结构动力学

路基弹性层状岩层结构的动力学平衡方程如式（6.36）所示。水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究根据弹性力学理论，推导出其几何方程，即各个方向的位移与应变之间的关系，然后根据广义胡克定律可以得到其物理方程，即各方向应变与应力的关系表达式，迸而获得应力与位移的关系式，并经简化得水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中， 。将式（6.37）代入平衡方程式（6.36）可以得出采用位移函数表示的三维岩层弹性层状体系理论的动力学平衡方程式，即：水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中， 为三维拉普拉斯算子。对动力学拉姆方程式（6.38）中各式分别迸行对时间t的拉普拉斯积分变换，得动力学拉姆方程的拉普拉斯变换式水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究对式（6.39）迸行二维傅立叶变换，可以得出各位移的二维傅立叶变换表达式为水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中， ； B1、B2、…、B6为8个待定常数，而其中只有6个常数是独立的。根据二维傅立叶变换可得下式：水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究将式（6.41）代入式（6.40），可得其中两个常数与另外6个常数的关系式水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究将式（6.42）代入式（6.40）得水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究将式（6.43）各分量经过拉普拉斯变换及二维傅立叶变换后得到关于位移的表达式，即水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中，B1、B2、…、B6为6个相互独立的待定常数。将式（6.43）及式（6.44）中的应力、位移的表达式表示成为矩阵的形式为水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中：水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究联立式（6.45）及式（6.46）可得水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究上式可简化为水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中：水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究

6.2.1.1 梁单元动力学方程利用Bernoulli.Euler梁理论对钢轨及轨枕迸行计算，基于达朗伯尔原理提出的动静法，将动荷载作用引起的结构惯性力作为虚拟外力施加到结构上，并不计结构的黏滞阻尼从而建立动力学平衡方程，对其迸行求解从而实现对结构的动力学计算，有限元法结构离散后的动力学平衡方程如式（6.27）所示。｛F（t）}+｛Fi（t）}=｛Fe（t）} （6.27）式中：F（t）——单元外部动力荷载；Fi（t）——单元惯性力；Fe（t）——单元节点弹性力。弹性力表达式如下Fe（t）=[K]｛δ（t）} （6.28）式中：[K] ——单元节点刚度矩阵；｛δ（t）} ——单元节点位移。采用达朗伯尔原理获得单元的惯性力：水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中：[M] ——单元质量矩阵；｛δ（t）} ——单元节点位移。将式（6.28）及式（6.29）代入式（6.27）并移项得水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究文献[108]，采用集中质量矩阵，对于钢轨梁单元每个节点上分担单元长度一半的质量，基于 Bernoulli.Euler梁理论略去转动项，即获得钢轨梁单元的集中矩阵，如式（6.31）所示。水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中，m=ρAli，为梁单元的质量。6.2.1.2 梁单元动静法等效刚度矩阵基于达朗伯尔原理，惯性力可以假定为外部虚拟力施加在梁单元的结构上，采用达朗伯尔原理动静法的钢轨梁单元刚度矩阵如式（6.32）所示。水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究对式（6.30）迸行拉普拉斯变换，将其转换成为水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究将式（6.31）及式（6.32）代入式（6.33）得水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式（6.34）为拉普拉斯积分变换域内钢轨梁单元的动静法等效刚度矩阵。对于铁路钢轨下部轨枕同样采用集中质量矩阵，基于动静法构建其动力学单元刚度矩阵。6.2.1.3 轨道结构刚度矩阵基于以上构建的梁单元等效刚度矩阵，将轨道下方基础的反力作为外部力施加到轨道结构的轨枕底部，轨道结构的整体受力仅包括施加在钢轨之上的列车竖向荷载以及施加在轨枕底部朝上的轨下基础作用反力，动力学计算中其均是关于时间t的函数式，对其迸行拉普拉斯积分变换，得到轨道结构动力学计算的刚度矩阵如式（6.35）所示。水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究式中： （s）——拉普拉斯积分变换域内钢轨之上的列车荷载； （s）——拉普拉斯积分变换域内轨枕的节点承受的下部基础反力；]]<![CDATA[[K]s——表示轨道结构的整体刚度矩阵，可以根据单元等效矩阵以及编码法、位移法或直接刚度法计算获得； （s）——拉普拉斯积分变换域内钢轨节点的广义位移状态量，包括各节点的竖向位移以及沿y轴方向的转角；]]<![CDATA[ （s）——拉普拉斯积分变换域内轨枕节点的广义位移状态量，包括各节点的竖向位移以及沿x轴方向的转角。