要问： 我们为什么要这样做 ？使用一个元素去对子群进行作用得到一个新的概念——陪集 ，这里仅给出我个人的观点，正如前面已经讲到的，群代表着某种对称性。当给我们一个抽象群需要研究它时，我们直观就能意识到抛去具体细节，从形式上看就知道它代表着某种对称性。于是我们在深入研究它的内部结构的时候，不禁想问这个群里面是不是还包含着另外一个小的对称性，即子群的概念。于是紧接着这个子群与大群是否可以建立某种联系，参考前面将大群分解小群的概念。我们是否可以构造出一种分解的概念，于是我们面临着一个直接的问题，我们知道群元素其底层就是一个集合，在对应到集合的划分之后，我们可以直观的理解是将一个大的原集合划分成若干个小集合。 <font color=red> 问题来了，我们划分之后的小集合还是群吗 ？ </font>，首先我们应该明确：当我们研究一个东西的时候常常是从具体实际出发到理论抽象建模，然而当我们提出一个理论的时候确实从抽象出发，在衍生到所有的具体场景。因为抽象的是约束最少的情况，具体的是通过添加限制约束的情况。 抽象的适用面更广、更自由、更易于表达思想 。回到正题，我们便会很容易的想到对应于划分之后的小集合都能构成群便是一种具体的情况，而不满足这个强约束的是一般。于是我们就可以理解我们这里要提出的陪集的概念(一般情况)和后面要提到的直积概念(具体情况) 了。而至于我们为什么要用子群与元素的作用来作为陪集的概念，首先我们肯定不能用待研究的抽象群，因为通过前面的学习，我们知道任意一个元素与一个群本身左右得到的还是它本身，对我们来说没有任何新的有意义的结果或信息。而针对子群来说就不一样了，我们可以想象使用一个元素去作用子群，与我们量子力学或原子物理学中使用一个粒去去碰撞另一个待研究的粒子是一样的。使用一个元素去作用一个子群我们便有了一个划分。因为我们知道如果这个元素属于这个子群，由于封闭性得到的元素必定还是在群内，反之不在群内。便达到了我们分解大群的目的，虽然有些不完全，但在这种抽象一般情景下也只能这样做。如果结构性质良好，就可以使用直积的概念来分解了。 下面，进入到正题。首先根据子群的判定条件，如果 ，则很容易有 。那么 呢?当然这里 H, K 都是真子群，并且不互相包含。对于子群交的情况我们可以较容易的证明，而对于子群并其实大多数情况下都是不成立的。在比如如果我们想划分之后的子集都构成子群，我们就会问一个问题 ？ 即 是不是 G 的子集？对 ，如果总有有 ，容易证明该条件和 等价。所以就有下式结论。这样的分割需要子集满足一定条件，不符合我们现在的一般情况，需要另找方法。 现在看来，我们必须放弃将父群分解为若干个子群的想法，而只能以某个子群 H 为参考或划分单位。我们还希望分成的每一块和子群一样大，最好元素与H也有一一对应的关系。由此我们想到了考察集合 ，它表示 a 和 H 每个元素的乘积组成的集合，被称为 H 的左陪集（left coset），a 是左陪集的代表元。如果 ，显然 ，现在来研究 时， 之间的关系。 对任意 ，存在 ，则 ，也就是说以 的中任何元素为代表元的左陪集都与 完全重合。换句话说，所有左陪集要么完全相等，要么没有交集，每个元素都被划分到了一个左陪集中，且都能作为该左陪集的代表元。另一方面，对 ，有 ，容易证明 就是a,b同属于一个左陪集的充要条件，它是群元素之间的一个 等价关系 。如果用 表示子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，则有等式 称其为群 G 关于子群 H 的 左陪集分解 。而称 为 G 关于 H 的一个 左陪集代表系 。同理右陪集。应注意 H 本身就是 G 的一个左陪集，但 G 的任何别的左陪集由于没有单位元，当然都不是 G 的子群。 同样可以定义 右陪集 的概念，并有着和左陪集一样的结论，只不过同属于一个右陪集的条件要改成 。对于非交换群， 与 一般不相等，所以左右陪集的分割是完全不同的（H本身除外，它既是左陪集，又是右陪集）。但你也许并不甘心，它们之间一定有别的方法能联系起来。考虑到左右陪集只是左右颠倒的，你很自然就可以想到逆运算，对任何 ，都有 。即 和 的元素是完全互逆的关系，这样左右陪集就找到了一一对应的关系。现在想来，左陪集 中元素的逆被分散到了其它左陪集中，但却神奇地集中到了右陪集 里。 考虑所有左陪集 组成的集合，它的阶被称为子集 的 指数 （index），记为 ，那么显然有式（2）的 拉格朗日定理 成立。进一步地，如果 ，还容易有式（3）成立（注意对无穷的讨论）。并且可以直观地看出，K 的陪集其实就是在 H 陪集的基础上再以 K 为单位进行的划分。 现在再来看 的陪集与 陪集的关系，首先由刚才的结论知， 的陪集正好是 陪集的一个再次分割。从而 要么是空集，要么正好是某些 的陪集。进一步地，如果 ，则 ，即 最多只包含一个 的陪集。这样的话就容易有以下不等式。 最后来看子集 ，它显然由一些 K 的左陪集组成。另外考虑 H 中 的 个左陪集，考虑 ，它们属于同一 左陪集的充要条件是 。而该条件显然等价于 ，它又是 属于同一 K 的左陪集充要条件，故 中 K 的左陪集的个数就是 m。以上结论可以总结为式（5），显然只有当 时，才有| 。应该注意虽有下面式子，但 仍然不一定是子群。 现在群 G 被分成了 H 的陪集，H 当然有更细的划分方法，现在需要来研究它的陪集组成的集合。我们先不直接研究陪集，而是采用更一般性的方法。回顾陪集的定义，其实就是一个从群元素到陪集的映射，我们希望研究一般的代数系统之间的映射。考虑两个系统 之间的映射 ，我们当然希望运算律是保持的，满足以下条件的映射被称为同态映射（homomorphism）。如果映射是满的，则称 同态，记作 。 我们重点要关注的当然是同态映射像和原像的关系，即同态系统之间的关系。如果 ，其中 G为一个群，容易证明 满足群的所有条件（证明略），故 也是群。