黎曼函数

现在介绍这个猜想的文章都涉及到复变函数，解析延拓和非平凡零点一下子就把没学过的挡在外面了，这里我要做的是争取让具有一点点高数知识的人就能明白。 首先出个智力题 ∑(1/n^2)[n:1->∞]=1+1/4+1/9+……+1/n^2+……=? 不要试图用初等方法计算，学过高数的都知道了，这个结果是π^2/6。 结果很奇怪（其实很早以前数学家也感到奇怪）怎么和π搞到一起去啦？ 不理它，现在继续 ∑(1/n^4)[n:1->∞]=1+1/16+1/81+……+1/n^4+……=? 嗯，结果是π^4/90， 那么∑(1/n^6)[n:1->∞]是多少呢？π^6/945，好像有那么点规律，呵呵，实际上这个规律18世纪就得到了（有兴趣的可以回家做作练习，估计要练个一年半载的），就是 ∑(1/n^k)[n:1->∞，k:2，4，6，……]=-(2πi)^k B(k)/(2k!) 这是欧拉得到的最漂亮的结果之一（当然，他猜了好几年，证明了十几年）。但是又多出个i（就是i^2=-1那个），还有个B(k)。B(k)就是伯努利数，伯努利数没有一个通项公式，算起来也比较复杂，不过除了B(1)=-1/2,B(2k+1)都是0。前几位伯努利数是 B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 =1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66, B12 =-691/2730, B14 = 7/6,B16 = -3617/510, B18 = 43867/798, B20 = -174611/330…… 现在，我们把∑(1/n^k)[n:1->∞]表示为一个函数ζ(s)， 我们有ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945，ζ(k)=-(2πi)^k B(k)/(2k!)(k是偶数) 很自然的问题出来了，ζ(3)=？，ζ(5)=？，ζ(2k+1)=? 非常不幸，这个问题欧拉没搞清楚，现在也没人能够搞清楚。现在唯一知道的是ζ(3)是个无理数，而ζ(5)是有理数还是无理数都不清楚。有志者可以继续搞，呵呵。 但是这不是黎曼猜想。黎曼猜想却是由这个函数来的。现在我们把ζ(s)自变量变为复数。 定义 ζ(s)=∑1/n^s，n:正整数,1->∞，s是复数。 这就是著名的Zeta函数（前面那个希腊字母就读作Zeta）。这是一个级数，s要在整个复平面上跑，也就是说要取遍所有的复数。（当然，不知道当初为什么要研究这么个级数，反正越研究越复杂，越有乐趣，许多数论基本问题/代数基本问题/函数基本问题等等等等都和这个有关系） 现在解方程 ζ(s)=0。 首先我们知道，当这个s的实部大于一的时候，也就是Re(s)>1，ζ(s)绝对收敛，没有零点。 其次现在我们知道，s是负偶数的时候，ζ(s)=0 那么还有什么时候ζ(s)=0呢？黎曼说， 如果ζ(s)=0，并且0<=Re(s)<=1，那么Re(s)一定等于1/2。 这就是著名的黎曼猜想。