当然还可以得到更多结论，比如单位元映射到单位元、逆元映射到逆元，甚至子群映射到子群，这里就不赘述了。反过来思考同态映射，它的每个像都有可能不止一个原像，G按照像的不同被划分成了不同的等价类，这些等价类有什么性质？它和 又有什么关系？ 显然那些等价类与同态像是一一对应的，如果能定义好运算，它们自然就是同构的，现在的任务就是寻找这些等价类有意义的运算。先定义 的原像 为核（kernel），记作 。下面来看那些等价类是什么，对于 ，考察 。对任何 ， ，故 ，从而 是一个子群，且每个等价类是都是它的左陪集。你还可以发现，刚才的证明对右陪集同样成立，也就是说 的左右陪集是一样的！ 既然陪集不分左右了，就可以为其定义 ，容易证明在该运算下，K 的陪集与 是同构的。我们需要专门研究像核这样的子群，即对子群 N，要求 恒成立。为此定义满足下式的子群为 正规子群 （normal subset），记作 ，如果 ，也记作 。刚才的结论可以说成，同态映射的核是正规子群，那么反过来呢？其实容易证明，对任意正规子群N，映射 就是同态的。故我们可以下结论：任何正规子群都与一个同态映射等价。 因为正规子群 N 的陪集与同态像一一对应，它们必然组成群，定义它为 商群 （quotient group），记作 ，从而有 。刚才的结论用符号表示就是下式，它被称为 同态基本定理 。 现在继续对正规子群作一些常规讨论。正规子群是 N 与 G 的关系，所以对任意 ，总有 ，但对 ，却不一定有 。交换群的子群显然都是正规子群。对非交换群 和 G 显然都的正规子群，但如果除了这两个平凡正规子群外没有其它正规子群，那么 G 叫 单群 （single group）。反之如果其所有子群都是正规子群，它也叫 哈密顿群 。比较容易证明，两个正规子群的交和积也必然是正规子群（公式（8）），但正规子群与子群的交和积却只能是普通的子群。 如下几个小小的关于正规子群的问题，仅供读者思考： 　　u2022 是 的正规子群， 是 的正规子群。如果已知 时， 都是单群，则 的非平凡正规子群只有 ； 　　u2022 且 ，若 都是交换群，求证 也是交换群； 　　u2022 是正规子群，则任何 也是正规子群； 同态基本定理给出了一种分析群的结构的方法，将群拆分为正规子群和商群，这里介绍著名的群的 同构定理 。第一同构定理其实就是同态基本定理，第三同构定理以正规子群N为单位元，得到更大正规子群的结构。将G换成HN就得到第二同构定理。 　　（1）第一同构定理： ； 　　（2）第二同构定理： ； 　　（3）第三同构定理： 。 之前讲了对称群，它的组成元素是集合的一一映射，现在来看它在群上的一个特殊子群。我们考虑群的所有 自同构变换 组成的集合，很容易证明它们组成群，称为 自同构群 （automorphism），并记作为 。容易证明无限循环群的自同构群是 2 阶循环群，而 n 阶循环群的自同构群是 阶群。如果你觉得自同构群不好构造，那你可以试试同构映射

基本简介 抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。 抽象代数 “抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。 在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。 具体定义 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 其它称号 抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支。 创始人 被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。 1843年，Hamilton发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Gras *** ann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。 1870年，Kronecker给出了有限Abel群的抽象定义；Dedekind开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；Dedekind和Kronecker创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。 奠基人 有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为"代数女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函式域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在哥廷根大学的就职论文中，讨论连续群(Lie群)下不变式问题，给出Noether定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交换代数与交换算术。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换Noether环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函式域的理想理论的抽象构造>>，给Dedekind环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。Noether的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交换代数与非交换算术。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。 Emmy Noether 1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的bool代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派；1955年，Cartan等建立了同调代数理论。 发展历史 u200b被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。 天才数学家——伽罗瓦 1920~1927年 间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。建立了交换诺特环理论，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论。 1927－1935年 ，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。 诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。 1930年 ，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。 数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。 中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。

在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包 中。 即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为 域的嵌入 ，不同的嵌入之间称为 共轭域 。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。 以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合 的分裂域 ，假设 同构于另一个分裂域 且同构映射为 。因为任何 的系数在 F 中，所以总有 ，所以 只是 的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说 是 的自同构。 只有自同构共轭的域叫 自共轭域 ，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫 伽罗瓦群 ，一般记作 ，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是 在 上的分裂域， 也叫多项式 的伽罗瓦群，记作 或 。 u2022 证明 只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。 F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式 ，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从 开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从 生成的扩域（a′为 的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知 ，故 在 中是分裂的。对任意不可约多项式 ，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫 正规扩域 （要注意，若 在 没有根，并不意味 在 中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。 　　（1）E是F的正规扩张； 　　（2）E是F[x]中某个多项式集合的分裂域； 　　（3）E是F-自共轭域。 特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为 正规闭包 ，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。 前面提到过，F-自同构群是自同构群 的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群 ，另一种则是由 的子群 确定一个子域 ，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。 先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将 简写为 。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。 为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群 ，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有 ，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域 的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数 不大于 最小多项式 的次数 ，相等的条件是 没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求 的根都在 E 中。 总嵌入的个数自然是 ，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。 