http://zh.freeglossary.com/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8http://cache.baidu.com/c?word=%C0%E8%3B%C2%FC%3B%BA%AF%CA%FD&url=http%3A//zh%2Efreeglossary%2Ecom/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8&b=0&a=14&user=baidu宇宙能量密度与黎曼ζ函数林文隆国立台湾师范大学物理系e-mail: wenlin2phy03.phy.ntnu.edu.tw摘要宇宙之演化由宇宙能量密度来决定,当我们在计算相对论性粒子之能量密度时,总会伴随著出现黎曼ζ函数,其数值通常由查表得知.如此一来,对黎曼ζ函数并无深入了解且对所得结果较缺乏感觉.事实上宇宙能量密度之推导过程非常适合作为物理系高年级学生及研究生课外自学题材,其中串联著许多数学的方法及概念,包括无穷级数,黎曼ζ函数,傅立叶级数,复变函数,柏努利数,解析数论及混沌理论等.本文浅述其推导过程以供参考.一,前言 今日宇宙之辐射(即相对论性粒子)由 2.728 K 之宇宙背景光子及三代 1.946 K 之微中子所构成.而处於热平衡状态之早期宇宙除了光子和微中子外尚有大量其他相对论性粒子,由於它们系处於热平衡状态,其能量密度 ρ 可表示成相空间分布函数 之积分(我们采用自然单位,即 )(1)上式中 表粒子自旋之自由度, 为粒子之能量,即 . 分布函数则与粒子之自旋有关,自旋为整数之玻子(例如光子)(2)自旋为半整数之费米子(例如微中子)则(3)对相对论性粒子而言, , 故能量密度 ρ 可简化成(4)上式中玻子用减号,费米子用加号.底下我们首先讨论玻子能量密度如何计算.令(自然单位), , 则 ρ 可改写为(5)查表得方程式(5)中之积分式(6) 故(相对论性玻子) (7) 二,宇宙能量密度与黎曼ζ函数通常我们直接由查表得知 之数值,当我们深入探讨何以方程式(6)之定积分等於 时,将会发现这是一个非常有趣的数学问题.事实上它可表示成一个特殊的无穷级数称之为黎曼函数.首先将方程式(6)之分母展开(8)连续利用部份积分得(9) 故 (10)上式中ζ(4) 系 s = 4 之黎曼ζ函数ζ(s),其定义如下, s >1 (11)上式定义中之无穷级数只有当 s > 1 时方为收敛.其近似值可由无穷级数前几项之和得到,例如由前十项之和即可得到ζ(4)之有效数值至第四位 ζ(4) =1.082….当s为偶数时, ζ(s) 之精确值可利用傅立叶级数求得.以ζ(4)为例,我们首先在 之范围求出 及 之傅立叶级数(12)(13)令 代入 之傅立叶级数即得(14)再用 代入 之傅立叶级数得(15)将ζ(2)值代入得 (16)故 (17)之值亦可由下法快速求得.设函数之傅立叶级数为(18)则 (19)上式在数学中称为帕斯维尔等式 (Parseval"s identity), 在物理学则叫做能量定理 (energy theorem),因为其物理意义可解释为一个波之总能量等於其各傅立叶分量能量之和.令 并将其傅立叶级数展开之系数代入帕斯维尔等式得(20)故 (21)三,黎曼ζ函数与白努利函数黎曼ζ函数与白努利函数有密切关联,当 为偶数时, 之值亦可由白努利数求得.白努利函数 及白努利数 之定义如下(22)(23)换言之,白努利数 系 s 等於零时之白努利函数值(24)例如(25)(26)将方程式(23)连续微分得(27)又经由一些简单的运算可导出下列递推关系式 (recursion relations)(28)(29)上式中 (30)由方程式(27)即可求得 . 将此二值代入方程式(27),即可看出. 当 为已知时,利用递推关系式很容易求得 之值.例如用 代入方程式(29)得, 故 (31)再令 代入得, 故 (32)经由复变函数理论之解析延续 (analytic continuation), 由方程式(23)吾人得到下列泰勒级数(33)故 (34)上式中之系依反时针方向绕著原点之封闭路径,且 .将积分路径变形并利用馀数定理 (theorem of residues) 即可得到当 时(s odd) (35)(s even) (36)因此当为偶数时,我们得到柏努立数与黎曼ζ函数之关系如下(37)此关系式系由数学家欧拉 (Euler) 所发现.由此式很明显可看出当 ,.白努利数经常出现在数论 (number theory) 当中.且有一个数论方面的定理说(38)其中 为整数, 为质数.例如 (39)在许多超越函数的无穷级数展开都会用到白努利数.我们的目的则在利用方程式(37)求出黎曼ζ函数之值,例如将 代入即得 .四,费米子能量密度之计算一旦玻子能量密度之公式已知,费米子之能量密度可用下述之技巧快速导出.根据方程式(4)相对论性费米子之能量密度 ρ 可写为(40)其中 (41)将 及 之积分式相减得(42)令得 (43) 故 (44)即 (相对论性费米子) (45)方程式(44)很容易推广为(46)由此式可知当自旋自由度相同时,费米子数目密度等於玻子数目密度乘以.我们都知道早期宇宙之演化情形主要由各种相对论性粒子之能量密度及数目密度来决定,故将其公式整理如下:(47)(48)其中能量密度公式之ζ(4)已用精确值 代入,而数目密度中之ζ(3)之近似值为.五,黎曼ζ函数与解析数论黎曼函数ζ(s)在解析数论方面也扮演著一个很重要的角色,这是因为经由解析延续,成为复变数 s 之复函数,而数论中质数的渐进分布则与黎曼ζ函数等於零的复数根有直接的关系.黎曼曾提出一个有名的猜想 (Riemann"s conjecture): 除了-2,-4,…等实数根之外,所有黎曼ζ函数有意义的根(指复数根)均落在 之临界线上 (critical line).黎曼猜想的证明十分困难, 1900 年在巴黎举行的第二届国际数学家会议,著名德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 提出23个重要而尚未解决的数学问题,他预测这些问题的研究将构成二十世纪数学的主流,希尔伯特所列的第八个问题就是黎曼猜想.可惜事隔一百年,黎曼猜想迄今仍未获得证明.不过研究显示至少最前面十五亿个根都满足黎曼的猜想,也就是说它们均落在临界线上.黎曼ζ函数不仅在解析数论方面扮演著重要的角色,最近的研究更显示出此函数在临界线上根的分布情形和混沌理论 (chaos) 有密切的关联.提到黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866),这位十九世纪出生在德国汉诺瓦之数学家,人们总会联想到他在数学上另外两大贡献: 他在 1851 年的博士论文 "Foundations for a general theory of a complex variable" 中建立了复函数黎曼面 (Riemann surfaces) 之理论基础；及在 1854 年在哥廷根大学题为 "On the Hypothesis That Form the Foundations of Geometry" 的就职演讲,他建立了一门新数学即黎曼几何(Riemannian geometry),此为后来爱因斯坦研究广义相对论时之数学基础.可惜黎曼因得了肺病,英年早逝,否则其在数学上之贡献当不止於此.