现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察 与 的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到 。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了 （这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。 设 ，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程 在F上总有非零解，现在我们就来证明 时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是 ，原方程等价于方程组 在F上有解。由于 ，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。 将任意 作用在方程组上得 ，由于 只是 的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故 也是是原方程组的解。因为 非零，可设 ，则 也是方程组的解。若 都成立，我们的结论得证。否则设 ，这就是说存在 使得 。由于 也是方程组的根，与 相减便得另一个非零解 ，其中非零的元素个数比 少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。 　　u2022 K为F的扩域， ，求证： 。 有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域 ，反之G又对应到它的固定子域 。现在来比较 和 ，根据公式和分别有 和 ，而公式说明 ，所以有 ，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。 若设 的所有中间域 组成集合 ，容易证明 E 对 中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合 ，则以上结论则建立了从 到 的单射 ，它满足公式（8）。反之对任何 ，首先有 ，而由公式（6）得 ，所以有 。这就说明了 是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。 根据 的定义，容易有公式（9）成立，其中 表示生成群（域）。另外，由于 , ，则 （后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何 ， 在映射 中的原像为 。所以 为正规子群的等价条件是 ，即 为正规扩域，再由 显然是分离扩域，故 为正规子群的等价条件是 为伽罗瓦扩域。 　　 　　进一步地，设 ，构造同态映射 ，使得 满足 ，显然同态核为 ，从而 H 与 同构（公式（10））。 正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果 互质且正 边形都可以作出，那么正 边形也可以作出。根据算术基本定理， ，而正 边形很容易作出，所以只需研究正 边形的作图。 高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正 边形，其实就是作出 的根 （式（11））。显然 是 分裂域的生成元，即 。上一节的作图理论中我们知道， 可被作图的充要条件是： 。 由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有 。E 的 Q-自同构 由 唯一确定， 只能取 ，其中 。由初等数论的知识， 可取 个数，所以 。首先有 ，再由初等数论的知识，必须有 ，且 为素数。 满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说 边形可作图的充要条件是： 且 为费马素数。那么 边形可作图的条件就是式子（13），其中 为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。 多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换 消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将 参数化 。由于 可以连续变化，再添加限制条件 ，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。 对于四次方程同样使用 消除三次项，然后引入参数 并配方（式（16））。找到合适的 使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。 当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设 ，代数闭包中 的任一根记作 ，单扩域 称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？ 我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程 ，它的根称为 次单位根 。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为 次 本原根 。其实这个结论在一般域中也成立，因为 ，所以我们只需找到 次本原根即可。容易证明 的根就是本原根，这样 的分裂域其实就是 。 伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为 阿贝尔扩张 。对于 的根 ，易知 也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定 ，故 的分裂域为 。 伽罗瓦群的每个元素由 唯一确定，且有到 的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为 循环扩张 。 把目光专注在根式扩张 上，以上结论说明，当 时 为 p 阶循环群。反之若 为 阶循环群 ，取任一 ，记 ，构造如下 （式（18））。把它们看成是 的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个 。另外可以验证 ，故由伽罗瓦理论知 ，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若 ，则根式扩张等价于 阶循环扩张。 现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链 。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数 的最小公倍数为 且 次本原根为 ，将链表中的每个扩域进行单扩张 ，显然 次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故 为可解群，所以子群 也是可解群。 反之若 是可解群，取 次本原根 ，由前面的习题知 是 的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在 到 伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶 都是 的因子，故 阶本原根在 中，所以每个扩张为根式扩张。由于 也是根式扩张，故 可由 根式扩张而来，所以方程根式可解。 这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式 （式（20）），其中 是不定元。方程的不变域是 ，而我们需要判断 在 的伽罗瓦群是否可解。由于 可由 用基本不等式表示，故分裂域 。 但由于 的值和相互关系是从 得来， 的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望 是独立的不变元，为此我们用不定元 建立多项式 （式（21）），其系数 为 的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为 ，扩域为 。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于 （ 为不定元），所以 有 个不同的根。再由于 时， 不是可解群，故 不能公式求解。 到这里关于抽象代数的知识，我们就介绍到这儿了。关于更加高阶的代数学知识就不涉猎了。抽象代数是近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的 抽象思维 和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。

先证明Zn里满足（a,n)=1的所有元素的集合在乘法下构成一个群G。不妨设a,b∈G，由(a,n)=1,(b,n)=1推出(ab,n)=1,即ab∈G，乘法是闭的。剩余类乘法是结合的。显然1是单位元。又（a,n)=1，所以存在整数s,t使as+nt=1,则as=1(n),且(s,n)=1故a-1=s∈G，这样G是一个群，且o(G)=φ(n)。根据Lagrange定理，当(a,n)=1时有a^φ(n)=1(mod n)。特别地，n为素数p时，φ(p)=p-1,所以a^(p-1)=1(mod p),两边同时乘以a得a^p=a(mod p) (1)若p整除a,则(1)显然成立。证毕。

只需证明在Ip中[a^p]=[a]。如果[a]=[0],则[a^p]=[a]^p=[0]=[a].如果[a]!=[0],[a]属于Ip*,它是Ip中非零元素的乘法群。因|Ip*|=p-1,由拉格朗日定理的推论：如果G是有限群，a属于G，则a的阶是|G|的因数。[a]^(p-1)=[1].乘[a]可得要求证明的结果[a^p]=[a]^p=[a].所以a^p和a关于p同余。

我们知道，整数环中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积； 域 F 上每个次数大于零的可约多项式，都可以唯一地分解成不可约多项式的乘积。这是整数环和多项式环中元素的最基本最重要的性质之一。下面我们将把整数环和多项式环的一些性质推广到更一般通用的环上去。 环的直和分解将大环分解为小环，使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发，我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论，还需对环作一些限制。既然我们关注是因子，乘法顺序就显得多余且碍事，所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的，故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解，为简化描述，以下将忽略对零元素的讨论。 和初等数论中一样，若 ，称 b 整除 a，或 b 是 a 的 因子 ，记作 ，否则记作 。关于整除的常规讨论都比较简单，这里不再赘述。我们把注意力放在分解的多种可能性上，最后试图得到类似算术基本定理的结论。在分解的过程中，可逆元总是可以随处出现或消除，它就像整数环中的±1，并不影响分解的本质。这就是为什么可逆元 也叫 单位 ，如果 ，我们 a, b 称是 相伴 的，相伴元在分解中可以可作是等价的，相伴还有一种等价定义：如果 ，同时 ，则称 a, b 是 相伴 的。