解答：（1）证明：因为|cost|≥0所以：当nπ≤x＜（n+1）π时，有∫nπ0|cost|dt≤∫x0|cost|dt＜∫(n+1)π0|cost|dt又因为：cost为周期2π的周期函数；易知：|cost|是周期为π的周期函数．因为周期函数在任意一个周期内的积分相等，即：∫π0|cost|dt=∫x+πx|cost|dt根据积分的可加性有：∫nπ0|cost|dt=n∫π0|cost|dt=n∫π2?π2|cost|dt=n∫π2?π2costdt=nsint|π2?π2=2n．所以有：∫(n+1)π0|cost|dt=2（n+1）所以有：2n≤∫x0|cost|dt＜2（n+1）即：2n≤s（x）＜2（n+1）命题得证．（2）解：根据（1）有：2n≤s（x）＜2（n+1）n为正整数，且nπ≤x＜（n+1）π时，有：2nx＜s(x)x＜2(n+1)x显然有：2n(n+1)π＜2nx＜s(x)x＜2(n+1)x＜2(n+1)nπ当x→∞，即n→∞时：limn→∞2n(n+1)π=2πlimn→∞2(n+1)nπ=2π根据夹逼定理有：limx→∞s(x)x=2π．故所求函数值为：2π．

对任意的d>1，考虑在【d，正无穷）上有0<1/n^x<=1/n^d，因为d>1，故级数(n=1到无穷)1/n^d收敛，于是由Weierstrass判别法知道函数项级数(n=1到无穷)1/n^x在【d，正无穷）上一致收敛，显然1/n^x在【d，正无穷）上连续，于是和函数Zeta(x)在【d，正无穷）上连续。由d的任意性知道Zeta(x)在（1，正无穷）上连续。证毕。

所谓黎曼函数R(x)，是定义在区间0~1上的一个构造函数:当x是有理数p/q(p、q为互质整数)时,R(x)=1/q;当x是无理数时，R(x)=0.黎曼函数是由黎曼进行定义，用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的。如:黎曼函数在(0，1)内所有无理数点处连续，在所有有理数点处间断。每一点处都存在着极限，且极限都是0(可见间断点都属第一类中的可去间断点)。这个函数在[0，1]上可积，它在[0，1]上的定积分为0，等等。下面将对黎曼函数的间断点是第一类间断点中的可去间断点进行证明。先证明对于(0，1)中的任意一点a，当x→a时，limR(x)=0,这是因为，对任意正数ε，要使|R(x)-0|>ε成立，x显然不能取为无理数，因为x为无理数时，R(x)=0,不可能让0大于正数ε。而当x为有理数p/q时，R(x)=1/q.而要|R(x)-0|>ε成立,即1/q>ε,q<1/ε.但明显地，使这一式子成立的正整数q不会超过[1/ε],只有有限个。那么，形如p/q的这种最简真分数的个数也最多只有有限个。设这些有理数分别记为x1,x2,……，xk.然后，我们在|x1-a|、|x2-a|、……、|xk-a|中通过比较，一定能选择出最小的正数|Xi-a|，并令δ=|xi-a|/2.即存在着正数δ，当0<|x-a|<δ时，|R(x)-0|<ε.所以，x→a时，R(x)→0.利用这一结论知，当a为无理数时，R(x)在x=a处因极限值等于函数值，故而连续;当a为有理数点时，虽然R(x)在x=a处有极限0，但函数值R(a)不为0，从而x=a成为R(x)的第一类间断点中的可去间断点。证毕。望采纳

具体回答如下：如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。扩展资料：对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。