既然要考虑可逆元，就必须要求乘法存在单位元，故以下讨论仅针对有单位元的整环。 对任意元素 ，它的所有相伴元和单位都是 a 的 平凡因子 ，其它的则是 真因子 。有真因子的元素叫 可约元 ，否则叫不可约元，显然整数环的不可约元就是素数。有了因子和不可约元的定义，我们就可以尝试模仿算术基本定理了。通过这里的讨论，你会明白算术基本定理的确不是显而易见的，它是需要一定条件的。首先每个元素都要有有限分解，其次分解在相伴元的意义下要是唯一的，满足这两个条件的元素称为可 唯一分解 的，所有元素满足条件的环就叫 唯一分解环 。由于环的元素没有大小的概念，无限分解是可能的，而且容易举出有多种分解的例子。 u2022 讨论 的单位及 9 在其中的分解。 现在我们的问题自然是，什么样的环才是唯一分解环？先来看看唯一分解环的性质，对不可约元p如果有 ，则由唯一分解性容易证明， 和 至少有一个成立。现在把这个概念抽取出来，满足以上条件的元素称为环的 素元 ，素元肯定是不可约元，唯一分解环中的不可约元都是素元。对于一般的环，当素元和不可约元重合时，可以由反证法得知，只能有限分解的元素是唯一分解的。从而一个环唯一分解的充要条件就是，环的元素有限分解且素元和不可约元等价。 得到唯一分解环后，可以同初等数论中一样定义公约数。若 c 是 共同的因子，则称c为它们的公因子。环的元素没有大小的概念，所以不好直接定义最大公因子，回顾最大公约数的多个等价定义，找一个仅使用了整除的定义即可。如果 d 是 的公因子，且任何公因子都是 d 的因子，称 d 为 最大公因子 ，最大公因子为单位的元素称为 互素 的。最大公因子不一定存在，但对于唯一分解环，容易得到最大公因子的存在性。 素元的定义一定程度上就是唯一分解本身，这个判断条件并不能带给我们更多有用的信息，判断和构造唯一分解环仍然不是一件容易的事情。整数环中引入带余除法后，可以得到最大公约数的更多性质，这些性质也能得到算术基本定理。但由于一般环中没有大小的概念，这些性质不一定成立，但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环，它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。 整数环的任何理想都有一个最小数，这个数是理想的最大公约数，且它的所有倍数都在理想中，即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想都是主理想的环被称为 主理想环 。主理想环首先保证了分解的有限性，因为无限分解列的生成理想也是主理想，该主理想的生成元既是分解列的结尾。另外，设主理想环R中的不可约元 ，考察 ，容易证明它必是极大理想。从而商环 为域，而 ，故必有 或 ，即 或 。这样就证明了，主理想环是唯一分解环。 u2022 求证高斯整数环是主理想环。（提示：考察绝对值最小的元素） 研究唯一分解环更直接的方法当然是在环R中定义带余除法，为此定义一个从非零元素到正整数的映射φ，对环中的任何元素 存在 ，其中 或 。如果这样映射存在，R 被称为欧式环。若 且 在 N 中值最小，由定义容易证明N中的任何元素都以 a 为因子，从而 N 为主理想，进而 R 是唯一分解环。 　　 　　u2022 求证高斯整数环是欧式环；（提示：在 中逼近） 　　u2022 求证域上的多项式环 是欧式环。（提示：考虑阶） 高斯整数环 是对整数环的扩充，它的元素是所有 形式的复数。 称为 z 的 范数 ，容易证明范数有以下性质。上面的习题已经证明了高斯整数环是唯一分解环，以此为例子，我们来简单分析一下这个环的分解情况。首先比较容易得到，G 的单位集合为 。接下来就是研究 的素元，为了区别起见，这里先把整数环的素数叫做有理素数。 高斯整数环是整数环的子环，故每个高斯整数首先可以按照算术基本定理分解为有理素数之积。再由分解的唯一性，素元必定是某个有理素数的因子，所以我们只需研究有理素数 p 的分解。p 的范数为 ，故它的因子不可能超过两个，这就说明了 p 要么自身为素元，要么有两个共轭素元 ，且 。进一步地，其实就是研究不定方程 是否有解。 首先对唯一的偶素数有 ，所以 2 不是素元，它有素因子 。对 p 为奇数的场景，可以得到 ，由初等数论的知识可知，等式成立的必要条件是 ，即 。所以当 时，p 本身就是素元。而当 时， 有解，从而 ，但是 ，所以 p 不是素元（注意 不一定是素元）。 在结束环的讨论之前，我们以多项式环为例来看看环理论的应用。高等代数中讨论的是域上的多项式，这里我们先从一般的环开始，然后再在特殊的环中进行研究，你会得到更高的视角看待多项式。之前我们已经给出过多项式环的定义，这里进一步研究多项式的根和因式分解。 对多项式 ，考虑将 带入其表达式，得到的结果 叫 在 处的值，满足 的 称为多项式的 根 或 零点 。这里要注意带入的多项式必须是完全展开的，对非交换环 R，若 ，显然不一定有 ，当然这个等式对交换环是一定成立的。为方便讨论，把 的次数记作 ，显然有以下关系式。当首相系数不是零因子时，还有 。 　　 　　有了这些基本概念，我们接着讨论根与多项式分解的关系。对域上的多项式 ，高等代数中使用除法，可以得到以下公式（3），且 唯一。回顾计算过程，其实对含幺环上的多项式，只需要求 的首项系数是单位即可。所以这个结论对一般含幺环也可以成立，只需选择合适的 。特别地，对任意 ，如果取 ，则有 。将右边展开并将 代入两边，整理后（ 与 可交换）得到 ，这就是 余数定理 （公式（4））。要注意这个证明中并不能直接将a代入，因为R不一定是交换环。 接着上面的讨论，当 a 是 的根时，可以得到 。反之如果 ，则有 ，在交换环中该式为 0（非交换环中不一定成立）。这样我们就有结论：交换含幺环中，有公式（5）的等价关系。再假设含幺环的多项式 的不同零点为 ，则首先有 。若为交换环，则有 ，若还为无零因子环，则 ，故 。以此类推，容易知道根的个数不大于多项式的次数 n，在 个不同的点值相同的多项式是唯一的。总结就是：含幺整环上的多项式 最多有 个根。这个结论看似显然，但每个条件都是不可或缺的，比如在四元数除环 H 中， 的根显然不止一个。 　　u2022 求证：在整数环上， 不可约。（提示：反证） 以上定理给出了含幺整环上的多项式的因式分解方法，但还有两个问题需要解决。一个就是如何找到根，目前还没有一般性的方法，这里只介绍一种求商域根的方法。设 为整环 的商域，考察 在 中的解 ，带入方程并展开。如果假设 （这就要求整环是唯一分解环），则有 且 。它可以作为方程解的筛选方法，比如求解整系数方程的有理解。 u2022 求多项式 的有理根。 另一个问题就是如果有 ，该如何判定定 甚至确定 n 的值？当 时，n 称为根 a 的 重数 ，特别地 时，a 称为 重根 ，否则称为 单根 。微积分中使用多项式的导数判断重根，这个方法在环中还是可以成立的。我们把 称为 的 形式微商 ，容易验证在含幺整环中微商的一般性质仍然成立。和微积分中一样，a为重根的充要条件是 ，一直使用这个结论就还可以得到重数。另外由于域上的多项式环唯一分解，若 ，则 没有共同根，故 没有重根。 多项式的因式分解一般并不容易，但在常见数域中已经有一些比较有用的结论。比如由代数基本定理（复变函数中介绍）可知，复数域上的多项式都可以分解为若干个一次因式。进而容易证明，实系数多项式根的共轭也是根（共轭运算的性质），所以实数域的多项式都可以分解为若干个一次和二次因式。而对有理数域上的多项式，都可以转化成对整数环多项式的讨论。下一节中将给出求解有理根的方法，和判定多项式不可约的一个充分条件，一定程度可以帮助有理数域多项式的分解。 现在继续讨论多项式的因式分解，如果要考察其唯一分解性，首先当然要求系数环R是唯一分解环。分解中系数的公因子总可以先提取出来，系数公因子只有单位的多项式被称为本原多项式，这个概念可以简化讨论。我们自然有个小问题，本原多项式的因式当然一定是本源多项式，那么反过来呢？本原多项式的积还是本原的吗？结论是肯定的，观察多项式乘积每一项的组成形式（参考下图），若 p 是乘积展开式的公因子，如图考察 次项有 ，矛盾。这就证明了本原多项式的乘积也是本原多项式，该结论也叫高斯引理。 多项式 可以分解为 ，其中 为本原多项式。要证 的唯一分解性，只需证 的唯一分解性。由于 的阶数有限，且其因式也是本原的，所以 上的分解首先一定是有限的。现在只需讨论唯一性，前面的习题中已经得到，域上的多项式环是唯一分解环，而每个整环都有其商域。为了考察唯一分解环 R 上多项式环 ，可以借助 的商域的多项式环 的唯一分解性。 对 中的不可约的本源多项式 ，在 中讨论其分解性，当然我们只关注阶数大于 的因式。如果在 中有 ，总可以添加一些系数 ，使得等式（6）成立，其中 为 中的本原多项式。根据高斯引理， 也是本原多项式，容易证明 相伴，消去 即得 与 也相伴。这和 不可约矛盾，故 在 也是不可约的。从而如果本原多项式 有不同的分解方法，它们在 中也是不同的分解，这与 的唯一分解性矛盾，我们得到的结论就叫 高斯定理 。 具体分解本原多项式 并没有一般方法，即使判断本原多项式是否可约都是困难的，这里只介绍一个不可约的充分条件： 爱森斯坦判别法 （Eisenstein）。若存在素元 p 使得 但 ，参考高斯定理的证明方法，可判定本原多项式不可约。首先可以假定 ，由于 ，总可以找到 而 。考察 容易证 ，与条件矛盾，故 f(x) 不可约。 爱森斯坦判别法虽然不是不可约多项式的必要条件，但它对不可约本原多项式的判定非常有用，比如可以肯定任意次本原多项式都有不可约多项式 。值得一提的是，容易验证 与 的可约性是一样的，灵活使用这个变形有时可以构造出判别法的结构。 　　u2022 求证： 在唯一分解环中不可约； 　　u2022 求证： 在有理数域中不可约； 　　u2022 求证： 在有理数域中不可约。 多元多项式环 有一个特殊的子环 Σ，其中的每个元素都非常“对称”。准确来讲就是， 对 的任意置换都保持不变，这样的多项式就叫做 对称多项式 。在这些多项式中，有几个是最基础的（公式（7）），它们被称为 基本对称多项式 。这些式子也许你并不陌生，这正是闭域上 n 次多项式方程的 韦达定理 ，它给出了方程根与系数的关系（公式（8））。 在中学你多少都接触过对称多项式，我们这里介绍它们的一个漂亮结论。你可以想象，将这 n 个元素带入任何一个 n 元多项式，得到的仍然是对称多项式。我们的结论正是它的反命题：任何多项式 都可以用这 n 个元素的多项式表示，即公式（9）成立，以下证明过程其实也是生成多项式的构造过程。首先一个对称多项式可以按照项的次数分成几个多项式之和 ，其中 中的每一项的次数都是 k。容易证明 也是对称多项式，一般称之为 齐次对称多项式 ，基本多项式就是典型例子。如果我们能证明结论在齐次多项式中成立，则在一般多项式中也成立。 为了便于讨论，我们将 m 次齐次多项式 的项 以 进行字典排序。考虑到的 展开后的最大项为式子（10），可以反向构造 N使得其最大项与 的最大项 M 相等，两式相减后的最大项一定小于之前的最大项。这个过程可以在有限步后结束，构造出的所有 N 便是生成多项式的项， 对称多项式基本定理 得证。这个结论对任意环 R 都是成立的，由证明过程还可以知道，当 R 为整环时生成多项式是唯一的。 再回顾构造过程，每次选取的 的最大项的次数都是 m，故满足条件（11）。根据这个结论，我们可以使用待定系数法更快地得到某个具体的生成多项式。比如 ，设 ，取 的不同值带入，解方程组便得到生成多项式。 最后来讨论一下一类常用的对称多项式，它们是元素的 等幂和 ，我们需要知道它们和基本对称多项式的关系。为了得到结论，以下设 ，充分利用韦达定理和 的形式特点，构造次数小于 n 的多项式 ，可以得到式（12）。比较等式两边的 n 次项，就得到著名的牛顿公式（公式（13）(14)），这个公式可以在 和 之间进行转换。 域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若 F 是 E 的子域，E 也叫 F 的 扩域 或 扩张 。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最简单的无穷域是有理数域，它是最小的数域，任何数域都包含有理数域；最简单的有限域是整数在素数 p 下的剩余类域 。这两种域都不再有真子域，我们把没有真子域的域称为 素域 ，一般记作 。 那么除了这两种熟知的素域外，还有别的素域吗？每个域都含有单位元 ，由 生成的域就是所有的素域，而它又是某个生成环的商域，故我们可以从 的生成环 讨论起。当 时， 与整数环 Z 同构，从而它们的商域同构，即 。当 时，前面已经讨论过，这样的环 都同构于同余环 ，进而有 。这样看来，同构意义的下的素域只有 Q 和 ，而且任何域都包含且仅包含一个素域。 有了最简单的域，接下来就开始对域进行扩张，并需要研究新添加元素的性质，以及扩域的结构特点。在F的扩域E中取子集S，F中添加S后生成的扩域记作 ，要注意这个定义总是以扩域E的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质，考察 ，由定义知它是包含 的域，而 是包含 的最小域，故有 。同样也可以推到 ，这样就得到了公式（1）。 以上结论说明扩域 等价于有限步的局部扩张，而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域，特别地我们可以先专注于 的扩域 ，它们被称为 单扩域 。由域的定义及分式的特点，容易知道 中的元素都有格式 ，其中 为 F中的多项式。所有分式构成了单扩域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我们就从这里出发，研究单扩域的结构。 多项式是扩域中的基础结构，对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将 代入 F 中的所有多项式 ，得到的值可能两两不同，也可能出现重复。当出现重复时，将多项式相减就会得到 ，存在这样多项式的 α 称为 F 的 代数元 ，否则称为 超越元 。代数元和超越元存在着本质的差异，需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张，代数数就是代数元，超越数就是超越元，这里实际上是对它们的扩展讨论。 对于诸多满足 的多项式，总可以找到次数最低的一个首 1 多项式。容易证明对代数元 α，这个多项式存在且唯一，它被称为α在F上的最小多项式 。最小多项式的次数也被称为代数元的次数，显然F中元素的次数都为1。最小多项式有些简单的性质，首先它在F上是不可约的，否则它必有一个因子满足 ，与最小多项式的定义矛盾。其次，对任何满足 的多项式，必有 ，否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足 。 围绕着元素类型或最小多项式，单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案，但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始，先验证生成环的同构，再推演到商域的同构，请自行验证。当 α 为超越元时，生成环显然和 同构，从而 同构于其商环 。当α为代数元时，可以证明生成环 同构于 ，由于 不可约，该表达式就是一个域，故有 。从而代数元的单扩域就是以 为模的多项式环（公式（2）），这个结论展示了单代数扩域的简洁结构，也说明了研究代数扩域的重要性。 以上的结果还表明，若 α 的次数为 n，则 的任何元素都是某个次数次数小于 n 的多项式的值 ，换句话说每个元素都是 在 F 上的线性组合，且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是，单代数扩域 是F上的一个n维空间，空间的基为 。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。 在弄清楚单代数扩域的结构后，我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域，或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是，这两种扩域一样吗？为讨论方便，我们定义后者为 代数扩域 ，含有超越元的扩域则叫 超越扩域 。由于代数扩域总是由代数元生成的，刚才的问题自然变成：由代数元集合 S 生成的扩域 是否一定是代数扩域？直觉告诉我们这个结论是成立的，但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测，先考虑S为有限集的场景，然后再推广到无穷集。 单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数，如果扩域 是 F 上的线性空间，这个空间的维数被称为 E 在 F 上的 次数 ，记作 。 有限时，E 称为 F 的 有限次扩域 ，否则叫 无限次扩域 。通过线性代数的简单推演，我们可以得到次数的累加性（公式（3））。以有限次扩域为例，设E 在 K 上的基为 ，K 在 F 上的基为 ，容易证明 就是 E 在 F 上的基（用线性表示并证明无关性）。